第一章：二次函數 第三節：應用問題 一、選擇
1. （ ）下圖是小強與阿華打排球時，排球過網的路徑圖，請問此路徑圖是下列哪一個二次函數 的圖形？
(A)y＝－ 1
16 x 2 ＋6 (B)y＝－ 1 16 x 2 －6 (C)y＝ 1
16 x 2 ＋6 (D)y＝ 1 16 x 2 －6
2. （ ）今年秋天為 A 型流感的旺季，根據調查發現開始傳染第 x 天，感染人數為 y 人，且 x 與 y 的關係式為 y＝100＋5000x－250x 2 。 請問本次 A 型流感在第幾天感染的人數會達到最多？
(A)第 7 天 (B)第 8 天 (C)第 9 天 (D)第 10 天
3. （ ）把 20 公分長的線段截成兩段，分別以這兩段為邊長作正方形，則兩正方形的面積和最小 值為多少平方公分？
(A)25 (B)50 (C)100 (D)200
4. （ ）在數線上，A 點的坐標是 0，B 點的坐標是 12，在 AB 上取一點 C，則 AC 和 BC 乘積的 最大值為何？
(A)48 (B)42 (C)36 (D)12
5. （ ） 子佳想用 100 公尺長的鐵絲圍成一矩形花圃，則所圍成花圃的最大面積為多少平方公尺？
(A)400 (B)600 (C)625 (D)2500 6. （ ）已知 x＋3y＝12，則 xy 的最大值為何？
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13
7. （ ）已知矩形的周長為 24 公分，則此矩形的最大面積為多少平方公分？
(A)25 (B)36 (C)49 (D)64
8. （ ）某農夫想用長 60 公尺的籬笆圍成一矩形的菜圃，則所圍成菜圃的最大面積是多少平方公 尺？
(A)225 (B)250 (C)600 (D)900
9. （ ）若 x 為任意正整數，且 m＝x 2 ＋2x＋5，則 81 m 的最小值為何？
(A) 3 8 (B) 3 10 (C) 3 12 (D) 3 16
10. （ ）設長方體的高為 10 公分，底面周長為 40 公分，則符合這樣條件的長方體，其體積最大 為多少立方公分？
(A)400 (B)750 (C)100 (D)2000
11. （ ）阿亮種了 40 棵芭樂樹，每棵芭樂樹一年可長出 1000 顆芭樂。若每加種一棵芭樂樹，則 每棵芭樂樹一年會少長 20 顆芭樂，則芭樂的最大產量為多少顆？
(A)40000 (B)40500 (C)41500 (D)42050
12. （ ）某布商進口國外製造高級布料，將該批布料定價為 1 碼 400 元，則一天可賣出 600 碼。
若每碼價錢降 x 元，則可多賣 2x 碼。試問每碼布料應定價多少元，布商才能有最大收入？
(A)300 (B)350 (C)360 (D)380
13. （ ）好好玩旅行社帶團出遊，每團人數以不超過 35 人為限，每人收費 5000 元，若人數不足 35 人，每減少 1 人則每人加收 200 元。試問此旅行社的最大收入為多少元？
(A)160000 (B)170000 (C)180000 (D)190000
14. （ ）哈哈文具店所賣的開學特惠文具組，每組售價 30 元，每天可賣出 200 組。老闆估算後發 現每組降價 1 元，每天可多賣出 10 組，則老闆應將此特惠文具組定為多少元，才能有最
多的收入？
(A)25 (B)26 (C)28 (D)29
15. （ ）已知愛購百貨公司目前一部遊樂器的售價為 1000 元，且每部遊樂器的利潤為 200 元，每 星期可賣出 200 部。根據百貨公司市場部調查分析，售價每提高 1 元，銷售量會減少 5 部，每降低 1 元，則增加 5 部，則百貨公司應該將售價訂為多少元，才能獲得最大利潤？
(A)890 (B)920 (C)1020 (D)1060
16. （ ）若 a：b：c＝3：6：8，則 ab－bc＋ca＋c 的最大值為多少？
(A) 1
3 (B) 5
3 (C) 8
3 (D) 11 3
