数值计算方法 非线性方程的数值解法

数值计算方法

非线性方程的数值解法

张晓平

2019 年 11 月 4 日

武汉大学数学与统计学院

Table of contents

1. 二分法

2. 不动点迭代法

3. 牛顿迭代法

4. 弦截法

例

求代数方程

x⁴− 10x³+ 35x²− 50x + 24 = 0 及超越方程

e^−x− sin( nπ 2

)= 0 的解。

定理

高于 4 次的代数方程无精确的求根公式。

例

求代数方程

x⁴− 10x³+ 35x²− 50x + 24 = 0 及超越方程

e^−x− sin( nπ 2

)= 0 的解。

定理

高于 4 次的代数方程无精确的求根公式。

二分法

二分法

用数值方法求方程的根，必须知道方程的根所在的区间。

定义 : 隔根区间

对方程_{f (x)= 0}，若在区间_{[a, b]}内有且只有一个根，则称_{[a, b]}为 它的一个隔根区间。

二分法

二分法的基本思想

通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程 的近似根数列_{xn}。

设_{f (x)= 0}的隔根区间是_{[a, b]}，且_{f (a)}< 0, f (b) > 0。

二分法

二分法的基本思想

通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程 的近似根数列_{xn}。

设_{f (x)= 0}的隔根区间是_{[a, b]}，且_{f (a)}< 0, f (b) > 0。

二分法

x y

x^⋆

a₀

f (a0)

b0 f (b0)

(1) 计算f (^a0+b₂ ⁰):

二分法

x y

x^⋆

a₀

f (a0)

b0 f (b0)

a₀+b0 2

(1) 计算f (^a0+b₂ ⁰):

二分法

x y

x^⋆

a₀

f (a0)

b0 f (b0)

a₀+b0 2 f (^a0+b₂ ⁰)

(1) 计算f (^a0+b₂ ⁰):

二分法

x y

x^⋆

a₀

f (a0)

b0 f (b0)

a₀+b0 2 f (^a0+b₂ ⁰)

(1) 计算f (^a0+b₂ ⁰):

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

x y

x^⋆

a₁

f (a1)

b1 f (b1)

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

x y

x^⋆

a₁

f (a1)

b1 f (b1) a₁+b1

2

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

x y

x^⋆

a₁

f (a1)

b1 f (b1) a₁+b1

2 f (^a1+b₂ ¹)

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

x^⋆

a1 f (a₁)

b1 f (b1)

x y

x^⋆

a₁

f (a1)

b1 f (b1) a₁+b1

2 f (^a1+b₂ ¹)

(2) 将新的隔根区间记为[a1, b1]，计算_{f (}^a1+b1

2 ):

• f (^a1+b1)= 0 =⇒ x^∗=^a1+b1就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

x y

a2

f (a2) b2

f (b2)

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

x y

a2

f (a2) b2

f (b2)

a₂+b2 2

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

x y

a2

f (a2) b2

f (b2)

a₂+b2 2 f (^a2+b₂ ²)

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

x y

a2 f (a2) b²

f (b2)

x y

a2

f (a2) b2

f (b2)

a₂+b2 2 f (^a2+b₂ ²)

(3) 将新的隔根区间记为[a2, b2]，计算_{f (}^a2+b2

2 ): 1 f (^a2+b2)= 0 =⇒ x^∗=^a2+b2就是f (x)= 0的根

二分法

重复上述过程，可得到一系列的隔根区间

[a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ ··· ⊃ [a2, b2] ⊃ ···

并有_{f (ak})· f (bk)< 0, x^∗∈ (ak, bk)，且后一区间的长度都是前一区间长 度的一半，即

bk− ak=bk−1− ak−1

2 = ··· =b0− a0

2^k =b− a 2^k

→ 0, k → ∞. 即这些区间最终收缩于一点_x^∗，显然_x^∗就是方程_{f (x)= 0}的根。

二分法

重复上述过程，可得到一系列的隔根区间

[a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ ··· ⊃ [a2, b2] ⊃ ···

并有_{f (ak})· f (bk)< 0, x^∗∈ (ak, bk)，且后一区间的长度都是前一区间长 度的一半，即

bk− ak=bk−1− ak−1

2 = ··· =b0− a0

2^k =b− a

2^k → 0, k → ∞.

