二、 第一型 Stirling 數的同餘關係式

關於第一型廣義 ^Stirling 數之同餘式 的註記

許家甄

一、 前言

當 n = 1, 2, . . . 時, 我們定義降階乘函數 [x]_n= x (x− 1) · · · (x − n + 1)。 特別地, 我 們定義 [x]₀ = 1。 第一型與第二型的 Stirling 數分別是以冪次函數基底 x^kk≥0 來表示 [x]n, 與用降階乘函數基底 [x]_{k k≥0} 來表示 xⁿ 所涉及的係數, 是由 James Stirling 在 1780 年定義 的。 現在, 我們具體地給出第一型 Stirling 數的定義:

[x]_n =∑

k≥0

S₁(n, k) x^k。

而第一型 Stirling 數, 還有另一層含義: |S1(n, k)| 是 「將 n 個元素, 先分成 k 個非空組 後, 再將每一組做成一個環狀排列」 的方法數。 |S1(n, k)| 也經常被寫成 [_n

k

], 因為 [_n+1

k

] = n[_n

k

]+[ _n

k−1

] 類似於二項式係數等式。

本文的主要目的是將 Comtet [3] 的同餘關係式

S₁(p, n)≡ 0 (mod p), 2 ≤ n ≤ p − 1,

延伸至模 p 的更高次方 (請參考定理 2 )。 接著再推廣至廣義的第一型 Stirling 數之同餘關係 式 (請參考第 3 節)。

最後, 我們將簡單介紹一些特殊的第一型 Stirling 數, 並利用主要定理, 對特殊的第一型 Stirling 數的同餘關係進行探討。

二、 第一型 Stirling 數的同餘關係式

從本節開始, 以下的 p 皆為奇質數。 我們直接引用下面的遞迴關係式, 因為網路上可以輕 易找到證明, 就不浪費篇幅了。

性質 1. S1(n, k) = S1(n− 1, k − 1) − (n − 1)S1(n− 1, k)。

已知當 2 ≤ n ≤ p − 1, S1(p, n)≡ 0(mod p) (請參考 [3]), 再利用性質 1, 我們有 S₁(p + 1, n) = S₁(p, n− 1) − pS1(p, n)≡ S1(p, n− 1) (mod p²)。 我們得到一引理如下:

引理 1. 當 2 ≤ n ≤ p − 1,

S₁(p, n− 1) ≡ S1(p + 1, n) (mod p²)。 更一般地, 我們可得

定理 2.

S₁(p, n−(k−1)) ≡









k−2

∑

i=0

pⁱS1(p + 1, n + i− (k − 2)) (mod p^k) , 2≤ k ≤ n + 1;

0 (mod p) , k = 1。

其中 2 ≤ n ≤ p − 1。

證明: 令 2 ≤ n ≤ p − 1, 我們將對 k 做數學歸納法。 當 k = 2 時, 由引理 1 可知此命題為 真。

假設當 2 ≤ k = j ≤ n , 此命題為真。 亦即

S1(p, n− (j − 1)) ≡

j−2

∑

l=0

p^lS1(p + 1, n + l− (j − 2)) (mod p^j)。 則當 k = j + 1 時,

S₁(p, n− j) = S1(p + 1, n− j + 1) + pS1(p, n− (j − 1))

≡ S1(p + 1, n− j + 1) +

∑j−2 l=0

p^l+1S1(p + 1, n + l− (j − 2))

≡ S1(p + 1, n− j + 1) +

j−1

∑

i=1

pⁱS₁(p + 1, n + i− (j − 1))

≡

j−1

∑

i=0

pⁱS₁(p + 1, n + i− (j − 1)) (mod p^j+1),

其中 l = i − 1。 由數學歸納法得證。 

三、 廣義的 Stirling 數與同餘關係式

在上一節中, 我們所討論的第一型 Stirling 數如今已被廣泛推廣, 例如 Broder [1] 的 r-Stirling 數, 以及 Carlitz 在 [2] 中所提及兩種衰退的 Stirling 數。 廣義的 Stirling 數, 則 由 Hsu 及 Shiue 在 [4] 中給出了較具體的定義: 當 n = 1, 2, . . . 時, 他們定義 [z | α]n = z(z− α) · · · (z − nα + α), 而 [z | α]₀ = 1, 其中 α 為任意實數。 明顯地, 有 [z | 0]_n = zⁿ 以及 [z | 1]_n = [z]_n。 我們從 [4] 引入以下定義:

定義 1.

