高中基礎數學統整講義

第廿一回 圓錐曲線家族(3)

雙曲線

高中基礎數學統整講義

一、雙曲線的定義與方程式

1. 雙曲線的定義雙曲線的定義雙曲線的定義雙曲線的定義：：：：

設 F₁, F₂ 是 平 面 上 相 異 兩 點 ， a 是 一 正 數 ， 且 滿 足2a <F₁F₂ ， 則 平 面 上 所 有 滿 足

1 2

|PF −PF |=2a的點 P 所形成的圖形 Γ 稱為一雙曲線：

其中F₁, F₂稱為雙曲線 Γ 之兩個焦點，線段F₁F₂ 中點 O 稱為雙曲線 Γ 之中心。若A, A'為F₁F₂

與雙曲線 Γ 之兩個交點，則線段AA 稱為雙曲線 Γ 之貫軸，' A, A'稱為雙曲線 Γ 之頂點。

2. 雙雙雙雙曲線之標準式曲線之標準式曲線之標準式曲線之標準式(左右左右左右/水平型左右水平型――水平型水平型――――兩焦點在――兩焦點在兩焦點在 x 軸上兩焦點在 軸上軸上)：軸上：： ：

設c>a>0，則兩焦點在F₁(c,0)，F −₂( c,0)，而貫軸長為 2a 的雙曲線 Γ 之方程式為：

2 1

2 2 2

=

− b y a

x ，其中b= c² −a² 。

3. 雙曲線之另一標準式雙曲線之另一標準式雙曲線之另一標準式雙曲線之另一標準式(上下上下上下/直立型上下直立型直立型―直立型――――――兩焦點在―兩焦點在兩焦點在 y 軸上兩焦點在 軸上軸上)：軸上：： ：

設c>a>0，則兩焦點在F₁(0,c)，F₂(0,−c)(在 y 軸上)，而貫軸長為 2a 的雙曲線 Γ 之方程 式為：

2 2

2 2 1

y x

a −b = ，其中b= c²−a² 。

【

【

【

【口訣口訣口訣口訣】】】】雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線 c 最大最大──最大最大 c² =a²+b²☆☆☆☆

L P

F2 A' O A F₁ Γ

1 2

|PF −PF |=2a

O x ) , 0 ( b B

) , 0 ( ' b

B −

) 0 , (a A ) 0 , ( ' a A −

) 0 ,

1(c ) F

0 ,

2( c F −

y

( , 0) B b O '( , 0) B −b

(0, ) A a

x y

'(0, ) A −a

) , 0

1( c F

) , 0

2( c

F −

4. 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線：：：：

方程式 ₂ 0

2 2 2

=

− b y a

x 可分解為：( − )( + )=0 b y a x b y a

x ，其圖形為兩條相交於原點O(0,0)的直線：

0

1 : − =

b y a

L x ， ₂ : + =0 b y a

L x ，此二直線稱為雙曲線 ₂ 1

2 2 2

=

−b y a

x 或 ₂ 1

2 2 2

=

− a x b

y 的漸近線，

亦即當x>0且 | |x 漸大時，x 軸上方的雙曲線逐漸靠近L₁，而 x 軸下方的雙曲線漸靠近L₂； 另一方面，當x<0且 | |x 漸大時，x 軸上方的雙曲線逐漸靠近L₂，而 x 軸下方的雙曲線漸靠 近L₁。如下圖：

5. 雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之乘積為定數雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之乘積為定數雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之乘積為定數雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之乘積為定數：：： ： 證明：

