第五冊 3-2 矩陣的乘法及其應用
一.矩陣的乘法 1.設 A=
1 7 2 6 5
2 ，B=
7 4
1 2
5 1
，計算AB 與 BA。
【
7 16 57
16 、
38 69 1
10 3
5
16 40 3
】
2.設 A=1 4 7，B=
4
1 3
，計算AB 與 BA。
【
35 、
28 16 4
7 4
1
21 12 3
】
3.設 A=
0 8 5
1 4
2 ，B=
0 2 1 3
3 0 2 4
4 1 5 2
，計算AB 與 BA。
【
44 5 9 42
20 0 3
23 、不存在】
4.設 A=
2 3 4
1 ，B=
6 4 1
5 3
2 ，C=
5 4
3 1
2 1
，計算(AB)C 與 A(BC) 之值，並
求(AB)C 與 A(BC)是否相等。
【相等】
5.設 A=
3 4 1
1 2 2
2 1 4
，B=
1 0
4 3
2 1
，C=
3 2
4 1
1 3
，求A(B+C)、AB+AC、
(B+C)A、
BA+CA，問四者有那些相等。
【A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA】
6.設 A=
5 2
3 1
1 2
，B=
2 2 4
1 3
1 ，求3(AB)與(3A)
【3(AB)=(3A)B=
24 12 66
15 9 39
12 24 6
】
7.設 A=
6 3
2
1 ，B=
1 2
2
4 ，C=
2 5
4
10 ，求AB、AC；若 AB=AC，則 B
是否等於C？
【
0 0
0
0 、
0 0
0
0 ；否】
8.設 A=
2 3
4
1 ，計算A2+A。
【
14 0
0
14 】
9.設 A=
3 4 1
1 2 2
2 1 4
，B=
1 0
4 3
2 1
，求AI3、I3A、I3B、B I2。
【A；A；B；B】
10.設 A 與 B 皆為 2 階方陣，I 是 2 階單位方陣，試問下列各敘述何 者為真？
(1)(A+I)2=A2+2A+I (2)(A+B)2=A2+2AB+B2 (3)A2-I=(A+I)(A- I)
(4)A2-B2=(A+B)(A-B) (5)A3+I=(A+I)(A2-A+I) (6)(AB)2=A2B2
【(1)(3)(5)】
11.設 A 與 B 皆為 2 階方陣，I 是 2 階單位方陣，試問下列各敘述何 者為真？
(1)若 A2=0，則 A=0。 (2)若 A2=I，則 A=I 或 A=-I。
(3)若 A2=A，則 A=I 或 A=0。 (4)若 AB=0，則 BA=0。
【皆不正確】
12.若 A=
7 3
2
1 ，求B 使 AB=I2。
【
1 3
2
7 】
13.設方陣 A=
3 7
2
5 為可逆，求A 的反方陣。
【
5 7
2
3 】
14.設方陣 A=
4 5 3
0 5 2
1 2 1
為可逆，求A 的反方陣。
【
1 1 5
2 1 8
5 3 20
】
15.設 A=
2 3
1
2 ，B=
1 2
1
1 ，解矩陣方程式AX=B。
【
5 1
3
0 】
16.根據統計資料顯示，某市在晴天之後隔天下雨的機率為13 ，而在 雨天之後隔天也是雨天的機率為
2 1 。 (1)試將此資訊寫成轉移矩陣之形式。
(2)若開始觀察當天為晴天，即 X0=
0
1 ，試求X1、X2、X3。
【(1)
2 1 3 1 2
1 3 2
(2)
3 1 3 2
、
18 18 7 11
、
108 108 43 65
】 17.A、B 兩種細菌會互相突變，每一分鐘，A 突變為 B 的機率是
0.3，B 突變為 A 的機率是 0.9，而未突變的細菌還是原來的細菌，
現在開始時A 有 3000 個，B 有 5000 個，求 3 分鐘後 A 與 B 的數 目。
【A 有 6024 個；B 有 1976 個】
18.設平面上有三個坐標系 S、S’、S”，已知 S 平移(3,2)得到 S’，S’旋 轉30o得到S”，則點 P(1,2)對坐標系 S’的坐標為________。點 P 對 坐標系S”的坐標為________。
【(-2,0)；( 3,1)】
19.方陣 A=
1 3
3
1 ，若A=r
θ cos θ
sin
θ sin θ
cos 且r 為正數，
0 θ π
， 則r=________，A6=________。
【2；
64 0
0
64 】
