理論

Ramsey 理 論

張克民

世界上“完全的無序是不可能存在的。

任一足夠大的結構 (大數集, 點集或事物的 集合 · · · ) 中必定包含有一個給定大小的規 則子結構”, 這富有哲理的格言恰是 Ramsey 理論的主導精神。 1928 年英國數學家、 哲學 家兼經濟學家 F. P. Ramsey 在倫敦數學會 上宣讀了一篇題為“On a problem of for- mal logic”的論文 (Proc. London Math.

Soc. 30(2)(1930), 361-376), 文中證明了 一個組合數學定理, 後來被稱為 Ramsey 定 理。 Rota 在 1978 年這樣寫道: “如果要求 在組合學中舉出一個而且僅一個精美的定理, 那麼大多數組合學家會提名 Ramsey 定理”。

這也許對 Ramsey 定理在組合學中地位的 最好評價, 也就是為什麼人們把這套理論冠 以 Ramsey 的名字。 在 1930 年前後, 各國 數學家獨立地發現了好幾個形式各異的數學 定理, 它們的共性就是上述的格言, 這些定理 構成了現在稱為 Ramsey 理論的基礎。

(1) Ramsey 定理

這裡有一個廣為流傳的趣味數學問題, 在數學競賽中也常見到它的變型 — 集會問 題: “證明在至少有六個人參加的任一集會 上, 在與會者中或者有三個人以前相互認識, 或者有三個人以前彼此不認識“。 因為六人集 會中成員間的相識情況共有 2(⁶²) = 32786 種。 顯然通過窮舉來證明結論雖可行但不明 智。 下面我們用圖論的語言給予證明。 具有 n 個頂點且其中任意一對頂點都有邊相連的圖 稱為 n 階完全圖, 記為 K

n

。 對六人集會問 題, 我們令 K

₆

中的頂點代表與會者, 若兩名 與會者相互認識, 則將 K

₆

中對應的邊染紅 色, 反之染藍色後, 於是這個問題就可以表述 為“把 K

6

的每一邊任意染成紅色或藍色後, 在 K

₆

中含有 (各邊均是) 紅色的單色的 K

₃

, 或者含有藍色的單色 K

₃

”。 現從某一頂點 a 出發, 則它連出的 5 條邊中必有三條邊, 記為 ab, ac, ad 同色, 不妨設為紅色。 再看這三條 邊所對應的三個端點 {b, c, d} 所構成的 K

₃

。 若它含有一條紅色邊 bc, 則 K

6

中含有紅色 K

₃

, abc, 否則 bcd 則為 K

6

中的藍色 K

₃

, 證準。

35

顯然由上述證明知, 如果把 K

6

換成 K

_n

(n > 6) 則結論仍成立。 但把 K

6

換成 K

₅

則結論不再成立。 如圖 1所示, 其中紅、 藍 邊分別用實線、 虛線來表示, 在此 K

₅

及其邊 染色中, 既無紅色 K

₃

, 又無藍色 K

3

。

.

... .

. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .

...

•

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•

•

•

•

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. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. . .. .

... .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . ..

圖1

集會問題的一般情形是: 對給定的整數 p, q ≥ 2, 當 n 多大時才能保證把 K

n

的 每一條邊任意地染成紅色或藍色後, 在 K

n

中或者含有全是紅色的 K

p

, 或者含有全是 藍色的 K

q

。 和上面一樣, 如果 K

n

0 具有這 種性質, 則對任一 n > n

₀

, K

n

也一定具 有。 但首要問題是由 p, q 所完全確定的這種 最小 n

₀

值, 稱為 Ramsey 數, 的存在性, 我 們把它記成 R(p, q)。 簡單情形的 Ramsey 定理將斷言 R(p, q) 一定存在。 R(p, q) 的 存在性是本文開始所敘述的格言 “任一足夠 大的結構中必定包含有一個給定大小的規則 子結構”的一種具體表現。 這裡“ 任何一個結 構”是邊任意地染成紅色或藍色的K

_n

; “給定 大小的規則子結構”則是紅邊的 K

p

或藍邊的 K

_q

; “足夠大”體現在 n ≥ R(p, q)。

由 R(p, q) 的定義, 及前面的討論可知 R(3, 3) = 6, R(2, q) = q, R(p, 2) =

p, 且有 R(p, q) = R(q, p)。 下面來證明比 R(p, q) 的存在的結論稍強的結果:

定理1: 對任意給定的整數 p, q ≥ 2, R(p, q) 存在, 且當 p, q ≥ 3 時, 下列不等 式成立:

R(p, q) ≤ R(p − 1, q) + R(p, q − 1) (1) 證: 由於 R(2, q) = q, R(p, 2) = p, 和 R(3, 3) = 6, 故只要證明當 p, q ≥ 3 時, R(p, q) 存在且 (1) 式成立。 下面對 p + q 應 用數學歸納法。

當 p + q = 6 時, p = q = 3, 因 R(3, 3) = 6 = R(2, 3) + R(3, 2), 故 (1) 成立。 今假設當 p, q ≥ 3, 6 ≤ p+q < m 時, R(p, q) 存在且 (1) 成立。 現證 p + q = m 時, R(p, q) 存在且 (1) 成立。 這等價於證明 下述命題。

“令 n = R(p − 1, q) + R(p, q − 1), 則 把 K

_n

的每條邊任意染成紅色或藍色後, 在 K

_n

中或者含有紅色的 K

_p

, 或者含有藍色的 K

_q

。”

任取 K

_n

中的一個頂點 x, 於是 x 在 K

_n

中連出 n − 1 = R(p − 1, q) = R(p, q − 1) − 1 條邊, 下列兩種情況之一必出現:

a) 這 n − 1 條邊中有 R(p − 1, q) 條 紅色邊;

b) 這 n − 1 條邊中有 R(p, q − 1) 條 藍色邊。

不失一般性, 假定 a 出現, 類似地可考 慮 b 出現的情況。 考察用這 n

1

= R(p − 1, q) 條紅邊與 x 相連的 n

1

個頂點所構成的 完全圖 K

_n

₁。 根據歸納法假設, 這 K

_n

₁ 中或 者有藍色 K

q

, 這時命題已成立; 或者含有紅

色 K

_p−1

, 對這 K

_p−1

添加頂點 x 以及與 x 相連的 p − 1 條紅色邊後, 則在 K

n

中含有 紅色 K

_p

, 命題得證。

細心的讀者一定已經注意到其證明思路 與六人集會問題是相同的。 這裡要指出的是:

知道並證明 Ramsey 數 R(p, q) 的存在性

是一回事, 要具體求出它是另外一回事。 計算 Ramsey 數是一件異常困難的工作。 到目前 為止, 經過好幾代數學家的工作, 再加上計算 機的幫助, 總共僅求出了9個非平凡的 Ram- sey 數, 其中包括了前面求得的 R(3, 3) = 6, 詳見表 1。

表1

p

3 4 5 6 7 8 9

q

3 6 9 14 18 23 28 36

35 49 55 69

4 18 25

41 61 84 115

5 43 58 80 95 116

49 87 143 216 316

6 102 109 122 153

165 298 495 780

7 205

540 1031 1713

8 282

1870 3583

9 565

6588

因此要求得更多的 Ramsey 數是對人類智 慧的真正挑戰。 Ramsey 理論近代發展的主 要推動者之一 P. Erd¨os 對此有一個十分生 動描繪的故事: 假如一個妖精對我們說: ‘告 訴我 R(5, 5) 的值, 否則我就要毀滅人類’。

也許我們最好的策略是集中所有的計算機和 計算機科學家來求這個值, 但如果妖精要問 R(6, 6) 的值, 我們最好的選擇也許是在它毀 滅我們之前, 先動手幹掉它。

既然尋找 Ramsey 數那麼困難, 自然地

人們轉向求它的上下界。 表 1 同時亦列出了, 在 3 ≤ p, q ≤ 9 中, 目前已知的最好上、

下界。 公式 (1) 則是用已知的 Ramsey 數的 線性表示給出的 R(p, q) 的上界公式。

下面是近年來得到的一個非線性的上界 公式

^[10]

: 令 p ≤ q, a + 1 ≥ R(p − 2, q), b+ 1 ≥ R(p, q − 2), c + 1 ≥ R(p − 1, q), 若 R(p, q) ≥ 2c + 2 +

¹ ₃

(b − a), 則

R(p, q) ≤ 1

2(b + 3c + 5)

+1

2[(b + 3c + 3)

²

− 8 − 4a

−4(1 + c)(3c + b − a)]¹² (2) (2) 相對於 (1) 能求得更精確的上界。 但儘 管如此, 當 p, q 稍大時, 上述公式離求得較 好的上界差距甚遠。

