40 統 計 學 商業與管理的應用

40 統 計 學 商業與管理的應用

機率分配

6.1

^{令一隨機變數代表}12 家銀行中，房屋貸款條件為 30 年期且利率在 7.5%以下 者之家數。試問該隨機變數的可能值為何？

解

解

0≤x≤12，x∈ （整數） Z

6.2

^某旅館有 5 間客房，過去 20 天中，有 2 天只使用 1 間客房，有 4 天使用 2 間，有8 天使用 3 間，有 4 天使用 4 間，有 2 天使用 5 間。則

a.

以相對次數法建立任意一天客房使用狀況的機率分配。

b.

^{繪製機率分配圖。}

c.

證明你的機率分配滿足間斷機率分配的要求條件。

a.

：

使用客房

間數 x_i 天數 相對天數 f(x_i) 1 2 0.1 2 4 0.2 3 8 0.4 4 4 0.2

5 2 0.1

總計 20 1.0

b.

：

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 2 3 4 5 x

i

（間）

f (x

i

)

c.

：證明 1. 0≤f(x_i)≤1， ∀ x_i

2. ⁵ f(x ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1

1

i∑ i = + + + + =

=

6.3

下表是某公司專案獲利（X 表示利潤，其單位為千元）的部分機率分配表。

試問

x f(x) -100 0.10

0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200

42 統 計 學 商業與管理的應用

a.

f(200)的適當數值為何？請解釋。

b.

該公司獲利的機率為何？

c.

^{該公司獲利至少}100,000 元的機率為何？

解 a.

：f(200)＝1(0.10＋0.20＋0.30＋0.25＋0.10)＝1－0.95＝0.05

b.

：P(X>0)＝f(50)＋f(100)＋f(150)＋f(200)＝0.30＋0.25＋0.10＋

0.05＝0.7

c.

：P(X≥100)＝f(100)＋f(150)＋f(200)＝0.25＋0.10＋0.05＝0.4

6.4

張老師服務專線每天接到的求救電話通數在0 到 5 通之間，求救電話通數的 機率分配如表所示。試問

求救電話數 機率

0 0.10 1 0.15 2 0.30 3 0.20 4 0.15 5 0.10

a.

電話通數的期望值為何？

b.

電話通數的變異數與標準差為何？

解 a.

^{：E(x) x f(x}i^{) 0 0.15 0.60 0.60 0.60 0.5 2.45（通）}

5 0

i∑ i× = + + + + + =

= =

×

b.

^：V(x)＝E

[

x−E(x)

]

²

＝ ⁵

[

^{x E(x )}

]

^{2 f(x}_i⁾

0

i∑ i − i ×

=

＝(0-2.45)² 0.10+ (1-2.45)²× 0.15+ (2-2.45)²× 0.30

+ (3-2.45)²× 0.20 + (4-2.45)²× 0.15 + (5-2.45)²× 0.10

＝0.60025 0.315375 + 0.06075 + 0.0605 + 0.360375 +

+ 0.65025

＝2.0475

43 . 1 0475 . 2 ) x ( V

σ = = =

6.5

某汽車保險公司的損害保險求償狀況，如下表所示。試問

理賠金額（單位：千元） 機率

0 0.90 40 0.04 100 0.30 200 0.01 400 0.01 600 0.01

a.

利用期望賠償給付金額決定損益兩平的保費。

b.

^{保險公司每年收取}26,000 元的保費，對保險客戶而言，其投保期望值為何

（提示：保險公司平均給付金額減投保保費）？為什麼保戶以此期望值購 買此一保險？

44 統 計 學 商業與管理的應用

解 a.

：E(X)=0×0.90＋40,000×0.04＋100,000×0.03＋200,000×0.01＋400,000×

0.01＋600,000×0.01

=16,600（元）

b.

：16,600－26,000＝-9,400（元）

因為維護收支平衡的相等原則（損益兩平點）

6.6

^考慮n＝20，p＝0.7 之二項分配，請使用二項機率表回答下列問題。

a.

^{求 f(12)。}

b.

^{求 P(X≥15)。}

c.

^求E(X)、Var(X)及σ 。

解 a.

^：f(12)=C12^20(0.7)12(0.3)⁸=

! 8

! 12

!

20 (0.7)¹²(0.3)⁸ =0.11

b.