[t| α]_n =

∑n k=0

S (n, k; α, β, γ) [t− γ | β]_k,

其中 α、 β、 γ 為任意實數, 而 S (n, k; α, β, γ) 即為第一型的廣義 Stirling 數。

為了方便起見, 我們把 S (n, k; α, β, γ) 簡記成 S (n, k), 必要時會將參數表示出來。 下面 是本文會提到的一些特殊廣義第一型 Stirling 數 ([4]):

• 當 ⟨α, β, γ⟩ = ⟨1, 0, 0⟩ 時, S (n, k) 即為第一型 Stirling 數;

• 當 ⟨α, β, γ⟩ = ⟨−1, −λ, 0⟩ 時, S(n, k) 即為 Carlitz 的第一型衰退 Stirling 數;

• 當 ⟨α, β, γ⟩ = ⟨−1, 0, r⟩ 時, S (n, k) 則為 r-Stirling 數的第一型。

這些在稍後會有較詳細的介紹及說明。

以下列出我們需要的廣義 Stirling 數的性質:

性質 2 ([4]). (遞迴關係式) 對任意的 α、β、γ 我們有

S (n + 1, k) = S (n, k− 1) + (kβ − nα + γ) S (n, k) ,

其中 1 ≤ k ≤ n。

性質 3 ([4]). 當 α、β、γ 是整數, 我們有以下的同餘關係式:

S (p, n; α, β, γ)≡ 0 (mod p), 其中 2 ≤ n ≤ p − 1。

類似於定理 2 可得:

主要定理. 當 2 ≤ n ≤ p − 1, 且 β ≡ γ ≡ 0 (mod p) S (p, n− (k − 1))

≡







k−2

∑

i=0

[ϕ + (k− 2)β | β]_iS (p + 1, n + i− (k − 2)) (mod p^k) , 2 ≤ k ≤ n + 1;

0 (mod p) , k = 1。

其中 ϕ = pα − nβ − γ。

證明: 令 2 ≤ n ≤ p − 1, 我們將對 k 用數學歸納法證明。 當 k = 2, 由性質 2 及性質 3, 我 們有

S (p + 1, n) = S (p, n− 1) + (nβ − pα + γ)S (p, n) , 且 S (p, n) ≡ 0 (mod p)。 又, 因為 β ≡ γ ≡ 0 (mod p), 所以我們有

S (p, n− 1) ≡ S (p + 1, n) (mod p²), 本命題在 k = 2 時為真。

假設在 2 ≤ k = j ≤ n 時, 此命題為真, 換句話說,

S (p, n− (j − 1)) ≡

j−2

∑

i=0

[ϕ + (j− 2)β | β]_iS (p + 1, n + i− (j − 2)) (mod p^j)。 則當 k = j + 1 時,

S (p, n− j)

= S (p + 1, n− j + 1) − ((n − j + 1)β − pα + γ) S (p, n − j + 1)

≡ S (p + 1, n − j + 1)

− ((n − j + 1)β − pα + γ)

j−2

∑

i=0

[ϕ + (j− 2)β | β]_iS (p + 1, n + i− (j − 2))

≡ S (p + 1, n − j + 1) + (ϕ + (j− 1)β)

j−2

∑

i=0

[ϕ + (j− 2)β | β]_iS (p + 1, n + i− (j − 2))

≡ S (p + 1, n − j + 1) +

j−1

∑

i=1

[ϕ + (j− 1)β | β]_iS (p + 1, n + i− (j − 1))

≡

j−1

∑

i=0

[ϕ + (j− 1)β | β]_iS (p + 1, n + i− (j − 1)) (mod p^j+1)。 

因為 S(n, k; 1, 0, 0) = S1(n, k),再代入主要定理, 即可得定理 2。

接下來, 我們要將以上的主要定理, 應用在兩個特別的 Stirling 數上。

在 [2] 中, Carlitz 第一型衰退的 Stirling 數 S1(n, k | λ) 滿足

[x]_n =

∑n k=0

(−1)^n+kS₁(n, k | λ) [x | λ]_k, 我們已知 Carlitz 第一型衰退的 Stirling 數為: S(n, k; −1, −λ, 0)。

當 λ = −1、 −2 及 −3, Carlitz 分別給出下列的表 1、 表 2, 還有表 3:

表 1. λ = −1.

@@

@@

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 0 1

2 0 2 1

3 0 6 6 1

4 0 24 36 12 1 5 0 120 240 120 20 1

表 2. λ = −2.

@@

@@

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 0 1

2 0 3 1

3 0 12 9 1 4 0 60 75 18 1 5 0 360 660 255 30 1

表 3. λ = −3.

