單元05-常用對數

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在1876年，數學家盧卡斯證明了 2127-1是當時已 知的最大質數，該紀錄保持了75年之久；直到2018 年 ， 已 知 的 最 大 質 數 為 282589933-1。 估 計 2127 、 282589933、…等這些數的大小是本單元的內容之一。

常用對數

5

▲ 圖1

甲

常用對數

數學上為了處理一些繁複的數字與計算，定義了一 個和指數有密切關係的符號：對數。 由前一單元指數可知：給定底數為10，指數為3，可 得103=1000；底數為10，指數為 2- ，可得10-2= 0 01. 。 一般而言，給定正數b，想求b是10的幾次方，這 個指數的值我們以符號 log b 表示，即 b=10logb。 首先，來看看當b是10的整數次方時 log b 的值。例如： 1因為1000= 103，所以 log 1000 =3。 2因為 .0 01 =10-2，所以log 0 01. =-2。 約翰．納皮爾 （ J o h n N a p i e r ， 1 5 5 0 ∼ 1 6 1 7 ） 對 數 的 發明者，使得科學界許 多 繁 複 的 計 算 可 以 簡 化。

5

常用對數

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設 b> ，當實數0 a滿足 b=10a時，這個指數的值a可用符號 log b 表示，即 b=10logb， 並稱 log b 為b的常用對數。 常用對數的定義 從常用對數的定義中發現：若想將b寫成 10d的形式，則□我們以符號 log b 表示，即 「求 log b 的值」等同於「求b是10的幾次方」。 求下列各數的值：

1 log 1 。　　　　2 log 100 。　 　　　3 log 0 001 。.

解 1 因為1=100，所以 log 1=0。 2 因為100 =102，所以 log 100 =2。 3 因為 .0 001= 10-3，所以log 0 001. =-3。

例題

1

1求 log 10000 的值。　　　　2求 log 10 1 的值。

隨堂練習

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接著，我們仿照單元1中使用十分逼近法求 2 近 似值的方法，來探討當b不是 10的整數次方時 log b 的 值。以 log 2 為例，因為 2=10log2， 所以可利用計算機上的 按鍵來探索10 的幾次方 等於2，例如只要依序按下 即可得到100=1，如圖2所示，利用計算機列表如下： 判斷2所在的範圍 log 2 的範圍 1 由100= ,1 101= 10可得 10012=10log21101。 log 01 211 2 由100 1. .1 259. ,100 2. .1 585. ,100 3. .1 995. , . 100 4. .2 512可得 100 3. 12=10log21100 4. 。 . log . 0 31 210 4 3 由100 30. .1 995. ,100 31. .2 042. 可得 100 30. 12=10log21100 31. 。 . log . 0 301 210 31 4 由100 301. .1 9999. ,100 302. .2 0045. 可得 100 301. 12=10log21100 302. 。 . log . 0 3011 210 302 5 由100 3010. .1 9999. ,100 3011. .2 0003. 可得 100 3010. 12=10log21100 3011. 。 . log . 0 30101 210 3011 h h ▲ 圖2

5

常用對數

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上述表格是先從 10012=10log21101，可得01log21 ；接著，將1 0和1 之間分成10 等分，計算可知 100 3. 12=10log21100 4. ，得 .0 31log210 4. ；再 將 0 . 3 和 0 . 4 之 間 分 成 1 0 等 分 ， 計 算 可 知 100 30. 12=10log21100 31. ， 又 得 . log . 0 301 210 31。 如 此 逐 步 操 作 ， 每 次 將 求 得 的 「 log 2 的範圍」再細分成10等分，所得的小數就會增 多一位，這樣的近似值也就更為精確。 其實，計算機也可以快速地得到 log 2 的近似值， 只要依序按下 如圖3所示，就可得到 . log 2.0 301029995。 求log 1 34 的值（四捨五入到小數點以下第. 4位）。 解 利用計算機，依序按下 可得 . . log 1 34.0 1271。

