九十六學年度高級中學數學科能力競賽決賽

九十六學年度高級中學數學科能力競賽決賽

獨立研究試題（二）【參考解答】

一、【參考解答】

利用柯西不等式

(sintansec )(cos cotcsc )

1 1

(sin tan )(cos cot )

cos sin

   

 

    

1 1 1 2

2 2 2

1 1

(sin ) (cos ) (tan cot )

cos sin

   

 

 

    

 

1 2

1 2

(sin cos 2) 1

sin cos

 

 

 

    

  ………….

其中

1

s i n c o s

s i n c o s

 

 



1 2

sin 2

2  sin 2

  

1 2 2t

  t ………….

這裡tsin 2，因為 0

2

 

  ，因而02  ，因此0 t 1。若令 1 2 ( ) 2 g t t

  t ， 0 t 1，可以證明 ( )g t 是遞減函數，事實上，若 0  x y 1，則

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

g x g y x y

x y

    

1 2

( ) ( )

2 x y y x

  xy  1 2

( )( )

x y 2

  xy 4

( ) ( )

2 x y xy

xy

  

0 （ x y 0且xy 4 0）

所以， 1 5 ( ) (1) 2

2 2

g t g    請注意：t1時，即sin2 1 ，得

4

 ，此時， 2

sin cos

   2 ，tan cot 1， sec csc  2，因此式的等號是成立的。故由, 可得

( s i n t a n s e c ) ( c o s  c o t c s c )

1 2

5 2

( 2) 1 2

 

   

 

3 ² ( 1 )

 2 等號成立於

4

  ，即最小值為 3 ² ( 1)

2  。

二、【參考解答】

這是拉貴爾（Laguerre）定理的特例，參考 Proofs from THE BOOK, P. 101。證明如 下：

令三實數根為 p, q, r，由根與係數的關係，得 a₂  p q r

a₁ p q q r, r p 利用此兩式子，得

₂² ₁ ^{2 2} ( ² )² ( ²- )² - 2 -

2 2

a p q r

a a p q r 

    .

整理得到

3p²2a p₂ (4a₁a₂²)0

也就是說，p 介於二次方程式 3x²2a x₂ (4a₁a₂²)0 的兩實數根之間，而此二實數根恰為

² 2 ₂² ₁ ² 2 ₂² ₁

3 , 3

3 3 3 3

a a

a a a a

    ,

故得證。

三、【參考解答】

共 12 個，分別為

(x²1)(x1), (x² x 1),  (x 1).

不妨設首項係數為 1，所求多項式設為 f x( )xⁿ a x₁ ^n1 a_n，根為x₁, , x 。_n 由根與係數關係知

x₁²  _nx² ( ₁x  _n)x² 2 (₁ x₂ x_ _{n 1n}x ) ²x, ₁ 2a ₂ a

故a₁²2a₂0，又a a₁, ₂{1, 1} ，故a₁² 1, a₂  1。因此 x₁² x_n² 3.

再用算幾不等式，

3 ^{12 2 2 2}

(| | | |) | | 1

n n n

n n n

x x

x x a

n n

     

因此

n3.

底下就 n 逐個討論即可。

3

n 時，可得 (x²1)(x1), 2

n 時，可得 (x²1), 1

n 時，可得 ( x 1).