4.4 4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构

4.4

4.4 线性方程组解的结构 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组

一、齐次线性方程组

二、非齐次线性方程组

二、非齐次线性方程组

返回

一、齐次线性方程组

































0 0 0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

n mn m

m

n n

n n

x a

x a

x a

x a x

a x

a

x a x

a x

a



















即 AX = 0

平凡解： X = 0( 零 解 )

设 A =(₁, ₂, …, _n), 则下列命题等价：

1^o ₁, ₂, …, _{n 线性相关 ;} 2^o AX = 0 有非零解 ;

. )

(

3⁰ R A  n

解的性质：

AX = 0 的解向量的线性组合仍为 AX = 0 的解 .

证 设 ₁, ₂, …, _s 为 AX = 0 的解向量，则 A(k₁₁+ k₂₂+ …+ k_s_s )

= A(k₁₁) + A(k₂₂)+ …+ A(k_s_s ) = k₁ A₁ + k₂ A₂ + …+ k_sA_s

= k₁ 0 + k₂ 0 + …+ k_s0 = 0.

所以， k₁₁+ k₂₂+ …+ k_s_s 仍为 AX = 0 的解 .

返回

W ={XRⁿ | AX = 0} 为 Rⁿ 的子空间

AX = 0 的基础解系： W 的一组基 ^.

1^o 若 ₁, ₂, …, _{s 线性无关 ;}

2^o AX = 0 的任一解向量均可由 ₁, ₂, …, _{s 线性表} 出

3^o 定理 1 设 R(A) = r < n, 则 AX = 0 有基解系且 所含向量个数为 n - r, 即 dimW = n - r, 这里 n 为 方程组未知数个数 .

证 R(A) = r, 不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关 , 则



























 







O

b b

b b

B A

n r r

n

1 , 1

1 , 1 11

1 0

0 1

















行初等变换

得 AX = 0 的同解方程

组 































n r n r r

r r

n r n r

x b

x b x

x b

x b x

, 1

1

, 1 1

11 1











分别取 0 ,

0 , 1 ,

0 0 ,

1

2 1























































 



 

r r

x x

则依次得

返回

, ,

, ,

, , 1

2 12

1 11 1





























































 



















r n r

r n

r r

r b

b

b b

b b

x x











便得 AX = 0 的 n – r 个解

：













































































































1 0 0 ,

,

0 1 0 ,

0 0 1

, , 1

2 12

2 1

11

1















r n r

r n

r n r

r b

b

b b

b b







可证明 : ₁, ₂, …, _{n-r 即为基础解系：}

线 线 线 线





























































1 0 0 ,

, 0 1 0 ,

0 0 1

 





(1) 证明  ₁, ₂, …, _{n-r 线性无关：}

₁, ₂, …, _{n-r 线性无关}

为什么？

(2) 可以证明 AX = 0 的任一解都可由  ₁, ₂, …,

_n-r 线性表出 . （略 , 思考）

返回

设 ₁, ₂, …, _{n - r} 为 AX = 0 的一个基解系

，则  AX = 0 的解，

 = k₁₁+ k₂₂+ …+ k_n-r_n-r , k₁, k₂, …, k_n-r R.

AX = 0 的基解系一般不惟一，但其任一基解

系中所含向量个数必为

n ( 未知数个数 ) - R(A).

AX = 0 的 通解通解

若 AX = 0 有非零解，则必有无穷多个解 .

例 1 求方程组的通

解 



























0 2

6 3

0 2

8 4

2

0 4

2

3 2

1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

解



















0 2

6 3

2 8

4 2

1 4

2 1

A 



















3 10

0 0

0 0

0 0

1 4

2 1























0 0

0 0

3 10

0 0

1 4

2 1

, 2 )

( ,

4 2

)

(A   n  n  R A  R

为求通解，可进一步化为















 

 



















0 0

0 0

1 0

0

0 2

1 0

0 0

0

3 10

0 0

1 4

2 1

103 51

返回

得同解方程组

















4 3

4 2

1

10 3 5 2 1

x x

x x

x

(x₂, x₄ 为自由未知量 ) 基础解系为





















 























1 , 0

0 0 1

2

103 51

2

1 



方程组通解为

. ,

, _{1 2}

2 2 1

1 k k k R

k

X     

例 2 解

































0 4

2

0 7

5 2

0 10

6 3

0 3

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

解













































1 0

0

1 1

0

1 0

0

3 2

1

4 2

1

7 5

2

10 6

3

3 2

1 A























0 0

0

1 0

0

1 1

0

3 2

1

r(A) =3 = n, 只有零解 X = 0

返回

例 3 解











































0 4

3 2

0 4

6 4

2

0 3

4 4

0 3

2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

解































4 3

2 1

4 6

4 2

3 4

4 1

1 3

2 1

A



















 



3 0

0 0

6 0

0 0

4 1

2 0

1 3

2 1



















 



0 0

0 0

6 0

0 0

4 1

2 0

1 3

2 1



















 



0 0

0 0

1 0

0 0

2 1

0

5 2

0 1

21























0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

0

0 2

0 1

21

得同解方程组

















20 1 2

4

3 2

3 1

x

x x

x x

(x₃ 为自由未知量 )

基础解系为

, 0 12

12

























 

方程组通解为

. , k R k

X   

返回

例 4 证明：与 AX = 0 基础解系等价的线性无关的 向量组也是该方程组的基础解系 .