17. （ ） 若將 15 分成三個正整數，且其中兩數為連續整數，則這三個正整數的最小平方和是多少？
(A)77 (B)99 (C)111 (D)131
18. （ ） 已知一梯形的高與上底之和為 10，且高與下底之和為 14，則此梯形面積的最大值為多少？
(A)36 (B)48 (C)52 (D)64
19. （ ）某人以長 100 公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形的花園，河邊當作一直線不圍，如下圖 所示，則所能圍成的最大面積是多少平方公尺？
(A)1050 (B)1250 (C)1200 (D)1500 20. （ ）已知 x 為整數，試求 6
x 2 －4x＋10 的最大值為何？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)7
21. （ ）如下圖，方程式 2x＋3y＝5 的圖形與兩軸分別交於 A、B 兩點，若 P 為 AB 上的任一點，
則矩形 OCPD 面積的最大值為多少？
(A) 25
12 (B) 25
24 (C) 25
36 (D) 25 48
22. （ ）某區的居民在地上挖了一個地洞，用來掩埋垃圾。這個地洞的側面圖形恰為二次函數 y
＝x 2 －2x－3 的拋物線圖形，若此地洞寬有 4 公尺，則此地洞的深度為多少公尺？
(A)3 (B)4 (C)6 (D)7
23. （ ）如圖，小蓁以 100 公尺長的鐵絲網在河邊圍一個矩形的菜園。虛線部分為河邊不圍，且
∠BAE＝90˚，¯ AB ＝20 公尺，則菜園(矩形 ACDE)的面積最大為多少平方公尺？
(A)1200 (B)1400 (C)1600 (D)1800
24. （ ）已知數線上有相異兩點 A(－7)、B(5)，有一點 P 在¯ AB 上，若PA ׯ ¯ PB 的最大值為 h，PA ¯ 2
＋¯ PB 2 的最小值為 k，則 h＋k＝？
(A)32 (B)64 (C)95 (D)108
25. （ ）已知圓 O1 與圓 O2 互相外切，且兩圓連心線 O¯ 1O2 ＝8，則兩圓面積和的最小值是多少？
(A)16π (B)24π (C)30π (D)32π
26. （ ）已知平行四邊形 ABCD 的周長為 40 公分，而且∠ABC＝30˚，設 AB 的長度為 x 公分，平 行四邊形 ABCD 的面積為 y 平方公分，而且 y 與 x 的關係式為 y＝ax 2 ＋bx＋c，則 2a＋b
－3c＝？
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
27. （ ）小雅將一顆球自 h 公尺高的高空拋下，經過 t 秒後，離地面的高度為 s 公尺，且 s 與 t 的 關係為 s＝h－4.9t 2 。若這顆球自 250 公尺的高空拋下，則經過幾秒後，球會碰到地面？
(A) 50
7 (B) 52
7 (C) 54
7 (D)8
28. （ ）輕鬆行旅行社舉辦阿里山三日遊，人數預定為 60 人，每人收費 7550 元。若人數超過 60 人時，則每增加 1 人，每人可減收 100 元。請問旅行社的最大收入為多少元？
(A)456000 (B)457000 (C)458000 (D)459000
29. （ ）下圖為一河道的截面，其形狀恰為一拋物線，而最深處 E 點距岸面 12 公尺，當水深為 8 公尺時，河面寬( CD )為 8 公尺，今若欲架設一橫跨 A、B 兩岸的木橋，試求 AB 為多少 公尺？
(A)12 (B)14 (C)2 6 (D)4 6
30. （ ）已知曉蓁新買的電子寵物機器兔每次跳躍的路徑恰為二次函數 y＝－ 1
4 x 2 的圖形，且每次 跳躍的最高點距離地面 16 公分。試問機器兔在水平地面上連續跳躍 3 次後的水平距離為 多少公分？
(A)16 (B)24 (C)36 (D)48 二、填充
1. 已知坐標平面上有三點 A(6 , 1)、B(－4 , 3)、C(x , 0)，當 x＝ 時，¯ AC 2 ＋¯ BC 2 有最小值
