九十七學年度嘉義區

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高級中學數學及自然科能力競賽 數學科筆試(一)【參考解答】

問題一：設三角形 ABC 的外接圓和內切圓的面積分別為 M 和 m，證明

M  4 m

【解】設ABC的內切圓和外接圓半徑分別為 r, R，

並設ABC的面積為，而

2 a b c S  

 .

由 sr  和

4 abc

  R 得 r

s

 和

4 R abc

 所以 ( ) ( )

4

R a b c s r  

 

4 2

4 ( ) ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( )

a b c s

a b c s

s s a s b s c abc

s s a s b s c

 

   

   

若設 x s, a y s, b z, s c 則 a y, z b x, z c. x y 因此

2 2 2

a y z y z

b x z x z

c x y x y

  

  

   所以 a b c8 x y z

故知 2

4 ( )( )( ) 4

abc abc

s s a s b s c  xyz 

  

進而得 R 2 r  , 由此得 M ( )R ² 4

m  r  .

問題二：找出所有正整數 n，

120   n 130

a   b ab

其中

a b ,

【解】

等式 n  a b ab 等價於n 1 (a1)(b1) 即 n1 不為質數。

因此 n 無法表成 a b ab  等價於 n1 為質數。

在 121 和 131 中的質數是 127 和 131。

故 n126 和 130 無法表成 a b ab  的形式。

問題三：在邊長為 1 的正三角形 ABC 的邊 AB, AC 上分別取 D, E 兩點，使得沿線段 DE 摺三角形時，頂點 A 正好落在邊 BC 上。求符合上述條件時線段 AD 之 長的最小值。

【解】

因為 A 關於 DE 的對稱點 P 在 BC 上，所以若設BAP，則DPA， 2

BDP 

  ，再設ABa AD, x，於是在 ABP 中 s i n s i n

B P A B

B A P A P B

 

s i n

s i n ( 1 2 0 )

BP 

 

 於 PBD中

sin sin

DP BP

B  BDP

 

因 DPDAx, sin 2 sin 60 BP_ x 

sin sin 60 3 sin

sin 2 sin(120 ) 2 2sin cos sin(60 )

x  

    

 

  

3

4 cos sin(60 )

 

4cos sin(60 )2sin(60 2 ) 2sin 60  2sin(60 2 )  3 因 0  60 , 60 60 2180

0 s i n ( 6 0  2 ) (1) 1 34cos sin(60 ) 2 3

3 3

2 3  x 3

 ( 2 3 3 ) x 1

其中 (2 3 3) x 只有(1)式右邊取等號，即 60 2 90

 15 時才成立。因此 AD 在 15 取得最小值(2 3 3) 此時 AD(2 3 1) .

問題四：如右圖所示，在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示 數字，其中的

x x

, ,

, x

x

x

【解】

由題設知

1 2 4

3 2 6

7 4 8

9 6 8

1( 4 2 ) 4

1( 0 0 ) 4

1( 1 1 ) 4

1( 2 4 ) 4

x x x

x x x

x x x

x x x

   

   

   

   

因此

 

1 3 7 9 2 4 6 8

2 4 6 8

1 1 4 2 ( )

4

7 1

( )

2 2

x x x x x x x x

x x x x

       

    



類似的，可得

 

2 4 6 8 5 1 3 7 9

5 1 3 7 9

1 2 0 0 2 4 2 ( )

4

1 1( ) 2

x x x x x x x x x

x x x x x

            

      



又 5





1

x 4 x  x  x  x  所以將, 代入得

 

 

2 4 6 8 2 4 6 8

2 4 6 8

1 1 4

1 1 1

2 7 2

x x x x x x x x

x x x x

        

 

      

 

再代回得 ₅ 3 x 8.

2

0

1

4  2 0

x3

0

0 2

1

 2

4 x

x

x

x

x

x

x

x