實驗九楊氏係數

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實驗九楊氏係數

學習目標：

１．物質的彈性性質；物體構造與其受力變形間的關係。２．百分表的使用方法。

實驗目的：

１ . 測定物質之楊氏係數２ . 驗証彈性曲線方程式

說明：

1 . 彈性的一般性質 :

實驗上發現一個固體受一定限度內的外力作用時，物體受力而產生的變形量與受力的大小成比例，此種比例關係稱為虎克定律；物體受力超過此種限度時，虎克定律不再成立，我們稱此限度為彈性限度。

縱使在彈性限度內，每種物體亦會表現出不同的行為來。一些物質在應力離開後很快就恢復原來的樣子，可是有些物質要經過很久的時間才會恢復，例如：饅頭的表面用手指戳下，表皮凹下一個洞要一會兒才會恢復原狀。此恢復到原來形狀的時間稱為彈性後效。

2 . 應力與應變：

一根鐵絲，如果兩端受大小相同方向相反的兩個拉力Ｆ作用時，則我們可以說它每一段均受到張力的作用，此張力的大小正是Ｆ；若此鐵絲某一段截面面積為Ａ，則定義：此段鐵絲所受應力為

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S F

≡ A

此種應力稱為張應力，另有因兩端受壓力而產生的壓縮應力；及受切力而產生切應力。通常受力的變形是依物體的變化量來描述的，此單位變化量稱為應變 ( S t r a i n ) 。譬如某一線被拉長了，則單位長度的改變量即為此時的應變。

設線原長Ｌ受應力後增長 △ L ，則應變

L A

F L

F F

L

L (a)

(b)

(c)

圖 9 - 1 應力與應變 ( b )張應變 ( c )壓縮應變

h L

= ∆L

應變和物體所受的力形式不同而有不同名稱，如張應變係指物體受張力後所生的張應變（如圖 9 - 1 ），另有壓縮應變，切應變，容積應變等。

3 . 楊氏係數：

不同的物體在相同的應力下，有不同的應變，此種性質可由應力與應變的比值來表示。正如虎克定律中一樣，我們可定義一比例常數Ｙ（稱為楊氏係數）為：

Y≡ 應力應變 = ^S

h

F A L L

F L

= / = A L

∆ / ∆

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楊氏係數和彈簧的彈力常數不同，一條彈簧切成二條，其ｋ值為原來的２倍（見實驗 5思考問題）而楊氏係數只與材料有關，故彈簧切斷

時，楊氏係數不變。圖 9 - 2

L H

F=mg

4 . 金屬撓度（彎曲）方程式

實驗中我們使用如圖 ( 9 - 2 )的系統：一金屬棒，若其支點在兩端，受力集中在中央，再考慮金屬棒的長短，斷面形狀，材料及負荷分佈，我們可得如下的金屬撓度 (彎曲 )方程式，亦可稱為彈性曲線方程式： (推導此式過程超出本課程範圍太多故不列出 )

H FL

=

YBt

³ ₃

4 ( 9 - 1 )

其中：

Ｙ楊氏彈性係數

Ｈ撓度 ( 中心處凹下距離 )

Ｆ作用力 ( 實驗中為砝碼質量 × 重力加速度 ) Ｌ兩支點間的測試棒長度 ( 非測試棒總長 ) Ｂ測試棒的寬度

ｔ測試棒的厚度

所以若已知 ( 9 - 1 )式右方中其它各物理量及 H的值，就可算出金屬棒的楊氏係數：

Y FL

=

HBt

³ ₃

4 ( 9 - 2 )

5 . 撓度方程式的驗證 :

由 ( 9 - 1 )式可知須使用不同的作用力、不同材料、不同長度、不同

寬度及不同厚度來做實驗。茲將其分別敘述如下：

撓度正比於作用力 : Ｈ～Ｆ ( 9 - 3 ) 撓度正比於楊氏係數的倒數 : Ｈ～１／Ｙ ( 9 - 4 )

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撓度正比於寬度的倒數 : Ｈ～１／Ｂ ( 9 - 5 ) 撓度正比於厚度３次方的倒數 : Ｈ～１／ｔ ³( 9 - 6 ) 撓度正比於長度的３次方 : Ｈ～Ｌ ³ ( 9 - 7 ) 從式 ( 9 - 3 )至式 ( 9 - 7 )，我們亦可歸納出如下關係式：

H FL

~

YBt

3 3

欲使兩邊相等我們可加一常數Ｋ，並由理論得知，Ｋ＝４；或由實驗亦可驗證Ｋ＝４。

儀器：

１．測定台座，磁性固定座。其中磁性座可利用旋轉座上的開關

" O N "或 " O F F "的方向而設定其磁力之有無．２．板手，百分表

３．卷尺４．砝碼組

實驗材料：

待測金屬棒：銅，鋁，黃銅及鋼等十五隻金屬棒、條依各實驗所需分為以下各組其中有數支待測金屬棒需重複使用，請特別注意。待測金屬棒規格分別為：

1 . 材料：

銅，黃銅，鋁，鋼，各一．長 *寬 *厚 = 5 1 0 m m * 2 0 m m * 3 m m（編號 1 1， 1 2， 1 3， 1 4）

2 . 寬度：

長 : 5 1 0 m m，厚 5 m m ,寬 : 1 0 , 1 5 , 2 0 , 2 5 , 3 0 m m。（編號 2 1，2 2，2 3，2 4， 2 5）

3 . 厚度：

(5)

