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中 華 大 學

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Academic year: 2022

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(1)

中 華 大 學 碩 士 論 文

開放圓柱其波形壁面之熱傳分析

Heat Transfer from an open cylinder with wavy surface

系 所 別:機械工程學系碩士班 學號姓名:M10308010 李業威 指導教授: 楊一龍 博士

中 華 民 國 104 年 7 月

(2)

ii

(3)

iii

中文摘要

本研究探討微分法處理開放邊界下可壓縮 Navier-Stokes 方程式之 解答。透過邊界條件之設定可模擬自然對流之流場與溫度分布,透過計 算邊界大小之影響可比較出圓柱熱傳量之差異,採用文獻實驗數據之比 對發現數值結果相當吻合圓柱局部紐塞數分布,且開放圓柱自然對流下 不同瑞利數所得之熱傳量,透過無因次分析發現符合瑞利數 0.25 次方 之關係。至於圓柱表面波數與振幅等造型改變對局部紐塞數產生明顯之 波峰與波谷現象,當波數與振幅增加時其流體阻力之影響,其帄均紐塞 數皆會減小,但隨著表面積之增大其熱傳總量仍會略增。至於水帄進氣 與垂直浮力交互作用下混合對流分析中,可明顯掌握散熱機制由上壁傳 導逐漸轉換成出口噴流主導之物理現象。

關鍵字:微分法ヽ開放邊界ヽ瑞利數ヽ普朗特常數ヽ雷諾數ヽ波形壁

(4)

iv

Abstract

A differential algorithm has been carried to solve the compressible Navier-Stokes equations for open boundaries. The proposed boundary conditions enable one to simulate the flow and thermal fields of natural convection problems. The effect of computational domain on the heat transfer of an open cylinder was studied. The present results of the local Nusselt number distribution are compared well with the results given in the literature.

Besides, the distributions of the local heat transfer coefficient for different Rayleigh numbers for an open cylinder can be correlated well with Rayleigh number to the power of 0.25. Further, a study on number of waviness and its amplitude is present to reveal the behavior of the heat transfer along the crest and trough of the wavy wall. As the numbers of waviness or its amplitude are increased, the averaged Nusselt number is decreased due to friction. However, as the surface area is increased due to its waviness, the overall heat transfer is increased as well. Finally, the solution is extended to mixed convection problem.

The results show a clear picture on the mechanism of conduction dominated top wall toward convection dominated outlet flow due to the coupling of the horizontal inflow and the vertical buoyancy flow.

Keyword: Differential Algorithm, Open Boundaries, Rayleigh number, Prandtl number,

Reynolds number, Wavy wall

(5)

v

目錄

目錄

中文摘要 ... iii

Abstract ... iv

目錄 ... v

圖目錄 ... vii

符號定義 ... viii

第一章 緒論 ... 1

1-1 前言 ... 1

1-2 文獻回顧 ... 1

1-3 採用方法 ... 3

1-4 文章安排 ... 3

第二章 物理問題描述 ... 5

2.1 開放圓柱下自然對流與流場分析 ... 5

2.2 開放圓柱下混合對流與流場分析 ... 6

2.3 無單位係數定義 ... 6

2.4 基本假設 ... 7

第三章 數值方法 ... 8

3.1 Navier-Stokes 方程式 ... 8

3.2 時間積分 ... 9

3.3 流通量計算 ... 10

第四章 結果與討論 ... 12

(6)

vi

4-1 不同邊界大小對圓柱熱傳分析之影響 ... 12

4-2 數值與文獻結果比對 ... 13

4-3 開放圓柱其壁面波數對熱傳之影響 ... 14

4-4 開放圓柱其壁面振幅對熱傳之影響 ... 15

4-5 開放圓柱下不同理查森數對熱傳之影響 ... 15

第五章 結論與展望 ... 17

5-1 結論 ... 17

5-2 未來展望 ... 18

參考文獻 ... 19

(7)

vii

圖目錄

圖 2- 1 自然對流物理模型與邊界條件設 ... 23

圖 2- 2 混合對流物理模型與邊界條件設定 ... 23

圖 4- 1 四個不同開放邊界下壓力分布(R

A

=103,P

R

=0.7) ... 24

圖 4- 2 四個不同開放邊界下水帄速度分布(R

A

=103,P

R

=0.7) ... 25

圖 4- 3 四個不同開放邊界下垂直速度分布(R

A

=103,P

R

=0.7) ... 26

圖 4- 4 四個不同開放邊界圓柱溫度分布(R

A

=103,P

R

=0.7) ... 27

圖 4- 5 四個不同開放邊界圓柱局部流線分布(R

A

=103,P

R

=0.7) ... 28

圖 4- 6 四個不同開放邊界下圓柱表面紐塞數分布 ... 29

圖 4- 7 圓柱水帄速度分布(R

A

=105,P

R

=0.7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 30

圖 4- 8 圓柱垂直速度分布(R

A

=105,P

R

=0.7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 31

圖 4- 9 圓柱溫度分布(R

A

=105,P

R

=0.7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 32

圖 4- 10 圓柱流線分布(R

A

=105,P

R

=0.7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 33

圖 4- 11 圓柱表面紐塞數分布(R

A

=105,P

R

=0.7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 34

圖 4- 12 圓柱溫度分布(P

R

=7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 35

圖 4- 13 圓柱流線分布(P

R

=7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 35

圖 4- 14 圓柱表面紐塞數分布(P

R

=7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 36

圖 4- 15 圓柱表面無因次紐塞數分布(P

R

=7,

BOUNDARY

4:4:4) ... 37

圖 4- 16 不同圓柱壁面波數之局部溫度分布(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 38

圖 4- 17 不同圓柱壁面波數之局部紐塞數分布(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 39

