16
三角函數
16.1
三角函數的性質與圖形
弧度制的度數 θ : 半徑為r的圓 O,在圓周上取一段弧長P Q= r,⌢ 則P Q⌢ 所對應的圓心角∠P OQ為1弧度。 單位圓圓心角 90◦ 所對的弧長是 π 2 , 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位。 即弧度 π ≡ 180◦ ;2π ≡ 360◦ 。 1弧度≡ 180◦ π ; 1◦≡ π 180 弧度 。 O s = rθ θ r = 1 P Q 1弧度
= (180 π ) ◦ ≈ 57.2956◦;1◦ = π 180弧度
≈ 0.0175弧度
扇形弧長 s = r · θ : 半徑為r 的圓 O,弧度為 θ 所對應的弧長s = r · θ。 扇形的面積 A = 1 2r 2θ: 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ所對應的扇形面積 A = 1 2r 2θ。 廣義角的三角函數定義: 若廣義角θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂點), 在終邊上取一點 P (x, y), r = OP =px2+ y2 則三角函數定義為 正弦函數: sin θ = y r ,餘弦函數: cos θ = x r 正切函數: tan θ = y x ,餘切函數: cot θ = x y 正割函數: sec θ = r x ,餘割函數: csc θ = r y x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ 三角函數的基本關係:1. 平方關係: sin2θ + cos2θ = 1, tan2θ + 1 = sec2θ, 1 + cot2θ = csc2θ 2. 倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1
3. 商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積
tan θ = sin θcos θ , cot θ = cos θsin θ , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ 4. 餘角關係: ∠A + ∠B = 90◦
csc θ sec θ tan θ sin θ cos θ cot θ 1 三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系: 1. 餘角關係 ∠A + ∠B = π
2 = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A + ∠B = π = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0
3. 周角關係 ∠A + ∠B = 2π = 360◦ : sin A + sin B = 0, cos A = cos B
4. 反向角關係 ∠A = π + ∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相反數關係)
5. 奇偶性: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ, cot(−θ) = − cot θ;sec(−θ) =
sec θ, csc(−θ) = − csc θ
6. 三角函數值相反數:sin(−θ) = − sin θ ; cos(π − θ) = − cos θ
tan(180◦− θ) = − tan θ ;cot(π − θ) = − cot θ
sec(180◦+ θ) = − sec θ ;csc(π + θ) = − csc θ 三角函數化簡公式 −→ 旋轉木馬記憶法: sin -sin cos -cos tan
-cot -sin sin
cos -cos csc -csc sec -sec sin cos
圖
1:三角函數化簡公式
:旋轉木馬記憶法
1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。(sin(θ + π 2) 比 sin θ 角度多 90◦,就以sin θ為主輻) 2. 以90◦ 為單位旋轉一輪輻,正向角為逆時針旋轉,負向角為順時針旋轉。 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。(例:sin(θ +π 2)就是 sin θ逆時針轉90◦,輪輻位置為cos θ) 已知一三角函數求其餘三角函數值方法: 1. 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ角的三角函數值絕對值與α 的三角 函數值相同,再由θ象限角位置決定其三角函數值的正負。 2. 坐標法: 利用 cos θ = x r, sin θ = y r 找出 θ終邊上的點P (x, y)坐標,再依三角函數定義求其餘三3. 基本關係法: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。 週期函數: 對每一定義域中的元素 x, f (x + t) = f (x)恆成立, 另一實數 t′ 也滿足 f (x + t′) = f (x) ,t′ 是t 的整數倍,則稱f 是週期為 t的週期函數。 三角函數的圖形及性質:
表
1:特別角的三角函數值
x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π sin x 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 cos x 1 √23 √22 12 0 −1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 x π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π sin x 0 −12 −√22 −√23 −1 −√23 −√22 −12 0 cos x −1 −√3 2 − √ 2 2 −12 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 x −π 3 −π 4 −π 6 0 π 6 π 4 π 3 tan x −√3 −1 −√3 3 0 √ 3 3 1 √ 3 1. 正弦函數 y = f (x) = sin x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 f (x) = sin x (a) 定義域D與值域R: D ={x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1} (b) 週期T = 2π: 滿足 sin(x + t) = sin x, 取 k = 1滿足 t = 2kπ = 2π 為最小值, 正弦函數的 週期為 T = 2π。 (c) 振幅:正弦函數振幅為A = M ax − Min 2 = 1 (d) 對稱: y = sin x 圖形以 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 的鉛直線 (過函數圖形最高點或最低點的鉛直 線) 均為其線對稱。 y = sin x 圖形與x軸交點 (nπ, 0), n ∈ Z 為其對稱點 (對稱中心)。 特別是正弦函數 y = f (x) = sin x圖形對稱於原點 (0, 0) , 為奇函數。2. 餘弦函數 y = f (x) = cos x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 f (x) = cos x (a) 定義域D與值域R: D ={x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1} (b) 週期T = 2π: 滿足 cos(x + t) = cos x,取 k = 1滿足 t = 2kπ = 2π 為最小值,餘弦函數的 週期為 T = 2π。 (c) 振幅:正弦函數振幅為A = M ax − Min 2 = 1 (d) 對稱: y = cos x圖形以 x = nπ, n ∈ Z 的鉛直線 (過函數圖形最高點或最低點的鉛直線)均 為其線對稱。 y = cos x 圖形與x軸交點 (π 2 + nπ, 0), n ∈ Z 為其對稱點 (對稱中心)。 特別是餘弦函數 y = f (x) = cos x圖形對稱於y 軸,為偶函數。 3. 正切函數 y = f (x) = tan x圖形 −2π −π−π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π y tan(x)
(a) 定義域D與值域R: 由商數關係 tan x = sin x
cos x 所以 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R} (b) 週期T = π: 滿足 tan(x + t) = tan x,取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最小值,餘弦函數的週 期為 T = π。 (c) 對稱: y = tan x圖形以(nπ 2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y = f (x) = tan x圖形對稱於 點(0, 0),為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 都是正切函數y = tan x 的漸近線。 4. 餘切函數 y = f (x) = cot x圖形 −2π −π−π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π y cot(x) (a) 定義域D與值域R: 由倒數關係 cot x = 1 tan x 所以 D = {x|x 6= nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R} (b) 週期T = π: 滿足 cot(x + t) = cot x,取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最小值,餘弦函數的週 期為 T = π。
(c) 對稱: y = cot x 圖形以 (nπ 2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是y = f (x) = cot x 圖形對稱於 點(0, 0),為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 都是餘切函數 y = cot x的漸近線。 −2π −π −π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π y tan(x) cot(x) 5. 正割函數 y = f (x) = sec x圖形 −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sec(x) cos(x) (a) 定義域D與值域R: 因為 sec x = 1 cos x, cos x 6= 0 , 所以定義域 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z},值域 R ={y|y ≤ −1,或 y ≥ 1} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 cos x, cos x 6= 0,餘弦函數的週期為 2π,故正割函數周期亦為2π。 (c) 對稱: 正割函數y = sec x與y = cos x圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中心) 都相同, 亦為偶函 數。 (d) 漸近線: 直線 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 為正割函數圖形的漸近線。 6. 餘割函數 y = f (x) = csc x圖形 −2π−3π 2 −π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y csc(x) sin(x) (a) 定義域D與值域R: 因為csc x = 1 sin x, sin x 6= 0 ,所以定義域D = {x|x 6= nπ, n ∈ Z},值 域R ={y|y ≤ −1, 或y ≥ 1} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 sin x, sin x 6= 0, 正弦函數的週期為2π,故餘割函數周期亦為 2π。 (c) 對稱: 正割函數y = csc x與y = sin x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中心) 都相同, 亦奇偶函 數。 (d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 為餘割函數圖形的漸近線。 函數圖形的平移伸縮: 正弦函數 y = f (x) = a sin(kx + b) + c