即这些区间最终收缩于一点_x^∗，显然_x^∗就是方程_{f (x)= 0}的根。

二分法

重复上述过程，可得到一系列的隔根区间

[a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ ··· ⊃ [a2, b2] ⊃ ···

并有_{f (ak})· f (bk)< 0, x^∗∈ (ak, bk)，且后一区间的长度都是前一区间长 度的一半，即

bk− ak=bk−1− ak−1

2 = ··· =b0− a0

2^k =b− a

2^k → 0, k → ∞.

二分法

实际计算时，只要二分的次数_n足够大，就可取最后区间的中点 xk=^ak+b₂ ^k 作为方程_{f (x)= 0}的近似值，即

x^∗≈ak+ bk

2 .

此时所产生的误差为

|xk− x^∗| ≤bk− ak

2 =b− a 2^k+1.

若事先给定的精度要求为_ϵ，则只需

|xk− x^∗| ≤b− a 2^k+1 < ϵ 便可停止计算。

二分法

实际计算时，只要二分的次数_n足够大，就可取最后区间的中点 xk=^ak+b₂ ^k 作为方程_{f (x)= 0}的近似值，即

x^∗≈ak+ bk

2 .

此时所产生的误差为

|xk− x^∗| ≤bk− ak

2 =b− a 2^k+1.

若事先给定的精度要求为_ϵ，则只需

|xk− x^∗| ≤b− a 2^k+1 < ϵ 便可停止计算。

二分法

实际计算时，只要二分的次数_n足够大，就可取最后区间的中点 xk=^ak+b₂ ^k 作为方程_{f (x)= 0}的近似值，即

x^∗≈ak+ bk

2 .

此时所产生的误差为

|xk− x^∗| ≤bk− ak

2 =b− a 2^k+1.

若事先给定的精度要求为_ϵ，则只需

例

用二分法求方程 _x³_{+ 4x}²_{− 10 = 0} 在[1, 2] 内的根的近似解，要求 绝对误差不超过 ¹_{2× 10}⁻²

解

在[1, 2]上，

f^′(x)= 3x²+ 4x > 0,

故_{f (x)}在[1, 2]上严格单调增加，且_{f (1)< 0}，_{f (2)> 0}，所以方程

在[1, 2]内有惟一实根。令 ^b−a

2^k+1≤¹₂× 10⁻²，则得 k+ 1 ≥ln 200

ln 2 , 所以至少对分 7 次。

例

用二分法求方程 _x³_{+ 4x}²_{− 10 = 0} 在[1, 2] 内的根的近似解，要求 绝对误差不超过 ¹_{2× 10}⁻²

解

在[1, 2]上，

f^′(x)= 3x²+ 4x > 0,

故_{f (x)}在[1, 2]上严格单调增加，且_{f (1)< 0}，_{f (2)> 0}，所以方程

在[1, 2]内有惟一实根。

令 ^b−a

2^k+1≤¹₂× 10⁻²，则得 k+ 1 ≥ln 200

ln 2 , 所以至少对分 7 次。

例

用二分法求方程 _x³_{+ 4x}²_{− 10 = 0} 在[1, 2] 内的根的近似解，要求 绝对误差不超过 ¹_{2× 10}⁻²

解

在[1, 2]上，

f^′(x)= 3x²+ 4x > 0,

故_{f (x)}在[1, 2]上严格单调增加，且_{f (1)< 0}，_{f (2)> 0}，所以方程

在[1, 2]内有惟一实根。令 ^b−a

2^k+1≤¹₂× 10⁻²，则得 k+ 1 ≥ln 200

,

二分法

表 1: 计算结果

k xk f (xk)符号 隔根区间

1 x1= 1.5 + [1, 1.5]

2 x2= 1.25 − [1.25, 1.5]

3 x3= 1.375 + [1.25, 1.375]

4 _{x4= 1.3125 −} [1.3125, 1.375]

5 x5= 1.34375 − [1.34375, 1.375]

6 x = 1.359375 − [1.359375, 1.375]

二分法

计算步骤 (1) 准备

输入_{a, b, ϵ}，计算_{f (a)} (2) 循环

计算_x=^{a+ b} 2

若_{f (a)}· f (x) < 0，则_{x→ b}；否则_{x→ a} (3) 控制

二分法

优点

• 运算简单，方法可靠，易于在计算机上实现

• 对函数f (x)的要求不高，只要求_{y= f (x)}在区间_{[a, b]}连续

缺点

• 不能用于求复根及偶数重根

• 收敛速度较慢 (因为每步误差是以1/2因子下降)