若點P(x₀, y₀)為雙曲線 k b y a

x − ₂ =

2 2 2

上任一點，其中k =1或k =−1，則由 P 點到兩漸近線

0

1:bx−ay=

L 、 L₂ :bx+ay=0 的 距 離 分 別 為

2 2

0 0 1

b a

ay d bx

+

= − , ₂ ^{0 0}

2 2

bx ay d

a b

= +

+

， 則

2 2

2 2 2

2

2 0 2 2

0 2 2

1 a b

b a b

a

y a x b d

d = +

+

−

= ，此表示距離之乘積為定數。如上右圖所示，當 P 點沿雙曲

線往右上方移動時，P 與L₁的距離d₁則愈來愈小，而與L₂的距離d₂愈來愈大。

6. 共軛雙曲線共軛雙曲線共軛雙曲線共軛雙曲線：：：：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

兩雙曲線

2 2

2 2

:x y 1 a b

Γ − = 與

2 2

2 2

' : y x 1 b a

Γ − = 有相同的漸近線L₁:bx−ay=0與L₂ :bx+ay=0，並 有共同的中心O(0,0)，且四個焦點(c,0)、( c− ,0)、(0,c 、) (0,−c)都在同一個圓上。此外，

Γ的貫軸是 'Γ 的共軛軸， 'Γ 的貫軸是 Γ 的共軛軸，則稱此兩雙曲線 Γ 與 'Γ 為共軛雙曲線。如 下圖：

y

x )

, 0 ( b

) , 0 ( −b

) 0 , (a )

0 , ( a−

0

2 :bx+ay= L

0

1 :bx−ay= L

O

y

x

L2

L1

O

d1

d2

y

x

) , 0 ( b

) , 0 ( −b

) 0 , ) (a 0 , ( a−

0

2 :bx+ay= L

0

1:bx−ay = L

2 2

2 2

: x y 1 a b Γ − =

2 2

2 2

' : y x 1 b a Γ − =

(0, −c) (0, c)

( , 0)c (−c, 0)

7. 雙曲線的平移雙曲線的平移雙曲線的平移雙曲線的平移：：：：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

前述兩類雙曲線 ₂ 1

2 2 2

=

− b y a

x (兩焦點在 x 軸上)與

2 2

2 2 1

y x

b −a = (兩焦點在 y 軸上)的中心都在原點 )

0 , 0 (

O ，而且以 x 軸與 y 軸為對稱軸。若將雙曲線向右平移 h 個單位，向上平移 k 個單位，

使中心落在(h,k)上，則兩類雙曲線的方程式分別變為( ) ( ) 1

2 2 2

2

− =

− −

b k y a

h

x (兩焦點在 y =k

上)與

2 2

2 2

( ) ( ) y k x h 1

b a

− −

− = (兩焦點在x =h上)，此時對稱軸變為x =h與y =k兩直線，如下圖 所示：

【例題 1】(1)方程式| (x−5)² +y² − (x+5)² + y² |=6之圖形為何？並求其焦點及中心。

(2)方程式| (x−5)² +y² − (x+5)² + y² |=10之圖形為何？

[(1)雙曲線；F₁(5,0),F₂(−5,0；) (0,0)；(2)以F₁(5,0),F₂(−5,0)為端點的兩條射線]

解：

y

x )

,

(h k y =k

O

h

x = y

x k ) y =

, (h k

O

h x =

F1

F1

F2

F2

【類題 1】(1)求以F₁(5,0),F₂(−5,0)為焦點之雙曲線Γ =

{

}

(2)求以F₁(0,5),F₂(0,−5)為焦點之雙曲線Γ =

{

}

[(1)x² 9−y² 16=1；(2)y² 9−x² 16=1] 解：

【例題 2】一雙曲線的兩漸近線為L₁:x−2y=0、L₂ :x+2y =0，且通過點(−2 2,2)，求其方 程式。[y² 2−x² 8=1]

解：

【類題 2】一雙曲線的兩漸近線為L₁:3x−2y =0、L₂ :3x+2y=0，且通過點(4,3)，試求其方

程式。[ 1

27 12

2 2

=

− y

x ]