表
2:三角函數圖形的特點
函數 y = sin x y= cos x y= tan x y= cot x y= sec x y = csc x
圖形(一週期) −π−π 2 π 2π −1 1 y −π 2 π 2π 3π 2 −1 1 y −π 2 π 2 x= −π 2 x=π 2 y π 2 π x= 0 x= π y −π 2 π 2 π3π 2 x= −π 2 x=π 2 x=3π 2 −1 1 y −π−π 2 π 2 π x= −π x= 0 x= π −1 1 y 定義域 R R x6=π 2 + nπ x6= nπ x6= π 2 + nπ x6= nπ 值域 [−1, 1] [−1, 1] R R (−∞, −1] ∪ [1, ∞) (−∞, −1] ∪ [1, ∞) 鉛直漸近線 無 無 x=π 2 + nπ x= nπ x= π 2 + nπ x= nπ 與x軸交於 nπ π 2 + nπ nπ π 2 + nπ 無 無 與y軸交於 0 1 0 無 1 無 週期 2π 2π π π 2π 2π 奇偶性質 奇 偶 奇 奇 偶 奇 對稱 原點 y 軸 原點 原點 y 軸 原點 鉛直對稱軸 x= nπ +π 2 x= nπ 無 無 x= nπ x= nπ + π 2 對稱點 (nπ, 0) (nπ +π 2,0) ( nπ 2,0) ( nπ 2 ,0) (nπ + π 2,0) (nπ, 0)
一般正弦函數
y= f (x) = a sin(kx + b) + c ,則
f(x)振幅
A : |a| = M ax− min 2 f(x)週期
T′ : T |k| = | 2π k | b與水平平移量有關
:觀察圖形波峰、 節點或波谷發生點。
:如
:波峰點
x代入
kx+ b ≡ π 2 c為節點所在的水平線
: y = c = M ax+ min 2 考慮正弦函數 y = f (x) = sin x 標準圖形, 與 Y = g(X) = a sin(kX + b) + c 圖形的關係: Y = g(X) = a sin(kX + b) + c ⇒ Y − ca = sin(kX + b) , 若 ( x = kX + b y = Y −c b 時,則y = f (x) = sin x 與Y = g(X) = a sin(kX + b) + c圖形就會重疊(相 同), 故當 ( X = x − bk Y = ay + c 時,兩函數圖形是重疊的, 即 g(X)圖形是 f (x)圖形 ( 向左平移(x軸負向)b 單位,再左右縮小k倍 上下方向(y軸方向)伸展 a 倍後再向上平移 (y軸)c單位x y 0 |A| −|A| π 4 π2 3π4 π 5π4 3π2 7π4 2π 2|A| |A| |A| 函數 y = f (x) = sin 2x 圖形 x y 0 −3 −2 −1 1 2 3 π 2 π 3π2 2π 週期T = 2π2 = π 水平平移 = π 2 振幅A = 3 函數 y = f (x) = 3 cos (2x − π) 圖形 正、 餘弦函數圖形關係: ( y = cos x = sin(x + π2)
y = sin x , 餘弦y = cos x是正弦 y = sin x函數圖形在x軸方向左平移 π 2 單位。 −2π −π −π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 (π 2, 1) (0, 1) y sin(x) cos(x) 正弦函數的平移: −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(x +π 2) sin(x + π) −2π−3π 2−π − π 2 −1π2 π 3π2 2π 5π2 3π −2 1 2 y sin(x) sin(x) + 1 sin(x +π 2) + 1 sin(x +π 2) − 1 正弦函數的伸縮: −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(2x) sin(x 2) −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −2 1 2 y sin(x) 2 sin(x) 1 2sin(x)
例題
範例 1: 將弧度 5π 6 與2 化為度? 5π 6 = 150◦;2 = 360 ◦ π ≈ 114.59◦ 演練 1a : 將下列弧度化為度數或將度數化為弧度 1. 2π 3 =? 120◦ 2. 330◦ =? 11π 6 3. −75◦ =? − 5π 12 4. 450◦ =? 5π 2 演練 1b : 比較下列角度的大小? a = 1,b = π◦,c = 1 π,d = 15◦ a > c > d > b 演練 1c : 17弧度是第幾象限角? 三 範例 2: 已知一扇形半徑為12公分,圓心角為 60◦,求此扇形的弧長及面積? s = 4π,A = 24π 演練 2a : 已知一扇形半徑為5公分,圓心角為 128◦,求此扇形的弧長及面積? s = 32π 9 ,A = 80π9 演練 2b : 已知一圓半徑為5公分,求圓心角為 5π 6 的扇形面積? A = 320π3 演練 2c : 若一扇形的弧長為s公分,扇形面積為A平方公分,且s = A,求此扇形的半徑長? r = 2 演練 2d : 已知一圓半徑為5公尺,若弧長為3公尺, 求此弧所對應的圓心角為何? 2 5 演練 2e : 弓形為圓的弦與弧所圍的區域,已知圓半徑10,求圓心角為 π 6 所對應的弓形區域面積? 25 3(π − 3) 範例 3: 半徑為6公分的三圓互相外切(如圖),求陰影區域的周長與面積? s = 6π,A = 36 √ 3 − 18π 一直圓錐的底半徑為8, 高為15, 若由底邊一點沿其斜邊向錐頂點剪開, 展開為 一扇形;求此扇形的圓心角及面積? θ = 16π17;A = 136π 演練 3a : 已知半徑為13,圓心角 θ = 10π 13 的扇形,若將其弧長的兩端點相鄰接,形成一個以圓心O 為頂點的 正圓錐,求此直圓錐的高? 12 演練 3b : 如圖:圓半徑為6,弦長為 6√3,求其劣弧與弦所圍成的弓形面積為多少平方單位? 12π − 9 √ 36√3 6 6 θ 演練 3c : 過點 P (6, 0) 與圓 C : x2 + y2 = 9 的切線與圓切於 A, B 兩點 (如圖), 求扇形 OAB 面積? 3π P A B O 演練 3d : 如圖: 一皮帶套繞著兩圓 C1, C2, 已知圓心分別為 O1, O2 , 半徑分別為 r1 = 2,r2 = 7, 連心線段 O1O2 = 10, 求此皮帶 ABCD長? 10√3 +32π3 D C r2− r1 r2 P B r1 O1 O2 A O1O2 演練 3e : 已知兩圓半徑分別為 3, 3√3,連心線段長6,求兩圓重疊區域面積? 15 2π − 9 √ 3 A B 3√3 3 O1 O2 6 範例 4: 已知cos θ = 3 5 且 θ為第四象限角,求θ 的其他三角函數值? (解:)sin θ = −4
5 , tan θ = −43, cot θ = −34, sec θ = 53, csc θ = −54
演練 4a : 如圖:單位圓中,已知 AP = sin θ, OA = cos θ,用三角函數表示下列線段長?
1. BD =? tan θ
2. OD =? sec θ
3. OE =? csc θ
O x y P D A θ B(1, 0) C(0, 1) E 演練 4b : 承上圖: 1. 利用上述線段長大小說明: 0 < θ < π
2 時 sin θ < tan θ < sec θ P A < BD < OD
2. 0 < θ < π
2 時,比較 cos θ, cot θ, csc θ 大小? cos θ < cot θ < csc θ
3. 0 < θ < π
2 時,分別先求 △OP A, 扇形OP B ,△OBD 面積,進而說明 sin θ < θ < tan θ
演練 4c : 求下列三角函數值? 1. cos 4π 3 =? −12 2. sin4π 3 =? −√23 3. cos 5π 3 =? 1 2 4. sin5π 3 =? −√23 5. tan7π 6 =? √ 3 3 6. cos−19π 6 =? −√23 7. sin4π 3 =? −√23 8. cot π =? 無定義 9. csc(−7π2 ) =? 1 10. sec(−π3) 2 演練 4d : 將下列式子化為最簡單的式子或值?
1. cos x(tan x − sec x) − sin x = -1 2. cot(−x) csc(−x) = cos x 3. 2 sin 2x + sin x − 3 1 − cos2x − sin x = 2 + 3 csc x 4. cos x 1 + sin x + tan x = sec x 5. 1 1 + tan2θ + 1 1 + cot2θ 1
演練 4e : 已知 (−3, −4)為標準位置角θ 終邊上的一點,試求cot θ, sec θ 的值? cot θ =
3 4, sec θ = −53 演練 4f : 若 x = 3 tan θ 且0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ 9 + x2=? , 並用 x 表示sin θ 與cos θ ?
(解:)3 sec θ;sin θ = √x 9+x2;cos θ = 3 √ 9+x2 演練 4g : 若 t = tan θ 且0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 1. √1 + t2 sec θ 2. t 1 + t2 sin θ cos θ 3. 1 t√1 + t2 cos θ cot θ 演練 4h : 若 x = 1 2tan θ 且− π 2 < θ < π 2 ,用三角函數表示函數f (x) = x √ 1 + 4x2 ? (解:)f (x) = g(θ) = 12sin θ 演練 4i : 令 x = 4 sec θ,用三角函數表示 √ x2− 16 x2 =? 1 4sin θ cos θ 演練 4j : 已知圓半徑2,求弦長 2√3 所對應的劣弧弓形面積? 4π 3 − √ 3 範例 5: 若π ≤ θ < 3π 2 且 cot θ = 2 ,求csc θ 及sec(π − θ) 的值? csc θ = −√5, sec(π − θ) = √25 若θ是第三象限角,已知tan θ+cot θ = 25
12,試求:(1) sin θ cos θ =? (2) sin θ+cos θ =? (3) sec θ + csc θ =?
