勾股定理證明-G036
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 以 CB 為邊長作正方形 CBNP，並連接 NK (於證明過程第 2 點說明 P N K共線)。
3. 從 C 點作 BK 的平行線交 HK 於 L 點，交 AB 於 Q 點，交 NB 於 O 點，交 NK 於 M 點。
4. 連接 HM 。
A B
H F
G
E
L M
D
K C
P
O Q
N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先證明正方形 AHKB 的面積可 表示成兩個長方形的面積和，再表示成兩個平行四邊形的面積和，利用底長與高的面 積關係式，轉換成正方形 CBDE 與正方形 CAGF 的面積和，最後推出畢氏定理的關係式。
1. 證明三角形 NKB 與三角形 CAB 全等：
因為 NB CB , KB AB,KBN90 NBA ABC，所以 NKB CAB
(SAS 全等).
2. 證明 NK 與 CB 平行：
由 NKB 與 CAB 全等的結果，得到BNK 90，所以 P N K 共線，且 NK // CB 。
3. 證明長方形 BKLQ 與正方形 CBDE 面積相等：
由證明結果 NK // CB，與條件 BK // CL ，得到四邊形 BCMK 為平行四邊形。當平行 四邊形 BCMK 底長為 BC 時，高為 BN ，得到
BKLQ BCMK
BC BN BC BD
CBDE
長方形 面積＝平行四邊形 面積
＝
＝
＝正方形 面積.
4. 證明三角形 ABC 與三角形 MCP 全等：
因為 PC CB,CPM BCA90 , CM BK BA，所以 ABC MCP
(RHS 全等).
5. 證明四邊形 AHMC 為平行四邊形：
已證明四邊形 BCMK 為平行四邊形，得到 CM BK AH，且 CM // BK // AH ，可 證得四邊形 AHMC 為平行四邊形。
6. 證明長方形AHLQ 與正方形 CAGF 面積相等：
由證明結果 ABC MCP可得到 MP AC，當平行四邊形 AHMC 底長為 AC 時，
高為 PM ，得到
AHLQ AHMC
AC MP A
C C A
A F C
G
長方形 面積＝平行四邊形 面積
＝
＝
＝正方形 面積.
7. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
因為
AHKB BKLQ AHLQ
CBDE CAGF
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積 得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源： 這個證明出自於以下書籍：
J. M. Richardson(1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 17.
2. 心得： 此證明的輔助線繪圖的結果皆與平行有關，學生較容易看出對應角與長度 的關係，進而判斷四邊形圖形所滿足的平行性質，進而得到平行四邊形的 對邊等長結果，再利用角度的互餘關係，得到三角形之間所滿足的全等性 質，最後由底與高的計算關係，證得畢氏定理關係式。利用四邊形推移的 關係計算面積。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 說明：此題作圖與 G035 類似。
