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数值计算方法 数值积分

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Academic year: 2021

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(1)

数值积分

张晓平

2019 年 11 月 24 日

武汉大学数学与统计学院

(2)

Table of contents

1. 简介

2. Newton-Cotes 公式

3. 复化求积公式及龙贝格求积公式

4. 高斯型求积公式

1

(3)
(4)

简介

定理 : Newton-Leibniz 公式 对于定积分 I =b

af(x) dx,若 f(x) 在 [a, b] 上连续,且 f(x) 的原 函数为 F(x),则

b a

f(x) dx = F(b) − F(a).

2

(5)

实际计算中,常遇到如下情况:

1 f(x) 形式复杂,求原函数更为困难,如 f(x) =

ax2+ bx + c 2 f(x) 的原函数不能用初等函数形式表示,如

f(x) = 1

ln x, e−x2, sin x2, sin x x

3 f(x) 虽有初等函数表示的原函数,但其原函数表示形式相当复杂,

f(x) = 1 1 + x4

4 f(x) 本身没有解析表达式,其函数关系由表格或图像给出,如实验 或测量数据

以上情况都不能用牛顿-莱布尼兹公式直接计算定积分,因此有必要 研究定积分的数值计算问题。

(6)

Newton-Cotes 公式

(7)

数值积分的基本思想

(8)

数值积分的基本思想

定理 : 积分中值定理

对于连续函数 f(x),在 [a, b] 内存在点 ξ 有 I =

b a

f(x) dx = (b − a)f(ξ), ξ∈ [a, b].

ξ 一般不知道,从而难以准确计算 f(ξ) 的值。通常称 f(ξ) 为 f(x) 在 [a, b] 上的平均高度。若能对 f(ξ) 提供一种近似,就能得到对应的数值 积分公式。

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)f(a), ⇒ 左矩形公式 (1)

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)f(b), ⇒ 右矩形公式 (2)

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)f(a + b

2 ) ⇒ 中矩形公式 (3) 4

(9)

x y

a b

A

B y = f(x)

图 1: 左矩形公式

(10)

数值积分的基本思想

x y

a b

A

B y = f(x)

图 1: 左矩形公式

5

(11)

x y

a b

A

B y = f(x)

图 2: 右矩形公式

(12)

数值积分的基本思想

x y

a b

A

B y = f(x)

图 2: 右矩形公式

6

(13)

x y

A

B y = f(x)

a b

图 3: 中矩形公式

(14)

数值积分的基本思想

x y

A

B y = f(x)

a b

图 3: 中矩形公式

7

(15)

更一般地,f(x) 在 [a, b] 内 n + 1 个节点 xi 处的高度为

f(xi)(i = 0, 1,· · · , n),通过加权平均的方法近似地得到平均高度 f(ξ),

这类公式一般形如

I =

b a

f(x) dx≈

n i=0

Aif(xi), (4)

xi 为求积节点,Ai为求积系数。

Rn(f) =

b a

f(x) dx −

n i=0

Aif(xi)

为求积公式 (4) 的截断误差。

(16)

Newton-Cotes 公式

插值型求积公式

(17)

设 [a, b] 上的节点为 a = x0< x1<· · · < xn= b,则 f(x) 的 Lagrange 插值多项式为

Ln(x) =

n i=0

li(x)f(xi), li(x) =

n j=0,j̸=i

x − xj

xi− xj

. 用 Ln(x) 作为 f(x) 的近似函数有

I =

b a

f(x) dx≈

b a

Ln(x) dx

=

b a

n i=0

li(x)f(xi) dx =

n i=0

(∫b a

li(x) dx )

f(xi).

Ai=

b a

li(x) dx,则有插值型求积公式 I =

b a

f(x) dx≈

n i=0

Aif(xi)

(18)

插值型求积公式

上述求积公式的截断误差为

Rn(f) =

b a

[f(x) − Ln(x)] dx

= 1

(n + 1)!

b a

f(n+1)(ξ)ωn+1(x) dx 其中

ωn+1(x) =

n i=0

(x − xi), ξ∈ (a, b)

10

(19)

Newton-Cotes 公式

(20)

Newton-Cotes 公式

在插值型求积公式中,取等距节点,即将 [a, b] 作 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n), h = b − a

n

作变量替换 x = a + th,则

Ai =

b a

n j=0,j̸=i

x − xj

xi− xj

dx = h

n 0

n j=0,j̸=i

t − j i − jdt

= b − a

n · (−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt

C(n)i = 1 n

(−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt ⇒ Ai= (b − a)C(n)i 于是得到Newton-Cotes 求积公式

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)

n i=0

C(n)i f(xi)

C(n)i 成为柯特斯系数。

11

(21)

Newton-Cotes 公式

在插值型求积公式中,取等距节点,即将 [a, b] 作 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n), h = b − a

n 。作变量替换 x = a + th,则 Ai =

b a

n j=0,j̸=i

x − xj

xi− xj

dx = h

n 0

n j=0,j̸=i

t − j i − jdt

= b − a

n · (−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt

C(n)i = 1 n

(−1) i!(n − i)! 0

j=0,j̸=i

(t − j) dt ⇒ Ai= (b − a)C(n)i 于是得到Newton-Cotes 求积公式

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)

n i=0

C(n)i f(xi)