關於 Ramsey 數的下界, 通常按其定 義, 對確定的 K

n

0 的邊進行某種染色, 使得 K

_n

₀ 中不含紅色的 K

p

, 也不含藍色的 K

q

, 於是有 R(p, q) ≥ n

₀

+ 1。 這就像前面六人 集會問題中證明 R(3, 3) ≥ 5 + 1 一樣。

對 Ramsey 數的下界, P. Erd¨os 在 1947 年發現了一種得到 R(p, p) 下界公式的 方法 — 概率方法, 它完全不用任何構造。 這 裡用下面的下界公式來介紹這種非構造性方 法,

當 p ≥ 3 時, 有 R(p, p) > 2^p2 (3) 下面給它的證明: 當 p = 3 時, (3) 顯 然成立, 故下面假定 p ≥ 4。 考察對 K

n

的 邊的所有紅、 藍染色, 易知它們共有 2(ⁿ²) 種, 其中使 K

_n

含有各邊同色的 K

p

的染色種數 不超過

n p

!

· 2 · 2(ⁿ²)

−

(^p2)

上式中因子“

^{ n} _p ^

”表示 K

n

中各邊同色的 K

_p

的個數, 因子“2”表示這種 K

p

可以是紅或藍 兩種選擇, 而當某個 K

p

的各邊染成同色後, K

_n

中其餘

^{ n}

2



−

^{ p} ₂ ^

條邊可任意染色, 故 有最右方的那個因子。 所以, 如果 n 使得

n p

!

· 2(ⁿ²)

⁻

(^p2)

⁺¹

<2(ⁿ²) (∗)

成立。 則存在 K

n

的一種邊的紅, 藍染色, 使 K

_n

中沒有各邊同色的 K

p

, 於是由定義知:

R(p, p) > n。

易證當 n ≤ 2^p2 時, 有 n

p

!

< n

^p

2

^p−1

≤ 2^p22

^−p+1

= 2¹²

^p(p−1)−1

· 2

⁻

^p2

⁺²

≤ 2(^p2)

⁻¹

故(∗)式成立, 從而 R(p, p) > 2^p2, 證畢。

若令 [K] = {1, 2, · · · , k}, 所謂集合 S 的一個 k- 染色是一個映射 f : S → [k]。

對 x ∈ S, 若 f (x) = i, 則 x 染 i 色。

S

_i

= f

⁻¹

(i) 稱為 S 的 i 色集。 若 S 的某 個子集 T ⊂ S

_i

, 則稱 T 是 i 色的, 記 S

^(r)

表示集 S 中所有的 r 元子集簇。 於是上述簡 單情形的定理可以敘述為: “對任意給定的數 q

₁

, q

₂

≥ 2, 存在數 n

0

, 使得對任一 n ≥ n

0

和 [n]

⁽²⁾

的任一 2-染色, 一定有 i ∈ [2] 和相 應的 q

i

元集 T

i

⊂ [n], 使 T

_i ⁽²⁾

是 i 色的”。

於是我們有更一般的 Ramsey 定理。

“對 任 意 給 定 的 數 r, k 以 及 數 q

₁

, q

₂

, . . . , q

_k

≥ r, 存在數 n

0

, 使得對任 一 n ≥ n

₀

和 [n]

^(r)

的任一 k- 染色, 一定 有 i ∈ [k] 和相應的 q

i

元集 T

i

⊂ [n], 使得 S

_i ^(r)

是 i 色的”。

具有上述性質的數 n

₀

的最小者稱為 Ramsey 數, 由 q

1

, q

₂

,· · · , q

k

和 r 所唯一 確定, 記為 R

^(r)

(q

₁

, q

₂

,· · · , q

k

)。

關於 R

^(r)

(q

1

, q

₂

,· · · , q

k

) 的值, 顯然比 R

⁽²⁾

(q

1

, q

₂

) 更難, 故目前人們僅知如下兩個 值:

R

⁽²⁾

(3, 3, 3) = 17; R

⁽³⁾

(4, 4) = 13.

