《数值分析》2

《数值分析》2

主要内容： _{数值计算中的基本原则}

算法的数值稳定概念

方程求根问题引例

二分法及其算法描述

EXP: a = 10⁹

，

a + b =1.0000000 ×10⁹+ 0.000000009 ×10⁹

由于只保留8位有效数，处于第九、十位的数09

被舍去

将 a 的数据作为加法计算的最终结果

数值计算中的基本原则

(1)避免绝对值小的数做除数;

(2)避免两相近数相减;

(3)防止大数“吃”小数现象

数值计算中的基本原则

举例

的值 秦九韶算法

P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))

应用

(1 1 1 0 1 1 1 0)₂ = 2⁷+2⁶ +2⁵ +0 +2³ +2² +2 +0

=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0

=238

(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)

数值计算中的基本原则

数值计算中的基本原则

举例1：计算 ^I

^{ e}



^x

^e

^dx

1 1 1

0

0

 ^e

 ^{e dx}  ^e

( ^e  1 )  1  ^e

I

1

1 1

1 1 1 0 1

1 )

(



















x n n

x n

x n n

nI dx

e x

n e

x e

dx e

x e

I







^x

^{dx }

^x

^e

^{dx  e}

^x

^dx

1 1 1

1

 

 



I n n

e n

算法数值稳定引例

算法的数值稳定概念

初值 ： I

= 1 – e

≈ 0.63212055882856 理论递推公式 : I

= 1 – nI

(I

= 1- e

)

S

=1-0.63212055882856; S(2)=1- S

; for n=2:20

S(n)=1-n*S(n-1) end

n=20时，S

= - 30.19239488558378 实际计算 : ^S

^{=1- nS}

, _S

=0.63212055882856

算法的数值稳定概念

v.s. I_n=1 - _nIn-1 S_n- _In=- _n(Sn-1 - I_n-1)

e(S_n)= –ne(S_n-1)=···= (n!)(–1)ⁿe(S₀)

新算法: I_n-1 = (1 - I_n)/n S(30)=1/31

for n=30:-1:2

S(n-1)=(1-S(n))/n;

end

u 初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不 稳定算法。

S_n=1-nS_n-1

算法的数值稳定概念

请仿照上例分析

S_n-1-_{In-1= –(Sn} - I_n)/n, ( n =30, 29, ···, 1 ) 迭代最终结果为：S₁

可知：数学上完全等价的两种递推公式，由于运 算次序不同会出现完全不同的算法稳定情况。

|e(S₁)|= |S₁

-

–

初始误差 算法的数值稳定概念

u初始误差 在算法执行过程中 不断减小 ,

这种算法称为数值稳定算法。

举例2：水中浮球问题

有一半径R =10 cm的球体,密度 =0.638.球体浸入水中

后,浸入水中的深度d 是多少？

阿基米德定律  ³

4 R3

 ^{ }



R R x dx V

2

2

( ) ]

[





) 3

3 (

1 d₂ R  d

 

) 3

3 (

1 d ₂ R





(

4R³



0 4

3

3

 _Rd  _R  

d

 非线性方程求根引例

水密度

方程求根问题引例

d

0 5 10 15 20 -2000

-1000 0 1000 2000 3000

由 =0.638, R = 10, 代入, 得：

d ³ – 30 d ² + 2552 = 0

令 f (x) = x ³ – 30 x ² + 2552 ,函数图形如下 f(x)在区间[0,20]有唯一

的根

P= [1 -30 0 2552];

roots(P) --->Matlab命令 ans =

26.3146 11.8615 -8.1761

方程求根问题引例

① 对根进行隔离：

② 逐步逼近

设

x₀  x₁  x₂  ···  x_n···

用数值方法求非线性方程的根,分两步进行 :

lim x

x

n





只须：

方程求根问题引例

已知方程 f(x)=0 有一隔根区间[a, b], 且f(x)满足f(a)·f(b)<0, 则：

①先将[a , b]等分为两个相等小 区间

②判断根属于哪个小区间

③舍去无根区间保留有根区间 [a₁, b₁];

总结：把区间[a₁, b₁] 一分为二,进一步判断根属于哪个更小的 区间[a₂, b₂],如此不断二分以缩小区间长度

a b

a1 b1

a2 b2

f(x)

…...