12 25;−75 ;
−35 12
演練 5a : 化簡求 tan θ + cot θ − sec θ csc θ 值? 0
演練 5b : 化簡 tan2θ + 2
1 + tan θ − cos
2θ =? 1
演練 5c : 化簡 sec θ csc θ cot θ − cot2θ =? 1
演練 5d : 已知 sin θ − cos θ = 1
2,求下列各式的值:(1) sin θ · cos θ (2) tan θ + cot θ (3) sec θ − csc θ ? (解:)(1)3
8 (2) 83 (3) 43
演練 5e : 若 cos θ = tan θ ,求 sin θ值?
−1+√5 2
範例 6: 利用y = sin x 的圖形,畫出 (1) y = 2 + sin x (2) y = sin(x −π
3)的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 −1π2 π 3π2 2π 5π2 3π 1 −2 2 3 sin(x) sin(x) + 2 sin(x −π 3)
(解:) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 −2 2 3 y = cos(x) y = 2 cos(x) y = cos(2x)
演練 6a : 設 a = sin 1, b = sin 2, c = sin 3, d = sin 4 , 試比較a, b, c, d 的大小? b > a > c > d
演練 6b : 利用 y = sin x的圖形,作出 y = sin |x|的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y = sin |x| 演練 6c : 利用 y = sin x的圖形,作出 y = | sin x| 的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y = | sin(x)| 演練 6d : 利用 y = sin x的圖形,作出 y = sin(x +π 2) 的圖形? (解:) −2π−3π 2 −π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y = sin(x) y = sin(x +π 2) ;y = sin(x +π 2) 的圖形如同y = cos(x) 圖形
演練 6e : 設 a = cos 1, b = cos 2, c = cos 3, d = cos 4 ,試比較 a, b, c, d的大小? a > 0 > b > d > c
演練 6f : 利用 y = cos x 的圖形,作出 y = − cos x的圖形? (解:) −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y = cos(x) y = − cos(x) 演練 6g : 利用 y = cos x 的圖形,作出 y = cos(x − π 2) 的圖形?
(解:) −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y = cos(x) y = cos(x −π 2) ;y = cos(x − π2)的圖形如同y = sin(x) 演練 6h : 下列圖形分別為哪一函數的部分圖形? (1) y = cos(2x) (2) y = 1 2sin(x)+1 (3) y = −2 sin( 1 2x)−3 (4) y = − cos(x − π2) B,D,C,A −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 −6 −4 −2 1 2 −1 1 A B C D 演練 6i : 函數 y = − sin(x −π 2) + 1 , 求此函數的振幅A=? 週期 T=? 此函數圖形可由y = sin(x)函數圖 形如何平移得到? A=1,T = 2π; 向左 π 2單位, 向上1單位平移 演練 6j : 下列函數: (a) f (x) = 2 sin(1 2x− π 2) (b) f (x) = 1 2cos(2x− π 4)+2 (c) f (x) = − sin[2(x− π 2)]+2 (d) f (x) = sin(x + π) − 12 (e) f (x) = −2 cos(4x − π) (f) f (x) = − cos 2(x −π8)
1. 哪些函數的振幅為2 a,e
2. 哪些函數圖形的週期為 π ? b,c,f
3. 哪些函數圖形的週期為 2π ? d
範例 7: 將y = sin x和y = cos x的圖形畫在同一平面上,並利用圖形求 (1)在0 ≤ x ≤ 2π時, y = sin x
和 y = cos x 的圖形有幾個交點? (2)在 0 ≤ x ≤ 2π時, 解sin x = cos x 2個交點; x =
π 4,5π4 (解:) −2π −π −π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 (π 2, 1) (0, 1) y sin(x) cos(x) 演練 7a : 解三角方程式sin θ = tan θ θ = kπ, k ∈ Z 演練 7b : 求三角方程式sin 2θ = sin θ 的解? θ = kπ, k ∈ Z;θ = ±π 3 + 2kπ, k ∈ Z
演練 7c : 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍內,方程式 4 sin2x − 4 sin x − 3 = 0有幾組解? 2解 演練 7d : 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍內,求解 sin(x −π 3) = − 1 2 (解:)x = π 6,3π2 演練 7e : 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍內,求解 2 sin 2x = 1 (解:)x = π 12, 5π 12, 13π 12, 17π 12 演練 7f : 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍內,求解 2 cos 3x = −1 (解:)3x = 2π 3 + 2kπ,4π3 + 2kπ 即 x = 2π9 +2kπ3 , k = 0, 1, 2 或x = 4π9 +2kπ3 , k = 0, 1, 2 範例 8: 在−2π ≤ x ≤ 2π 的範圍,求方程式 sin x = x 6 的實根個數? (解:)3個實根, −2π −3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π −1 1 y 演練 8a : 求方程式 sin x = x2 的實根個數? (解:)2個實根, −3π2 −π − π 2 π2 π 3π2 −1 1 y 演練 8b : 在 −2π ≤ x ≤ 2π 的範圍, 方程式cos x = x 有幾個實數解? (解:)1個實根, −3π2 −π − π 2 π2 π 3π2 −1 1 y 演練 8c : 方程式 x − sin x = 1有幾組實數解?
(解:)1個實根 −6 −4 −2 2 4 6 −2 −1 1 2 −1 1 範例 9: 某城市紀錄歷年資料的月平均溫度(◦C)變化曲線如下:
Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
t
值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temp(T◦C) 28 27 25.5 22 18.5 16 15 16 18 21.5 24 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型T = f (t) = a sin bπ(t − c) + d 來表示 (a, b, c, d > 0), 則 (1) a = 13 2 (2) b = 1 6 (3) c 最小值為 10 (4) d = 43 2 (5) c值可以為22 1,2,3,4,5 演練 9a : 某城市歷年資料的月平均溫度(◦C)變化曲線如下:Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
t
值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型 T = f (t) = A sin B(t − C) + D 來擬合資料 (A, B, C, D > 0), 求 此數學模型? f (t) = 132 sinπ 6(t −92) + 20.4 演練 9b : 一工業城,在週一至週末上工的星期中測得空氣污染量以模型 P (t) = 40 + 12 sin2π 7 (t − 37 12) 擬合 資料,其中 t 為距離週日午夜12點的天數,求 1. 最小污染量為多少單位? 28 2. 在觀察期間,什麼時間點,使得污染量為最低? 8:00 Am Monday 演練 9c : 研究觀察某水牛群的數量可用P (t) = 400 + 250 sin(tπ 2) 擬合研究資料, t 為觀察經歷時間(年),求 1. 初觀察時這群水牛的數量為何? 400 2. 6個月後及2年後,這群水牛的數量為何? 577;400 3. 這群水牛的數量最多為何? 650 4. 首次觀察到這群水牛的數量為最少時,需歷時多久? 數量為多少 3 年後;150 5. 首次觀察到這群水牛的數量超過525頭,何時? 經歷多久時間? 1 3 < t < 53 演練 9d : 某地區某天的潮汐情形,可用模型 h(t) = 3 sin(tπ 6 ) (公尺) 擬合潮汐情形,其中 t (小時) 為午夜12 點開始計量時間,問: 1. 當天何時潮汐為滿潮 (漲潮至最高點)? 3 am,3 pm 2. 當天何時潮汐為乾潮 (漲潮至最低點)? 9 am,21 pm 3. 當天的潮差(滿潮與乾潮兩者的水位差) 為多少公尺? 6 4. 若一船在當地港口至少需漲潮1.5公尺時才能進出港口,問該船當天下午何時可以進出港口? 13 ∼ 17 點 演練 9e : 人體血壓若為 P (t) = 100 + 20 sin 2πt (毫米汞柱), 其中 t 為時間 (秒); 表示血壓在100上下震盪 20毫米汞柱,這個函數的週期為1秒,這意味著該人的心臟跳動一分鐘60次。 問: 1. 在 t = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 秒時,分別求其血壓為多少毫米汞柱? 100,120,100,80,100 t = 0.25
3. 在第1秒內,血壓最低時,發生時間點為何? t = 0.75 演練 9f : 一個歷史悠久的豪宅中一個保全攝影監視器鏡頭可旋轉監看豪宅外一條又長又直的車道入口進入到 豪宅內。 假設車道中心分隔線為一直線, 攝影監視器正前方距離為6英尺與分隔線交點為中心點。 監 視器監看分隔線的中心點右側範圍,若d代表監視器轉動掃描時沿其中心點之車道分隔線的距離。 模 型 d = 6 tan(tπ 30) 表示t 秒時, d 的距離 (英尺) midpoint d 6 ft camera driveway 1. 求 t = 5秒時,d =? 2 √ 3 2. 求 t = 15秒時,d的位置如何? 監視器鏡頭平行車道 3. 此監視器鏡頭掃描的週期為多少秒? 30 秒 演練 9g : 交流安培電流計I (安培A)是量測當時(t秒)交流電流通時的電流,若電流模型為I = 220 sin(60πt− π 6) 1. 此電流的振幅為何? 220A 2. 此電流的變化週期為何? 1 30 秒 3. 此模型如何位相平移得到正弦波的圖形? 1 360 4. 求 t = 60的電流為何? −110A 習題I:2-1 三角函數的性質與圖形 1. 分別將 60◦,150◦,18◦ 化為弧度? 2. 將弧度 π 9、 2π 5 化為度數? 3. 已知一扇形半徑為12公分, 圓心角為120◦, 求此扇形的弧長及面積?
