九十七學年度台南區

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高級中學數學及自然科能力競賽 數學科筆試(一)【參考解答】

問題一：坐標平面上，有一直角三角形ABC， C為直角，AD、BE、CF 為ABC 三中線；已知AD落在直線x  y 3 0上，BE落在直線2x  y 4 0上，

又AB長為60，試求ABC面積。

【解】如圖，設AD與BE之交角為 x ，則 tan ^{2 1 1} 1 2 1 3

x 

 

 

(180 ) 360

ADC C BEC x

         

ADC BEC  90 x

設 ADC 且 BEC   90 x 又 tan(90 x) cotx 3

2 2

tan tan tan( )

2 2 1 tan tan

1

b a a b

b a a b

 

   

 

  

  

2 2 2

2 60

3 3

b a

ab ABC

    



 60²

9 400

ABC   。

問題二：如圖，A、C在以O為圓心，半徑為 50 的圓周上，若 ABC90， 6

AB ，BC2，則 OB =？

【解】 令 OAB ，BAC AC 40

 50 40 50 1

cos( )

2 50 40 5

   ^{ }   tan(  )2

又 tan ^{2 1} 6 3

  

tan 1

tan tan 3

2 tan( )

1 tan tan tan

1 3

  

    

 

   

 

解得 tan1  cos ¹

 2 。 利用餘弦定理，得 OB 26

問題三：設 x ，₁ x ，…，₂ x₂₀₀₈ 均為複數，且滿足下列兩條件：

(1). x_k 1，k1，2，…，2008；(2).

2008

1 k 0

k

x





2008 2

1 k = 2

x x_k



【解】由條件(1)可得 ，k ；

由條件(2)可得 。

故

問題四：設

 

 

【解】設 x 為該方程式的解，令

 

9 7nx² 7＞0 n ＞0………（2）

（1） nx＜n1………（3）

（3）^{n2 7 97n}





（2）（4）n95、96………（5）

（5） x²97n 7 97 95 7 9028或x² 97n 7 97 96 7 9035

 x 9028 或 9035

問題五：將 2008 分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這 最大值，並加以證明。

【解】將 2008 分割成正整數和的方法是有限的，所以相對應的乘積個數也是有限 的，而這有限個乘積中，必定有一個數是最大的，因此最大值存在。

假設有一個分割使得 a₁+a₂+…_a_n=2008，相對應的乘積是

1 2

1 n

i n

i_ a    a a a ，

現將某些 a_i做適當的替代，使得它們的和不變，而相對應的乘積增加。

假如某一分割含有一個a_i 4，我們就用 2 和 a_i-2 這兩數來代替它，它們的 和不變，因為 2+(a_i-2)=a_i，但是在相對應的乘積中，因為 a_i將變成 2*(a_i-2)=2a_i- 4，由於a_i 4，故 2a_i  4 a_i，這個方式將>3 的數轉換成一些 2 和 3 的和，

並且新分割相對應的乘積最少等於原分割相對應的乘積。另外，如果 a_i=1，

將它和某個 a_j相加，並且用 a_j+1 代替 1 和 a_j。這新分割的和保持不變，而 a_j+1 代替因數 1*a_j以後，將會得到一個較大的相對應乘積。這個過程只有在 a_j=3 時才會造出>3 的數，但是，由上面的說明，a_j+1=4 可以分割成 2 和 2，而不 會影響到原來的和。把所有的 1 剔除掉以後，我們的分割裡頭，將只剩下一 些 2 和 3，所以相對映的乘積具有 2^x*3^y的形式。假如x3，用兩個 3 來代 替三個 2，因為 2+2+2=3+3，所以這不會影響到和，但是2³ 3²，所以這個 過程會使相對應的乘積增大。因此最大的乘積，會是下列的形式:

2^a3 ^b，a0, 1, 或 2

因為 2008=2*2+3*668，它的有最大乘積的分割將包含 668 個 3 和兩個 2，所 以最大的乘積是2² 3⁶⁶⁸