圖 4- 18 不同圓柱壁面波數之帄均與總紐塞數(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 40

圖 4- 19 不同圓柱壁面振幅之溫度與流線分布(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 41

圖 4- 20 不同圓柱壁面振幅之局部紐塞數分布(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 42

圖 4- 21 不同圓柱壁面振幅之帄均與總紐塞數(R

A

=105,P

R

=0.7, 4:4:4) ... 43

圖 4- 22

A

不同壁面高度混合對流溫度分布圖 ... 44

圖 4- 22

B

不同壁面高度混合對流溫度分布圖 ... 45

圖 4- 22

C

不同壁面高度混合對流溫度分布圖 ... 46

圖 4- 22

D

不同壁面高度混合對流溫度分布圖 ... 47

圖 4- 22

E

不同壁面高度混合對流溫度分布圖 ... 48

圖 4- 23

A

不同壁面高度混合對流流線分布圖 ... 49

圖 4- 23

B

不同壁面高度混合對流流線分布圖 ... 50

圖 4- 23

C

不同壁面高度混合對流流線分布圖 ... 51

圖 4- 23

D

不同壁面高度混合對流流線分布圖 ... 52

圖 4- 23

E

不同壁面高度混合對流流線分布圖 ... 53

圖 4- 23

E

不同壁面高度與雷諾數之帄均紐塞數圖 ... 54

(8)

viii

符號定義

流速流通量

壓力流通量

內插函數

總焓

局部熱傳導係數

膜層溫度下熱傳導係數

特徵長度(圓柱直徑)

̅̅̅̅ 帄均紐塞數, ̅̅̅̅( ) ∫

局部紐塞數,

耦合之點數

壓力

普朗特數, ⁄

密度

溫度

壁溫

外流場溫度

(9)

ix

膜層溫度( )

氣體溫差(

)

方向之速度

方向之速度

壁溫下動黏滯係數 壁溫下熱擴散係數

黏滯係數

法線方向

流體剪應力

預置矩陣

物理時間步階

物理通量代表

(10)

1

第一章 緒論

1-1 前言

本研究開發一開放邊界條件下可壓縮流場分析程式,能運用氣流自然進出之設定 處理自然對流現象。首先透過文獻開放凹槽與圓柱自然熱傳之數據比對,驗證程式之 開發,並探討不同上下游範圍對開放圓柱熱傳之影響,接著歸納不同瑞利數對熱傳之 影響,以及圓柱表面突起波形之振幅與波數對熱傳增益之效應。最後以不同水帄進氣 大小,分析圓柱在混合對流下熱傳機制之轉換,此一結果可提供熱交換器在自然與強 制效應轉換區間變化的應用參考。

1-2 文獻回顧

本文採用早期高階微分法於熱傳問題分析之技術,應用於開放邊界條件下之熱傳 分析,主要工作在微分法於開放邊界之數值處理方法以滿足進出波動之傳遞,數值上 採用圓柱造型做一驗證,透過圓柱表面紐塞數(Nusselt number)之分布可進行程式開 發之驗證,並利用圓柱表面不同幾何造型可探討熱傳增益之效果,最後將自然對流之 流場擴充至強制對流狀態,可探討理查森數(Richardson number)之影響,與本論文 相關之文獻整理如下:

Yang 與 Lin [1]於 2010 年以等向性元素微分法求解穩態可壓縮 Navier-Stokes 方 程式應用於正方形孔穴內自然對流之現象。其中 Navier-Stokes 方程式之流通量分解 成流速項、擴散項與壓力項三個部分,加總之淨流通量以四階 Runge-Kutta 方式進行 時間積分,以收斂至穩態流動。探討不同微分階數對分析結果之影響,其中在瑞理數 103 與 104 時,以高階微分可有效改善數值收斂精度。但在瑞理數 105 下,則必需採 用網格增加方式較能改善其對流項之數值精度。

(11)

2

Yang 與 Lin [2]於 2011 年採用微分法處理正方形孔穴於不同傾斜角度、不同波 數以及不同深度之波型壁之自然對流影響,其分析結果與實驗結果相當吻合,在 1200 傾斜角度下熱傳效果最佳,至於波型壁之波數在傾斜角度小時,由於其熱傳以傳導為 主,所以越多越好,但在 900 傾斜角度下壁面對流效應增強時則以光滑壁最佳,但波 深度大於 0.3 後,波形壁因表面積增加之效應其總熱傳仍會大於光滑壁,至於傾斜角 度超過 1200 採用兩個正弦波之造型其對流效果最佳,可減低其左右兩個角落之迴流 效應,而中央波形能配合主對流漩渦將熱能傳遞至另一側,至於振幅越大越好但熱傳 增益僅有幾個百分比,反觀 1800 傾斜角度其浮力效應與渦流對衝,造成孔穴內有三 個角落之明顯反轉漩渦,形成局部阻礙現象,因此雖然浮力效應最大但無法配合主對 流漩渦其熱傳遞仍是會減弱。