為 。
2. 小慧參加一個科學營，將沖天炮做改良，完成後拿到廣場試射，經過 t 秒後，發現沖天炮的高度 是 s 公尺，且 s 與 t 的關係式為 s＝256t－16t 2 ，則：
(1)沖天炮所能達到的最高高度為 公尺。
(2)經過 秒鐘後，沖天炮會落到地面。
3. 一線段 AB 長 10 公分，今將 AB 分成 AC 、 BC 兩段，然後分別以 AC 、 BC 為一邊各作一正 方形，設 AC ＝x 公分，此兩正方形面積和為 y 平方公分，請回答下列問題：
(1)若 y 與 x 的關係式為 y＝ax 2 ＋bx＋c，則 a＝ ，b＝ ，c＝ 。 (2)此兩正方形面積和的最小值為 平方公分。
4. 氣象局預測將有一颱風侵襲本地，其行徑路線恰為二次函數 y＝－2x 2 ＋8x－5 的圖形，若 A 地的 坐標為(3 ， 1)，B 地的坐標為(2 ， 3)，C 地的坐標為(－1 ， 4)，則此颱風會侵襲哪些地方？
答： 。
5. 若 x＋y＝30，則 xy 的最大值為 ，x 2 ＋y 2 的最小值為 。
6. 下圖的球從(0 , 5)的位置拋射，沿著二次函數 y＝－ 1
400 x 2 ＋ 1
5 x＋5 的軌跡飛行，其中 x 公尺表示 球飛行的水平距離，而 y 公尺表示球離地面的高度，則：
(1)球從拋射出到落地時，飛行的水平距離為 公尺。
(2)在飛行過程中，球離地面的高度最高為 公尺。
7. 有一養鴨人家在河邊圍了一個直角三角形的鴨寮，如下圖，靠河的那邊不用圍籬笆，已知籬笆 共長 40 公尺，則所能圍成鴨寮的最大面積為 平方公尺。
8. 已知 x＋y＝7，回答下列各問題：
(1)xy 的最大值為 。 (2)x 2 ＋y 2 的最小值為 。
(3)若 x、y 皆為整數，則 x 2 ＋y 2 的最小值為 。
9. 在數線上，A、B 兩點分別代表 7、2，若另一點 P 點在 A、B 之間，且使 AP 2 ＋ BP 2 最小，則 P 點所代表的數為 。
10. 快樂旅行社推出年終優惠方案，若一團招收 30 人，則旅行社可賺得的利潤為每位團員 2000 元。
若團員超過 30 人， 每增加 1 人， 則旅行社會給每位團員優待 50 元， 則一團團員人數為 人 時，旅行社才能有最大利潤 元。
11. 如圖，已知某個大碗公的側面為拋物線，當水深為 2cm 時，液面寬(¯ CD )為 8cm，則液面寬¯ AB 為 10cm 時，水深為 cm。
12. 如圖，阿亮伯有一塊長方形土地(長方形 ABCD)，已知¯ AB ＝200 公尺，¯ BC ＝300 公尺。阿亮伯 想在這塊土地上闢一塊三角形花園(△MBN)，M 點在¯ AB 上，N 點在¯ BC 上，且¯ NC ＝2¯ BM ，則△
MBN 面積最大為 平方公尺。
13. 已知數線上 A、B 兩點的坐標分別為－3、2，且 P 點在 AB 上，則 PA × PB 的最大值為 ， PA 2 ＋ PB 2 的最小值為 。
14. 當好看電影院的每張票價為 80 元時，觀眾有 1000 人，若票價每減 2 元，觀眾就增加 50 人，則 每張票價訂為 元，方能使該電影院的收入最多，又最多共可收到 元。
15. 若 2x＋y＝100，則 xy 的最大值為 ，x 2 ＋y 2 的最小值為 。
16. 如圖，小蜜蜂嗡嗡在花叢間穿梭，已知嗡嗡飛行的路徑恰為一個二次函數的圖形，牠從 A(3 ， 3) 飛到 B(－2 ， 5)，那麼下列哪幾個二次函數可能是嗡嗡飛行的路徑？
(甲)y＝－ 2 5 x 2 ＋ 33
5 (乙)y＝－ 1
2 x 2 ＋ 15 2 (丙) y＝－ 3
10 x 2 － 1 10 x＋6 (丁) y＝－x 2 ＋2x＋6
答： 。
17. 如下圖所示，已知在時間 t＝0 秒時，跳水選手阿羅從距離水面高 12 公尺的平臺跳下，若在 t 秒 時，距離水面的高度為 y＝－4.9t 2 ＋4.9t＋12(公尺)，則：
(1)阿羅在起跳後 秒達到最高點。