用途

常用该方法为其他求根方法提供较好的初始值，再用其他的求根 方法精确化。

二分法

优点

• 运算简单，方法可靠，易于在计算机上实现

• 对函数f (x)的要求不高，只要求_{y= f (x)}在区间_{[a, b]}连续

缺点

• 不能用于求复根及偶数重根

• 收敛速度较慢 (因为每步误差是以1/2因子下降)

用途

常用该方法为其他求根方法提供较好的初始值，再用其他的求根 方法精确化。

二分法

优点

• 运算简单，方法可靠，易于在计算机上实现

• 对函数f (x)的要求不高，只要求_{y= f (x)}在区间_{[a, b]}连续

缺点

• 不能用于求复根及偶数重根

• 收敛速度较慢 (因为每步误差是以1/2因子下降)

不动点迭代法

不动点迭代法

给定方程

f (x)= 0, (1)

其中_{f (x)}在有根区间_{[a, b]}上连续，并设_x0 是方程的一个近似根。

将 (1) 改写成等价形式

x= φ(x). (2)

为了求得 (1) 的根，可由 (2) 构造迭代序列



















x1 = φ(x0), x2 = φ(x1),

...

xk+1 = φ(xk), ...

该方法成为迭代法，_φ(x)称为迭代函数。

不动点迭代法

给定方程

f (x)= 0, (1)

其中_{f (x)}在有根区间_{[a, b]}上连续，并设_x0 是方程的一个近似根。

将 (1) 改写成等价形式

x= φ(x). (2)

为了求得 (1) 的根，可由 (2) 构造迭代序列



















x1 = φ(x0), x2 = φ(x1),

...

xk+1 = φ(xk), ...

该方法成为迭代法，_φ(x)称为迭代函数。

不动点迭代法

给定方程

f (x)= 0, (1)

其中_{f (x)}在有根区间_{[a, b]}上连续，并设_x0 是方程的一个近似根。

将 (1) 改写成等价形式

x= φ(x). (2)

为了求得 (1) 的根，可由 (2) 构造迭代序列











x1 = φ(x0), x2 = φ(x1),

..

该方法成为迭代法，_φ(x)称为迭代函数。

不动点迭代法

给定方程

f (x)= 0, (1)

其中_{f (x)}在有根区间_{[a, b]}上连续，并设_x0 是方程的一个近似根。

将 (1) 改写成等价形式

x= φ(x). (2)

为了求得 (1) 的根，可由 (2) 构造迭代序列











x1 = φ(x0), x2 = φ(x1),

..

不动点迭代法

若由迭代法产生的序列_{xk}的极限存在，即 lim

k→∞xk= x^⋆, 则称迭代法收敛，否则称迭代法发散。

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

x1 p1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

x1 p1 q2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

x1 p1 q2

x2 p₂

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

x1 p1 q2

x2 p₂ q3

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0

p0 q₁

x1 p1 q2

x2 p₂ q3

x3 p3

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

x₁ p1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

x₁

p1 q2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

x₁

p1 q2

x₂ p2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

x₁

p1 q2

x₂ p2 q₃

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x₀

p0 q1

x₁

p1 q2

x₂ p2 q₃

x₃ p₃

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

p0

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

p0 q1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

p0 q1

p1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

p0 q1

p1 q2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

p0 q1

p1 q2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

x1 p1

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

x1

p1 q2

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

x1

p1 q2

x2 p₂

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

x1

p1 q2

x2 p₂ q₃

不动点迭代法

y

x y= φ(x) y= x

x^⋆ x0 p0 q1

x1

p1 q2

x2 p₂ q₃

x3 p₃

不动点迭代法

由图可看出，

• 当_φ^′(x)在_x^⋆处满足不同条件时，迭代过程的收敛情况也有所不 同。

• 迭代过程的收敛依赖于迭代函数的构造，为使迭代法有效，必须 保证其收敛性。

不动点迭代法

定义 : 不动点

设_φ(x)为连续函数，则

klim→∞xk= x^⋆ =⇒ x^⋆= φ(x^⋆) =⇒ x^⋆是_{x= φ(x)}的解, 称_x^⋆为迭代函数的不动点，简单迭代法又称为不动点迭代法。

将_{f (x)= 0}转化为等价方程_{x= φ(x)}的方法有多种，且不惟一。如

f (x)= x − sinx − 0.5 = 0 ⇐⇒





(1) x= φ1(x)= sinx + 0.5 (2) x= φ2(x)= arcsin(x − 0.5). 对于不动点迭代法，选择迭代函数非常重要。不同的迭代函数会产生 不同的迭代序列，且收敛情况也不一定相同，即使初始值选择相同。