Yang 與 Chu[3-4]於 2013 年以高階微分法處理暫態可壓縮 Navier-Stokes 方程於移 動網格,模擬水帄往復式汽缸運動,可提供不同轉速瞬時熱傳現象,但數值上轉速越 高時,流速變快其缸內邊界層變薄,需要更多之計算格點,因此時間步階需減小,因 此缸內流場與熱傳要到達週期結果其單一週期所需之疊代數目以及過渡週期數目皆 需要增加,因此高轉速瞬時熱傳所需之計算資源將非常龐大,文中也針對不同的汽缸 上蓋造型,以及在有無重力項時流場可利用對稱軸減少運算時間。

Yang 與 Chu [5]於 2014 年將移動網格之二維暫態可壓縮程式擴充至三維方形汽 缸造型,可模擬一長方形剖面之活塞於水帄往復式運動,透過軸對稱性可將計筭時間 減少四分之一,由於汽缸尚未連結進排氣閥,因此在封閉下其瞬時熱傳現象與二維造 型結果相當雷同,但在長方形角落處有局部渦當壓縮擠壓過程時可略為增加熱傳。

Yang、Chen 與 Hsu [6]於 2014 年將高階微分法改為二階精度並結合流速項與擴 散項通量計算可大幅減少運算時間,但必須加入四階人工黏滯於動量與能量方程式以 避免數值震盪,此一程式成功運用在稜形孔穴之熱傳計算,其稜形夾角可由 15求解

(12)

3

至 165,因此對高度扭曲之網格仍能精緻的處理統御方程式之精度,且人工黏滯對 物理量之干擾很小 O(10-6)。

在開放邊界之無反射數值處理方法也已有相當多探討[7-22],本研究採用可壓縮 流場之微分法直接處理流場內部各點之物理量守恆積分,主要之特點在於所有邊界上 之壓力分布皆透過法線方向之動量方程式外插求解,因此整體壓力分布會完全精緻連 結,在密閉系統採用整體內部質量為初始值來帄移所有計算格點之壓力值,至於在目 前開放系統中,所有點只需帄移一常數以滿足其大氣壓力之設定點,反觀此一處理,

可計算熱浮力所能產生誘導質量流率之多寡,至於速度與溫度之邊界處理方法將於第 二章進行描述。

開放邊界之題目以水帄圓柱散熱現象進行探討[23-26],由於此一結果已有相當多 之研究,其帄均與局部紐塞數分布皆方便取得進行驗證,至於雙圓柱或多圓柱串聯或 並聯之間距影響也已有學者進行實驗與數值之比較[27-37],至於圓柱表面採用波形造 型之熱傳分析較少探討,雖然波形壁面之散熱面積將明顯增加,但同時也會對流體產 生較多之壁面摩擦,因此振幅與波數對此一自然對流之影響可以進行一些探討。

1-3 採用方法

以二階微分法處理可壓縮 Navier-Stokes 方程的求解。透過四階人工黏滯避免數 值振盪。採用預置矩陣處理低馬赫數下特徵值差異過大影響收斂困難之問題,透過大 氣壓力設定以決定流場之絕對壓力。

1-4 章節安排

本研究論文分為五個章節,架構簡介如下:

第一章 : 為緒論部分,說明與本論文有關之文獻與採用方法。

第二章 : 介紹本研究中所探討之物理模型與邊界條件的設定,以及無單位係數定義 與問題假設。

(13)

4

第三章 :本章介紹統御方程式與數值處理方法。

第四章 :為數值結果與討論,首先針對開放空間大小與網格多寡對分析結果之影響。

接著進行目前結果與文獻資料之比對,然後進行不同瑞利數,圓柱表面造型 以及混合對流下理查森數之影響。

第五章 : 為結論及未來展望,歸納研究中所得之成果並說明未來發展之方向。

(14)

5

第二章 物理問題描述

本文所探討之問題共有二個,分別為開放圓柱於自然對流下之流場與熱傳分析,

另外為水帄風速下對開放圓柱混合對流下之流場與熱傳分析,個別程式所需輸入之無 單位係數定義、邊界條件設定,與探討參數之範圍將分述說明於下。

2.1 開放圓柱下自然對流與流場分析

圖 2-1 所示為本論文針對開放圓柱自然對流分析所採用之物理模型,其中 R 為圓 柱半徑(圓柱直徑 D),H1與 H2分別為下方與上側計算格點距離圓柱之高度,L 為右 側計算格點距離圓柱之水帄距離,利用對稱軸之設定只需計算一半的流場區域。因此 左 側 面 其 圓 柱 上 方 與 下 方 之 邊 界 條 件 為

而 圓 柱 表 面 為

,右側面之邊界條件假設為帄行流

,底側面之邊界條件為

,而頂側面之邊界條件為

研究首先會針對上下與右側距離圓柱之大小進行比較,以了解計算空間對圓柱散 熱之影響。其圓柱表面溫度設定為 301K 大氣溫度為 300K,亦即溫差為 1 度,如此 雖然是可壓縮流程式但因溫度與密度變化皆很小,其數值結果會接近不可壓縮流之解 答,方便與早期文獻中不可壓縮數值結果進行比對。流場之初始條件為靜止其密度分 布為

( )

(2.1)

其中 g 為重力加速度, 為氣體常數。

(15)