C(n)i 成为柯特斯系数。

(22)

Newton-Cotes 公式

在插值型求积公式中,取等距节点,即将 [a, b] 作 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n), h = b − a

n 。作变量替换 x = a + th,则 Ai =

b a

n j=0,j̸=i

x − xj

xi− xj

dx = h

n 0

n j=0,j̸=i

t − j i − jdt

= b − a

n · (−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt

C(n)i = 1 n

(−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt ⇒ Ai= (b − a)C(n)i

于是得到Newton-Cotes 求积公式 I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)

n i=0

C(n)i f(xi)

C(n)i 成为柯特斯系数。

11

(23)

在插值型求积公式中,取等距节点,即将 [a, b] 作 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n), h = b − a

n 。作变量替换 x = a + th,则 Ai =

b a

n j=0,j̸=i

x − xj

xi− xj

dx = h

n 0

n j=0,j̸=i

t − j i − jdt

= b − a

n · (−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt

C(n)i = 1 n

(−1)n−i i!(n − i)!

n 0

n j=0,j̸=i

(t − j) dt ⇒ Ai= (b − a)C(n)i 于是得到Newton-Cotes 求积公式

I =

b a

f(x) dx≈ (b − a)

n i=0

C(n)i f(xi)

(24)

Newton-Cotes 公式

柯特斯系数 C(n)i 1 对称性:

C(n)i = C(n)n−i 2 权性:

n i=1

C(n)i = 1

12

(25)

• n = 1(梯形 (Trapezoidal) 公式)

C(1)0 = C(1)1 =

1 0

t dt = 1 2 I =

b a

f(x) dx≈ b − a

2 [f(a) + f(b)]

x y

a b

A

B y = f(x)

(26)

Newton-Cotes 公式

• n = 1(梯形 (Trapezoidal) 公式)

C(1)0 = C(1)1 =

1 0

t dt = 1 2 I =

b a

f(x) dx≈ b − a

2 [f(a) + f(b)]

x y

a b

A

B y = f(x)

13

(27)

• n = 2(辛普森 (Simpson) 公式)

C(2)0 = C(2)2 = 1 4

2 0

t(t − 1) dt = 1

6, C(2)1 = 1 4

2 0

t(t − 2) dt = 4 6

I =

b a

f(x) dx≈b − a 6

[

f(a) + 4f (a + b

2 )

+ f(b) ]

• n = 3(辛普森 (Simpson)3/8 公式)

I =

b a

f(x) dx≈ b − a

8 [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

• n = 4(柯特斯 (Cotes) 公式)

I =

b a

f(x) dx≈ b − a

90 [7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)]

(28)

Newton-Cotes 公式

n C(n)i

1 12 12

2 16 46 16

3 18 38 38 18 4 907 3290 1290 3290 907 5 28819 28875 28850 28850 28875 28819 6 84041 216840 84027 272840 84027 216840 84041

7 17280751 172803577 172801323 172802989 172802989 172801323 172803577 17280751 8 28350989 283505888 28350−928 1049628350 −454028350 1049628350 28350−928 283505888 28350989 由表可看出,当 n 较大时,柯特斯西系数变得复杂,且出现负项,计 算过程的稳定性没有保证。梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式是最 基本、最常用的求积公式。

15

(29)

定理 : 截断误差

1 若 f′′(x) 在 [a, b] 上连续,则梯形公式的截断误差为 R1(f) = −(b − a)3

12 f′′(ξ), ξ∈ [a, b]

2 若 f(4)(x) 在 [a, b] 上连续,则辛普森公式的截断误差为

R2(f) = −(b − a)5

2880 f(4)(ξ) = −1 90

(b − a 2

)5

f(4)(ξ), ξ∈ [a, b]

3 若 f(6)(x) 在 [a, b] 上连续,则柯特斯公式的截断误差为

R4(f) = −(b − a)7

1013760f(4)(ξ) = − 8 495

(b − a 4

)7

f(6)(ξ), ξ∈ [a, b]

(30)

Newton-Cotes 公式

试分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算 I =1 1/2

√x dx,

并与精确解进行比较。

精确解为 I = 23 x3

1

0.5

= 0.42096441

1 梯形公式:I≈ 0.5 2 (

0.5 + 1)≈ 0.4267767 2 辛普森公式:I≈ 0.5

6 (

0.5 + 4

0.75 + 1)≈ 0.43093403 3 柯特斯公式:

I≈ 0.5 90(7

0.5 + 32

0.625 + 12

0.75 + 32

0.875 + 7) 0.43096407

17

(31)

