台灣省第一區九十九學年度

台灣省第一區九十九學年度 ^{（花蓮高中）}

高級中學數學及自然科能力競賽 數學科筆試(一)答案卷

注意事項：

1. 本試卷共四題計算證明題，滿分 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

4. 將過程填寫在答案卷內。

【問題一】試證：任何被 8 除餘 7 的正整數都不能寫成 3 個正整數的平方和。

解：

1. 設a8k7，且ax²y²z²

則x, y, z 中或全為奇數或有一為奇數，另兩個為偶數 不妨設x2m1，則y, z 同奇或同偶

(1) y, z 同奇：

設y2n1，z2+1

則a( 2m1 )²( 2n1 )²( 2+1 )²

=4（m ( m1 )n ( n1 )( +1 )）+ 3

括號內的每一項都是偶數，因此 a 被 8 除餘 3，矛盾。

(2) y, z 同偶：

設y2n，z2

則a( 2m1 )²( 2 )n ²( 2)²= 4（m ( m1 )n²²）+ 1

若 n, 為一奇一偶，則m ( m1 )n²²為奇數

因此 a 被 8 除餘 5，矛盾。

若 n, 同為奇或同為偶，則m ( m1 )n²²為偶數

因此 a 被 8 除餘 1，矛盾。

【問題二】已知實數 a 與 b 滿足 a0,b0,a b 1,求

1 1

b a

a b

  的最大值與最小

值。

解：

利用a b 1及





   

 

2 2

2 2 6

2 .

1 1 1 2 2

a b a b

b a ab

a b a b ab ab ab

   

     

      

利用算幾不等式

¹

2 2

ab a b

 

得 ¹

ab4，又由a0,b0知 0 ¹,

ab 4

  即

^{8 6} 3.

3 2 ab

 因此

² 2 ⁸ 2 3 1.

3 3 1 1

b a

a b

        

 

故當 ¹

a b 2時，得最小值²

3，而當a0,b1或a1,b0時，得最 大值 1。

【問題三】如下圖，過正方形 ABCD 的頂點A任作一直線L，設L與直線 BC 、 CD 分別交於P、Q兩點。已知正方形 ABCD 的邊長為 a ，試求CP CQ

的最小值。

解：

CPQ面積 = CAP 面積+ CAQ面積

A B

D C Q

P

1 1 1

2CQ  CP  2CP  AB2CQ AD

CQ  CP  a（CPCQ）

因此 CP 、CQ 是x²( CP  CQ x ) a CP(  CQ )0的兩根



CP CQ  a

當CPCQ2a時有最小值 4a

【問題四】(1)證明

1 cos

3 4

cot .

24 sin

3 4

 



 

 

   

   

(2)求cot 24

 的精確值(化為最簡形式)。

解：

(1)

cos24 cot24

sin24

 

 

2 cos2

24 2 sin cos

24 24

1 cos 12 sin12

1 cos

3 4 . sin 3 4



 





 

 



 

 

   

   

(2) 因為

cos cos cos sin sin

3 4 3 4 3 4

     

   

 

 

1 2 3 2 2 2 2 2

6 2 4 4

   

 

sin sin cos sin cos

3 4 3 4 4 3

     

   

 

 

3 2 2 1 2 2 2 2

6 2 4 4 ,

   

 

所以

6 2

1 4 4

cot24 6 2

4 4

 _ ^{ }



   

4 6 2

6 2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6.

 

 

  

 

   