(2)承(1)，此時離水面的最高距離為 公尺。
18. 如圖，坐標平面上有一直線 L：x＋y＝3。設 P 為直線 L 上一動點，且在第一象限，若 P 到 x 軸 的距離為 m，P 到 y 軸的距離為 n，則 m 2 ＋n 2 的最小值為 。
19. 若 3x＋4y＝12，當 x＝ 時，x 2 ＋y 2 有最小值為 。
20. 惠蓮想利用 50 公尺的鐵絲網圍成兩個大小一樣的矩形養雞場，如下圖，則圍成的養雞場總面積 最大是 平方公尺。
21. 如圖，在直角△ABC 中，∠B＝90˚，¯ AB ＝6，¯ BC ＝8。且¯ EF ⊥¯ BC，ED ⊥¯ ¯ AB。設¯ EF ＝x，則：
(1)¯ CF ＝ 。(以 x 表示)
(2)△ADE 與△CEF 面積和的最小值為 。
22. 如圖，邊長為 1 的正方形 ABCD 中，E 與 F 分別在 AD 與 AB 上，且 AE ＝2 AF ，設 AF ＝x，
則：
(1)以 x 表示四邊形 CDEF 的面積＝ 。 (以 ax 2 ＋bx＋c 的形式作答)
(2)當 x＝ 時，四邊形 CDEF 有最大面積為 。
23. 哈哈文具店所販售的筆記本，每本的成本為 20 元，老闆將售價訂為 36 元，每天平均可賣出 50 本。根據老闆的統計，若將筆記本每本售價調高 1 元，每天銷售量會減少 5 元；若降低 1 元，
每天銷售量會增加 5 本。請問：
(1)若欲獲得最大收入，則每本筆記本的售價應訂為 元。
(2)若欲賺取最大利潤，則每本筆記本的售價應訂為 元。
24. 如圖，四邊形 ABCD 的頂點恰為四個圓的圓心，且每個圓皆與相鄰的圓外切，已知¯ AD ＝7，¯ DC
＝8，¯ BC ＝5，¯ AB ＝4，若圓 A 的半徑為 x，則：
(1)可以 x 表示四圓的面積和為 。
(2)當 x＝ 時，此四圓的面積和有最小值為 。
25. 如下圖，有一模型拱門，其拱門的造型為拋物線的一部分，拱門寬( AB )為 20 公分，拱門高( PO ) 為 8 公分。已知小明的玩具車寬度為 12 公分，車高 h 公分，若玩具車能順利通過這拱門，那麼 滿足這個條件的 h 最大整數為 。
26. 如圖，ABCD 為每邊長 30 公分的正方形紙張，若剪去其中一角(△MBN)，且 3¯ AM＝4¯ BN。設¯ BN
＝x 公分，則：
(1)¯ MB ＝ 公分。(以 x 表示)
(2)△MBN 的面積為 平方公分。(以 x 表示)
(3)當 x＝ ，△MBN 的面積有最大值，且其最大面積為 平方公分。
27. 如圖，某廠商欲搭建演唱會舞臺，已知演唱會舞臺是由兩個相連的正方形(甲、乙)所組成，且¯ AB
＝8 公尺。若搭建舞臺的費用為每平方公尺 100 元，則甲平臺的邊長為 公尺時，能使搭 建費用達最低，其最低費用為 元。
28. 已知一直角三角形的兩股長之和為 16 公分，則：
(1)此直角三角形面積的最大值為 平方公分。
(2)此直角三角形斜邊長的最小值為 公分。
29. 設(x－1)：(y＋1)：(z＋2)＝1：2：3，則 x 2 ＋y 2 ＋z 2 的最小值為 。
30. 如圖，老劉將自家廣場(為長方形土地)規劃成面積比為 1：3 的草皮區及花圃區(皆為矩形)，圖中 所有線段的總和為 100 公尺(¯ AC ＋¯ CD ＋¯ DF ＋¯ AF ＋¯ BE ＝100 公尺)，當 ¯ AF
¯ AB ＝ 時，草皮 區及花圃區的面積為最大。
三、計算
1. 已知 A(－7)、B(11)為數線上兩點，若 P 點為數線上的一點，且使 PA 2 ＋ PB 2 的值為最小，則 P 點的坐標為何？又此時 PA 2 ＋ PB 2 ＝？
2. 如圖，小貫站在離海面 18 公尺高的岩石上，向上投擲一球，經 t 秒後，球離海面的高度為 h 公 尺。已知高度 h(公尺)與時間 t(秒)的關係式為 h＝－2t 2 ＋16t＋18，則球在小貫擲出後幾秒達到最 高點？
3. 農夫阿利想用長 80 公尺的籬笆圍成一矩形的菜圃，則他該如何圍才可使菜圃的面積最大？