试分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算 I =1 1/2

√x dx,

并与精确解进行比较。

精确解为 I = 23 x3

1

0.5

= 0.42096441

1 梯形公式:I≈ 0.5 2 (

0.5 + 1)≈ 0.4267767 2 辛普森公式:I≈0.5

6 (

0.5 + 4

0.75 + 1)≈ 0.43093403 3 柯特斯公式:

I≈ 0.5 90(7

0.5 + 32

0.625 + 12

0.75 + 32

0.875 + 7) 0.43096407

(32)

复化求积公式及龙贝格求积公式

(33)

复化求积公式

(34)

复化求积公式

定义 : 复化求积公式

为提高数值积分的精度,将 [a, b] 等分为 n 个子区间,在每个区 间上用基本求积公式,然后再累加成新的求积公式,这样既可提 高结果的精度,又可使算法简便易于实现。这种求积公式成为复 化求积公式。

18

(35)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1 1 1 1 1

(36)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

19

(37)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1 1 1

(38)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

19

(39)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

(40)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

19

(41)

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1 1 1 1 1

(42)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化梯形公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用梯形公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈h

2[f(xi−1) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化梯形公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 2

[ f(a) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Tn

×h 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2 2 2 2 2 1

19

(43)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6

1 4 1 1 4 1 1 4 1

(44)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1

20

(45)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1

1 4 1 1 4 1

(46)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1

20

(47)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1

1 4 1

(48)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1

20

(49)

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6

1 4 1 1 4 1 1 4 1

(50)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化 Simpson 公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用 Simpson 公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

6[f(xi−1) + 4f(xi−1

2) + f(xi)], i = 1, 2,· · · , n 累加得复化 Simpson 公式

I =

b a

f(x) dx =

n i=1

xi

xi−1

f(x) dx

n i=1

h

2[f(xi−1) + f(xi)] = h 6

[ f(a) + 4

n−1

i=0

f(xi+1

2) + 2

n−1

i=1

f(xi) + f(b) ]

≡ Sn

×h 6 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1 1 4 1

1 4 1 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

20

(51)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90

7 32 12 32 7 7 32 12 32 7 7 32 12 32 7

(52)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

21

(53)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7 7 32 12 32 7

(54)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

21

(55)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

(56)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

21

(57)

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7 7 32 12 32 7 7 32 12 32 7

(58)

复化求积公式

将 [a, b] 进行 n 等分,记节点为 xi= a + ih(i = 0, 1,· · · , n),h = b−an 称为步长,子区间为 [xi−1, xi](i = 1, 2,· · · , n)。

1. 复化柯特斯公式

在每个子区间 [xi−1, xi] 应用柯特斯公式,有

xi

xi−1

f(x) dx≈ h

90[7f(xi−1)+32f(xi−1

4)+12f(xi−1

2)+32f(xi−3

4)+7f(xi)], 累加得复化柯特斯公式

I h

90 [

7f(a) + 32

n−1

i=0

f(xi+1

4) + 12

n−1

i=0

f(xi+1

2)

+32

n−1

i=0

f(xi+3

4) + 14

n−1

i=1

f(xi) + 7f(b) ]

≡ Cn

×h 90 7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7

7 32 12 32 7 7 32 12 321432 12 321432 12 321432 12 321432 12 321432 12 32 7

21

(59)

复化求积公式

定理

设 f(x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数,则复化梯形公式的截断误 差为

RT(f) = −b − a

12 h2f′′(ξ), ξ∈ (a, b).

RC(f) = −2(b − a) 945

(h 4

)6

f(6)(ξ), ξ∈ (a, b).

(60)

复化求积公式

定理

设 f(x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数,则复化梯形公式的截断误 差为

RT(f) = −b − a

12 h2f′′(ξ), ξ∈ (a, b).

RS(f) = −b − a

2880h4f(4)(ξ), ξ∈ (a, b).

RC(f) = −2(b − a) 945

(h 4

)6

f(6)(ξ), ξ∈ (a, b).

22

(61)

定理

设 f(x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数,则复化梯形公式的截断误 差为

RT(f) = −b − a

12 h2f′′(ξ), ξ∈ (a, b).

RS(f) = −b − a

2880h4f(4)(ξ), ξ∈ (a, b).

RC(f) = −2(b − a) 945

(h 4

)6

f(6)(ξ), ξ∈ (a, b).

(62)

复化求积公式

计算 I =1

0exdx,若要求误差不超过 12× 10−4,分别用复化梯形 公式和复化 Simpson 公式计算,问至少需要多少个节点?

f(x) = f′′(x) = f(4)(x) = ex

max

x∈[0,1]|f′′(x)| = max

x∈[0,1]|f(4)(x)| = e 由复化梯形公式的截断误差知

|RT(f)| ⩽ e 12n2 ⩽1

2 × 10−4⇒ n > 67.3

故用复化梯形公式 n 至少取 68,即需 69 个节点。由复化 Simpson 公式的截断误差知

|RS(f)| ⩽ e 2880n4 ⩽1

2 × 10−4⇒ n > 2.1 故用复化 Simpson 公式 n 至少取 3,即需 7 个节点。

23

參考文獻

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