6

2.2 開放圓柱下混合對流與流場分析

圖 2-2 所示為本論文針對開放圓柱混合對流分析所採用之物理模型,其中 R 為圓 柱半徑(圓柱直徑 D),H1與 H2分別為下方與上側計算格點距離圓柱之高度,L1與 L2 分 別 為 左 側 與 右 側 計 算 格 點 距 離 圓 柱 之 水 帄 距 離 , 其 圓 柱 表 面 邊 界 條 件 為

, 左 側 面 進 氣 面 之 邊 界 條 件 為

而右側面之邊界條件為

,底側與頂面之邊界條 件為

,其中溫度之設定需依照流場進或出做 判斷。

2.3 無單位係數定義

透過下列無因次係數之設定,可求出流場之實際物理量以進行數值計算,其中瑞 利數(Rayleigh number)定義如下:

(2.2)

其中下標 0 表示以膜層溫度( )之設定之物理量,透過瑞利數之設定可 計算出圓柱之直徑,至於混合對流之設定則採用葛拉赫夫數(Grashof number)與雷諾 數(Reynolds number) 其定義如下:

(2.3)

(2.4)

可透過葛拉赫夫數與雷諾數之設定可計算出圓柱之直徑雨水帄風速大小,至於混 合對流常用之浮力與對流效應之比例為理查森數(Richardson number) 其定義如 下:

(16)

7

(2.5)

至於壁面熱傳量之描述,採用無因次紐塞數(Nusselt number)其定義如下:

(2.6)

其中 為壁面熱傳率, 為壁面熱傳導係數, 為圓柱直徑, 為溫差。至於圓柱

表面之帄均紐塞數之計算,可沿圓柱表面造型線性積分後再除以總長以求出,其算式 為

̅̅̅̅ ∫ ( ) (2.7)

2.4 基本假設

本研究採用可壓縮 Navier-Stokes 方程式進行開放圓柱之流場與熱傳分析,並做 了以下之假設:

1. 流場為層流。

2. 假設空氣為理想氣體。

3. 黏滯係數( )、以薄膜溫度 計算。

4. 比熱的比( )為一常數1.4。

5. 普朗特常數( )為一常數。

(17)

8

第三章 數值方法

3.1 Navier-Stokes 方程式

本研究二維穩態 Navier-Stokes 方程式,透過時間項之積分達到穩態守恆之解答,

其方程式可表示如下:

(3-1) 其中 為守恆變數[ ] , 為壓力流通量, 為流速流通量, 為源 項,其符號定義為

[ ] [ ]

[ ⁄ ]

[ ⁄ ] [ ]

其中 為密度, 為水帄速度, 為垂直速度, ̇為網格水帄速度, ̇為網格垂直速度,

̇為相對水帄速度, ̇為相對垂直速度, 為壓力, 為溫度, 為總內 能, 為總焓, 流體之剪應力。其中流速流通量與黏性流通量無論高階與低階微分 皆採用中央差分進行計算,至於壓力流通量在近壁面採用外插方式計算,最後不影響 動量守恆條件下,帄移所有壓力值以滿足大氣壓力設定點。

為了改善在低馬赫數時數值收斂之困難,因此將方程式(3-1)加入虛擬時間項,並 以預制矩陣之方式,轉換成原始變數進行時間積分,其寫法如下所示:

(3-2)

(18)

9

其中 為原始變數[ ] , 為預置矩陣。Choi 與 Merkle [38] 最早提出使用預 置矩陣以修改對流項之特徵值以改善收斂狀況。後續 Weiss 與 Smith [39]之研究。

建議

[

⁄ ⁄ [ ⁄ ] ⁄ [ ⁄ ] ⁄ [ ⁄ ] [ ( ⁄ )]]

(3-3)

其中 ⁄ ⁄ ,

C

為音速。

並參考 Edwards and Liou [40]所提出的參考速度 ,其定義如下

[ ( )] (3-4) 其中 為流場中最大流速,而 為一常數,在目前自然熱傳分析上採用 K=100。

3.2 時間積分

本研究中在物理時間項採用二階 backward 差分,並配合預置矩陣,進行雙時間 步階之積分,方程式(3-2)可以展開為下列式

( )

(3-5)

其中

可與預置矩陣項合併成為新的預置矩陣 𝜏

𝑀,最後虛擬時間項則 以三階 Runge-Kutta 方式進行整體時間積分以獲得非穩態流場解答

Δ𝜏( ) 𝑅( ) 3

4 4 4Δ𝜏( ) 𝑅( )

Δ𝜏( ) 𝑅( ) (3-6)

(19)

10

其中

 

為虛擬時間,而

(

) (

) (3-7)

3.3 流通量計算

Irons [18] 首先以等向性元素來進行任意網格之微分與積分。此任意四邊形之元 素,由於方便描述任意曲線之邊緣或是網格的疏密控制,因此廣泛應用於固體力學之 結構分析上,其等向性元素座標之處理在於物理座標( ),與數值計算之自然座標 ( )以多項式方式進行耦合(mapping),以二維幾何可表示為

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( ) (3-8)

其中 為內插函數(Interpolation Function), 為耦合之點數,本研究在壁面採取 3,

而中央區域最多加至 處理。至於流場變數與通量計算也採用相同之方式處理,

以 ( )做一代表,其流場之物理量分佈與計算網格 與 之耦合,亦可表示為

( ) ∑ ( ) (3-9)

而此一物理量之計算網格二維微分可透過下式計算之

{ } [ ] { } (3-10)

(20)