4. 設 a = sin 1, b = sin 2, c = sin 3, d = sin 4 , 試比較a, b, c, d 的大小?
5. 已知一扇形的弧長為2公分,扇形面積為4平方公分,求此扇形的半徑為及圓心角? 6. 一扇形半徑為10, 圓心角為 6π 5 , 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O 為頂點的正圓錐, 此 正圓錐底面為一圓 O′, 求圓 O′ 的半徑 r′ 及此正圓錐頂點 O 到底面中心 O′ 的距離 h(正圓錐的高)? O O O′ h r′
7. 求圖中陰影區域面積? 6√3 6 6 8. 一皮帶套繞著相同半徑為 r 的三個兩兩外切圓,(如圖) 求皮帶長? r r r 9. 利用坐標法求三角函數值: 若直線 ←→OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點P的坐標如下, 分別求三角函數
sin θ, cos θ, tan θ 值? (a) P (−2, 3) (b) P (3, −4) 10. 先將 θ 化為較簡同界角後,再求其三角函數值? (a) tan9π 4 (b) cos17π 6 (c) sin(−2π3 ) (d) sec(−7π 4 ) (e) tan(−π3) (f) csc(−315◦) (g) csc(−270◦) (h) cot(390◦) (i) sec(−3π) (j) tan19π 6 (k) cos(−2π) 11. 將下列式子化為最簡單的式子? (a) csc(−x) cot(−x) =
(b) 4 tan x sec x + 2 sec x 6 tan x sec x + 2 sec x = (c) sin x + 1 tan x + sec x = (d) sin x 1 − cot x+ cos x 1 − tanx = 12. 三角函數的奇偶性質: (a) cot(−3π2 ) (b) tan(−37π4 ) (c) sin(−9π)
(d) tan(−9π4 )
13. 已知θ角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值,求其餘的三角函數值? (a) csc θ = −2, tan θ > 0 (b) tan θ = −4, sin θ < 0 14. sin θ = 1 3, θ 為第二象限角,分別求 a = cos θ ,b = cos(θ − π 3) ,c = sin(θ + π 6) ,d = tan(θ + π 4) 值? 15. 若 θ是第二象限角,且 sin θ = 35 , 求cos θ 與tan θ 的值?
16. 已知θ角的頂點為原點,始邊落在X軸的正向上,終邊通過點P (2, −3) , 試求θ角的六個三角函數值? 17. 若 θ是第三象限角,且滿足cos θ − sin θ = 13 , 求sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的值?
18. 已知 cos θ = −35 , 且θ 為第二象限角,求其他三角函數值? 19. 若 tan θ = 43 求 3 sin θ + 2 cos θ
2 sin θ + 3 cos θ =? (分子分母同除以cos θ) 20. 已知 sin θ + cos θ = −√2,求下列各式的值:
(a) sin θ · cos θ = (b) tan θ + cot θ = (c) sec θ + csc θ = 21. 若 x = 2 tan θ,0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ 4 + x2 =? , 並用x 表示 sin θ與 cos θ ? 22. 若 x = 3 sec θ 且 0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ x2− 9 =? , 並用x 表示 sin θ 與 cos θ ? 23. 令 x = sin θ,用三角函數表示 x 2 √ 1 − x2 =? 24. 求下列函數的週期 T、 最大值M 與最小值 m (a) y = 3 sin 2x (b) y = 3 2cos(x + π 2) (c) y = 2 sinx 3 + 1 (d) y = 3 cos(x + π 4) − 2 25. 求下列函數的週期: (1) y = cos 2x (2) y = tan(x + π 2) 26. 求下列條件下的值?
(a) 若f (x) = sin x , 且f (a) = 1
3,求 f (−a) =? ,f (a) + f (a + 2π) + f (a + 4π) = ? (b) 若f (x) = sec x , 且f (a) = −4,求 f (−a) =? ,f (a) + f (a + 2π) + f (a + 4π) = ?
27. 右圖為函數 y = a cos bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期與振幅及 a, b, c 的值? −π 3 −1 π3 2π3 π 4π3 1 2 3 y 28. 右圖為函數 y = a sin bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期與振幅及 a, b, c 的值? −π 3 −π6 π6 π3 π2 1 2 3 2 5 2 7 2 y 29. 將圖形 y = cos x , 如何伸縮平移可得到函數y = 2 sin x 的圖形? 30. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形:y = sin(x − π 2) 31. 餘弦函數 y = f (x) = a cos bx 的圖形振幅為9.8, 週期為 6π,求常數 a, b值? 32. 方程式 sin x = 1 2 在 0 ≤ x ≤ 4π 範圍內實根的個數? 33. 在 −2π ≤ x ≤ 2π 的範圍,求方程式 sin x = 2x 的實根個數? 34. 某城市歷年資料的月平均溫度(◦C)變化曲線如下:
Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
t
值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temp(T◦C) 31.5 31.8 29.5 25.4 21.5 18.8 17.7 18.3 20.1 22.4 25.5 28.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型T = f (t) = A sin B(t − C) + D. 來表示 (A, B, C, D > 0), 求此數學模 型? tπ(a) 剛開始觀察時這群甲蟲的數量為何? (b) 這群甲蟲的數量最多為何? (c) 首次觀察到這群甲蟲的數量為最少時,數量為多少 (d) 觀察到這群甲蟲的數量超過6000隻,何時? 經歷時間?