：P(X≥15)=f(15)+f(16)+f(17)+f(18)+f(19)+f(20)=0.42

c.

：E(X)=n×p=20×0.7=14 Var(X)=n×P×(1－P)=4.2

05 . 2 2 . 4 σ = =

6.7

^{某大學發現有} 20%的學生統計學不及格，假設本學期有 20 位學生選修統計 學，試問

a.

^最多2 位不及格的機率為何？

b.

^恰有4 位不及格的機率為何？

c.

^超過3 位不及格的機率為何？

d.

不及格人數的期望值為何？

e.

不及格人數的變異數為何？

解

n＝20，P＝0.2

a.

：P(X≤2)=f(0)+f(1)+f(2)

= C (0.2)²⁰₀ ⁰(0.8)²⁰+C₁²⁰(0.2)¹(0.8)¹⁹+C²⁰₂ (0.2)²(0.8)¹⁸

=0.2061

b.

^：P(X=4)=₁₆²⁰_!4^!_!^{(0.2)4(0.8)16=0.2182}

c.

：P(X>3)＝1－P(X≤3)＝1－[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]

＝1－0.41＝0.59

d.

：E(X)＝n×P＝20×0.2＝4

e.

：Var(X)＝n×P×(1－P)＝4×0.8＝3.2

6.8

某大學的電話打入頻率為每2 分鐘 1 通電話。試問

a.

每小時平均打入通數為何？

b.

5 分鐘打入 3 通的機率為何？

c.

5 分鐘內沒有任何電話打入的機率為何？

解 a.

：λ ＝0.5（通 / 分）

46 統 計 學 商業與管理的應用

60×0.5＝30（通）

b.

：5×0.5＝2.5 f(3)=

! 3

e ) 5 . 2

( ³× ^−2.5

=0.21

c.

^{：f(0)=(2.5)0}₀^×_! ^{e−2.5 =0.08}

6.9

在某一國際機場，航空旅客隨機且獨立地到達旅客檢查站，其每分鐘的平均 到達人數為20 人。試問

a.

1 分鐘內沒有旅客到達的機率為何？

b.

1 分鐘內最多 3 位旅客到達的機率為何？

c.

30 秒內沒有旅客到達的機率為何？

d.

30 秒內至少 1 位旅客到達的機率為何？

解 a.

^{：f(0)=(20)0}₀^×_! ^{e−20 =2.06×10−9}

b.

：P(X≤3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)

= 3!

e ) 20 (

! 2

e ) 20 (

! 1

e ) 20 (

! 0

e ) 20

( ^{0 −20 1 −20 2 −20 3}× ⁻²⁰

× +

× +

× +

=3.2×10^-6

c.

^{：f(0)=(10)0}₀^×_!^{e−10 =4.5×10-5}

d.

^{：p(X≥1)=1−f(0)=1−(10)0}₀^×_!^e−10

6.10

^針對100 位投資者所做的調查顥示，只有 2%的投資者認為投資貨幣市場基

金並不安全。試問

a.

^恰有3 位投資者認為投資貨幣市場基金並不安全的機率為何？

b.

^至少有3 位投資者認為投資貨幣市場基金並不安全的機率為何？

解 a.

^：P(X=3)=₃¹⁰⁰_!97^!_!^=(0.02)3(0.98)=0.18

b.

：P(X≥3)=1－P(X<3)=1－[f(0)＋f(1)＋f(2)]

=1－[0.98¹⁰⁰＋100×(0.02)×(0.98)＋4750×(0.02)²×(0.98)]

=0.3233

6.11

某一班級有 25 位學生，其中 15 位男生、10 位女生。已知星期四有 5 位學 生曠課。試問

a.

^{曠課學生中有}2 位是女生的機率為何？

b. 曠課學生中有 2 位是男生的機率為何？

c. 曠課學生全部是男生的機率為何？

d. 曠課學生全部不是男生的機率為何？

解

a.

^{： 0.385}

! 5

! 20

! 258!2!

! 10

! 3

! 12

! 15

C C C

25 5

102

153 × =

=

b.

^{： 0.237}

! 5

! 20

! 257!3!

! 10

! 2

! 13

! 15

C C C

25 5

103

152 × =

=

c.

^{： 0.0565}

! 5

! 20

! 25!5! 10

! 15

C C C

25 5

100

155 = =

48 統 計 學 商業與管理的應用

d.