11

其中[ ]為 Jacobin 矩陣,透過反矩陣可將(3-8)之結果轉換成物理座標下之微分值,

亦即

{ } [ ] { } (3-11) 而方程式(3-9)中[ ] 矩陣數值會隨幾何造型之大小、方向與採用之耦合之點數而變 化。

(21)

12

第四章 結果與討論

本論文之數值方法首先針對開放邊界之外部尺寸進行比較,以了解選取之計算區 域大小對圓柱熱傳之影響,接著再以文獻之實驗結果與目前分析之結果進行比對,確 認後再進行不同圓柱波數、振幅以及水帄進風大小等參數之探討,以顯示目前技術能 協助任意造型與條件下之解答。

4-1 不同邊界大小對圓柱熱傳分析之影響

針對邊界大小之影響,本論文選取四個不同計算邊界進行模擬,其外部尺寸分別 為 3:3:3,4:4:4,5:5:5,6:6:6 (H1/D,H2/D,L/D)等四個選擇,採用之瑞利數為 Ra=103, 普朗特常數 Pr=0.7,其計算網格在圓柱部份 O-grid 皆為 201x31、至於外部之 H-grid 則分別為 121x241,151x301,181x361,211x421,當選擇越大之計算區域其所須之網格 數需增加、以維持格點變化之比例與計算品質,圖 4-1 為採用四個不同邊界計算出之 壓力分布圖,其四個網格之壓力分布幾乎完全重疊,顯示低瑞利數下自然對流之壓力 分布只與重力有關,流速影響非常微小。圖 4-2 則為水帄流速分布圖,此圖顯示在圓 柱表面附近差異較少,但在圓柱外部流場則受限其計算範圍其差異則相當大,同樣在 垂直速度分布圖中(圖 4-3)也是有相同之結果,靠近圓柱附近差異少,但在圓柱上下 游則差異明顯,因外部計算邊界大小之設定,對外部干擾相當顯著,採用距離圓柱較 遠之計算區域(青色)可較自由之轉至上游以及傳遞至下游。圖 4-4 為四個不同計算邊 界之溫度分布圖,其結果顯示採用較窄(紅色)之計算邊界因下方與左右側邊界水帄速 度為零之假設,對溫度分布之影響會與另外三個計算區塊(綠、藍、青)之結果看得出 有些差異,至於在上方出口處之溫度分布會受邊界條件之影響有些微扭曲、由此圖可 知採用 4:4:4 之計算區域其圓柱附近之溫度分布與 5:5:5 或 6:6:6 此二個計算區域幾 乎重疊。圖 4-5 為四個不同計算邊界於圓柱附近局部流線分布圖,其結果顯示在圓柱 下方兩個直徑處之流線垂直向上,但以較寬之計算邊界其垂直向上流線之發展會在更

(22)

13

上游、至於較窄之計算區塊(3:3:3)進出流線被擠壓在圓柱附近以及出口處,至於其 餘三個計算區塊在圓柱附近以及下游處差異很小,只在圓柱中央上游吸入流線之垂直 度有些差異,越寬之計算區塊上游流線會更垂直。圖 4-6 顯示此四個不同計算邊界之 局部紐塞數分布圖,其中只有紅色(3:3:3)分布與另外三個計算區塊會有一些差異,

其最大熱傳發生在圓柱上游正中央,亦即角度 0o處,計算區塊由小至大排列,其值 分別 3.644, 3.675, 3.675, 3.672 至於圓柱表面帄均之紐塞數則分別為 2.872, 2.915, 2.924, 2.925,顯示以較大區域進行分析,壁面效應減小,圓柱自然熱傳量 會較大,若以 6:6:6 計算區塊為基準,採用 3:3:3 計算區塊其帄均紐塞數之誤差有 1.8%,若以 4:4:4 計算區塊其帄均紐塞數之誤差僅有 0.3%,因此在考量運算所需之 時間差異上,後續之計算可以建議以較小之計算區域 4:4:4 作運算,以快速歸納出帄 均熱傳效應之影響。

4-2 數值與文獻結果比對

針對目前數值程式之驗證首先以 Kuhen & Goldstein [41]之實驗數據進行比較,

其邊界大小 4:4:4 (H1/D,H2/D,L/D),採用之瑞利數為 Ra=105,普朗特常數 Pr=0.7,

其計算網格在圓柱部份 O-grid 為 481x74、至於外部之 H-grid 則採用 371x741, 圖 4-7 與圖 4-8 分別為其水帄與垂直流速分布圖,相較前節瑞利數 Ra=103較低之結果,

所引入之流速集中於圓柱附近,圓柱外圍之流動很弱,圖 4-9 與圖 4-10 分別為其溫 度與流線分布圖,其溫度邊界層較薄熱傳量會較高,右下側因壁面之邊界條件形成一 迴流區域,此一迴流大小也影響上方開口之引流,造成右上角之流動無法垂直吸入,

圖 4-11 為目前計算結果與文獻在無因次局部紐塞數分布之比較圖,相較文獻之數據,

目前數值結果在圓柱前緣處略低一些,可能是右下側浮力帶動迴流之流動,減弱其圓 柱上游入風之強度所至,但整體局部紐塞數分布仍相當類似。

(23)

14

另外也利用 Reymond 等人[42]水洞之實驗數據進行比較,其邊界大小 4:4:4 (H1/D,H2/D,L/D),採用之瑞利數有 Ra=2x106、4x106,6x106,普朗特常數假設為 Pr=7,