(a+b)/2

(a1+b1)/2 二分(迭代)法引例

二分法及其算法描述

[a, b] x₀=0.5(a+b) [a₁,b₁]=[a,x₀] x₁=0.5(a₁+b₁) 构造二分法迭代格式

已知f(x)=0在[a,b]内有一根, 且f(a).f(b)<0 1) 计算: y_a f(a), x00.5(a+b), y0f(x₀)

判断: 若y₀=0, 则x₀是根, 否则转下一步;

2) 判断: 若y₀·ya<0, 则a₁a, b₁ x₀ 否则 a₁x₀, b₁b, y_a  y₀

y₀=f(x₀)=0 ? [a₁,b₁]=[x₀,b]

3) Repeat! 直至达到精度要求 算法

流程

二分法及其算法描述

二分法迭代将得到一系列隔根区间:



  





 [ , ] [ , ] [ , ] ]

,

[ a b a

b

a

b

a

b

定理2.2: 设x^*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)·f(b)<0,, 则二

分计算过程中, 各区间的中点数列

) , 2 , 1, 0 (

) 2 (

1

  



x_{n n n}

性质: 1. f(a_n)·f(b_n)<0; 2. b_n – a_n = (b – a)/ 2ⁿ

满足: | x_n – x*|≤ (b – a)/ 2ⁿ⁺¹

log 

 b a

3 n

1  10 

 a  只需 b

3

* 10

2

| 1

| x_n  x   ^

注记: 若要

二分法及其算法描述

函数在[0,1]内有唯一零点, 故[0,1]是隔根区间 举例3： 二分法求方程

在区间 [0, 1]内的根；二分十次。

0 2 )

sin(

)

exp( x 



解: 令 )

sin( 2 )

exp(

)

(x x x

f 







0 1

) 0

(

 

f f (1)







1 0

, 0 2 )]

2 cos(

) [exp(

)

(       

 x x x x

f  

0 )

1 ( ) 0

( 

 f f Step 2: 判断在[0,1]是否有唯一根?

Step 1: 判断 f(0)f(1)<0 ?

二分法及其算法描述

二分法迭代实验数据

n an xn bn 0 0 5.0000e-001 1.0000e+000 1 0 2.5000e-001 5.0000e-001 2 2.5000e-001 3.7500e-001 5.0000e-001 3 3.7500e-001 4.3750e-001 5.0000e-001 4 4.3750e-001 4.6875e-001 5.0000e-001 5 4.3750e-001 4.5313e-001 4.6875e-001 6 4.3750e-001 4.4531e-001 4.5313e-001 7 4.3750e-001 4.4141e-001 4.4531e-001 8 4.4141e-001 4.4336e-001 4.4531e-001 9 4.4336e-001 4.4434e-001 4.4531e-001 10 4.4336e-001 4.4385e-001 4.4434e-001

二分法及其算法描述

举例4：二分法算法(水中浮球问题)

x f=inline('x.^3-30*x.^2+2552');

a=0; b=20; er=b-a; ya=f(a);

k=0; er0=.005;

while er>er0

x0=(a+b)/2; y0=f(x0);

if ya*y0<0 b=x0;

else

a=x0; ya=y0;

end

er=b-a;k=k+1;

endk, xk=(a+b)/2

k=12, x_k=11.8628 满足:

| xn – x*|≤ 20/ 2¹³ ≤0.0025 f(d) = d ³ – 30 d ² + 2552 = 0 , [0, 2R]=[0, 20]

二分法及其算法描述

二分法迭代实验数据 ( x^*=11.8615 ) n |xk – x^*|

0 1.8615e+000 1 3.1385e+000 2 6.3850e-001 3 6.1150e-001 4 1.3498e-002 5 2.9900e-001 6 1.4275e-001 7 6.4627e-002 8 2.5564e-002 9 6.0328e-003 10 3.7329e-003 11 1.1499e-003

二分法及其算法描述

练习与思考

1.设计多项式算法

15 11

7

1

( x ) 1 2 x

3 x 4 x 5 x

P     

2. 微积分回顾

连续函数介值定理、拉格朗日中值定理 3. 两次二分中点之差| x_n+1 – x_n | = ？

4.半径R =10 cm的圆柱体,密度



要计算吃水深度

学到了什么？

数值计算中的基本原则

算法的数值稳定概念

方程求根问题引例

二分法及其算法描述