证： 两个等价的线性无关的向量组所含向量个 数相等 .

设 ₁, ₂, …, _s 是 AX = 0 基础解系，  ₁, ₂, …,

_{s 与之等价 .}

₁, ₂, …, _{s 可由} ₁, ₂, …, _{s 线性表出，所以是}

AX = 0 的解；

AX = 0 的任一解 X 可由 ₁, ₂, …, _{s 线性表出，}

故，  ₁, ₂, …, _s 是 AX = 0 的基础解系 .

又 ₁, ₂, …, _{s 可由} ₁, ₂, …, _{s 线性表出，所以 X} 可由 ₁, ₂, …, _{s 线性表出；}

例 5 设 n 阶矩阵 A, B 满足 AB = 0, 证明：

R(A)+R(B)≤ n.

证 设 B = (b₁, …, b_n), 则

AB = A(b₁, …, b_n) = (A b₁ , …, Ab_n) = 0, A b_i = 0, i = 1, …, n.

b_i ( i = 1, …, n) 为 AX = 0 的解，所以可由基础解系

 ₁, ₂, …, _n-r(r = R(A)) 线性表出 .

所以 , 秩 ( B) = 秩 (b₁, …, b_n) ≤ 秩 (₂, …, _n-r)= n- r(A).

即 R(A)+R(B)≤ n.

返回

二、非齐次线性方程组

































m n

mn m

m

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a



















2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11 即 AX = b

设 A =(₁, ₂, …, _n), 即

x₁₁ + x₂₂ + … +x_n_n = b, AX = b 有解

 b 可由 ₁, ₂, …, _{n 线性表出}

 R(A)  R(A)

(AX = 0 称为 AX = b 的导出组 )

解的性质：

性质 1 设 ₁ , ₂ 为 AX = b 的解 , 则 ₁ - _{2 为其导} 出组的解 .

证 A(₁ - ₂ ) = A₁ - A₂ = b – b = 0 所以，  ₁ - ₂ 为 AX = 0 的解 .

性质 2 设 为 AX = b 的解 ,  为 AX = 0 的解，则

 +  为 AX = b 的解 .

证 A( +  ) = A + A  = b + 0 = b 所以，  +  为 AX = b 的解 .

返回

AX = b 的特解： AX = b 的任一解 .

性质 3 设 ₀ 为 AX = b 的一个特解 , 则 AX = b 的 任一解 _可表为

 = ₀ +  , ( 为 AX = 0 的一个 解 )

对于 AX = b 的任一个特解 ₀, 当 取遍它的导出组 的全部解时， = ₀ +  就给出 AX = b 的全部解 .

性质 3 的

证明  = ₀ + ( - ₀ )

为 AX = 0 的解，设为



为了求 AX = b 的通解（全部解），只需求其一个 特解 ₀, 以及导出组的全部解即可：

设 ₀ 为 AX = b 的一个特解，  ₁, ₂, …, _{n-r 为其导} 出组的基础解系，则 AX = b 的通解为

X = ₀ + k₁₁+ … + k_n-r_n-r , k₁ , …, k_n-r∈R

返回

例 6 解























2 2

13 2

3

5

3 2

3 2

1

3 2

1

x x

x x

x

x x

x

解



















2 2

1 0

13 1

2 3

5 1

1 1

A 





















0 0

0 0

2 2

1 0

5 1

1 1















 



0 0

0 0

2 2

1 0

3 1

0 1

, 3 2

) ( )

(A  R A   n 

R 有无穷多解

得同解方程组













3 2

3 1

2 2

3

x x

x x

(1) 求非齐次的特

解 : 取 x₃=0, 得  ₀ =(3,2,0)^T

(2) 求导出组的基础解系 : 取 x3=1, 得  =(1, -2, 1)^T AX = b 的通解为：

X = ₀ + k  , kR

例 7 解























2 2

3 3

2 3

5 3

3 2

3 2

1

3 2

1

x x

x x

x

x x

x

解



















2 2

1 0

3 3

2 3

5 1

1 3

A 

















2 2

1 0

2 2

1 0

5 1

1 3





















4 0

0 0

2 2

1 0

5 1

1 3

, 3 )

( 2

)

(A   R A 

R 无解

返回

例 8 解

























2 3

2 1

3 2

1

3 2

1 1











x x

x

x x

x

x x

x

解 















1 2

1

1 1

1 1

1









 A



















1 1

1

1 1

1

1 ²









































3 2

2

1 1

1 0

) 1

( 1

1 0

1 1





















































3 2

2

2

1 2

0 0

) 1

( 1

1 0

1 1























































) 1

( ) 1

( )

