１－３對數

(1)

１－３．對數

[多選題]

　　１.下列哪些式子是正確的？ (A)log7(－3)2＝2log7(－3) (B)log77＝1 (C)log813＝4 (D)log6(3＋4)＝

log63＋log64 (E)log 6 7 ＝log67。

　　２.設 x＝log 4

2

3 ，則 (A)x＜1 (B)x＜2 (C)x＜3 (D)x＜4 (E)x＜5。

　　３.下列敘述何者為真？ (A)₃log2_＝₂log3_(B)log

3(－5)2＝2log3(－5) (C) 100 99 log₉ ＜0 (D)log ₆8_． 6 log ₈ _{＝1 (E)} 3 log 7 log 4 2 ＝log ₃7_。

　　４.下列式子那些是正確的？ (A)log7(-3)2 =2‧log7(-3) (B)log77=1 (C)log813=4

(D)log6(3+4)=log63+log64 (E)log 6 7 =log67。 [計算題][１－３．對數]

　　１.試解方程式xlogx_＝106_x_。

　　２.(1)設 a＞0 , b＞0 , c＞0 , c≠1，試證：alogcb＝blogca 。(2)利用(1)求方程式(3log2x )(

x

log23)－12．

x log2 3 ＋27＝0 的解。　　３.若對數 log2x－1(－3x2+11x－6)有意義，求實數 x 之範圍。　　４.設 x= 8 3 1  ，求log49(2x3－3x2－4x+6)之值。　　５. 5 9 log 10 2 3 ( 7 40  7 40 )。　　６.求值﹕(1) 2 1 log 125 16 +log 8 3 125 －log 3 5 (2) 2 1 log20449+log 7 4 －log 35 13 +log 11 5 (3)log3 2+log9 3 1

－3log93 6 (4)log1443 2+log1446 3。

　　７.求值﹕(1)(log29+log43)(log97+log349)(log78+log 7

1 _{2) (2)log}₂_(log₂_49)+2log₄_(log₇_{2) (3)log}₂6‧log₃_6－

log32－log23 (4)log23×log34×log45×…×log1516 (5)5log5 2 log

+3log3 1

+27log₃2_。

　　８.已知 log 2=0.3010，log 3=0.4771，log 7=0.8451，求下列二式之值至小數第三位(1)2 log

7 6 + 2 1 log 16 81 －log 196 27 (2) ] 2 log 3 log 1 log[ ) 2 log(log 10   。

　　９.已知 log23=a，log37=b，試以 a，b 表示﹕(1)log2184 (2)log4228。

　１０.已知 log18=a，log21=b，log28=c，試以 a，b，c 表示 log84。

　１１.設級數 log9

3

+log9 3 +log9 3 +… 至第 n 項之和為 Sn，求_nlim S__ n。

　１２.設 a，b，c 表 ΔABC 之三邊長，若 a+b+c=12，且 2 log3(a+b+c)=1+log3(ab+bc+ca)，求 ΔABC 之

面積。

(2)

　１４.試求log8( 2＋ 3)－ 2－ 3 )的值。　１５.試求9log9(log20)＋log9(1＋log205)的值。

　１６.設 a

7 5

log ＝，log175＝b，試以a，b 表log7。

　１７.試求下列各式的值？ (1) log 42 log 12 2 1 48 7 log₂ － ₂ ＋ ₂ (2) 5 6 log ) 1000 log 3 3 log 8 (log ＋－  。　１８.設53x_＝27_， 81 1 477y_＝，(x，y



R)，求_x3 ＋_y4 的值。　１９.設x2_－3xy_－4y2_＝0_且_x_＞_y_＞₀ _，試求_log(₂_x2_－₃_xy_＋₁₀_y2₎_－_log(_x2_＋_xy_－₁₇_y2₎_的值。　２０.設log (3 2x x2) ) 1 x ( 2_－＋－有意義，則x 的範圍為何？

