《数值分析》4

(1)

《数值分析》4

主要内容： _{Newton迭代格式}

Newton迭代法的收敛性

Newton迭代法收敛速度

弦截法迭代格式

(2)

设 x

^*

是方程 f(x)=0 的根, x

₀

是 x

^*

的近似值。在 x

₀

附近 ,对函数做局部线性化 (Taylor展开)

) )(

( )

( x f x

₀

f x

₀

x x

₀

f    

x

₁

比 x

₀

更接近于 x*

x

₀

x x

^*

0 )

)(

( )

( x

₀

 f  x

₀

x  x

₀

 f

f(x) = 0 

) (

0 0 0

1

f x

x x f

x   



Newton迭代格式

(3)

) (

)

1 (

n n n

n f x

x x f

x _    (n = 0, 1, 2, ···)

牛顿迭代格式

给定初值

x₀, 迭代产生数列

x₀, x₁, x₂,···, x_n,···

应用——

求正数平方根算法

设

C > 0, ^{x } ^C x² – C = 0

令

f(x) = x² – C , 则 ^f ^⁽ ^x⁾ ^ ² ^x

n n n

n

x

C x x

x 2

2 1

 



 [ ]

2

1

n n

n

x

x C

x

_

 

Newton迭代格式

(4)

初值

: x₀=1.5

迭代格式

: x_n+1=0.5(x_n+2/x_n) (n = 0,1,2,···)

引例

. 平方根算法求 2

x_n Error 1.416666666666667 2.45e-003 1.414215686274510 2.12e-006 1.414213562374690 1.59e-012 1.414213562373095 2.22e-016 1.414213562373095 2.22e-016

表1 平方根算法实验

Newton迭代格式

(5)

由此可知

, 平方根算法具有 2 阶

收敛速度

n n

n

x

x x

2 1 )

2 (

2

1









2 2

1 | 2

|

| 2

lim |

¹ ₂











 n

n

x

2 2 ]

2 [ 2 1

1

   



n n

n

x x

x

2

( 2 )

2 ] 1

2 2

2 2 [

1    



_n

n n

x x x

x x

2 lim 



 n

n

x

牛顿迭代法是否都收敛？条件？

Newton迭代法的收敛性

(6)

Newton迭代法的局部收敛性

定理

2.7 设 f(x) 在点x*的

某邻域内具有二阶连续导数,且设

f(x*)=0, f ’(x*) ≠ 0, 则对

充分靠近点

x*的初值x₀, Newton迭代法

至少平方收敛

.

) (

)

1

(

n n n

n

f x

x x f

x

_

  

) (

) ) (

( f x

x x f

x   



0 )]

( /[

) (

)

(

^*



^*



^*



^* ²



 x f x f x f x



所以

, Newton迭代法至少平方收敛(第3讲定理2.6)

) (

) ) (

(

^* _*^*

x f

x

x f 

 

 



Newton迭代法的收敛性

(7)

例 2. 求

x³ +10x – 20 =0 在 x₀=1.5 附近的根

解

:取

f ( x )  x

³

 10 x  20

10 3

20 10

2 2 3

1 



 

 

n n n n

n x

x x x

x

牛顿迭代格式

则有

f



(x)



3x²



10

n x_n | x_n+1 – x_n | 0 1.5

1 1.59701492537313 9.7015e-002 2 1.59456374876881 2.4512e-003 3 1.59456211663188 1.6321e-006 4 1.59456211663115 7.2298e-013

表2 牛顿迭代法实验

和不动点比，速度如何？(第3讲例2)

Newton迭代法的收敛性

(8)

缺陷

1.被零除错误

2.程序死循环

y = arctan x

对

f(x) = arctan x

存在

x₀, 使Newton迭代法陷

入死循环

f(x)=x³ –3x + 2 = 0

在

x*=1附近, f  x( ) 0

3.其它

Newton迭代法的收敛速度

(9)

x0

y x1 x2 x3

y=x³ – x – 3

x

Newton迭代法陷入死循环的另一个例子（可能若干步后才陷入死循环）

1 3

3

2 3

1 



 

 

n n n n

n x

x x x

x

取 x

₀

=0,

(n = 0, 1, ···)

Newton迭代法的收敛速度

(10)

f’<0, f”>0 f’>0, f”>0

f’>0, f”<0 f’<0, f”<0

牛顿迭代法收敛的四种情况

Newton迭代法的收敛速度

(11)

定理2.8 若函数

f(x) 在[a，b] 上满足条件

则方程

f(x) = 0 在[a，b] 上有

唯一根

x^*

，且由初值

x₀

按牛顿迭

代公式求得的序列

{x_n}

二阶收敛于

x^*

。

（

1）f(a) f(b) < 0；

（

2）f ’(x)，f ”(x) 在[a，b]上

连续且不变号（恒为正或恒为负）；

（

3）取x₀

∈

[a，b] 使得 f(x₀

)f ”(x

₀

) > 0 （不证）

Newton迭代法的收敛速度

(12)

0 )

)(

2 ( ) 1

)(

( )

( x

^*

 f x

_k

 f  x

_k

x

^*

 x

_k

 f 

_k

x

^*

 x

_k ²



f 

2

*

( )

) (

2 ) ] (

) (

)

[ (

_k

k k k

k k

x x

x f

f x

f

x x f

x 



 

 



 

2 1 *

*

( )

) (

2 ) (

k k

x x

x f

x 



 





_



| ) (

| 2

| ) (

|

| ) (

| 2

| ) (

lim | )

