《数值分析》 11

(1)

《数值分析》 11

主要内容：

插值法的应用背景

代数插值问题的适定性 线性插值与二次插值 拉格朗日插值公式

(2)

1

引例：函数 sin x 的逼近

(1) 线性函数逼近 y₀ = x (2)泰勒级数逼近

y

₁

(x)= x – x

³

/3! + x

⁵

/5!

(3)抛物线逼近(error=0.0559)

y

₂

=4x(π – x)/π

²

(4)帕特逼近(error=0.0036)

0 1 2 3 4

0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4

0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4

0 0.5 1

) 5

364 11088

( 15

551 22260

166320 )

( ₂³ ₄ ⁵

x x

P  



 

(3)

插值法的应用背景

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

(1)复杂函数的计算; 0.6

(2)函数表中非表格点计算 (3)光滑曲线的绘制;

(4)提高照片分辩率算法 (5)等等

5 10 15

2 4 6 8

(4)

2

0

( ) 2 ^x ^t

Erf x e dt









引例2：误差函数

x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000

] 5205 .

0 )

1 ( 8427

. 0 )

5 . 0 5[(

. 0 1

) 1

(     

  x x

x Erf

当

x∈(0.5, 1)

^时

] 8427 .

0 )

5 . 1 ( 9661 .

0 )

1 1[(

5 . 1 ) 1

(     

  x x

x Erf

当

x∈(1, 1.5)

^时

3

(5)

已知f(x)在点x_i上的函数值 y_i=f(x_i), (i=0,1,2,···,n)

则称 P(x) ^为 f(x) ^{的插值函数}.

称 x₀, x₁, ···, x_n为插值结点; 称

f(x)

^{为被插值函数}.

如果

P(x)=a

₀ + a₁

x +···+ a

_n

x

ⁿ

满足: P(x_k)= y_k

( k = 0,1,…,n )

设 f(x)∈C [a , b], 取点 a ^≤x₀＜x₁＜···＜x_n^≤b

代数插值问题

插值条件

(6)

5

点,则满足插值条件

^P

(x_k)= y_k (k = 0,1,…,n)

的

n

^{次插值多项式}

^P(x)=a

₀^{+ a}₁

^{x +……+ a}

_n

^x

ⁿ

存在而且是唯一的。























n n n n n

n n n n

y x

a x

a a

y x

a x

a a

y x

a x

a a



1 0

1 1

1 1 0

0 0

0 1 0

证明: 由插值条件

P(x

₀

)= y

₀

P(x

₁

)=y

₁

···

P(x

_n

)=y

_n

定理

5.1

^{若插值结点}

x

₀

, x

₁

,···, x

_n ^是 (n+1)^个互异



代数插值问题

(7)

代数插值问题

nn n

n n

x x

A



1 1 1

|

| ¹ ¹

0 0



方程组系数矩阵取行列式

故方程组有唯一解.

从而插值多项式

P(x)

^{存在而且是唯一的}.

例5.1 ^{误差函数表可构造}6^{次插值函数}

0 )

0(  



    i j j

i

n x x

x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000

(8)

7

代数插值问题

) (

)

(

₀

0 1

0

0 1

x x

y y y

x

L 



 



过两点直线方程

求满足: L(x₀)=y₀ , L(x₁)=y₁^{的线性函数}

L(x) 已知函数表 x x

0

x

₁

f(x) y₀ y₁

例 求的近似值(函数值: 10.7238)

115 10.7143 )

100 115

100 ( 121

10 10 11

115  



 



(9)

代数插值问题

0 1

1 0 0

1

0( ) 1 , ( )

x x

x x x

x l x

x x x

l 

 



  记

当

x

₀^≤

x

^≤

x

₁^时 0≤l₀(x)≤1, 0≤l₁(x)≤1

x x₀ x₁ l₀(x) 1 0 l₁(x) 0 1

1 1

0

( ) ( )

)

( x l x y l x y

L  

[y₀ y₁] = [1 0]y₀ + [0 1]y₁

0 0 1

1 1 0

1

)

0

( y

x x

x y x

x x

x x x

L 

 



 

对称形式

(10)

9

二次插值问题

x

x0

x

1

x

₂

f(x) y

₀ y₁ y₂

已知函数表

求函数

L(x)=a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

²^满足^:

L(x

₀

)=y

₀

, L(x

₁

)=y

₁

, L(x

₂

)=y

₂

[y₀ y₁ y₂] = [1 0 0]y₀ + [0 1 0]y₁+ [0 0 1]y₂

L(x)=l

₀(x)y₀+l₁(x)y₁+l₂(x)y₂，

(11)

二次插值问题

) )(

(

) )(

) ( (

2 0

1 0

2

0

x x

1

x x

x x x

l

 



 

二次插值函数

: ^L(x)=l

₀^(x)y₀^+l₁^(x)y₁^+l₂^(x)y₂，

x x₀ x₁ x₂ l₀(x) 1 0 0

l₀(x) 1 0 0 l₁(x) 0 1 0 l₂(x) 0 0 1 L(x) y₀ y₁ y₂ x x0 x₁ x₂

) )(

(

) )(

) ( (

2 1

0 1

2

1 x x0 x x

x x

x x x

l  



 

) )(

(

) )(

) ( (

1 2

0 2

1

2 x x0 x x

x x

x x x

l  



 

(12)

11

二次插值问题

二次插值基函数图形

0 0.5 1

-0.5 0 0.5 1

0 0.5 1

-0.5 0 0.5 1

0 0.5 1

取 x₀ =0, x₁ = 0.5, x₂ = 1

0 0.5 1

-0.5 0 0.5 1

l₀(x)=2(x – 0.5)(x – 1);

l₁(x)= – 4 x(x – 1);

l₂(x) = 2(x –0.5)x

(13)

二次插值问题

二次插值的一个应用——极值点近似计算

二次插值函数

: ^L(x)=l

₀^(x)y₀^+l₁^(x)y₁^+l₂^(x)y₂^，

0 ]

) ( )

( )

(

[ l

₀

x y

₀

 l

₁

x y

₁

 l

₂

x y

₂

 dx

d

) )(

(

) (

) 2 (

1 2

0 2

1

2 x x 0x x

x x

l  



 



2 0

1 1

0 2

0 1

2

2 2 2 0

1 2 1

2 0 2 2 0

2 1 2

*

( ) ( ) ( )

) (

2 1

y x

x y

x x

y x

x

y x

x y

x x

y x

x x











 

) , )(

(

) (

) 2 (

2 0

1 0

2

0

x x

1

x x

l

 



 



) )(

(

) (

) 2 (

2 1

0 1

2

1

x x

0

x x

l

 



 

 _{极值点近似计算公式}

(14)

13

拉格朗日插值公式

插值条件

:L(x_k)= y_k (k = 0,1,…,n)

n n

n

x l x y l x y l x y

L ( ) 

₀

( )

₀



₁

( )

₁

   ( )

) (

) )(

( )

(

) (

) )(

( )

) ( (

1 1

0

1 1

0

n k

k k

k

n k

k

x x x x

k

x x x x

x x

x x x

l    



 











其中

,第k (k=0,1,…，n)个插值基函数



ⁿ

k

jj k j

j

k

x x

x x x

l

 

 

0

( )

) ) (

(

或

:

(15)

Runge反例: , (-5 ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ₁ _ ¹ _x

₂ ^≤

x

^≤5)

-0.5 0 0.5 1 1.5

2

L

₁₀

(t)

f(t) f(x)

取 x

_k= –5+k 计算: f(x_k) (k=0,1,…,10)

得到插值函数 L

₁₀(x).

为了显示, 取t_k= –5+0.05k (k=0,1,…,200), 通过 f(t_k)画f(x)

(16)

15

Runge现象：

在数值分析领域中，龙格现象是在一组等间插值点上使用具有高 次多项式的多项式插值时出现的区间边缘处的振荡问题。

它是由卡尔.龙格（Runge）在探索使用多项式插值逼近某些函 数时的错误行为时发现的。这一发现非常重要，因为它表明使用 高次多项式插值并不总能提高准确性。该现象与傅里叶级数近似 中的吉布斯现象相似。

(17)

x=(-5:5)'; t=-5:0.05:5;

N=length(x); n=length(t);

y=1./(1+x.^2);

y1=1./(1+t.^2);

T=ones(N-1,1) *t;

P=0;E1=ones(1,n);

for k=1:N

Xk=x;Xk(k)=[];

Q=prod(x(k)-Xk);

P=P+y(k)*prod(T-Xk*E1)/Q;

endplot(x,y,'ko',t,y1,t,P,'r')

(18)

学到了什么？

17

插值法的应用背景

代数插值问题的适定性 线性插值与二次插值 拉格朗日插值公式