　２１.設log₇5＝a，求log 5 log3 5 log4 5 log5 5 log6 5 log7 5

7 7 7 7 7 7 ＋＋＋＋＋的值？

　２２.設△ABC 中，∠A=90°，a＝BC，b＝CA，c＝AB，求

c log c log 2 c log c log₍_a_＋_b₎ ＋ ₍_a_－_b₎ －  ₍_a_＋_b₎  ₍_a_－_b₎ _的值。

　２３.求₍ _log ₁₅_＋ _log₃_ _log₅_＋ _log ₁₅_－ _log₃_ _log₅₎2

的值。

　２４.令 a=log2，b=log3，試以 a，b 表 1、log572。2、log6_ 5( 144 6  52 6 )_。

[單選題][１－３．對數]

　　１.下列哪些式子是正確的？ (A)log₂(5)＝－log₂5 (B)log₂(35)＝(log₂3)(log₂5) (C)

0 8 log 8 log 2 1 2 ＋＝ (D) 3 2 3 2(5 ) (log 5)

log ＝ (E)log2(3＋5)＝log23＋log25。

　　２.設a log ₃1 2 1 ＝ _， 3 1 log b＝ ₂ ， 3 1 log

c＝ ₃ ，則a，b，c 的大小關係為 (A)a＞b＞c (B)a＞c＞b

(C)c＞b＞a (D)b＞c＞a (E)b＞a＞c。

　　３.設a＝log2，b＝log3，則log72＝_(A)_a3_＋_b2_{(B)3a＋2b (C)6ab (D)}_a3_b2_{(E)以上皆非。} 　　４.log₄( 2＋ 3－ 2－ 3)＝ (A)1 (B) 2 1 (C) 3 1 (D) 4 1 (E) 5 1 。　　５.下列有關〝根數記號〞，〝指數記號〞及〝對數記號〞的關係或敘述，何者為真？ (A)3 3 0 ＜－ (B)₍ ₈₎3 ₂ 1 ＝－

－ (C)log(－2)(－8)＝3 (D)log8＝(log2)(log4) (E)3log5＝log15。

　　６.設 a＝log0.20.3 , b＝log23 , c＝log2030，則 a , b , c 的大小關係為 (A)a＞b＞c (B)a＞c＞b (C)b＞c

＞a (D)b＞a＞c (E)c＞a＞b。

　　７.設 x＝ 3－ 8 , 則 log4(x3－x＋6)＝ (A) 2 3 (B) 4 5 (C) 8 9 (D) 2 5 (E)5。　　８.設 a＞b＞1 , p＝ 2 1 9 9a log b)

(log ． , q＝log9 a ＋log9 b , r＝

2 b a

(3)

真？ (A)r＞p (B)q＞r (C)p＞q (D)q＝

4 1

(log3a＋log3b) (E)p＝log9( a ＋ b)。

　　９.下列何者正確？ (A)log253=(log25)3 (B)設 x



R，x≠0，則 logx2=2logx (C)設 M>0，N>0，則

logM－logN=log_logM_N (D)設 0<a≠1，M>0，N>0，則loga MN =(loga M )(loga N) (E)以上皆非。　１０.2x+2log10(2+10－x)－log10( 4 1 +10x₊₁₀2x_{)= (A)2×10}x_(B)xlog 10 4 1 (C)1 (D)2log102 (E)2x+102x。　１１. 右圖中，A_，B_，C_，D_，E_何_者_為y=log₂2x_之_圖_形_？(A)A(B)B(C)C (D)D(E)E_。　１２.2x+2log(2+10x)-log( 4 1 +10x +102x )= (Ａ)2‧10x (Ｂ)x‧log 4 1 (Ｃ)1 (Ｄ)2‧log2 (Ｅ)2x+102x 。 [填充題][１－３．對數] 　　１.5log54_＝。