長 : 5 1 0 m m ,寬 2 0 m m ,厚: 3 , 4 , 5 , 6 , 1 0 m m。（編號 3 1，3 2，3 3， 3 4， 3 5） (編號 3 1 = 1 3 , 3 3 = 2 3 , 3 4 = 4 4 )

4 . 長度：

寬 2 0 m m ,厚 4 m m ,長 : 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , 5 1 0 m m。(編號 4 1，4 2，4 3，4 4 ( = 3 4 )）可分別驗證 ( 9 - 4 )～ ( 9 - 7 )式．

實驗步驟 :

一．測楊氏係數

250 500

510

5

圖 9 - 3 1 . 取第１組四支待測棒 (鋁，銅，黃銅及鋼 ) ,

在每支待測棒上作記號，畫出中心線及測試長度Ｌ＝ 5 0 0 m m .處的標示，如圖 9 - 3 所示．

2 . 如圖 9 - 4 裝置，將砝碼鉤架置於一測試棒

圖 9 - 4

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的中心處，再放在測定台上，並調整兩支點間之距離恰為 5 0 0 m m , 然後利用板手及螺絲固定之．

3 . 將磁性固定座固定於測台上，裝上百分表，使其探針接觸砝碼鉤架，記錄此時的刻度讀數為Ｈ ₀（註：因加重後，測試棒向下彎曲，百分表讀數減少，故Ｈ ₀的讀數應調整稍大或接近滿刻度 1 0 m m。但勿超過 1 0 m m )

4 . 小心放置相當於 9 . 8 牛頓的 1 公斤砝碼 (連鉤盤 )放鉤架上，此時測試棒將彎曲，讀取量表的讀數，記為Ｈ ₁。撓度 (彎曲度 )Ｈ等於Ｈ ₀－Ｈ ₁

5 . 再測量其他量：Ｌ、Ｂ、ｔ，並記錄Ｆ值代入式( 2 )即可求得此待測金屬棒的楊氏彈性係數Ｙ．

6 . 再取另一待測棒，重覆步驟２－５，求得楊氏係數，如此類推，一直到同組四支待測金屬棒均測試完成．

二．撓度Ｈ與作用力Ｆ之關係 :

1 . 任取一鋁材質的測試棒一支，置於測定台上。

2 . 如同步驟一２～４之測量，分別加不同重量的砝碼，即施不同的力Ｆ＝ｍｇ ( < 1 0 N t )，並量得其撓度Ｈ．

3 . 以作用力（重量）為橫座標，撓度為縱座標畫圖．如為直線，即可知撓度Ｈ正比於作用力Ｆ．

三．撓度Ｈ與楊氏係數Ｙ之關係 :

1 . 將步驟一的四種金屬棒測得的撓度Ｈ及其楊氏係數Ｙ的倒數列成一表．

2 . 以１／Ｙ為橫座標，Ｈ為縱座標，畫出曲線圖．如為直線，即知撓度Ｈ正比於楊氏係數的倒數 (１／Ｙ )．

四．撓度Ｈ與寬度Ｂ之關係：

1 . 取第２組鋁測試棒五支，逐一置於測定台上．

2 . 如同步驟一之２－４測量，加 9 . 8 牛頓力之後，分別量得其撓度Ｈ．

3 . 以寬度倒數 (１／Ｂ )為橫座標，撓度Ｈ為縱座標畫圖．如為直

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線，即可知撓度Ｈ正比於寬度倒數 (１／Ｂ )．

五．撓度Ｈ與厚度ｔ之關係：

1 . 取第３組鋁測試棒五支，逐一置於測定台上．

2 . 如同步驟一２～４之測量，加 9 . 8 牛頓力之後，分別量得其撓度Ｈ．

3 . 以厚度ｔ的３次方的倒數 (１／ｔ ³)為橫座標，撓度Ｈ為縱座標畫圖．如為直線，即可知撓度Ｈ正比於厚度ｔ的３次方的倒數 (１／ｔ ³)

六．撓度Ｈ與長度Ｌ之關係：

1 . 取第４組鋁測試棒四支，逐一置於測定台上．

2 . 如同步驟一２－４之測量，加 9 . 8 牛頓力之後，分別以各不同Ｌ量得其撓度Ｈ。

3 . 以長度Ｌ的３次方為橫座標，撓度Ｈ為縱座標畫圖．如為直線，即可知撓度Ｈ正比於 L^3，長度Ｌ的３次方。

注意事項：

1 . 小心使用百分表。

2 . 待測物很多，一開始實驗時，請先按順序排好，以利實驗進行。 3 . 勿用力扭曲待測物，以免改變待測物的物理性質。

原理：略

練習題

1 . 學生艾悟理做某金屬棒的楊氏係數實驗時，所得數據如下表，請根據下表求出待測物之楊氏係數。

2 . 承上題，如果改施 4 . 9 N t 的外力，則金屬棒的撓度為何？

F L H0 H1 B t

9 . 8 N t 5 0 c m 9 . 0 0 0 m m 7 . 0 2 5 m m 3 0 m m 3 m m

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思考問題：

1 .是否每種物質都可定義出楊氏係數．

2 .百分表之刻度若有 1 0格的誤差，則本實驗會有多少誤差？ 3 .百分表若不垂直於待測物，會產生什麼樣的誤差？

參考資料：

1 . 普通物理學 , B e n s o n 中譯本 ,歐亞書局 ,第 1 4 章。

2 . 物理（五專適用） ,陳龍英先生著 ,三民書局 ,第 8 章： 8 - 1 , 8 - 2 , 兩節。

3 . 群冠儀器公司實驗講義。 ^{E d} ¹

1 第 3 + 版 2 0 0 2 年 1 1 月

實 驗 九 楊 氏 係 數