解：

【例題 3】求與雙曲線 1 9 16

2 2

=

− y

x 有共同漸近線，且經過P(2 3,−3)之雙曲線方程式。

[

2 2

4 9 4 1 x y

− = − ] 解：

【類題 3】試求雙曲線 1 16 9

2 2

=

− y

x 上任一點 P 到兩條漸近線距離之乘積。[144 25] 解：

【例題 4】說明2x² −3y² +4x−6y−13=0的圖形為一雙曲線，並求其兩漸近線之方程式。

[2x− 6y+2− 6 =0與2x+ 6y+2+ 6 =0] 解：

【類題 4】試說明4x² −9y² −16x+18y+27=0的圖形為一雙曲線，並求其兩漸近線之方程式。

[2x−3y−1=0與2x+3y−7=0] 解：

【例題 5】求兩焦點為 ( 2,− −2), (8, −2)，一漸近線斜率為−3 4之雙曲線方程式。

[

2 2

( 3) ( 2) 16 9 1 x− y+

− = ] 解：

【類題 5】已知一雙曲線的兩焦點與橢圓

2 2

6 36 1 x y

+ = 的兩焦點相同，且共軛軸長為 2 3 ，求此雙 曲線。[

2 2

27 3 1 y x

− = ] 解：

【例題 6】設有一等軸雙曲線之中心為 (0, −1)，又過 (2, −1)，已知其一漸近線方程式為 2 2 0

x− y− = ，求(1)另一漸近線方程式；(2)此等軸雙曲線之方程式。

[ 2x+y+ =1 0； (x−2y−2)(2x+y+1)=8] 解：

【類題 6】求雙曲線9x²−16y² =144上任一點到其兩焦點距離之差的絕對值，並求其共軛雙曲 線。[8；

2 2

9 16 1 y x

− = ] 解：

【類題 7】設a、m為兩正數，已知橢圓

2 2

1 1 x y

a + = 與雙曲線

2 2

1 1 x y

m − = 有共同的兩焦點F₁與F₂， 若點 P 為橢圓與雙曲線之一交點，求△ F PF_{1 2}的面積。[1]

解：

【類題 8】設F₁與F₂為雙曲線

2 2

: 1

9 16

x y

Γ − = 的兩焦點﹐P 為Γ上一點﹐使得此三點構成一等腰三 角形﹒(1)試說明：PF₁與PF₂不可能為等腰三角形的二腰﹒

(2)求點 P 的可能個數﹒[8]

(3)試求此等腰三角形的周長﹒[24 或 36] 【94.學測】

解：

【類題 9】坐標平面上方程式 x² 9 ＋y²

4 ＝1 的圖形與( x＋1 )² 16 －y²

9 ＝1 的圖形共有幾個交點？[(1)]

(1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個 【96.學測】

解：

【類題 10】設 F1與 F2為坐標平面上雙曲線Γ：x²

8 －y²＝1 的兩個焦點，且 P (－4 , 1 ) 為Γ上一 點。若∠F1PF2的角平分線與 x 軸交於點 D，則 D 的 x 坐標為______。[－2] 【97.學測】

解：

【類題 11】有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1，F2，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。

設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點，且 PF1 × PF2 ＝64，求 F1F2。[16] 【98.學測】

解：

【類題 12】坐標平面上滿足方程式 ( x² 5²＋y²

4² ) ( x² 3²－y²

4² )＝0 的點 ( x，y ) 所構成的圖形為 (1)只有原點 (2)橢圓及原點 (3)兩條相異直線 (4)橢圓及雙曲線 (5)雙曲線及原點

[(3)] 【100.學測】

解：

【類題 13】平面上兩點 F1，F2滿足 F1F2 ＝4，設 d 為一實數，令Γ表示平面上滿足

| PF1 － PF2 |＝d 的所有 P 點所成的圖形，又令 C 為平面上以 F1為圓心，6 為半徑的圓。請 問下列哪些選項是正確的？[(1)(2)(5)]

