九十六學年度高級中學數學科能力競賽決賽

(1)

一、【參考解答】

令ZEZF a,BDBE b,CDCFc

令 ( )

2 ZB BC ZC

s   a b c

  

＝

已知ZBZC2abc10---(1) 設圓的半徑為 r, 此圓為ZBC的內切圓

ZBC面積 rs ---(2) 又由海龍公式得知

ZBC面積＝ s(sab)(sbc)(sac)  scab---(3) 中

ABC BAC＝90^且ADBC AD²＝BDCD （2 ）r ² bc---(4)

由(2) (ZBC面積)² r s^{2 2} 由（3）及（4）

(2)

2

4 1bc s b

a c

s    

 s 4a abc4a

bc3a 代入（1） a2 bc6 BC 6

二、【參考解答】

設x₁x₂  x n_n( 1005)

則至少有 ¹ ² ¹ ³ ¹ ² ³ ¹

2 2 2 2 2 2

n n n n n

x x x x x x x x x x

x x            _ 

(n 1 )個中點 (n 2 )個中點

共(2n3)個中點。

於x₂   x₁ x₃ x₂  x_nx_n_₁時，這些中點數2n3就是所有的中點，

故知至少有2n3個紅點。

（2n  3 2 1005 3 2007）

三、【參考解答】

(1) 首先，f(1)1。假設 f(1) 1 則 f f( (1)) 1 。另一方面，由(ii)得 f f( (1))3。矛盾。

其次，f(1)3，假設 f(1)3則由(i)得 f f( (1)) f(3)3此與(ii) f f( (1))3矛盾。所以， f(1)2。

(2) 由 f f n( ( ))3n得

f( 3n ) f (f (f (n ) ) ). f 3n ( )

(3)

故 f(3 )ⁿ 3 (3f ⁿ^¹)3² f(3ⁿ^²) 3ⁿ f(1) 2 3ⁿ。所以，

f( 2 ⁿ 3 f ) ⁿ    ( 3 )ⁿ 3 ⁿ3. 2ⁿ 3 3 而2 3 ⁿ 3ⁿ 3ⁿ，且 f n(  1) f n( ) 1 （根據(i)）。所以，

f( 3ⁿ )f ⁿ   ( 3 ) ⁿ 2 3 , . ⁿ 1 , 2 , , 3 (3) f(2 3  ⁿ ) f f( (3ⁿ )) 3 (3ⁿ ) 3ⁿ^¹3 。故

f(2008) f(2 3 ⁶ 550)3⁷ 3 5503837.