習題
I:2-1
1. π3;5π6 ;10π 2. 20◦;64◦ 3. s = 8π公分,A = 48π平方公 分 4. b > a > c > d 5. r = 4公分,θ = 12 6. r′ = 6, h = 8 7. 9√3 + 3π 8. (6 +√3 + π)r2 9a. sin θ = 3 √ 13 13 , cos θ = −2 √ 13 13 , tan θ = − 3 2 9b. sin θ = −4 5, cos θ = 3 5, tan θ = − 4 3 10a. 1 10b. −√3 2 10c. −√3 2 10d. √2 10e. −√3 10f. √2 10g. 1 10h. √3 10i. −1 10j. √33 10k. 1 11a. sec x 11b. 2 tan x+13 tan x+1 11d. sin x + cos x 12a. 0 12b. −1 12c. −√2 2 12d. −113a. sin θ = −12, cos θ = −√23, tan θ = √ 3 3 13b. sin θ = 4√1717, cos θ = √1717 14. a = −2√32, b = −2√2+√3 6 , c = −2 √ 2+√3 6 , d = 9−4√2 7 15. cos θ = −45, tan θ = −34 16. sin θ = −√3 13, cos θ = 2 √ 13,tan θ = − 3 2, cot θ = −23, sec θ = √213, csc θ = −√313
17. sin θ cos θ = 49 , sin θ + cos θ = −√317 18. sin θ = 45 , tan θ = −43,cot θ = −34 , sec θ = −53, csc θ = 54 19. 1817 20a. 12 20b. 2 20c. −2√2 21. 2 sec θ;sin θ = x √ 4+x2;cos θ = 2 √ 4+x2 22. 3 tan θ;sin θ = √ x2 −9 x ;cos θ = x3 23. sin θ tan θ 24a. T = π, M = 3, m = −3 24b. T = 2π, M = 3, m = −3 24c. T = 6π, M = 3, m = −2 24d. T = 2π, M = 1, m = −5 25. π, π 26a. −13; 1 26b. −4; −12 26c. −6 27. T = 2π3 ,A = 2,a = 2, b = 3, c = 1 28. T = 2π3 ,A = 32,a = 32, b = 3, c = 2 29. y = cos x 圖形向右平移 π 2 單位後,再上下方向伸長兩倍大。 30. y = sin x 圖形向右平移 π2 單位 −2π−3π 2−π− π 2 π 2 π3π22π5π23π −1 1 y y = sin(x) y = sin(x −π 2) 31. a = 9.8, b = 13 32. 利用函數圖形圖解有4個交 點:π 6,5π6,13π6 ,17π6 33. 2個實根 34. A = 7.05, B = π 6,C = 4.5, D = 24.75 35a. 5000 35b. 7000 35c. 3000
16.2
三角函數的應用
正餘弦函數的疊合 : f (x) = a sin x + b cos x + c : 圖形以 2π 為週期,振幅為 √a2+ b2 的波狀圖形。 f (x) = a sin x + b cos x + c = √a2+ b2( a √ a2+b2sin x + b √ a2+b2 cos x) + c= √a2+ b2(cos θ sin x + sin θ cos x) + c;其中cos θ = a √ a2 +b2, sin θ = b √ a2 +b2 = √a2+ b2sin(θ + x) + c 故−√a2+ b2+ c ≤ f (x) ≤√a2+ b2+ c π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π 9π 4 −1 −√2 1 √ 2 y sin(x) cos(x) sin(x) + cos(x) 正弦函數sin x與餘弦函數cos x的疊合的意義: 1. 將正弦、餘弦函數(週期皆為2π,振幅皆為1)經由和角公式,化為單一個正弦函數√a2+ b2sin(θ+ x) + c, 其週期仍為2π ,振幅為 √a2+ b2 2. 將正弦、餘弦函數圖形疊合,圖形位移,振幅放大為√a2+ b2 3. 描述兩個週期相同的波重疊之效應, 形成相同週期的波, 強度增大, 此即為物理上的共振現象 (聲 波、 水波、 電波等) 三角函數的柯西不等式:
(a2+ b2)(sin2x + cos2x) ≥ (a sin x + b cos x)2
即 a2+ b2≥ (a sin x + b cos x)2 ⇒ −√a2+ b2 ≤ a sin x + b cos x ≤√a2+ b2
三角函數解題要訣:
1. 角度要一致(利用倍角,半角,和角公式簡化成一致角)
2. 三角函數要愈少(餘角關係,平方關係,倒數關係化簡成sin x或 cos x )
3. 三角函數的次數要愈低 (倍角公式,高次以低次倍角三角函數代換)
三角函數的極值:
1. 可化為一元二次型: f (θ) = a cos2θ + b sin θ + c sin2θ ⇒二次函數的極值
2. 可化為二元一次型: f (θ) = a sin θ + b cos θ + c ⇒正餘弦函數的疊合
3. 參數式型: f (θ) = k(sin θ + cos θ) + l sin θ cos θ + m
可令 sin θ + cos θ = t, sin θ cos θ = −(1 − t2
2 ) 其中 − √ 2 ≤ t ≤√2 ⇒ f (θ) = g(t) = (t 2− 1 2 )l + kt + m, − √ 2 ≤ t ≤√2,轉化為二次函數的極值問題 圓與橢圓的參數式: 圓 C : x2+ y2= r2 ,圓周上點的參數式為 ( x = r cos θ y = r sin θ , 0 ≤ θ < 2π
1. 圓 C : (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , 圓周上點的參數式為 x = h + r cos θ y = k + r sin θ , 0 ≤ θ < 2π y x O θr P (r cos θ, r sin θ) 2. 橢圓的標準式: (x − h) 2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 ,(a > b > 0, a 2 = b2+ c2) 橢圓的參數式: ( x = h + a cos θ y = k + b sin θ , 0 ≤ θ < 2π ;此時變動角θ 非橢圓上點P與中心點O的 水平夾角。 y O x θ P2(b cos θ, b sin θ) P1(a cos θ, a sin θ) P (a cos θ, b sin θ) 3. 橢圓: (x − h) 2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 是圓C : (x − h) 2+ (y − k)2= a2 依x 軸方向(左右) 不變,y軸 方向 (上下) 伸縮成b 的伸縮變化。
若橢圓上一點P (a cos θ, b sin θ)則 OP 與水平軸夾角α ⇒ tan α = b
atan θ 橢圓內接正方形面積為 4a2b2 a2+ b2 ; 內接矩形最大面積為 2ab ,其周長為4 √ a2+ b2 簡諧運動: 當某物體進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,且所受的力總是指向平衡位置。 例如: 質點等速率圓周運動對於某定直徑的投影運動軌跡。 fx(t) = A cos(ωt + θ) , 其中每秒的速率為 ω 為”角速率”,ωt + θ為此函數(運動)的”相位”,運動的起點t = 0的方向角θ為此函數(運動)的”相 位角” ,此函數 (運動)的週期 T = 2π ω
例題
範例 1: 關於函數 y = f (x) = 12(sin x + cos x)的圖形, 問此函數的週期T=? 振幅 A=? 對稱軸有幾條?
(解:)T = 2π, A = √22 ,對稱軸x = nπ + π
4, n ∈ Z
(解:) π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π 9π 4 −5 −3 −1 1 3 5 y ;M=5,m=-5
演練 1b : 若 f (x) = 3 sin x + 4 cos x 可化為 f (x) = A sin(x + θ), 其中 A > 0, 0 ≤ θ < 2π , 求 A 值及
cos θ 值? A = 5;
3 5
演練 1c : 若 f (x) = 3 cos x − 2 sin x可化為 f (x) =√13 cos(x + θ),求 tan θ 值?
2 3
演練 1d : 若 f (x) = 8 cos x + 15 sin x可化為 f (x) = r cos(x + α) = r(sin x + β),其中 r > 0, 求tan α及
cos(α − β) 值?並求 α, β 的關係? −15 8 ;0;β ≡ α +π2 演練 1e : 若已知函數f (θ) = R sin(2θ + b) 在θ = 2π 3 時有最大值為3,求常數 R, b值? R = 3,b = −π6
三角函數正餘弦的疊合
,化為二元一次型
: f (θ) = a cos θ + b sin θ + c極值問題
範例 2: 求函數 f (x) =√3 cos x − sin x + 1 的最大值與最小值,以及極值發生時的x 值? (解:)x = −π 6 , max = 3;x = 5π6 , min = −1 已知函數 f (x) =√3 cos(x + π 3) + sin x ,求 1. 在0 ≤ x ≤ π 時,函數 f (x)的最大值與最小值,以及極值發生時的x 值? (解:)x = 0, max = √23;x = 5π6 , min = −1 2. 在π ≤ x ≤ 2π 時,函數f (x) 的最大值與最小值,以及極值發生時的x 值? (解:)x = 11π6 , max = 1;x = π, min = −√23 演練 2a : 求函數 y = sin x −√3 cos x + 3 在下列條件下的最大值與最小值,並求其對應的x值? 1. 0 ≤ x < 2π (解:)x = 5π6 , M = 5; x = 11π6 , m = 1 2. 0 ≤ x ≤ π (解:)x =5π6 , M = 5; x = 0, m = 3 −√3 演練 2b : 分別求下列函數的振幅及最大、 最小值為何? 1. f (x) = 3 sin πx − 4 cos πx A = 5,M = 5,m = −5 2. f (x) = −5 sin 2x + 12 cos 2x A = 13,M = 13,m = −13 A = 2√2,M = 2√2,m = −2√演練 2c : 下列方程式在0 ≤ θ < 2π 範圍內有幾組解? 1. 2 sin θ − 3 cos θ = −2 2 2. 2 sin θ − 3 cos θ = √13 1 3. 2 sin θ − 3 cos θ = 4 無解 4. 2 sin θ − 3 cos θ = 0.001 2 範例 3: 解三角方程式sin x − cos x = 1,其中 0 ≤ x ≤ 2π π 2, π 演練 3a : 若y = cos 2x−sin(2x−π 6) = r sin(2x+b) ,其中r > 0, 0 ≤ b ≤ 2π ,求r, b值? r =√3;b = 2π3 演練 3b : 解三角方程式sin x +√3 cos x =√3,其中0 ≤ x ≤ π π 2 演練 3c : 解三角方程式sin x + cos x = 1, 0 ≤ x < 2π π 2, 0 演練 3d : 解三角方程式cos x + cos(x − π 3) = √ 3,其中 0 ≤ x < 2π π 6
三角函數倍角公式化為二元一次型
: f (θ) = a cos 2θ + b sin 2θ + c極值問題
範例 4: 求函數 f (θ) = 5 cos2θ + 3 sin θ cos θ + sin2θ 之最大值與最小值? M =
11
2,m = 12
演練 4a : 求函數 f (x) = 2 sin x(sin x + cos x)之最大值與最小正週期? M = 1 + √
2;T = π
演練 4b : 求函數 f (x) = 3 cos2x + 2 sin x cos x + sin2x之最小值?此時 x為何? 2x ≡ 5π
8 ;m = 2 −
√ 2
演練 4c : 求函數 f (θ) = cos2θ +√3 sin θ cos θ + 1之最大值與最小值?