@@

@@

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 0 1

2 0 4 1

3 0 20 12 1 4 0 120 128 24 1 5 0 840 405 440 40 1 此時 ϕ = nλ − p, 再利用主要定理, 可得:

系理 3. 當 λ ≡ 0(mod p), 且 2 ≤ k ≤ n + 1, 2 ≤ n ≤ p − 1 時, S (p, n− (k − 1); −1, −λ, 0)

≡

k−2

∑

i=0

[(n− k + 2)λ − p | −λ]_iS (p + 1, n + i− (k − 2); −1, −λ, 0) (mod p^k)。 例 1. 取 p = 3、λ = −3、n = 2。

• 當 k = 2 時,

左式 = S (3, 1; −1, 3, 0) = 20;

右式 = S (4, 2; −1, 3, 0) = 128。

顯然 S (3, 1; −1, 3, 0) ≡ 20 ≡ 128 ≡ S (4, 2; −1, 3, 0) (mod 9)。

• 當 k = 3 時,

左式 = S (3, 0; −1, 3, 0) = 0;

右式 = S (4, 1; −1, 3, 0) − 6 · S (4, 2; −1, 3, 0) = −648 = (−24) · 27。

所以有 S (3, 0; −1, 3, 0) ≡ S (4, 1; −1, 3, 0) − 6 · S (4, 2; −1, 3, 0) (mod 27)。

類似地, 考慮 r-Stirling 數的第一型 Sr(n, k) (請參考 [1]), 滿足以下關係式:

[x| −1]n=

∑n k=0

S_r(n, k)(x− r)^k,

所以 Sr(n, k) = S (n, k;−1, 0, r)。 當 r = 2, 3 時, Broder [1] 分別給出表 4 和表 5:

表 4. r = 2.

@@

@@

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 2 1

2 6 5 1

3 24 26 9 1

4 120 154 71 14 1 5 720 1044 580 155 20 1

表 5. r = 3.

@@

@@

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 3 1

2 12 7 1

3 60 47 12 1

4 360 342 119 18 1 5 2520 2754 1175 245 25 1 在這種情況下, ϕ = −p − r, 利用主要定理, 可得以下系理:

系理 4. 當 r ≡ 0 (mod p), 且 2 ≤ k ≤ n + 1, 2 ≤ n ≤ p − 1 時 S (p, n− (k − 1); −1, 0, r)

≡

k−2

∑

i=0

(−1)ⁱ(p + r)ⁱS (p + 1, n + i− (k − 2); −1, 0, r) (mod p^k)。 例 2. 取 p = r = 3、n = 2。

• 當 k = 2 時,

左式 = S (3, 1; −1, 0, 3) = 47;

右式 = S (4, 2; −1, 0, 3) = 119。

顯然我們有 S (3, 1; −1, 0, 3) ≡ 47 ≡ 119 ≡ S (4, 2; −1, 0, 3) (mod 9)。

• 當 k = 3 時,

左式 = S (3, 0; −1, 0, 3) = 60;

右式 = S (4, 1; −1, 0, 3) − 6 · S (4, 2; −1, 0, 3) = −372。

明顯地,

S (3, 0;−1, 0, 3) ≡ 60 ≡ −372 ≡ S (4, 1; −1, 0, 3)−6·S (4, 2; −1, 0, 3) (mod 27)。

備註. 本文之主要定理並不適用於廣義的第二型 Stirling 數。 我們針對第二型 Stirling 數舉一 個反例:

當 p = 3、n = k = 2 時, 主要定理中的左式為 S2(3, 1) = 1, 而右式則為 S2(4, 2) = 7。 但, 明顯地 S2(3, 1)̸≡ S2(4, 2) (mod 3²) (請參考表 6)。

表 6.

HHHH HHHH

n

k 0 1 2 3 4 5

0 1

1 0 1

2 0 1 1

3 0 1 3 1

4 0 1 7 6 1

5 0 1 15 25 10 1

致謝: 感謝中央研究院所舉辦的暑期研習, 讓筆者有機會受到薛昭雄老師的悉心指導, 也謝謝 老師常常幫忙看我們所寫的東西, 改正我們的缺點與錯誤。 另外, 特別感謝孫維良同學在本文撰 寫期間, 所給予的許多建議及幫助。

參考資料

1. A. Z. Broder, The r-Stirling numbers, Discrete Math. 49(1984), 241-259.

2. L. Carlitz, Degenerate Stirling, Bernoulli and Eulerian numbers, Utilitas Math. 15 (1979), 51-88.

3. L. Comtet, Advanced combinatorics, p.218, Reidel Dordrecht, 1974.

4. Leetsch C. Hsu and Peter J.-S. Shiue, A unified approach to generalized Stirling numbers, Adv. in Appl. Math. 20(1998), no. 3, 366-384.

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