不动点迭代法

定义 : 不动点

设_φ(x)为连续函数，则

klim→∞xk= x^⋆ =⇒ x^⋆= φ(x^⋆) =⇒ x^⋆是_{x= φ(x)}的解, 称_x^⋆为迭代函数的不动点，简单迭代法又称为不动点迭代法。

将_{f (x)= 0}转化为等价方程_{x= φ(x)}的方法有多种，且不惟一。如

f (x)= x − sinx − 0.5 = 0 ⇐⇒





(1) x= φ1(x)= sinx + 0.5

对于不动点迭代法，选择迭代函数非常重要。不同的迭代函数会产生 不同的迭代序列，且收敛情况也不一定相同，即使初始值选择相同。

不动点迭代法

定义 : 不动点

设_φ(x)为连续函数，则

klim→∞xk= x^⋆ =⇒ x^⋆= φ(x^⋆) =⇒ x^⋆是_{x= φ(x)}的解, 称_x^⋆为迭代函数的不动点，简单迭代法又称为不动点迭代法。

将_{f (x)= 0}转化为等价方程_{x= φ(x)}的方法有多种，且不惟一。如

f (x)= x − sinx − 0.5 = 0 ⇐⇒





(1) x= φ1(x)= sinx + 0.5

不动点迭代法

例

已知10^x−x −2 = 0在[0.3, 0.4]内有一个根，用两种不同的迭代公

式，

(1) xk+1= 10^xk− 2 (2) xk+1= log(xk+ 2)

表 2: 计算结果

k 迭代格式 (1) 迭代格式 (2) 0 x0= 0.3 x0= 0.3 1 x1= −0.0047 x1= 0.3617 2 x2= −1.0108 x2= 0.3732

3 _{x3= 0.3753}

4 x4= 0.3757

不动点迭代法

例

已知10^x−x −2 = 0在[0.3, 0.4]内有一个根，用两种不同的迭代公

式，

(1) xk+1= 10^xk− 2 (2) xk+1= log(xk+ 2)

表 2: 计算结果

k 迭代格式 (1) 迭代格式 (2) 0 x0= 0.3 x0= 0.3

不动点迭代法

由迭代法的几何意义可知，为了保证迭代过程收敛，就要求迭代函数 φ(x)在区间_{[a, b]}上变化不是很大，即_φ^′_(x)的绝对值应较小。

不动点迭代法

定理

设有方程_{x= φ(x)}，若

(1) 当x∈ [a,b]时，φ(x) ∈ [a,b]

(2) _φ(x)在_{[a, b]}上可导，且有_|φ^′(x)| ≤ L < 1, x ∈ [a,b]

则

(1) x= φ(x)存在惟一解_x^⋆

(2) 对任意初值x0∈ [a,b]，迭代公式

xk+1= φ(xk), k= 0,1,2,···

产生的数列{xk}收敛于方程的惟一根 x^⋆，即lim_k→∞xk= x^⋆ (3) 误差估计

|xk− x^⋆| ≤ L^k

1− L|x1− x0|

|xk− x^⋆| ≤ L

1− L|xk− xk−1|

不动点迭代法

定理

设有方程_{x= φ(x)}，若

(1) 当x∈ [a,b]时，φ(x) ∈ [a,b]

(2) _φ(x)在_{[a, b]}上可导，且有_|φ^′(x)| ≤ L < 1, x ∈ [a,b]