4. 若二次函數 y＝x 2 －4x＋3 圖形的頂點為 C，且圖形與 x 軸交於 A、B 兩點(A 點在 B 點的左方)，
則：
(1)C 點坐標為何？
(2)△ABC 面積為何？
5. 曉鴻將一個皮球向上拋擲，經 t 秒後，皮球的高度為 s 公尺，s 與 t 的關係式為 s＝176t－16t 2 ， 試求此球擲出經幾秒後，可達最高的高度，且其最高的高度為幾公尺？
6. 佳玫站在離地面 18 公尺高的塔頂上，向上投擲一球，經 x 秒後，球距地面的距離為 y 公尺，已 知 y 與 x 的關係為 y＝－2x 2 ＋16x＋18，則：
(1)此球擲出經幾秒後，可達最高的高度？
(2)球可達到的最大高度距地面幾公尺？
(3)此球擲出經幾秒後，才會落到地面？
7. 已知正方形 A 的邊長為 m，正方形 B 的邊長為 n，若 m＋2n＝3，則 A、B 兩正方形的面積和最 小為何？
8. 若 x＋y＝8，則 xy 的最大值為何？x 2 ＋y 2 的最小值為何？
9. 曉勇以長 200 公尺的鐵絲網在河邊圍一長方形的菜園，河邊當作一直線不圍，如下圖所示，則 菜園的最大面積是多少平方公尺？
10. 數線上 A、B 兩點的坐標分別為 2、10，在 AB 上取一點 C，使得 AC 和 BC 乘積的值為最大，
則 C 點的坐標為何？又此時 AC × BC ＝？
11. 一果園中種了 25 棵橘子樹，每棵平均可生產橘子 450 個；若在此園中，每加種 1 棵，則每棵平 均生產量減少 10 個。問應加種幾棵，才能使此園的產量達到最大？又最大產量是多少個？
12. 若 x＋2y＝10，則 xy 的最大值為何？x 2 ＋y 2 的最小值為何？
13. 秋文參加創意科學營，製作了一個小火箭，完成後拿到操場試射。假設小火箭沿二次函數 y＝－
1
100 x 2 ＋ 1
2 x＋6 的軌跡飛行，其中 x 公尺為火箭飛行的水平距離，y 公尺為火箭距地面的高度，
已知發射點在(0 , 6)的位置，則：
(1)火箭從發射到落地，所飛行的水平距離為多少公尺？
(2)在飛行過程中，火箭離地面的高度最高為多少公尺？
14. 已知 AB ＝12，P 為 AB 上的一個動點，以 AP 為一邊作等腰直角△APC，其中∠A＝90∘ ，又以 PB 為一邊作正方形 PBDE，如下圖，設 AP ＝x，則：
(1)以 x 表示△APC 與正方形 PBDE 的面積和。
(2)求△APC 與正方形 PBDE 面積和的最小值。
15. 附圖為一水溝的截面，其形狀為一拋物線，O 為最低點，當河寬¯ MN ＝16 公尺時，水深¯ GO ＝16 公尺，則當河寬¯ CD ＝12 公尺時，試求河面高度¯ FO 為多少公尺？
16. 如圖，小龍自 O 點以每小時 3 公里的速度朝正東方的 A 點前進，阿泰自離 O 點 20 公里的 B 點 以每小時 4 公里的速度朝正北方的 O 點前進。求兩人的最近距離為多少公里？
17. 下圖為某條河流的截面，型如拋物線，水深 40 公尺時，最深處 O 為頂點。當水深 16 公尺(B 點 的水位)時，水面的寬(¯ AB )為 64 公尺，則水深 25 公尺時，水面的寬(¯ CD )是多少公尺？
18. 如圖，小蓁用 100 公尺長的鐵網沿河邊圍成四個大小一樣的長方形花園(靠河的一邊不圍)，求所 能圍出的最大總面積為多少平方公尺？
19. 如下圖，已知長方形 ABCD 中， AB ＝3 公分， BC ＝4 公分，設 BF ＝ BE ＝x 公分，則：
(1)若四邊形 EFCD 的面積為 y 平方公分，則 y 與 x 的關係為何？
(2)當 x 為多少時，四邊形 EFCD 有最大面積？
(3)承(2)，四邊形 EFCD 的最大面積為何？
20. 如圖，已知¯ AB ＝56 公分，P 為¯ AB 上一點，分別以¯ AP 、¯ BP 為周長各圍成一長方形 PCDE 和一 正方形 PFGH，若¯ CD ＝3¯ DE ，則所圍成長方形與正方形的面積和最小為多少平方公分？
