高中數學程度的代數基本定理

科學月刊【數‧生活與學習】專欄‧百年 7 月

高中數學程度的代數基本定理

單維彰‧100 年 6 月 12 日

我國的高中數學課程「有史以來」就包含了『代數基本定理』： 若 f x( )a x_n ⁿ   a x₁ a₀

1

是一個 n 次複係數多項式函數，其中

，則必存在一個複數 z 使得

n f z( ) 。 0

常見的延伸命題是：在複數域裡，n 次實係數多項式函數必有 n 個根，其中複數 根必然以共軛的形式成對出現；或者實係數多項式必有實係數的一次或（不可分 解之）二次因式。因為大學線性代數的入門課程須要它來確認 n 階方陣必有 n 個複數的特徵值（線性代數課本通常也是敘述而不證明代數基本定理），使得這 個定理有它存在於高中課程內的正當性。

許多早期的教科書提到，這個定理乃是高斯於 1799 年首次證明的。但是，

如果以後世的嚴格標準來看，高斯的證明有漏洞（再怎麼偉大的前輩數學家都難 免被後進找到一兩個漏洞，但是皆無損於他們偉大的成就）。把同樣具有些微漏 洞的證明算進來，則歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都比高斯更早提出過證明。如今 認為第一個「完全正確」的證明，是一名在巴黎經營書店的業餘數學家阿岡 (Jean-Robert Argand, 1768—1822) 於 1814 年發表的。

這個定理雖然掛著「代數」頭銜，卻其實是一個「複數」定理。它所斷言的，

不是代數的性質，而是複數的性質。這並不是因為數學家喜歡亂取名字，而是因 為「代數」這個詞，已經從 200 年或更早以前的通義，轉變成了一個數學學門的 專有名詞。當牛頓談論函數的微分規則時、當高斯談論複數的運算規則時、當漢 彌爾頓談論四元數的運算規則時，都說那是一套「代數」規則。以前的「代數」

是通用名詞，泛指一套計算規則。而『代數基本定理』是指由複數計算規則所導 出的一個基本性質：不是常數的複係數多項式函數必有複數根。

仔細檢驗之後，發現這個定理的「完全正確」證明，須要兩種數學：

(1) 實數的完備性與連續函數在緊緻 (compact) 區域內的極值性質，

(2) 複數的極式及其運算性質。

其中嚴格理論性的第 (1) 項的確不能在高中課程中交代，但是關鍵技術性的第 (2) 項，卻是自然組高中學生已經學習的；就 99 課綱而言，屬於選修數學甲 I 第二章的內容。而第 (1) 項並非了解代數基本定理的關鍵，缺了它僅造成證明 中專業數學家才能察覺、而一般人和初學者感到理所當然的「漏洞」。前面指出，

就連歐拉、高斯這些偉大的前輩都曾忽略證明中的漏洞，我們更應該對高中課程 裡留下的漏洞抱持寬容的態度。

所謂複數的極式 (polar form)，就是若 z 為非零複數，則它可以（唯一地）

改寫成 z=| | (cosz  isin ) 形式，其中 arg( )z 是 z 的幅角。此處的 arg 恰好像 是阿岡 (Argand) 的縮寫，但其實它是幅角 (argument) 的縮寫。而關鍵的運算

性質是，若 z、c 是兩個非零複數，則|zc| | || z c |且 arg( ) arg( ) arg( )zc  z  c 。 使得代數基本定理成立的最關鍵因素，是以下引理：

令 f x( )a x_n ⁿ   a x₁ a₀

1 f z( )₀ 0

1 0

| ( ) | | ( ) |

是一個 n 次複係數多項式函數，其中

。若 ，則存在一個 「附近」的複數 使得

n z₀ z₁

f z  f z 。

這個引理是複數的特性，它的「實數版本」並不成立。例如，若限定 x 為實數，

4 3 2 ，則雖然

( ) 5 7 3 1

g x   x x  x  x g(1)  ，但因為1 0 g x( )在x1 1

發生了相 對極小值，所以 1「附近」沒有任何實數使得 ( )g x  。請參照附錄中的圖 1。

上述引理的證明，按照課程綱要的規劃，應該是（自然組）高中學生可以理 解的。事實上，我們不妨用這個證明來統整複習一部份的高中數學。

首先，將 f x 改寫成以( ) z₀為參考點的泰勒形式（連續做除以xz₀

0 0)

( )^k (

k

的綜合除 法）：

1

( 0)

n k

0 1

( ) _n( ) _k

f x c xz c _ xz ^ c xz  f z ， 其中 k 是(xz₀)^k之係數不為 0 的最低次數，也就是c_k 0

2(x 1)2 1

。注意 k 不一定是 1，

例如前述g x( )以 1 為參考點的泰勒形式為

4 3

1) (x 1) ( ) (

g x   x   

1 0

z z

  ，

此時 k=2 而c₂ 2。以下，我們將要找一個 z使得| f z( ) | |₁  f z( ) |₀

1

  ，其中

|z| 頗小，所 z 的「附近」₀ 。 先處理關鍵的c xz₀)^k  f z( ₀

以z 在₁

就是c z_k ^k f z( )₀ 。取 ) 部分。代入 x z

k(  arg( )z

為





稱於 )

對 原點，所以c z 和_k ^k f z( ₀ 位於方向 上；用平 量 來 看，c z 和_k ^k ( )₀

相反的兩條射線 面向 的觀念 f z 個 反的向量，參照附錄的圖 2。只要 |z| 小得足以讓

|c z_k ^k| f z( | ^k ( ) | | ( ) |_{0 0} | || |^k 是兩 方向相

| 0) |

 ，則 _{k k}

再處理殘

c z  f z  f z  c z 。

餘的 c_k1(xz₀)^k1c x_n( z₀)ⁿ部分。代入x 就是z₁

1 1

k n

k n

c _ z ^   c z 。令 c_n|這些數的最大值（M 式，只要 | 就有

M 是|c_k1|、|c_k2|、…、| 為正數）， 則應用三角不等 z|<1

1 | |

k n

c z M z

    ¹

|c_k1z  _n |^k (1 | | z | |z ²   | |z ^{n k 1})

1 1 1

| | | |

k k

1 | |

1 | | | | 1

n k | |

1 | | | |

z z k

M z M

z z

   

z|) 也跟著越小 z

 

  

參照附錄中的圖 3，當 |z| 越小，|z|/(1-| |z|

使得

z M z

 。

。所以，總有足夠小的

| | 1 | |

z M

 z |c_k|。

任選一個滿足上述三種「夠小」要求而仍為正數的 |z|，則

1 0

| ( ) | | ( ) | | || | | |

1 | |

k

z

| | | ( ) |0

k k

f z f z c z

   z

 M z  f z ，

故得證引理。現在，反覆引用引理，如果新找到的 還是使得 ，就可

以在它附近找到 使得 ₂

z1 | ( ) |f z₁ 0 z2 | ( ) | | ( ) | | ( ) |f z₀  f z₁  f z 。依此類推，持續找到z₃、 z 、…，使得4 f x 的絕對值越來越小，直到「最後」 到某個 z( ) ) | 0 為 止（這個 z 的存在性就牽涉前述的嚴格理論性問題）。而這個 z 就是 ( )

找 使得| (f z f x 數根，我們 得到了代數基本定理。

附錄‧為方便讀者，我們做了幾幅圖，放在

的一個

複 也就

以下網頁。

http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/article/0007/index.html

中的版本稍有 失，前後稍有疏漏而缺乏一致性，耑此致歉。

後記‧這一篇專欄，在科學月刊截稿後做了一些修訂。刊登在月刊 疏