　　２.log₂3＝a，log311＝b，則log6644＝（以 a，b 表示）。

　　３. －＋－＝ 5 2 log 7 6 log 3 14 3 log 2 15 28 log₄ ₄ ₄ ₄ 。

　　４.log43－log925log532＝。

　　５.log (log (log10x)) 2 1 2 有意義，則x 的範圍為。　　６.對數方程式2log₂x－log₂(x＋6)＝3的解為。　　７. ＋＋ )＝ 8 1 log 2 )(log 3 1 log 3 (log₂ ₄ ₃ ₉ 。　　８.設f(x) (log x) log x2 2 3 2 3 ＋－＝，(x＞0)，則 f(x)的最小值為。　　９.設59x_＝27_，₅₃₁y_＝₈₁_，則 _－ _＝ y 4 x 3 　　　　。　１０.log4(log29)＋3log64(log34)＝　　　　。

　１１. －＋－＝ 5 2 log 2 7 6 log 6 14 3 log 2 15 28 log₄ ₄ ₁₆ ₁₆ 　　　　。　１２.已知log2＝0.3010，若把₅－30_{表為小數時，從小數點後第　　　　位始出現不為}_{0 的數字。} 　１３.log2 48 7 ＋log212－ 2 1 log242＋ 3 8 log log 9 ＝　　　　　　　　。　１４.log8( 53＋10 6 ＋ 21－6 6 )＝　　　　　　　　。　１５.log_a2_－₁(x2－2x＋a)恆有意義，x  R , 則 a 的範圍為　　　　　　　　。　１６.設 , 為 x2_{＋2x．log5＋log} 2 5 ＝0 的二根，則₁₀_{＝　　　　　　　　，}₁₀_．₁₀_＝

(4)

。

　１７.方程式 log7(7x＋49)＝

2 x

＋1＋log72 的解為　　　　　　　　。

　１８.(log102)3＋(log105)3＋log105．log108＝　　　　　　　　。

　１９.若 loga , logb 為 2x2_{－7x＋3＝0 的二根，則 log}

ab＋logba＝　　　　　　　　　。

　２０.

₂

3＋log₄36_－3log925 ＝　　　　　　　　。

　２１.設 log27＝a , log73＝b，則 log5642 的值以 a , b 表示為　　　　　　　　。

　２２.設 log2＝0.3010 , x＝1＋2＋22_{＋……＋2}31_，則_{x 是　　　　　　　　位正整數，其最高位數字}

為　　　　　　　　。　２３.log2[log2(log381)]= 。

　２４.設 a=log52，b=log35，則 b 2 1 a 5   =　　　　。　２５.設方程式 x2_－ ₅_{x+1=0 之二根為 α，β(其中 α<β)則 log} 8( 3 3 1 1    )之值為。

　２６.已知 log123 的近似值是 0.44211，計算(1)log122= 　　　　。(至小數第四位)(2)log312= 　　　。

(至小數第二位) 　２７.已知 2x₌₃y₌₅z_{=a 且} x 1 + _y1 + z 1 =2，則 a= 。　２８.某甲向銀行貸款 100 萬元，約定從次月開始每月還給銀行 1 萬元，依月利率 0.6 %複利計算，則某甲需要年就可還清。　２９.設年利率為 12.5%，若依複利計算，則至少要年(取整數年數)，本利和才會超過本金的 2 倍。 (log102=0.301，log103=0.477) 　３０.將 3100_{以科學記號表示：3}100₌_{a 10}_ m_，其中₁__a_{<10，m 為整數，則 a 的整數部分為。} 　３１.方程式 logx2_{+logx-2=0 之解為。} 　３２. 5 2 log 2 1 7 6 log 3 14 3 log 2 15 28 log₄  ₄  ₄  ₂ =

　３３.



log

₃1₄



log

₄ 1₅



log

₅₆1



log

₆1₇



log

₇ 1₈



log

₈1₉



=_____。

　３４.a,b,c,d,e 均為異於 1 之正數，且_a2 __c3_,_c2 __e5_則



_b



_c



_d



_e



c b

a log log log4

log ＝_______。

　３５.