3 2 ± 1 演練 4d : 求函數 f (x) = sin(x −π 6) + sin(x + π 3)之最大值與最小值? ±√2
三角函數化為二次型
: f (θ) = a cos2θ+ b cos θ + c或
f(θ) = a sin2θ+ b sin θ + c極值問題
範例 5: 求f (θ) = 4 cos2θ − 6 sin θ + sin2θ − 2 之最小值為? -7
演練 5a : 求函數 f (x) = 3 + 6 sin x − 5 cos 2x之最大值與最小值? sin x = 1, M = 14;sin x = −103 , m = −2910 演練 5b : 求函數 f (x) = 3 + 6 cos x − 5 cos 2x之最大值與最小值? cos x = 103, M = 8910;cos x = −1, m = −8 演練 5c : 求函數 f (x) = cos2x +√3 sin x + 1 之最大值與最小值? M = 9 4;m = 5−2 √ 3 4
演練 5d : 求函數 f (x) = sin x + cos x + sin x cos x之最大值?
1 2 + √ 2 演練 5e : 求函數 f (x) = 1 sin2x + 4 cos2x 之最小值? 柯西不等式;9
範例 6: 求橢圓 x 2 9 + y2 4 = 1 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何? 2√5;P (−95, −85) 演練 6a : 若 x, y為實數,且已知 x2+ y2= 4 1. 求x−y的最大值及最小值為多少?(柯西不等式、 參數式、 幾何意義d(O, L)±r) M = 2 √ 2,m = −2√2 2. 求 xy 的最大值及最小值為多少?(算幾不等式、 參數式) M = 2, m = −2 3. 求 2x2+ xy + y2 的最大值及最小值為多少? (參數式) 6 ± 2 √ 2 4. 求 3x − 4y的最大值及最小值為多少? M = 10, m = −10 5. 求 x − y + xy 的最大值及最小值為多少?(參數式) M = 5 2, m = −2 − 2 √ 2 演練 6b : 求圓 x2 + y2 = 4 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何? 3√5 − 2;P (−√2 5, − 4 √ 5) 演練 6c : 求圓 C : x2+ y2 = 1 上一點 P 與直線 L : x − y + 2√2 = 0 有最短距離多少? 並求此時 p 點坐 標? d = 1;P (− √ 2 2 , √ 2 2 ) 演練 6d : 已知橢圓 x 2 9 + y2 4 = 2 與直線 L : 2x + 3y = 12 相切,求切點坐標? (3, 2) 演練 6e : 求橢圓 x 2 9 + y2 4 = 1 之內接矩形的最大面積? 12 演練 6f : 橢圓 x 2 9 + y2 4 = 1上點 P 與點A(2, 0) 的距離為最小,求P 點坐標與最短距離? P (95,85);l = √4 5 演練 6g : 一架飛機飛航路徑為雙曲線,若飛航路線用方程式2y2− x2 = 8表示,城市坐標為(3, 0) ,求此飛機 與城市的最近距離為多少哩? √ 7;x = 2 y Miles x 3 mi (x, y) 習題I:2-2 三角函數的應用 1. f (θ) = sin θ +√3 cos θ , 為最大值時, θ =? 2. 下圖是函數y = a sin x + b cos x 圖形的一部份,求此函數的週期及 a, b值? 3. 求 f (x) = 3 sin(x +π 3) − 2 cos(x + π 6) 在 0 ≤ x ≤ 2π 的最大值與最小值? 4. 求 f (x) = sin(x +π6) + cos(x −π3) 在0 ≤ x ≤ 2π 的最大值與最小值? 5. 設 α, β 均為銳角,且滿足 α + β = π3 ,試求 cos α + cos β 的最大值?
2 Π 3 5 Π 3 2 4 6 8 -2 -1 1 2 (a) 0 ≤ x < 2π (b) 0 ≤ x ≤ π2
7. 試求 y = 4 cos2x − 2 sin2x + 8 sin x cos x 的最大值與最小值?
8. 求 y = sin2x − 4 sin x cos x + 3 cos2x 的最大值與最小值?
9. 試求 y = 2√3 sin x − 2 cos(π3 − x), 0 ≤ x < 2π 的最大值與最小值?及其所對應的x值? 10. 求函數 f (x) = sin x + cos 2x 之最大值與最小值?
11. 求函數 f (x) = sin x + cos x + 2 sin x cos x之最大值?
12. 若 x + y = 2π3 , 0 ≤ x < π2 試求sin x sin y 的最大值和最小值? 13. 在 0 ≤ x ≤ π 的範圍內,求方程式 sin x + cos x = 1的解? 14. 在 0 ≤ x < 2π 的範圍內,求不等式 sin x −√3 cos x = 1的解? 15. 點P為圓 C : x2+ y2 = 1 上的點,O為原點,點Q(3, −2), 試求△P OQ面積的最大值? 16. 求參數式中 ( x = h + 2 cos θ y = k + 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π3 所表示的弧長? 17. 平面上,圓C : x2+ y2= 1 上的點到直線L : x − y = 2 的最短距離為多少? 18. 求橢圓 x2 42 + y2 32 = 1 上一點 P與直線 L : x + y + 7 = 0的最大距離與最小距離? 19. 求橢圓 x 2 9 + y2 4 = 1 內接矩形面積的最大值? 20. 已知點 A, B分別為橢圓 x 2 9 + y2 4 = 1 長軸及短軸上的一頂點,點P 為橢圓上一點,求△ABC 的最大 面積及此時的 P 點坐標?
習題
I:2-2
1. π6 ± 2hπ 2. 2π, a =√3, b = −1 3. max=√7,min=−√7 5. √3 6a. A = √2, x = 3π4 , M = √ 2, x = 7π4 , m = −√2 6b. A = √2, x = π2, M = 1, x = 0, m = −1 8. max=2 +√5;min=2 −√5 9. x = 5π/3 max = 2; x = 2π/3 min = −2 10. sin x = 14, M = 98;sin x = −1, m = −2 √12. 3/4, 0 13. x = 0,π 2 14. x = π 2, 7π 6 15. √213 16. 4π3 17. √2 − 1 18. max=6√2;min=√2 19. 12 20. A = 3 + 3√2; P (3 √ 2 2 , √ 2)
16.3
複數的幾何意涵
複數平面: 將複數z = a + bi 對應到坐標平面上的點 (a, b), 用來表示所有複數的坐標平面, 稱為複數平面 或高斯平面。 y O x (a, b) 虛軸 O 實軸 z = a + bi 複數加減法與係數積的幾何意義: z1= a + bi, z2= c + di, a, b, c, d皆為實數,r > 0 1. 複數加法:z1+ z2 = (a + c) + (b + d)i (如同兩向量−⇀z1, −⇀z2加法) 2. 複數減法:z1− z2 = (a − c) + (b − d)i (如同兩向量−⇀z1, −⇀z2減法) 3. 複數係數積:rz1= ra + rbi (如同向量−⇀z1 係數積) 4. 共軛複數: z = a + bi, z = a − bi (兩數對稱於實數軸) 虛軸 O 實軸 z1 = a + bi z1+ z2 = (a + c) + (b + d)i z2 = c + di 虛軸 O 實軸 z = a + birz = r(a + b)i 虛軸 O 實軸 z = a + bi z = a − bi 複數的絕對值與複數極式: 複數z的絕對值 |z| = |a + bi| = r =√a2+ b2 表 z在複數平面上與原點的距離。 將 z = a + bi 化為 z = r(cos θ + i sin θ)形式, 其中 r = |z| 稱為複數 z 的極式, 稱 r為 z的模,θ 為z 的輻角 arg z, 若0 ≤ θ < 2π 稱主輻角 Arg z O 虛軸 實軸 輻角θ 模 r = |z| z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) 複數 z 絕對值及的一些性質: 2 2 21. |Z1+ Z2| ≤ |Z1| + |Z2| 2. |Z1· Z2| = |Z1| · |Z2| 3. |Z1 Z2| = | Z1| |Z2| 4. |Zn| = |Z|n 複數 z 輻角的一些性質:
1. arg(Z1+ Z2) 6= arg(Z1) + arg(Z2)
2. arg(Z1Z2) = arg(Z1) + arg(Z2)
3. arg( Z1
Z2) = arg(Z1) − arg(Z2)
4. arg(Zn) = n · arg(Z)
極坐標與複數平面坐標:極坐標 [r, θ], 平面坐標 x = r cos θ, y = r sin θ
複數的乘除法: (複數的乘除開方根運算,將一般式化為極式後再運算較簡易)
z1 = r1(cos θ1+ i sin θ1), z2 = r2(cos θ2+ i sin θ2)則
z1· z2 = r1r2[cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2)] z1 z2 = r 1 r2[cos(θ1− θ2) + i sin(θ1− θ2)] O Im Re θ z1 = [r1, θ] φ z2 = [r2, φ] θ + φ z = z1z2 = [r1+ r2, θ + φ] O Im Re θ z = [r, θ] w = iz = [r, θ + 90◦] −θ u = z i = z = [r,−θ]
棣美弗定理: 若複數極式z = r(cos θ + i sin θ), 則 zn= rn(cos nθ + i sin nθ), n ∈ N
仿照實數, 規定 z0 = 1, z−n = 1
zn, 則 z−n =
1 zn =
1
rn(cos nθ + i sin nθ) = r−n(cos(−nθ) +
i sin(−nθ)) 即棣美弗定理 zn= rn(cos nθ + i sin nθ)對任意整數n均成立。
複數的 n次方根: 若a + bi = zn= r(cos φ + i sin φ) ,則 a + bi 的n個根可寫成 zk= n p|r|(cosφ + 2kπn + i sinφ + 2kπn ), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1) 這n 個根Zk 在複數平面上,位於半徑為 n p|r|的圓內接正N邊形的頂點,相鄰兩頂點所夾的圓心角為 2π n 。(第一個根 Z0主輻角為 φn) 1的 n 次方根: 若 Zn= 1,則1的n次方根為 z k= (cos 2kπn + i sin2kπn ), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1) f (x) = xn− 1 = (x − 1)(xn−1+ xn−2+ · · · + x + 1) = (x − 1)(x − ω1)(x − ω2) · · · (x − ωn−1) = (x − 1)(x − ω)(x − ω2)(x − ω3) · · · (x − ωn−1) 當 f (x) = xn− 1 = 0, 時 z k = ωk 為 xn = 1 的根, 即 z0 = 1, z1 = ω, z2 = z12 = ω2, z3 = z13 = ω3, · · ·
1. ωn= 1 2. 1 + ω + ω2+ ω3+ · · · + ωn−1 = 0 3. z0= 1, ω = z1, ω2= ω2, ω3 = ω3, · · · , ωn−1= ωn−1 4. g(x) = xn−1+ xn−2+ · · · + x + 1 = (x − ω)(x − ω2)(x − ω3) · · · (x − ωn−1) 複數平面上的幾何性質: 1, ω, ω2, · · · , ωn−1 恰為內接單位圓的正 n 邊形的 n 個頂點, 其中一個頂點 為z0 = 1。 1的三次方根:1, ω, ω2 O 虛軸 實軸 z1 z2 z0 1的四次方根:1, ω, ω2, ω3 O 虛軸 實軸 z1 z2 z3 z0 1的六次方根:1, ω, ω2, ω3, ω4, ω5 O 虛軸 實軸 zk= (cos 2kπ 6 + i sin 2kπ 6 z), k = 0, 1, · · · , 5 1 z2 z3 z4 z5 z0 2π n
要訣
:
1. θ ± 2kπ 的整數倍nθ ≡ n(θ ± 2kπ)即θ 的整數倍與θ 同界角的整數倍是同界角。 但θ的 1 n 倍 角 nθ 未必與 n (θ ± 2kπ)1 都是同界角。 2. 複數相加減 ⇒ 化成實部虛部的兩複數相加減。 複數相乘除、n次方根 ⇒ 化成極式 z = r(cos θ + i sin θ)再依棣美弗定理運算。3. 若z = r(cos θ − i sin θ) 則zn= rn(cos nθ − i sin nθ)成立。
但z = r(sin θ + i cos θ) 則zn= rn(sin nθ + i cos nθ)並不成立。
4. 若f (x) 為實係數函數, 設f (z) = a + bi, 其中 a, b ∈ R 則f (z) = a − bi
例題
範例 1: 若主幅角 0 ≤ θ < 2π, 將下列複數以三角函數極式 (主幅角) 表示之? 1. z = 1 − i = √ 2(cos7π4 + i sin7π4 ) 2. z = −2i = 2(cos 3π 2 + i sin 3π 2 ) 3. z = −2 = 2(cos π + i sin π) 4. z = −1 − i = √ 2(cos5π4 + i sin5π4 ) 演練 1a : 若主幅角 0 ≤ θ < 2π, 將下列複數以三角函數極式(主幅角) 表示之? 1. z = 1 cos 0 + i sin 0 2. z = 2i = 2(cos π 2 + i sinπ2) 3. z = −1 = (cos π + i sin π)4. z = −i = (cos 3π 2 + i sin3π2 ) 演練 1b : 將下列複數用複數平面極坐標表示之? 1. −2 + 2√3i 4, 2π 3 2. −√3 − i 2, 7π 6 3. −√2 +√2i 2, 3π 4 4. 1 −√3i 2, 5π 3 演練 1c : 將下列複數極式表為複數平面實虛部表示之? 1. 2(cos4π3 + i sin4π3 ) −1 − √ 3i 2. cos −π 6 + i sin−π6 ) √ 3 2 −12i 3. 6(cos3π4 + i sin3π4 ) −3 √ 2 + 3√2i 4. 4(cos7π3 − i sin7π3 ) 2 − 2 √ 3i
範例 2: 設z1 = 5(cosπ4 + i sinπ4, z2= 2(cos π6 + i sinπ6))試求 z1z2 與 z1
z2
以極式表之?
(解:)z1z2= 10(cos5π12+ i sin5π12),zz12 =
5
2(cos12π + i sin12π )
演練 2a : 化簡求 3(cos7π6 + i sin7π6 ) · 2(cos2π3 + i sin2π3 ) = 3 √
3 − 3i
演練 2b : 化簡求 12(cosπ
4 + i sinπ4) ÷ 4(cos 3π2 + i sin3π2 ) =
−3√22+ 3√2
2 i
演練 2c : 求 3(cos 14◦+ i sin 14◦) · 2(cos 121◦+ i sin 121◦) =? −3
√
2 + 3√2i
演練 2d : 若 Z1 = 6(cos 60◦− i sin 60◦),Z2 = 2(sin 30◦+ i cos 30◦) , 求 z1z2 與
z1
z2
以極式表之?
z1z2 = 12;zz12 = 3(cos(−120
◦) + i sin(−120◦))
演練 2e : Z = 3(cos 20◦+ i sin 20◦),w = 5(cos 100◦+ i sin 100◦) , 以極式表示之,求
1. zw 15(cos 120 ◦+ i sin 120◦) 2. z w 3 5(cos 280◦+ i sin 280◦) 3. w z 5 3(cos 80◦+ i sin 80◦)
範例 3: 求 4(cos 80◦+ i sin 80◦) · 3(cos 50◦+ i sin 50◦)
6(cos 35◦+ i sin 35◦) · (cos 5◦+ i sin 5◦) 之值?