则

(1) x= φ(x)存在惟一解_x^⋆

(2) 对任意初值x0∈ [a,b]，迭代公式

xk+1= φ(xk), k= 0,1,2,···

产生的数列 收敛于方程的惟一根 ^⋆，即 _{= x}^⋆

不动点迭代法

利用

|xk− x^⋆| ≤ L^k

1− L|x1− x0|, 可用于

• 估计迭代k 次时的误差

• 估计达到给定精度要求_ϵ时，所需迭代的次数 _k

若欲使_{|xk− x}^⋆_{| ≤ ϵ}，只要 L^k

1− L|x1− x0| ≤ ϵ =⇒ k >ln_|x^ϵ(1−L)

1−x0|

ln L

不动点迭代法

利用

|xk− x^⋆| ≤ L^k

1− L|x1− x0|, 可用于

• 估计迭代k 次时的误差

• 估计达到给定精度要求_ϵ时，所需迭代的次数 _k 若欲使_{|xk− x}^⋆_{| ≤ ϵ}，只要

k

=⇒ k >ln_|x^ϵ(1−L)

1−x0|

ln L

不动点迭代法

利用

|xk− x^⋆| ≤ L^k

1− L|x1− x0|, 可用于

• 估计迭代k 次时的误差

• 估计达到给定精度要求_ϵ时，所需迭代的次数 _k 若欲使_{|xk− x}^⋆_{| ≤ ϵ}，只要

k ln^ϵ(1−L)

不动点迭代法

由

|xk− x^⋆| ≤ L

1− L|xk− xk−1|, 可知：

• 0< L < 1越小，_{xk}收敛越快。

• 只要相邻两次迭代的差_{|xk− xk−1|}足够小，就可保证近似解_xk 有 足够的精度

实际计算时，常采用条件

|xk− xk−1| ≤ ϵ 来控制迭代终止。

不动点迭代法

由

|xk− x^⋆| ≤ L

1− L|xk− xk−1|, 可知：

• 0< L < 1越小，_{xk}收敛越快。

• 只要相邻两次迭代的差_{|xk− xk−1|}足够小，就可保证近似解_xk 有 足够的精度

实际计算时，常采用条件

不动点迭代法

定理 : 局部收敛性

设 _x^⋆ 是方程 _{x= φ(x)} 的根，_φ^′_(x) 在 _x^⋆ 的某一邻域连续，且

|φ^′(x^⋆)| < 1，则存在 _x^⋆ 的一个邻域 _S= {x : |x − x^⋆| ≤ δ}，使得

∀x0∈ S，由迭代公式

xk+1= φ(xk), k= 0,1,2,···

产生的数列_{xk}收敛于方程的根_x^⋆。

证明

取_{[a, b]= [x}^⋆_−δ,x^⋆_+δ]，只需验证前面定理的条件 (1)。

设_{x∈ S}， 即当_{|x − x}^⋆_{| ≤ δ}时，由微分中值定理及_|φ^′(x)| < 1，有

|φ(x) − x^⋆| = |φ(x) − φ(x^⋆)| = |φ^′(x− x^⋆)| ≤ L|x − x^⋆| < |x − x^⋆| ≤ δ, 故_{φ(x) ∈ S}。

不动点迭代法

定理 : 局部收敛性

设 _x^⋆ 是方程 _{x= φ(x)} 的根，_φ^′_(x) 在 _x^⋆ 的某一邻域连续，且

|φ^′(x^⋆)| < 1，则存在 _x^⋆ 的一个邻域 _S= {x : |x − x^⋆| ≤ δ}，使得

∀x0∈ S，由迭代公式

xk+1= φ(xk), k= 0,1,2,···

产生的数列_{xk}收敛于方程的根_x^⋆。

证明

取_{[a, b]= [x}^⋆_−δ,x^⋆_+δ]，只需验证前面定理的条件 (1)。设x∈ S， 即当_{|x − x}^⋆_{| ≤ δ}时，由微分中值定理及_|φ^′(x)| < 1，有

不动点迭代法

例

求_{f (x)}= 2x − logx − 7 = 0的最大根，要求精度为 10⁻⁴。

不动点迭代法

解

(1) 等价方程为

2x− 7 = logx

由以下示意图知方程的最大根在 [3.5, 4]内。

y

y= lgx y= 2x − 7

不动点迭代法

解 (续) :

(2) 建立迭代公式，判别收敛性 将方程等价变形为

x=1

2(log x+ 7) 迭代公式为

x_k+1=1

2(log xk+ 7)