log₃4log₂₇64





log₄5log₁₆5





log₅9log₂₅81



=_______。　３６. log3 6 log32 + log3 6 log32 =_______。

　３７.求以下之對數值：(1)



5



2 2 32 4 log  = 。(2)   5log2 25 14 log 3 log 2 36 7 log 。

　３８. log 6  log2 log3 + log 6  log2 log3 = 。

　３９.log2=a，log3=b，且₁₀x_{=0.06，試以 a，b 表示 x______。}

　４０.a>0，b>0，a b，若_alogax₌_blogbx_，則 _ab logabx_{=______。}

　４１.級數log4 2log4 2log4 2 ...至第n 項之和為sn，則s=______，limsn=______。

(5)

　４３.log₃



log₂ x



+2log₉



log₇8



=2，則 x=_____。　４４.方程式log6x +log



7



2 6 x  =1 的解為______。　４５.二次方程式_x2_{+2xlog5+log2.5=0 之二根為}



_， _，則₁₀ _₁₀_{之值為_______。} 　４６.



log3x



log5x



=1 之二根為



，，則



=______。　４７.方程式2_x2 _{ x}5 _2_0_之二根為_{loga，logb，則} a

log b+logba=_______。 [證明題][１－３．對數] 　　１.設 a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，x＞0，試證： a log x log x log b b a ＝。　　２.設 a , b 均為不等於 1 的正數，x , y, z  R , xyz≠0，且 ax_＝by_＝(ab)z_，試證： x 1 ＋ _y1 ＝ z 1 。　　３.證明﹕loga 1 x x 1 x x 2 2     =2 loga(x+ x21)。(其中 0<a≠1，x＞0)

(6)

[多選題][１－３．對數] 　　１．BE　　２．DE　　３．ACE　　４．BE [計算題][１－３．對數] 　　１．x＝1000 或 100 1 x＝　　２．(1)略(2)x＝2 或 x＝4　　３． 3 2 <x<3，但 x≠1　　４． 2 1 ５． 2 1 　　６．(1) 2 1 (2)2 (3)－1 (4) 12 1 　　７．(1) 2 25 (2)1 (3)2 (4)4 (5)20　　８．(1)1.079 (2)0.778　　９．(1) a ab 2 a ab    (2) ab a 1 ab 2    　１０． 5 c 4 b a 2   　１１． 2 1 　１２．4 3　１３．－3　１４． 6 1 　１５．2　１６． 3 2a＋b －　１７．(1) 2 1 － (2) 2 3 　１８．－2　１９．1 ２０．1＜x＜3 且x 2　２１．27a　２２．0　２３．2　２４．1. a 1 b 2 a 3   2.3₂b₍_aa__b₎1 [單選題][１－３．對數] 　　１．C　　２．B　　３．B　　４．D　　５．A　　６．C　　７．B　　８．D　　９．E　１０．D　１１．D　１２．D [填充題][１－３．對數] 　　１．4　　２． ab a 1 ab 2 ＋＋＋　　３．3　　４． 2 5 　　５．１＜x＜10　　６．12　　７． 4 1 －　８．－3　　９．－2　１０．1　１１．3　１２．21　１３． 2 127 　１４． 6 7 　１５．a＞1 且 a≠ 2　１６．(1) 2 5 (2) 25 1 　１７．2　１８．1　１９． 6 37 　２０．43　２１． a 3 ab a 1 ＋＋＋２２．10 , 4　２３．1　２４． 3 50 　２５． 3 2 　２６．0.2789，2.26　２７． 30　２８．13 ２９．6　３０．5　３１．103 2 　３２．3　３３．2　３４．154 　３５．12　３６． 2　３７．(1) 5 18 (2)2　３８． log9 　３９．a+b-2　４０．1　４１．(1) )n 1 2 1 ( 2 1 _  ₍₂₎ 2 1 　４２．-5<x<-1 或 1<x<5 但x 2　４３．343　４４．3　４５． 2 1 　４６． 15 1 　４７． 4 17 [證明題][１－３．對數] 　　１．略　　２．略　　３．略