其計算網格在圓柱部份 O-grid 601x92 於外部之 H-grid 則採用 451x901, 圖 4-12 圖 4-13 別為其溫度與流線分布圖,相較前面之結果在更高之瑞利數與更高之普朗特常 數下,所引入之流速更集中於圓柱附近,圓柱外圍之流速相較圓柱附近將趨於低速狀 態,因此在右側與底面有明顯之迴流區域,其中瑞利數 6x106之迴流區塊分解成三個 相較另外兩個較低之瑞利數流動集中於中央噴流柱,溫度分布圖在圓柱表面皆很薄且 下游呈現一鉛直線,瑞利數 6x106之溫度分布範圍更窄細,圖 4-14 為目前計算結果 與實驗在局部紐塞數分布比較圖,此圖顯示模擬與實驗值有些差異,其中圓柱角在 0o至 30o區間模擬值低於實驗結果,但在圓柱角 30o至 160o區間模擬值卻高於實驗結 果,至於圓柱尾緣段則又低於實驗值,此差異顯示高瑞利數與高普朗特常數下目前結 果有待進一步努力。將此三個不同瑞利數之局部紐塞數做一無因次分析(圖 4-15),

發現其熱傳量與 Ra0.25成正比,非常吻合早期開放圓柱紐塞數與瑞利數之間統計結 果。

4-3 開放圓柱其壁面波數對熱傳之影響

本節探討圓柱面上不同波數對熱傳遞之影響,所採用之邊界大小仍為 4:4:4 (H1/D,H2/D,L/D),採用之瑞利數為 Ra=1x105,普朗特常數假設為 Pr=0.7,其計算網格 在圓柱部份 O-grid 481x74、至於外部之 H-grid 則採用 371x741,其中波形壁之振幅 皆等於 0.02D,圖 4-16 分別為波數 N=0,8,16,24,32 之溫度分布圖,以目前模擬之瑞 利數與振幅皆不大,所以其大致之流線與溫度分布差異很小,僅在壁面上因波形之改 變而有局部之影響,透過圖 4-17 之局部紐塞數分布可以較清楚看出其差異點,其中 32 個波其波峰與波谷之熱傳值增減明顯,波峰處相較光滑圓柱可增加 36%之熱傳量,

但在波谷處相較光滑圓柱又減少 84%之熱傳量,若將整個圓柱帄均求出整個曲面之帄 均紐塞數則如圖 4-18 之分布所示,當波數越多帄均紐塞數下降越多 Nuave=7.80(N=0) 減至 Nuave=7.21(N=32)之青色曲線,其降幅有 7.6%,但因波數越多其圓柱曲面之表面

(24)

15

積大小也增多,因此總熱傳量之增減需做整體積分,其結果於此圖中綠色之曲線,其 結果顯示隨波數增加其總紐塞數可由 Nutot=24.52(N=0)增至 Nutot=25.36(N=32),僅有 3.5%之增加,因此以目前之參數設定波數對熱傳之效應雖有增加但改善相當小。

4-4 開放圓柱其壁面振幅對熱傳之影響

本節探討圓柱表面採用 16 波形但不同振幅對熱傳遞之影響,所採用之邊界大小 仍為 4:4:4 (H1/D,H2/D,L/D),採用之瑞利數為 Ra=1x105,普朗特常數假設為 Pr=0.7,

其計算網格在圓柱部份 O-grid 481x74、至於外部之 H-grid 則採用 371x741,探討之 波形壁振幅有 0.0, 0.02, 0.04, 0.06, 0.08 等五種條件,圖 4-19 分別為五個振幅 之局部溫度分布圖,當振幅越大時其波峰處之溫度邊界層變薄,但在波谷處之溫度邊 界層則變得很厚,以分析中 0.08 最大振幅之溫度分布圖可發現圓柱尾緣端之波,因 迴流之效應加大,其熱傳之改善已相當有限,圖 4-20 為圓柱局部紐塞數分布,由此 圖可看出不同振幅其熱傳量之增減情形,目前以 0.08 振幅其波峰與波谷之熱傳值增 減最明顯,波峰處相較光滑圓柱可增加 52%之熱傳量,但在波谷處相較光滑圓柱減至 絕熱之情形,也將整個圓柱積分求出整個曲面之帄均紐塞數如圖 4-21 之分布所示,

當振幅越大其帄均紐塞數越低由 Nuave=7.80(A=0.0)減至 Nuave=5.94 (Amp=0.08)之青 色曲線,其降幅達 24%,但因振幅加大其圓柱曲面之表面積也增加,因此總熱傳量也 需做一整體積分,其結果繪於此圖中綠色曲線,隨振幅增加其總熱傳量皆會增大,其 中光滑圓柱之總紐塞數可由 Nutot=24.52 增至 Nutot=26.43(A=0.08),有 7.8%之增加效 果,因此以目前之參數設定其振幅對熱傳是有些加分的效果。

4-5 開放圓柱下不同理查森數對熱傳之影響

在混合對流之探討上,所採用之邊界大小有三個,分別為 3:3:10,4:4:10, 5:5:10 (H1/D,H2/D,L1,2/D),採用瑞利數為 Ra=1x103,普朗特常數為 Pr=0.7,其計算網格在圓 柱部份皆是 O-grid 401x31、至於外部之 H-grid 則分別採用 721x251, 721x361, 921x461 探討之雷諾數有 10, 15, 20, 30, 40 等五種條件,因此理查森數分別為 10.,

(25)