2i
演練 3a : Z = 3(cos 240◦− i sin 240◦),w = 4(cos 120◦− i sin 120◦) ,以極式表示之,求
1. zw 12(cos 360
◦− i sin 360◦)
3. w z 4 3(cos 240◦− i sin 240◦) 演練 3b : 化簡求 2(cos 15◦+ i sin 15◦)4=? 1 + √ 3i 演練 3c : 化簡求 2(cos 15◦− i sin 15◦)4=? 1 − √ 3i 演練 3d : 化簡求 2(cos 30◦+ i sin 30◦)−4=? −1 − √ 3i 演練 3e : 化簡求 [2(cos 20◦+ i sin 20◦)]3=? 4 + 4 √ 3i 演練 3f : 化簡求 [12(cos 72◦+ i sin 72◦)]5=? 1 32 演練 3g : 化簡求 [√3(cos 10◦+ i sin 10◦)]6 =? 27 2 +27 √ 3 2 i 演練 3h : 化簡求 ( √ 3 2 − 1 2i)−5 =? −√23 +12i 範例 4: 計算下列各式的值: A = (√3 − i)10, B = ( 1 − i 1 +√3i) 24 A = 512(1 +√3i), B = 40961 演練 4a : 化簡求 (1 + i)10=? 32i 演練 4b : 化簡求 (2 − 2i)8 =? −256i 演練 4c : 化簡求 (√3 + i)6 =? −64 演練 4d : 化簡求 (√3 − i)6 =? −64 演練 4e : 化簡求 (2 + 2√3i)6 =? 4096 範例 5: 在複數平面上滿足方程式 |z − 1 − i| = 2的複數z ,所形成的圖形為何? 圓 演練 5a : 已知二次方程式 Z2+ bZ + c = 0的兩根為 6(cosπ3 + i sinπ3), 2(cos5π6 + i sin5π6 ), 求方程式的係
數 b, c 為何? b = √ 3 − 3 − (3√3 + 1)i;c = 演練 5b : 坐標平面上,正三角形 OAB 的頂點 A 坐標 (2, 2) , 另一頂點 B 落在第四象限內, 求 B 點坐標? B(√3 + 1, 1 −√3) 演練 5c : 在複數平面上滿足方程式|z − i| = |z − 2| 的複數 z ,所形成的圖形為何? 直線 演練 5d : 在複數平面上滿足方程式|z+3−i|+|z−3−i| = 10的複數z ,所形成的圖形為何? 橢圓 範例 6: 設ω = cos2π 10 + i sin 2π 10,試求下列問題: 1. 求ω5 與ω10 值? −1;1 2. 說明方程式x10= 1 的十個根為1, ω, ω2, ω3, · · · , ω8, ω9
3. 求1 + ω + ω2+ ω3+ · · · + ω99+ ω100 值 1 4. 求(1 − ω)(1 − ω2)(1 − ω3) · · · (1 − ω8)(1 − ω9) 值? 10 演練 6a : 設 z = cos2π 7 + i sin 2π 7 ,試求下列問題: 1. 求 z7 值? 1 2. 說明方程式x7 = 1 的七個根為1, z, z2, z3, z4, z5, z6 3. 求 z1+ z2+ z3+ z4+ z5+ z6 值 0 4. 求 (2 − z)(2 − z2)(2 − z3)(2 − z4)(2 − z5)(2 − z6) 值? 2 7− 1 5. 求 z · z2· z3· · · z6 值? -1 演練 6b : 設 z = cosπ 7 + i sin π 7, 1. 求 z14 值? 1 2. 試求 z1+ z2+ z3+ · · · + z12+ z13=? −1 3. 利用上題結果分別求A = cosπ 7 + cos 2π 7 + cos 3π 7 + · · · + cos 13π 7 與B = sin π 7+ sin 2π 7 + sin3π 7 + · · · + sin 13π 7 的值? A = −1;B = 0 演練 6c : 方程式 x3 = −2 1. 求方程式的解? (解:)√3 2[cos(π 3 +2kπ3 ) + i sin(π3 +2kπ3 )], k = 0, 1, 2 即 √3 2(1 + √ 3i 2 ); 3 √ 2(1 − √ 3i 2 );−1 2. 若方程式的三根為z0, z1, z2 ,化簡求(1 − z0)(1 − z1)(1 − z2) 值? 1 + 2 範例 7: 求i 的三次方根? (解:)cos(π 6 +2kπ3 ) + i sin(π6 +2kπ3 ), k = 0, 1, 2 即 √ 3 + i 2 ; −√3 + i 2 ;−i i的三次方根:z0, z1, z2 O 虛軸 實軸 z0 z1 z2 演練 7a : 求方程式 x4+ i = 0 的根? 並將其根所代表的點描在複數平面上
(解:)zk = (cos 3π 2 + 2kπ 4 + i sin 3π 2 + 2kπ 4 ), k = 0, 1, 2, 3 ,為正四邊形。 且 z0 的幅角為 3π 8 −i 的四次方根:z0, z1, z2, z3 O 虛軸 實軸 z0 z1 z2 z3 演練 7b : 求 2 + 2i的三次方根? (解:)√2[cos(π 2 +2kπ3 ) + i sin( π 2 +2kπ3 )], k = 0, 1, 2 演練 7c : 求方程式 x2= −2 + 2√3i的解? (解:)√4 cos(π3 + 2kπ2 ) + i sin(π3 + 2kπ2 ), k = 0, 1 即 1 +√3i;−1 −√3i 演練 7d : 求方程式 x3= −1 +√3i的解? (解:)√3 2 cos(1203◦ +360◦k 3 ) + i sin(120 ◦ 3 + 360 ◦k 3 ), k = 0, 1, 2 習題I:2-3 複數的幾何意涵 1. 滿足方程式|z + 1| = |z − i| 的複數z ,在複數平面上所形成的圖形軌跡方程式為何(用x, y表示)? 2. 已知點 P 的極坐標為[4, 4π 3 ] , 求其直角坐標? 3. 將複數化為極式 (輻角取主輻角): z1 = 1 − i, z2 = −2√3 + 2i 4. 將下列複數寫成極式 (輻角取主輻角): (a) z = −3 − 3√3i (b) z = −2i (c) z = 2(sin 70◦+ i cos 70◦) (d) z = sin 200◦− i cos 160◦ (e) z =√3 − i 5. 化簡求 4(cosπ
3 + i sinπ3) · 7(cos2π3 + i sin2π3 ) =
6. 化簡求 6(cos3π4 + i sin3π4 ) ÷ 3(cosπ
4 + i sinπ4) = 7. 化簡求 (a) (1 + i)5 =? (b) 求(1 −√3i)10 的值? (c) 求(√3 + i)−9 的值? (d) 求(√3 + i)−9 的值?
(f) 求(−√3 − i)5 的值?
8. 試求 (sin 9◦− i cos 9◦)(cos 13.5◦+ i sin 13.5◦) =?
9. 設 ω = −1 + √
3i
2 ,求 ω2 =?, ω8 =? 10. 將極坐標 (2, −π4) 化為複數平面坐標?
11. 求 2(cos 12◦+ i sin 12◦)6(cos 25◦+ i sin 25◦)6
(cos 4◦+ i sin 4◦)3 之值?
12. 若 z = (4 − 3i)
2
(2 − i)(1 − 2i) ,求 |z| 的值?
13. 如圖:坐標平面上已知直角△OAB 中,∠OAB = 90◦,A(2, 0), B(2, 6),將此三角形繞原點旋轉θ = 30◦
角後,形成△OA′B′,求A′、B′ 的點坐標? y x O A(2, 0) B(2, 6) A′ B′ θ 14. 求 −2 − 2i的三次方根? 15. 試求 1 的五次方根? 並將其根所代表的點描在複數平面上, 觀察此五點為頂點的五邊形是否為正五邊 形? 16. 試求 −8 + 8√3i的四次方根? 將其根所代表的點描在複數平面上。 17. 試求 2i的四次方根? 18. 設 z + 1z = −1, 試求z2002+ 1 z2002 之值? 19. 設 z = cos 2π5 + i sin2π5 , ,試求 z65+ z66+ z67+ · · · + z365=? 20. 求二次方程式 z2+ 2i = 0 的根 21. 求方程式 x2= 2 + 2√3i的解? 22. 求方程式 z7+ z6+ z5+ z4+ z3+ z2+ z + 1 = 0的7個根在複數平面上所圍成的七邊形面積?
習題
I:2-3
1. x + y = 0 2. (−2, −2√3) 3. z1 = √2(cos7π4 +i sin7π4 ), z2 = 4(cos5π6 + i sin5π6 )
4b. 2(cos3π2 + i sin3π2 ) 4c. 2(cos 20◦+ i sin 20◦)
4d. (cos 110◦+ i sin 110◦)
4e. 2(cos11π6 + i sin11π6 )
6. 2i 7a. −4(1 + i) 7b. −512 + 512√3i 7c. 512i 7d. 512 + 512√3i 7e. −324 √
8. cos 67.5◦− i sin 67.5◦ 9. −1 − √ 3i 2 , −1 − √ 3i 2 10. (√2, −√2) 11. −√3 − i 12. 5 13. A′ = (√3, 1)、B′(√3−3, 1+ 3√3) 14. √2[cos( 5π 4 +2kπ 3 ) + i sin( 5π 4 +2kπ 3 )], k = 0, 1, 2 15. zk = (cos 2kπ5 + i sin 2kπ5 ), k = 0, 1, 2, 3, 4 , 為 正五邊形。 且 z0 在 x軸上 1的五次方根:1, ω, ω2, ω3, ω4 O 虛軸 實軸 z1 z2 z3 z4 z0 16. 2[cos(π 6 + kπ2 ) + i sin(π6 + kπ 2 )], k = 0, 1, 2, 3 O 虛軸 實軸 z1 z2 z3 z0 17. √4 2[cos(π8 +kπ2 ) + i sin(π8+ kπ 2 )], k = 0, 1, 2, 3 18. −1 19. 1 20. −1 + i, 1 − i 21. √3 + i;−√3 − i 22. 考慮 x8− 1 = (x − 1)(x7+ x6+ · · · + x + 1) = 0的根為正8邊 形頂點,z為去除x = 1的其餘頂點。 A7= 1+3 √ 2 2 . . . .教用版附答案. . . .