2 )(

1 ( 0

0

) 1

( 1

1 0

1 1

2

2





















, 3 1

) ( )

(A  R A   n  (1)  = 1 时 R

， 有无穷多解



















0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

A 得同解方程组 x₁ = 1- x₂ – x₃

导出组基础解系：  ₁ =(-1, 1, 0)^T,  ₂ =(-1, 0, 1)^T 非齐次特解：  ₀ =(1, 0, 0)^T

原方程组通解： X = ₀ + k₁  ₁ + k₂  ₂ , k₁ , k₂ R (2)  = - 2 时

， R(A)  2  R(A)  3, 无解

(3)  ≠1, - 2 时， R(A)  R(A)  3  n, 有惟一解

：

















12 2

21 1





x x

返回

例 9 判断方程组有无解



















2 2

2 1

2

2 1

2

1 1

c x

b x

a

c bx

ax

x

x (a, b , c 互不 等 )

解

2 2

2

1 1

1 det

c b

a

c b

a

A   (b  a)(c  a)(c  b)  0

, 3 )

(A  R

, 2 )

(A 

R ( 为什

么？ ) 所以，方程组无解

例 10

































n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a



















2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

系数矩阵 A 的秩等 于























2 0

1

2 1

1 1

12 11

n

n nn

n n

n

b b

b

b a

a a

b a

a a

B















的秩，证明上述方程组有 解 .

证























n nn

n n

n n

b a

a a

b a

a a

b a

a a

A

















2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

返回

A 的行向量组是 B 的行向量组的部分组，

所以 A 的行向量组可由 B 的行向量组线性表出 A 的行向量组的秩 ≤ B 的行向量组的秩

), (

) ( )

(A R B R A

R  

又

), (

)

(A R A

R 

故 R(A)  R(A), 方程组有解

已 知

1. 证明R(A^T A)  R( A).

证 设A为m  n矩阵, x为n维列向量.

; 0 )

(

, 0 )

( ,

0





 x

A A

A Ax Ax

x

T

T 即

则有 满足

若

. 0 ,

0 )

) ( (

, 0 )

( ,

0 )

(









Ax Ax Ax

x A A

x x A A

x

T

T T T

从而推知

即 则

满足 若

, 0

) (

0与 同解

综上可知方程组Ax  A^T A x 

思考题

( ) ( ^T )

n R A n R A A

   

).

( )

(A A R A

R ^T 

因此

返回

已知四元齐次方程组 及另一

 













0 : 0

4 2

2 1

x x

x I x

四元齐次方程组 的通解为

 

^II



^0,1,1,0



₂



^1,2,2,1

 

₁^, ₂



^.

1 k k k R

k ^T   ^T 

   

. ,

; ,

? 说明理由

有

若没 求出来

若有 是否有非零公共解

与 问 I II

2.

解 _将

 

^II _{的通解代入}

 

^I _得



















0 2

0 2

2 2

1

2 1

2

k k

k

k k

k  k₁  k₂.

   

_{与 的公共解为}

故 II I

 

^{T k}

 

^{T k}

 

^T

k₁ 0,1,1,0  ₂  1,2,2,1  ₂  1,1,1,1 所有非零公共解为



^{ 1,1,1,1}

 

^{k  0}



^.

k ^T

返回

 

满足 的三个解向量

方程组

如果非齐次线性 且

矩阵 是

设

3 2

1, , . 1 ,

3





 b

Ax

A R m

A







, 3 2 1

2

1 















 

 ,

1 1 0

3

2 

















 

 



















1 0 1

1

3 

 的通解.

求Ax  b 3.

, )

( ,

 A是m 3矩阵 R A  1 .

2 1

3 0

无关的解向量

个线性

的基础解系中含有  



 Ax

则 令₁ ₂  a,₂  ₃  b,₃ ₁  c,

, 2 1

2 3

1 )

2 ( 1

1 



















 a c b



, 2 3

2 3

0 )

2( 1

3 























 b c a



, 2 5

2 1

0 )

2( 1

2 



















 a b c

 解

方法 1

返回

, 2 1 1

2

1 



















 

















2 3 1

3

1 



.

0的基础解系中的解向量

为Ax 

的通解为 故Ax  b

, 2 1

2 3

1 2

3 1 2

1 1

2 1

3 2 1

















 















 

















 















k k

x x x

. , ₂

1 为任意实数

其中k k

方法 2 （更简单）：

, )

( )

( 





















2 3 1

3 2

2

1   



























2 1

2 1

0 2

1

3 2

/ / )

( 

, )

( )

( 





















4 2 0

1 3

2

1   



线性无关，所以为 AX = 0 的基础解系 .

为 AX = b 的解 . , )

( ))

(

( b b b

A    

2 1 2

1

3

2 



的通解为

故Ax  b ,

/

/ 













 















 



















4 2 0 2

3 1 2

1

2 1

0

2

1 k

X k