因_φ^′_(x)= ¹

2 ln 10·¹_x，故_φ(x)在[3.5, 4]内可导。因_φ(x)在 [3.5, 4]内为增函数，且

φ(3.5) ≈ 3.77, φ(4) ≈ 3.80 故当_{x∈ [3.5,4]} 时，φ(x) ∈ [3.5,4]。因为

L= max|φ^′(x)| ≈ φ^′(3.5)≈ 0.06 < 1 故迭代法收敛。

不动点迭代法

解 (续) :

(2) 建立迭代公式，判别收敛性 将方程等价变形为

x=1

2(log x+ 7) 迭代公式为

x_k+1=1

2(log xk+ 7) 因_φ^′_(x)= ¹

2 ln 10·¹_x，故_φ(x)在[3.5, 4]内可导。因_φ(x)在 [3.5, 4]内为增函数，且

φ(3.5) ≈ 3.77, φ(4) ≈ 3.80

不动点迭代法

解 (续) : (3) 计算

取x0= 3.5，有

x1=¹₂(log x0+ 7) ≈ 3.78989, x2=¹₂(log x1+ 7) ≈ 3.78931, x3=¹₂(log x2+ 7) ≈ 3.78928.

因为_{|x3− x2| ≤ 10}⁻⁴，故方程的最大根为

不动点迭代法

例

用迭代法求_x³_{− x}²_{− 1 = 0}在隔根区间[1.4, 1.5]内的根，要求精确 到小数点后第 4 位。

解

(1) 构造迭代公式 方程的等价形式为

x= (x²+ 1)^1/3= φ(x) 迭代公式为

xk+1= (x²_k+ 1)^1/3

不动点迭代法

例

用迭代法求_x³_{− x}²_{− 1 = 0}在隔根区间[1.4, 1.5]内的根，要求精确 到小数点后第 4 位。

解

(1) 构造迭代公式 方程的等价形式为

x= (x²+ 1)^1/3= φ(x)

不动点迭代法

解 (续) :

(2) 判断迭代法的收敛性

φ^′(x)= 2x 3(x²+ 1)^2/3 因_φ(x)在区间[1.4, 1.5]内可导，且

|φ^′(x)| ≤ 0.5 < 1

不动点迭代法

解 (续) : (3) 计算结果

k xk |xk+1− xk| ≤¹₂× 10⁻⁴ 0 x0= 1.5

1 _x1= 1.4812480 |x1− x0| ≈ 0.02 2 x2= 1.4727057 |x2− x1| ≈ 0.009 3 x3= 1.4688173 |x2− x1| ≈ 0.004 4 x4= 1.4670480 |x2− x1| ≈ 0.002 5 x5= 1.4662430 |x2− x1| ≈ 0.0009 6 x = 1.4658786 |x − x | ≈ 0.0004

不动点迭代法

计算步骤 (1) 准备

选取初值_x0，确定_{f (x)= 0}的等价方程_{x= φ(x)}； (2) 迭代

依公式

x1= φ(x0) 迭代一次得新近似值 _x1；

(3) 控制

若_{|x1− x0| < ϵ}，则终止迭代，_x1 即为所求的根；否则转(4)；

准备迭代

不动点迭代法

优点

• 计算程序简单，可计算复根

• 若迭代公式收敛，只要迭代次数足够，可使结果达到指定精 度

• L越接近于零，收敛速度越快

缺点

• 需自行选取合适的迭代函数

• L接近于 1 时，收敛速度越很慢

不动点迭代法

优点

• 计算程序简单，可计算复根

• 若迭代公式收敛，只要迭代次数足够，可使结果达到指定精 度

• L越接近于零，收敛速度越快 缺点

• 需自行选取合适的迭代函数

牛顿迭代法

牛顿迭代法

牛顿法的条件

设_x^⋆为_{f (x)= 0}在隔根区间_{[a, b]}内的根，

• f (x)在_{[a, b]}上可导

• _{∀x ∈ [a,b]}有f^′(x)̸= 0。

牛顿迭代法

y

x^⋆ x

(1) 任取初值x0∈ [a,b]，过点_{(x0, f (x0}))作切线，切线方程为

牛顿迭代法

y

x^⋆ x

x₀ f₀

(1) 任取初值x0∈ [a,b]，过点_{(x0, f (x0}))作切线，切线方程为