例題

2

利用計算機除了可求出 log b 的值，也可反求b的值。以log b= 0 4031. 為例， b=10logb=100 4031. ，再利用前一單元學過的計算機 ₁₀x 按鍵可求得b.2 53. 。 ▲ 圖3

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來練習一道利用計算機反求對數值的例題。 已知log b= 0 3856. ，求b的值（四捨五入到小數點以下第2位）。 解 因為 b =10logb=100 3856. ，所以利用計算機， 依序按下 就可得到 . b=10logb=100 3856. .2 43， 故b.2 43. 。

例題

3

來練習一道利用指對數轉換求值的例題。 已知b=log13，求下列各數的值： 1100b。　　　　210b+10-b。 解 依題意得13=10log13=10b。 1 100b=_102ib=_10bi2=132= 169。 2 10 10 10 10 13 13 13 13 1 13 170 b b b b 1 1 + - = +_ i- = + - = + = 。

例題

4

已知b=log5，求下列各數的值： 1100b。　　　　210b+10-b。

隨堂練習

5

常用對數

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乙

科學記號數字及其運算

科學的領域中，常有很大或很小的數，造成書寫與估計的不便，例如：光速 為299792458公尺╱秒，將其四捨五入到十萬位可得近似值為299800000，當 我們使用299800000來表示光速時，稱之為「將光速取4位有效數字」，或稱 「以299800000來表示光速的有效位數是4」。再將其以 .2 998#108表示，這 樣的表示方式稱為科學記號。 每一個正實數a都可表成 a=b#10n， 其中1#b110，且n是一個整數，並稱 b#10n為a的科學記號。 科學記號表示法 特別值得注意的是，在上述光速的例子中，當我們取3位有效數字時，經過 四捨五入後會得到近似值為300000000，為了讓閱讀的人知道其有效位數是3， 以科學記號表示時，必須寫成 . 3 00#108。 除了很大的數字會以科學記號表示之外，很小的數字也常用科學記號來表 示，例如引起非典型肺炎（SARS）的病毒直徑約為85奈米，又因為1奈米等於 10-7公分，所以該病毒的直徑約為 .8 5#10-6公分。

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來練習一道有效數字與科學記號表示的例題。 已知2018年美國的人口數為329976959人。 1 將人口數取2位有效數字並以科學記號表示。 2 將人口數取3位有效數字並以科學記號表示。 解 1 為了取2位有效數字，將人口數四捨五入到千萬位，得330000000， 且其科學記號表示為 . 3 3#108。 2 為了取3位有效數字，將人口數四捨五入到百萬位，得330000000， 且其科學記號表示為 . 3 30#108。

例題

5

流感病毒的直徑約為100奈米（3位有效數字）且1奈米等於 10-7公分， 問：將其以科學記號表示時為多少公分？

隨堂練習

科學記號的有效位數 因為科學記號的表示法經常是估計值，所以在四則運算後應以有效位數少的 為 準 進 行 四 捨 五 入 。 舉 例 來 說 ， 若 a=3 4. #103 （ 2 位 有 效 數 字 ） 且 . b=1 43#103（3位有效數字），則 1 加：a+ =b _3 4. #103i+_1 43. #103i=^3 4. +1 43. h#103=4 83. #103， 　　應取2位有效數字，得計算結果為 .4 8#103。 ★

5

常用對數

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2 減：a- =b _3 4. #103i-_1 43. #103i=^3 4. -1 43. h#103=1 97. #103， 　　應取2位有效數字，得計算結果為 .2 0#103。 3 乘：a#b=_3 4. #103i#_1 43. #103i=3 4. #1 43. #103#103=4 862. #106， 　　應取2位有效數字，得計算結果為 .4 9#106。 4 除：a'b=_3 4. #103i'_1 43. #103i=^3 4. '1 43. h#_103'103i=2 3776. g_， 　　應取2位有效數字，得計算結果為2.4。 接下來練習一道科學記號運算的例題。 計算下列各式的值，並考慮有效位數後以科學記號表示： 1 _4#103i#_8 0. #10-5i。　　　　2 _3#1015i-_7#1014i 。 解 1 _4#103i#_8 0. #10-5i=4#8 0. #103#10-5=32#10-2=3 2. #10-1， 應取1位有效數字，得計算結果為 3#10-1。 2 _3#1015i-_7#1014i=_3#1015i-_0 7. #1015i . . 3 0 7 #1015 2 3#1015 =^ - h = ， 應取1位有效數字，得計算結果為 2#1015。

