教育部九十五學年度高級中學數學競賽

教育部九十五學年度高級中學數學競賽

嘉義區複賽試題（一）【參考解答】

一、【解】

設 f x( )x³px²qx r  (x )(x)(x) 其中  , , 是  3, 2, 1, 0, 1, 2,3中的某相異三個。

因為 f( 1)        1 p q r 1 (p q r  ) 所以p q r     1 f( 1)

    1 ( 1 ) ( 1  ) ( 1  ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1

(i) 當  , , 為1, 2,3時，(1)(1)(1 ) 1有最大值2 3 4 1 23    . (ii) 當  , , 為3, 2,3時，(1)(1)(1 ) 1有最小值     2 3 4 1 25.

二、【解】

設 sec ¹tan ,

u 2  0 . 2

 

  因為sec²tan²1

所以

2

1 2

tan tan 1

u 2  

    

 

 

化簡得3tan²4 tanu  4 4u²0 因為tan是實數，

所以( 4 ) u ²   4 3 (4 4u²)0

也就是 ^{2 3}

u  4

即 ³

u 2 或 ³ u  2 . 但 0

2

 

  , sec ¹tan 0

2 

所以 ³

u 2 ，故sec ¹tan

2  的最小值為 ³ 2 .

三、【解】

先證明 A_n2  A_n1  A_n .

設 xA_n1, 令 xa a_{1 2} a a a_{n n1 n2} (i) a₁1，此時 a a_{2 3} a a_{n n2}

就是2,3, ,n2的排列且符合條件。此相當於1, 2,3, ,n1所有符合條件的排 列，故元素個數為 A_n1 .

(ii) a₁2，此時a₂ 1，那麼

a a_{3 4 n}a_ 就相當於₂ 3, 4, ,n2所有符合條件的排列，其排列數等於 A _n

綜合(i), (ii)可知 A_n2  A_n1  A_n 。再由 A₁ 1, A₂ 2可得 A₁ , A₂ , , A 依次為₁₁ 1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89,144.

四、【證明】

畫一橢圓如圖 1，令長軸為 2a，短軸為 2b，則a 255, b 93且

1 2 2 10

PF PF  a ，因此OF₁OF₂  25 9 4。

1 (10 2) 10 2.

PA PF PA PF  PA PF (1) 利用三角不等式得

PA PF ₂ AF₂ 2 2. (2)

由(1)與(2)，得證PA PF ₁10 2 2 。同理

P A P F₁ 1 0 ( ₂P F )P A1 0₂ A F1 0 2 2 .

F 1

F 2

P 1

O

P

A P 2

y

x

五、【證明】

(a)

1 1

0

( 1) 1

(2 3) (2 3)

2 1

n k n

k

n S n n

k k



 

  

  



  

¹

 

0

( 1 ) 1

2 1 2 ( ) 2

2 1

n k

k

k n k n

k k





  





      

1 1

0 0

1 ( 1) ( 1) 1

( 1) 2

2 1

n n k

k

k k

n n k n

k k k

 

 

 

      





  



   因

0

( 1) 0

n k k

n

 k

   



  ^，所以

1 1

0

( 1) ( 1 ) 1

(2 3) 2

2 1

n k n

k

n k n

n S

k k



 

  

  

 



  

0

( 1 ) ( 1 ) 1

2 2 1

n k

k

n k n k k



  

  





  

0

( 1) ( 1)!

2 ( 1 )

2 1 !( 1 )!

n k

k

n k n

k k n k



 

  

  



0

( 1 ) !

2 ( 1 )

2 1 ! ( ) !

n k

k

n n

k k n k



  

 



2(n1)S_n

(b) ₁ ² S 3. 由(a)知

2 ₁ (2 )(2 2) ₂

2 1 (2 1)(2 1)

n n n

n n n

S S S

n ^ n n ^

   

  

( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ₁ ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ^{n k}1 )

n n n k

n n n k S ^{ }

 

    

( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 4 ) ₁( 4 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 5 1 )

n n n

n n n S

 

   

2 2

(2 !) 4 ( !) (2 1)! (2 1)!

n n

n n

n n

 

 

 