(

|

lim |

¹ _* ^*₂ ^*_*

x f

f x

x

x x

k k k k

k



 



 















Newton迭代法的收敛速度

(13)

例3.已知方程有两根:

取根附近值做初值,分析牛顿迭代法实验的数据。

0 2

3

 3 x  

x

* 2

1

 

x x^*₂



1

表

3 初值取 – 1.5 时牛顿迭代法速度

n x_n | e_n | | e_n+1 |/| e_n |² 0 -1.5 5.00e-001

1 -2.33333333333 3.33e-001 1.3333 2 -2.05555555555 5.55e-002 0.5000 3 -2.00194931773 1.94e-003 0.6316 4 -2.00000252829 2.52e-006 0.6654 5 -2.00000000000 4.26e-012 0.6667

Newton迭代法的收敛速度

(14)

表

4 初值取 1.5 时牛顿迭代法速度

n x_n | e_n | | e_n+1 |/| e_n | 0 1.5 5.00e-001

1 1.2666666 2.66e-001 0.5333 2 1.1385620 1.38e-001 0.5196 3 1.0707773 7.07e-002 0.5108 4 1.0357918 3.57e-002 0.5057 5 1.0180008 1.80e-002 0.5029 6 1.0090271 9.02e-003 0.5015 7 1.0045203 4.52e-003 0.5007 8 1.0022618 2.26e-003 0.5004 9 1.0011313 1.13e-003 0.5002 10 1.0005657 5.65e-004 0.5001

为什么这么慢？

Newton迭代法的收敛速度

(15)

引理

1

设

x^*

是

f(x)=0 的二重根, 则牛顿迭代法只具有一阶收敛

证

: x^*

是二重根

 f(x)=(x – x^*)²g(x)

)]

( )

( 2 )[

( )

( x x x

^*

g x x x

^*

g x

f      

) ( )

( )

( 2

) ( ) ) (

(

^* _*

x g

x x

x g

x g x

x x

x   

 

 

2 1 1

)

(

^*

 

 x



 牛顿迭代法只是一阶收敛

.

表明：当有重根时，传统牛顿法二阶收敛性质不成立！

Newton迭代法的收敛速度

(16)

n x_n | e_n | | e_n+1 |/| e_n |² 0 1.5 5.00e-001

1 1.03333333333 3.33e-002 0.1333 2 1.00018214936 1.85e-004 0.1639 3 1.00000000552 5.52e-009 0.1667

引理

2

若

x^*

是

f(x)=0 的 m 重根,修正的牛顿迭代法

) (

)

1

(

n n n

n

f x

x m f

x

_

  

为至少二阶收敛

表

5 x^*

为二重根时修正的牛顿迭代实验

(例3) ( ) ) 2 (

1 n

n n

n f x

x x f

x _

  

回到例3： m = 2 

Newton迭代法的收敛速度

(17)

Ø

牛顿法有，只要

(无重根)

就有 p  2。重根是线性收敛的。² ⁽ ^*)

*) (

|

| lim | ¹₂

x f

x f e

e

k k

k 

 





 f  x( *)  0

Ø

牛顿法收敛性依赖于x₀ 的选取。初值充分接近

根以保证局部收敛性。

Ø

相对简单。

Ø

公式中需要求 f(x) 的导数。若 f(x)比较复杂，则使用牛

顿公式就大为不便。

Ø 零除、死循环总结

优点：

缺点：

(18)

Newton迭代法的变形－弦截法(为避免计算导数)

) ) (

( )

(

)

(

1

1 1 







 



_n _n

n n

n

x x

x f

x x f

x

) (

)

1

(

n n n

n

f x

x x f

x

_

  

由于

代入牛顿迭代格式



n n

n

n nx x

x f x

x f

f 

 

( ) ( ) ( ^¹)

-1

弦截法迭代格式

(19)

n x

_n

| e

_n

| | e

_n+1

|/| e

_n

|

^1.618

1 -1.5 5.00e-001

2 -2.5 5.00e-001 1.5347 3 -1.83783783783 1.62e-001 0.4978 4 -1.95420890762 4.57e-002 0.8691 5 -2.00552244119 5.52e-003 0.8109 6 -1.99982796307 1.72e-004 0.7742 7 -1.99999936831 6.31e-007 0.7785 8 -2.00000000007 7.24e-011 0.7778

《数值分析》4

《数值分析》4

主要内容： Newton迭代格式

Newton迭代法的收敛性

Newton迭代法收敛速度

弦截法迭代格式

设 x

是方程 f(x)=0 的根, x

是 x

的近似值。在 x

附近 ,对 函数做局部线性化 (Taylor展开)

) )(

( )

( )

( x f x

f x

x x

f    

x

比 x

更接近于 x*

x

x x

0 )

)(

( )

( x

 f  x

x  x

 f

f(x) = 0 

) (

) (

f x

x x f

x   



Newton迭代格式

牛顿迭代格式

给定初值

求正数平方根算法

设

令

x

C x x

x 2

 

 [ ]

2

1

x

x C

x

 

Newton迭代格式

初值

迭代格式

引例

表1 平方根算法实验

Newton迭代格式

由此可知

收敛速度

x

x x

2 1 )

2 (

2







2 2

1

| 2

|

| 2

lim |







x

主要内容： _{Newton迭代格式}

附近 ,对函数做局部线性化 (Taylor展开)

牛顿迭代法是否都收敛？条件？

Newton迭代法的局部收敛性