例題

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計算下列各式的值，並考慮有效位數後以科學記號表示： 1 _3#10-6i'_4#104i 。　　　　2 _6 4. #1012i+_8#1011i 。

隨堂練習

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任何正數只要知道其科學記號的表示法，就可以知道此數的整數部分為幾位 數。例如 .5 12#1015是16位數。那麼，1023 7. 的整數部分為幾位數呢？因為 1023 7. =100 7. #1023， 又使用計算機知100 7. . ，即5 1023 7. = 100 7. #1023.5#1023， 所以1023 7. 的整數部分為24位數。 一般而言，若將大於 1的實數表示成10 的冪次方（即 10k，其中 k為正實 數），則此數整數部分的位數為 k的整數部分 1+ 。 例如106 3. 的整數部分為 6+ =1 7位數。 最後來做一道跟引言相關的應用問題。 盧卡斯證明了 2127-1為質數，問：此質數是幾位數？ 解 解法一 利用計算機，依序按下 可得到如下圖的畫面。 表示 . 2127-1.1 7#1038。 故此質數為39位數。

例題

7

5

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隨堂練習

解法二 因為 2127的個位數不是0，所以 2127-1和 2127位數相同。利用 2= 10log2， 得 10 2127=_ log2 127i =10127#log2。 再使用計算機求得指數部分為 . log 127# 2.38 2， 故此質數為39位數。 已知 231- 是質數，求此質數的位數。1 在例題7中形如 2n-1的質數稱為梅森質數，截至2018年為止，已知的最大 質數為梅森質數 282589933-1，這麼大的數到底有幾位呢？如果直接按計算機求 282589933-1的值，會出現 -E- 的畫面（隨著計算機的不同，顯示有所不同，有 的計算機會出現 Error 的畫面），這是因為數字太大，已經超過計算機的範圍。 此時，可以仿照例題7解法二的做法求得其位數，說明如下：利用 2=10log2，得 10 282589933=_ log2 82589933i =1082589933#log2， 再使用計算機求得指數部分為 . log 82589933# 2.24862047 2， 故此質數為24862048位數。 早期，梅森質數的探究推動了數論的研究與發展，而近期，尋找更大的梅森 質數也促進了計算機、密碼學、網路應用等技術的發展。例如2016年，利用英 特爾的微型電腦處理機在尋找更大的梅森質數時，發現在處理極大量的數字運算 下，會發生系統當機無法作業的問題，進而修正並提升了電腦的軟體。

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5

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 log 10=2。 2 7 =10log7。 3 3.2100的有效位數是5。 4 1019 1. 的整數部分為19位數。

二、基礎題

求下列各數的值： 1 log 100000 。 2 log 10000 1 。 已知b=log7，求下列各數的值： 110b。 2100b+10-b。 已知太陽到地球的平均距離為149597870.7公里。 1將此平均距離取2位有效數字並以科學記號表示。 2將此平均距離取3位有效數字並以科學記號表示。

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關於 .0 3210#109，選出正確的選項。 1以上為科學記號表示法。 2此數為9位數。 3此數共有6個0。 4此數大於1億。 求 6100的位數。

三、進階題

已知 2521-1是質數，求此質數的位數。 根據班佛法則，在某銀行裡，帳戶存款數最高位數字是a的人數占所有人數 的比例為x log a 1 1 = e + o。求當 a=1時，x的值最接近下列哪個選項？ 110% 220% 330% 440% 550%。