16

4.44,2.5, 1.11, 0.625,其物理現象會由浮力主導之熱傳轉換至強制對流機制所主導。

圖 4-22a 中為三個邊界大小於雷諾數 10 之溫度分布圖,圖 4-23a 則為其對應之流線 分布圖,依此類推圖 4-22b 與圖 4-23b 為雷諾數 15 時之溫度與流線分布圖,而最後 一組圖 4-22e 與圖 4-23e 則為雷諾數 40 時之溫度與流線分布圖,在雷諾數 40 之計算 中壁面邊界高度 5 目前暫時無法獲得穩態結果,有賴進一步計算方能提供此一圖檔,

由此一系列圖檔之繪製可了解浮力效應由強轉趨弱之變化過程,尤其當雷諾數 10 與 15 條件下因浮力捲繞造成上游迴流區塊之產生,造成溫度向上游飄移之情形,其圓 柱散熱主要是透過上壁傳導為主,但隨著上下壁面之高度增加,迴流區域相對減小,

越來越多比例之熱傳可由出口噴出,因此低雷諾數在浮力與對流雙重作用下其熱傳量 會比純浮力(Churchill & Chu [43])或純粹對流(Fand [44])之預測皆來得高(圖 4-24 左側區域),但隨著雷諾數之增加,理查森數低於 2.5 其浮力效應變弱其流場會趨近 傳統開放圓柱之流場,其溫度分布尾緣與流場尾流會越來越接近,因此目前分析之帄 均紐塞數會與強制對流實驗統計之結果一致(圖 4-24 右側區域),亦即雷諾數越高熱 傳量越多,至於上下邊界不同大小對其熱傳之影響變得較小,亦即主要之熱傳機制由 出口噴流主導。

(26)

17

第五章 結論與展望

5-1 結論

本研究透過所開發之數值程式進行自然與混合對流之分析。透過兩組實驗數據結 果進行開發之驗證。針對波數、振幅與水帄風速等效應進行一初步之探討。從研究結 果中,可得出以下結論:

1. 本論文所建議之邊界條件設定可適用微分法於開放邊界問題之處理,採用較窄之 計算區域,雖然在圓柱外圍造成一限制,但在圓柱表面之流場與溫度邊界層差異 不大(Ra=103),以目前所採用之四個計算區塊其帄均紐塞數最大差異只有 1.8%。

2. 透過文獻數據之驗證,瑞利數 105空氣之自然對流模擬結果相當一致,但高瑞利 數 2x106~6x106水之模擬結果則與文獻中三組實驗數據有些差異,但趨勢尚屬穩合,

且透過此三個不同瑞利數之無因次處理,其局部與帄均紐塞數相當符合實驗統計 之 Ra0.25次方關係。

3. 針對不同圓柱造型之波數比較上,局部紐塞數呈現明顯波峰與波谷之特徵,但增 加波數其表面帄均紐塞數會下降,但隨表面積之增加,總熱傳量仍會略為增加,

以目前運算之參數可增加 3.5%。

4. 當改變圓柱波形壁之振幅上,其局部紐塞數呈現更強烈之波峰與波谷特徵,由於 流體阻力之效應,增加振幅其表面帄均紐塞數會下降,但隨表面積之增加,其總 熱傳量也仍會略增,以目前運算之參數可達 7.8%。

5. 不同水帄進風與垂直向上浮力之交互作用模擬上,在理查森數大於 2.5 時其浮力 效應大,其浮力所產生之捲繞造成圓柱上游處之迴流區域,完全改變管道內之流 動結構,其主要散熱機制為上壁面之傳導,但隨著壁面高度之增加以及雷諾數之 加大,其主要散熱機制轉為出口面之對流,目前分析之結果可成功展示此一物理 現象之發展,且帄均紐塞數之計算吻合純粹浮力與強制對流所歸納之實驗結果。

(27)

18

5-2 未來展望

本研究只針對少數瑞利數、普朗特常數與雷諾數進行分析,對波數與振幅之歸納 有限,因此未來有下列研究方向可以持續進行:

1. 圓柱高瑞利數下熱邊界層交替分離之熱傳分析。

2. 混合對流更多組理查森數之歸納結果。

3. 改變非對稱造型對自然對流之影響。

(28)

19

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(32)

23

圖 2-1 自然對流物理模型與邊界條件設定

圖 2-2 混合對流物理模型與邊界條件設定

(33)

24

圖 4-1 四個不同開放邊界下壓力分布(Ra=103,Pr=0.7) (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

X

Y

0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(34)

25

圖 4-2 四個不同開放邊界下水帄速度分布(Ra=103,Pr=0.7) (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

X

Y

0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(35)

26

圖 4-3 四個不同開放邊界下垂直速度分布(Ra=103,Pr=0.7) (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

X

Y

0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(36)

27

圖 4-4 四個不同開放邊界圓柱溫度分布(Ra=103,Pr=0.7) (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

X

Y

0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(37)

28

圖 4-5 四個不同開放邊界圓柱局部流線分布(Ra=103,Pr=0.7) (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

X

Y

0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

3:3:3

X

Y

0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

4:4:4

X

Y

0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

5:5:5

X

Y

0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

6:6:6

(38)

29

圖 4-6 四個不同開放邊界下圓柱表面紐塞數分布 (3:3:3 紅, 4:4:4 綠, 5:5:5 藍, 6:6:6 青)

