台灣省第二區九十三學年度 高級中學數學及自然科能力競賽
數學科筆試(一) 答案
【問題一】：設a,b,c為某三角形之三邊長，試證：
) (
2 )
(a2b2c2 2 a4b4c4 。（16 分）
【證法一】：展開並簡化此不等式如下：
a4b4c42a2b22b2c22c2a2 2a42b42c4
）
（*
- - - - - - - - - 0 ) (
) (
2
0 ) 2 (
) (
2
0 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 4 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
c b a c b a
c b c b a c b a
a c c b b a c b a
因式分解不等式（*），得到
0 ) )(
)(
)(
(
)]
( [ )]
( [ )]
( [ )]
( [
] ) ( [ ] ) (
[ 2 2 2 2
c b a c b a c b a c b a
c b a c b a c b a c b a
c b a c b a
+ - + +
(因為a,b,c為任一三角形之三邊長，所以a,b,c滿足
0 0 0 0
c b a
c b a
c b a
c b a
，不等式得證。)
【證法二】：展開並簡化此不等式如下：
a4b4c42a2b22b2c22c2a2 2a42b42c4
）
（*
- - - - - - - - - 0 ) (
) (
2
0 ) 2 (
) (
2
0 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 4 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
c b a c b a
c b c b a c b a
a c c b b a c b a
由上可知，欲證此不等式成立，即等價於證明不等式（*）成立。
令xa2，並考慮下列一元二次方程式：
x2 2(b2 c2)x(b2 c2)2 0 ---（**）
其兩根分別為x1 (bc)2，和 x2 (bc)2
由觀察不等式（*）和一元二次方程式（**）得知：
不等式（*）成立(bc)2 x(bc)2
）
（*** - - - - - - - - -
) ( )
( 2 2 2
c b a c b
c b a c b
因為a,b,c為任一三角形之三邊長，所以（***）必成立。
因此，不等式（*）亦成立，亦即欲證之不等式成立。
【問題二】：在△ABC 中，點D在AB上且AD 2BD，又點E是 AC 的中點。若 BEC
ACD
，試證：△ABC 是直角三角形。（16 分）
A B
C
E
D A B
C
E
D
F
【證法一】：在 CA 的相反射線上選取點 F 使得CF CE。在△ABF 中，因為AD2DB 且AC 2CF，所以，CD 與BF平行。由此可得ACDAFB。依假設，
可得
EFB AFB
ACD BEC
BEF
。
由此可知△BEF 是等腰三角形且BE BF。因為 BC 是等腰三角形△BEF 的底邊 EF 上的中線，所以， BC 與 EF 垂直，亦即：ACB是直角，△ABC 是直角三角形。∥
A B
C
E
D A B
C
E
D G
H
【證法二】：設BE與 CD 相交於點 G。過點 E 作 CD 的平行線與 AB 相交於點 H。
因為點 E 是 AC 的中點，所以，點 H 是AB的中點。因為AD2DB，所以，DH DB， 進一步得GBGE，點 G 是BE的中點。因為ACDBEC，所以，GEGC。由 此得GBGC及GBCGCB。因此，得
) 2(
) 1 2(
1 GCE GEC GCB GBC
GCB GCE
ACB
90
2 180 ) 1 2(
1
BCE CEB EBC 。∥
A B C
E
D A B
C
E
D G
J K
【證法三】：設BE與 CD 相交於點 G。在 BC 的相反射線上選取點 J 使得BC BJ ， 設 AJ 與直線 CD 相交於點 K。因為AB是△ACJ 的一條中線，而且AD2DB，所以，
點 D 是△ACJ 的重心。於是， CK 是△ACJ 的另一條中線，點 K 是 AJ 的中點。因為 B 與 E 分別為 AC 與 CJ 的中點，所以，BE與 AJ 平行。於是，由AK KJ可得
GE
GB ，點 G 是BE的中點。∥
A B
C
E
D A B
C
E
D G
L
【證法四】：設BE與 CD 相交於點 G。過點 B 作 AC 的平行線與直線 CD 相交於點 L。
因為 AC 與BL平行，所以，△ACD 與△BLD 相似。於是，由AD2DB可得AC2BL。 由此可知：
BL AC CE
2
1 。
因為四邊形 BCEL 有一組對邊平行且等長，所以，BCEL 是平行四邊形。於是，兩對 角線BE與 CL 的交點 G 是BE的中點，GBGE。∥
A B C
E
D A B
C
E
D G M
【證法五】：設BE與 CD 相交於點 G。過點 E 作AB的平行線與 CD 相交於點 M。因 為點 E 是 AC 的中點，所以，點 M 是 CD 的中點而且AD2EM。因為AD2DB， 所以，EM DB。因為四邊形 BDEM 有一組對邊平行且等長，所以，BDEM 是平行 四邊形。於是，兩對角線BE與DM的交點 G 是BE的中點，GBGE。∥
【問題三】：設 n 為自然數，試證：在任意3 個正整數中，必存在n 2n個數的和是2n的 倍數。（17 分）
解：
(i) 當n1時，在任意 3 個正整數x,y,z中，必有兩個數有相同的奇偶性，其和為 2 的 倍數。
(ii) 當nk時，假設命題成立，即：在任意3 個正整數中，必存在k 2 個數，其和是k 2k 的倍數。
當nk1時，對任意3k1個正整數，先平分成三堆，每一推各有3k個正整數。依 歸納假設，每堆各存在2 個數，其和是k 2 的倍數。 k
可設第一堆中的2 個數之和為k S1 2kx，第二堆中的2 個數之和為k S2 2ky， 第三堆中的2 個數之和為k S3 2kz，其中x,y,z為正整數。
因x,y,z中，必有兩個數有相同的奇偶性；不失一般性，設x,y同為奇數或同為偶 數，則x y是 2 的倍數，可令xy 2m。
因 此 ， 第 一 堆 和 第 二 堆 中 ， 一 共 找 出 的 2k 2k 2k1 個 數 之 和 等 於 m
y x S
S1 2 2k 2k 2k1 為 2k1的倍數。得證。