(1)當 d＝0 時，Γ為直線 (2)當 d＝1 時，Γ為雙曲線

(3)當 d＝2 時，Γ為圓 C 交於兩點 (4)當 d＝4 時，Γ與圓 C 交於四點

(5)當 d＝8 時，Γ不存在 【101.學測】

解：

【類題 14】坐標平面上考慮兩點 Q1( 1 , 0 ) , Q2(－1 , 0 )。在下列各方程式的圖形中，請選出其 上至少有一點 P 滿足內積 PQ1 ‧ PQ2 ＜0 的選項。[(1)(3)(4)]

(1) y＝ 1

2 (2) y＝x²＋1 (3)－x²＋2y²＝1 (4) 4x²＋y²＝1 (5) x² 2 － y²

2 ＝1 【102.學測】

解：

【類題 15】坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為x−y=0和x+y=0。關於此雙曲線的性質，

請選出正確的選項。[(1)(2)(4)(5)]

(1) 此雙曲線的方程式為

2 2

2 2 1

x y

r − r = 或

2 2

2 2 1

x y

r − r = − ，其中 r 為非零實數 (2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長

(3) 若點 (a, b) 為此雙曲線在第一象限上一點，則當 a > 1000 時， |a−b| 1<

(4) 若點 (a, b), (a ', b')為此雙曲線在第一象限上兩點且 a < a'，則 b < b'

(5) 此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y 軸 【104.學測】

解：

【類題 16】設

2 2

2 2

: y x 1 a b

Γ − = 為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為 l 。考慮動 點( ,t t²)，從時間t = 時出發。當0 t > 時，請選出正確的選項。[(5)] 0

(1) 此動點不會碰到 Γ ，也不會碰到 l (2) 此動點會碰到 Γ ，但不會碰到 l (3) 此動點會碰到 l，但不會碰到 Γ (4) 此動點會先碰到 Γ ，再碰到 l

(5) 此動點會先碰到 l，再碰到 Γ 【106.學測】

解：

【類題 17】試 問 下 列 哪 些 選 項 中 的 二 次 曲 線 ， 其 焦 點 （ 之 一 ） 是 拋 物 線 y² =2x_{的 焦 點 ？}

(1) ( ¹)^{2 1}

2 4

y= x− − (2)

2 2

4 3 1

x y

+ = (3)

2

2 4

3 1

x + y = (4)8x²−8y² =1 (5)4x²−4y² =1 [(1)(3)(4)] 【107.學測】

解：

【類題 18】已知 F1、F2為雙曲線

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a −b = > > 的焦點。過 F2垂直於 x 的直線交雙曲線 於 P 點(P 在第一象限)，且∠PF F_{1 2} =30
，求此雙曲線之漸近線方程式。[y = ± 2x]

解：

【類題 19】求過 A(10，0)且與圓 C： x²+y² =64相切之動圓的圓心所成的軌跡方程式。

[

(x − 5)² 16 − y²

9 =1] 解：

【類題 20】A1、A2分別為雙曲線

2 2

2 2

: x y 1 a b

Γ − = 之貫軸上之頂點，P 點為 Γ 上一點，設 PA1、PA2

之斜率分別為 m1、m2，若 m1m2＝2，且兩焦點 F1、F2之距離為 12，求|PF₁−PF₂ |之值。[ 4 3 ] 解：

【類題 21】橢圓 C1與雙曲線 C2共焦點，已知 y＝x 為 C2之一漸近線，點 ( 6, 3) 為 C1與 C2之

一交點，若

2 2

1: x2 y2 1,| | | |

C a b

a +b = > ，求(1)另一漸近線；(2)(a²，b²)。[(1)y＝－x；(2)(12，6)]

解：

【類題 22】如右圖，P 是橢圓 x² 9 ＋ y²

4 ＝1 上任一點，A，B 分別為長軸、短軸之一端點，試求

△ABP 之最大面積。[3＋3 2 ] 解：