N u

0 30 60 90 120 150 180

0 1 2 3 4

3:3:3

4:4:4

5:5:5

6:6:6

(39)

30

圖 4-7 圓柱水帄速度分布(Ra=105,Pr=0.7,boundary 4:4:4)

X

Y

0 2 4

-4

-2

0

2

4

(40)

31

圖 4-8 圓柱垂直速度分布(Ra=105,Pr=0.7,boundary 4:4:4)

X

Y

0 2 4

-4

-2

0

2

4

(41)

32

圖 4-9 圓柱溫度分布(Ra=105,Pr=0.7,boundary 4:4:4)

X

Y

0 2 4

-4

-2

0

2

4

(42)

33

圖 4-10 圓柱流線分布(Ra=105,Pr=0.7,boundary 4:4:4)

X

Y

0 2 4

-4

-2

0

2

4

(43)

34

圖 4-11 圓柱表面紐塞數分布(Ra=105,Pr=0.7,boundary 4:4:4)

N u /R a

0.25

0 30 60 90 120 150 180

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Kuhen & Goldstein (1980)

present numerical study

(44)

35

圖 4-12 圓柱溫度分布(Pr=7,boundary 4:4:4) (2x106 左, 4x106中, 6x106右)

圖 4-13 圓柱流線分布(Pr=7,boundary 4:4:4) (2x106 左, 4x106中, 6x106右)

X

Y

-1 0 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=2x10

6

X

Y

-1 0 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=4x10

6

X

Y

-1 0 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=6x10

6

X

Y

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=2x10

6

X

Y

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=4x10

6

X

Y

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3 4

Ra=6x10

6

(45)

36

圖 4-14 圓柱表面紐塞數分布(Pr=7,boundary 4:4:4)

N u

0 30 60 90 120 150 180

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ra=2x10

6

Reymond et al. (2008) Ra=4x10

6

Ra=6x10

6

Ra=2x10

6

present numerical study Ra=4x10

6

Ra=6x10

6

(46)

37

圖 4-15 圓柱表面無因次紐塞數分布(Pr=7,boundary 4:4:4)

N u /R a

0.25

0 30 60 90 120 150 180

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Ra=2x10

6

Ra=4x10

6

Ra=6x10

6

(47)

38

圖 4-16 不同圓柱壁面波數之局部溫度分布(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

X

Y

0 1

-1 0 1

N=0

X

Y

0 1

-1 0 1

N=8

X

Y

0 1

-1 0 1

N=16

X

Y

0 1

-1 0 1

N=24

X

Y

0 1

-1 0 1

N=32

(48)

39

圖 4-17 不同圓柱壁面波數之局部紐塞數分布(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

N u

0 30 60 90 120 150 180

0 2 4 6 8 10 12 14

N=0

N=8

N=16

N=24

N=32

(49)

40

圖 4-18 不同圓柱壁面波數之帄均與總紐塞數(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

No. of waviness

N u

ave

N u

ALL

0 8 16 24 32

7 7.2 7.4 7.6 7.8 8

24

24.5

25

25.5

26

(50)

41

圖 4-19 不同圓柱壁面振幅之溫度與流線分布(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

X

Y

0 1

-1 0 1

A=0.00

X

Y

0 1

-1 0 1

A=0.02

X

Y

0 1

-1 0 1

A=0.04

X

Y

0 1

-1 0 1

A=0.04

X

Y

0 1

-1 0 1

A=0.04

(51)

42

圖 4-20 不同圓柱壁面振幅之局部紐塞數分布(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

N u

0 30 60 90 120 150 180

0 2 4 6 8 10 12 14

A=0.00

A=0.02

A=0.04

A=0.06

A=0.08

(52)

43

圖 4-21 不同圓柱壁面振幅之帄均與總紐塞數(Ra=105,Pr=0.7, 4:4:4)

Amplitude of waviness

N u

ave

N u

ALL

0 0.02 0.04 0.06 0.08

5 6 7 8

24

25

26

27

(53)

44

圖 4-22a 不同壁面高度混合對流溫度分布圖 (Re=10,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(54)

45

圖 4-22b 不同壁面高度混合對流溫度分布圖 (Re=15,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(55)

46

圖 4-22c 不同壁面高度混合對流溫度分布圖 (Re=20,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(56)

47

圖 4-22d 不同壁面高度混合對流溫度分布圖 (Re=30,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(57)

48

圖 4-22e 不同壁面高度混合對流溫度分布圖 (Re=40,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

(58)

49

圖 4-23a 不同壁面高度混合對流流線分布圖 (Re=10,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(59)

50

圖 4-23b 不同壁面高度混合對流流線分布圖 (Re=15,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(60)

51

圖 4-23c 不同壁面高度混合對流流線分布圖 (Re=20,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(61)

52

圖 4-23d 不同壁面高度混合對流流線分布圖 (Re=30,Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

H/D=5

(62)

53

圖 4-23e 不同壁面高度混合對流流線分布圖 (Re=40,Gr=103,Pr=0.7, L1,2/D=10,/D=1)

H/D=3

H/D=4

(63)

54

圖 4-24 不同壁面高度與雷諾數之帄均紐塞數圖 (Gr=103,Pr=0.7,L1,2/D=10,/D=1)

Reynolds number N u

ave

5 10 15 20 25 30 35 40 45

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

3:3 4:4 5:5

Churchil & Chu (1975) Fand (1965)

H1/D: H2/D

參考文獻

相關文件

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