^{： 4.74 10}

! 5

! 20

! 25

! 5

! 5

! 10

C C C

25 5

10 5 15

0 = = ×

6.12

某上市公司股票現在的股價為每股東 16 元，一投資者計劃買進並持有一年 時間。令 表示一年後該股票的價格，此隨機變數的機率分配如下表所示。

試問 X

X f(x) 16 0.35 17 0.25 18 0.25 19 0.10 20 0.05

a.

一年後該股票的每股期望利潤為何？

b.

一年後該股票的每股利潤之變異數為何？

c.

若另有一支股票的期望利潤與該股票相似，但其變異數為3；在考慮風險的 情況下，哪支股票較佳？

解 a.

：E(X－16)=0×0.35+1×0.25＋2×0.25＋3×0.10＋4×0.05=1.25

b.

：Var(X－16)=Var(Y)=Σ [yi－E(yi)]²=(0－1.25)²×0.35＋(1－1.25)²×0.25

＋(2－1.25)²×0.25＋(3－1.25)²×0.10＋(4－1.25)²×0.05=1.3875

c.

^{：∵ E(Y)≈E(Z)}

Var(Y)=1.3875＜Var(Z)=3

∴ 選擇本支股票

6.13

許多公司採用允收抽樣之品質管制技術，來檢測原料及零件的品質水準。

就電子產業而言，整批零件從供應商處送來，廠商抽取n 個樣本進行檢驗，

此即為一個二項實驗中包含 個試驗，每一試驗結果為良品或不良品。假設 某電子公司自供應商處購進一批電子零件，如果整批產品的不良率不超過 1%，則允收該批產品。現自該批產品中隨機抽取 5 個零件作為樣本，試問

n

0

1

a.

假設整批產品的不良率為 1%，則樣本中沒有不良品的機率為何？

b.

假設整批產品的不良率為1%，則樣本中恰有 1 件不良品的機率為何？

c.

假設整批產品的不良率為1%，則樣本至少有 1 件不良品的機率為何？

d.

^{若樣本中發現}1 件不良品，則你認為可以允收該批產品嗎？為什麼？

解

n＝5，n×p＝0.05，n×p(1－p)＝0.0475

a.

^{：f(0)=C5(0.01)0×(0.99)5 =0.95}

b.

^{：f(1)=C5(0.01)1×(0.99)4 =0.046}

c.

：P(X≥1)=1－P(X＝0)＝1－0.95＝0.05

d.

：∵ n×p=0.05 而 1>0.05

∴ 不允許

6.14

假設每分鐘平均有 5 部車輛到達收費站，試問 15 分鐘至少有 20 部車輛到達

50 統 計 學 商業與管理的應用

收費站的機率為何？

解

15×5＝75

P(X≥20)=1-P(X<20)

14 75 19 75 18

75 17 75 16 75 15 75 14 75 13 75 12

75 11 75 10 75 9 75 8 75 7 75 6

75 5 75 4 75 3 75 2 75 1 75 0

10 73 . 4 1

! ) 19

e 75

! 18

e 75

! 17

e 75

! 16

e 75

! 15

e 75

! 14

e 75

! 13 e 75

! 12

e 75

! 11 e 76

! 10

e 75

! 9

e 75

! 8

e 75

! 7

e 75

! 6

e 75

! 5

e 75

! 4

e 75

! 3

e 75

! 2

e 75

! 1

e 75

! 0

e (75 1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

×

−

=

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

−

=

≒ 1

6.15

隨機從一副撲克牌中抽出5 張牌，試問

a.

^有一對Aces 的機率為何？

b.

^恰有1 張 Ace 的機率為何？

c.

^{沒有Ace 的機率為何？}

d. 至少有1 張 Ace 的機率為何？

解

a.

^{： 0.0399}

! 5

! 47

! 52

! 3

! 45

! 48

! 2

! 2

! 4

C C C

52 5

48 3 4

2 × =

=

b.

^{： 0.299}

! 47

! 5

! 5244!4!

! 48

! 3

! 1

! 4

C C C

52 5

484

14 × =

=

c.

^{： 0.6}

! 5

! 47

! 52!5! 43

! 48

C C

52 5

485 = =

d.

^{： 0.34}

C C 1 C ₅₂

5 548

40 =

−