其難度可想而知。

對 R

^(r)

(q

1

, q

₂

,· · · , q

k

) 也有與定理1對 應的定理, 這裡不多述了。

若把簡單形式的 Ramsey 定理中的性 質用記號: K

n

→ (K

p

, K

_q

) 表示, 相應 的 R(p, q) = R(K

p

, K

_q

)。 利用上述記號, Ramsey 定理有這樣圖論的推廣: 設兩個 圖 G 和 H, 存在數 n

0

使得當 n ≥ n

0

時, 有 K

_n

→ (G, H)。 對應的 Ram- sey 數記為 R(G, H), 稱為圖的 Ram- sey 數。 類似對 R

⁽²⁾

(q

1

, q

₂

,· · · , q

k

) 在這 裡可以推廣成 K

n

→ (G

₁

, G

₂

,· · · , G

k

) 和 R(G

₁

, G

₂

,· · · , G

k

)。 值得指出的是由於 圖的多樣性, 特別是當圖的邊數較少或某些 特殊的圖類 (例如, 樹, 圈, 路,· · ·), 它們對 應的 Ramsey 數的精確值比較好求。 這裡我 們不一一列舉。

最後我們可以把簡單形式的 Ramsey 定理中的 [n] 換成無限集合, 可得無限形式 的 Ramsey 定理:

“設 A 是無限集, 則對任意給定的數 r, k 以及 A

^(r)

的任一 k- 染色, A 中必定 有無限子集 X 使得 X

^(r)

在 A

^(r)

的染色下 同色。”

這些我們都不再展開討論了。

(2) Schur 定理

本定理被認為是 Ramsey 理論中最早 問世的著名定理, 它是德國數學家 I. Schur 在 1916 年研究有限域上的 Fermat 大定理 時發現的。 儘管當時並沒有意識到它是一條 Ramsey 型的定理, 但它後來得到一系列推

廣和發展, 從而它是 Ramsey 理論的源頭之 一。 現在這裡用 Ramsey 定理輕鬆地加以證 明。

定理2: 對任意給定的正整數 k, 存在數 n

₀

, 使得只要 n > n

0

, 則把 [n] 任意 k- 染色 後, 必有同色的 x, y, z ∈ [n] 滿足 x+y = z, 這裡 x, y 和 z 不一定互不相同。

證: 取 n

0

= R

⁽²⁾

k

個

z }| {

(3, 3, · · · , 3) − 1 即 可。

設 n ≥ n

₀

, [n] 中的一個 k- 染色為 f : [n] → [k]。 由 f 可以誘導出 [n + 1]

⁽²⁾

的一個如下定義的 k- 染色 f

^′

: 對 1 ≤ i <

j ≤ n+1, 定義 f

^′

({i, j}) = f (j−i) ∈ [k]。

因為 n + 1 ≥ R

⁽²⁾

k

個

z }| {

(3, 3, . . . , 3), 由Ramsey 定理, [n + 1] 中一定存在 3 元子集 {a, b, c}, 它的 3 個 2 元子集被 f

^′

染成同色, 不失一般 性假設 a < b < c。 則上述性質可寫成:

f

^′

({a, b}) = f

^′

({b, c}) = f

^′

({c, a})。 再 根據 f

^′

的定義, 上式就是 f (b − a) = f(c − b) = f (c − a), 令 x = b − a, y = c− b, z = c − a, 即為定理中所求, 證畢。

通常把定理 2 中數 n

₀

的最小可能值記 成 S

k

+ 1, 稱 S

k

叫 Schur 數, 和 Ram- sey 數一樣, 人們對 Schur 數已知的僅有 4 個: S

1

= 1, S

2

= 4, S

3

= 13, 和 S

4

= 44。

其中 S

₄

還是在 1965年借助於計算機最終確 定的。

對 Schur 定理, 對照本文一開始所敘述 的格言, 這裡“任何一個結構”是把 [n] 任意 地 k- 染色”, “給定大小的規則子結構”則是

包含 x, y, z 的 [n] 中的色集且滿足 x + y = z, “足夠大”是相應的 Schur 數要足夠大。

在 Schur 的指導下, R. Rado 對 Schur 定理做出了深刻的推廣, 人們通常稱為 Rado 定理, 儘管它也是 Ramsey 理論的經典定理 之一, 同時又是後面我們要提到的 Van der Waerden 定理非常深刻的推廣。 仍把它放在 本章介紹。

Rado 把一個整係數齊次方程組

X n

j=1

a

_ij

x

_j

= 0 (i = 1, 2, · · · , m) 稱為正則的, 如果正整數集 N 的任一有 限染色, 此方程組一定有單色的正整數解 x

₁

, x

₂

,· · · , x

n

。 Rado 定理則給出了一般的 整係數線性齊次方程組正則的充要條件。 由 於證明比較複雜而從略。

顯然 Schur 定理斷言方程 x

₁

+ x

2

− x

₃

= 0 是正則的。 從而它是 Rado 定理如下 的簡單特例的特例。

“整係數方程 a

1

x

₁

+ a

2

x

₂

+ · · · + a

_n

x

_n

= 0, 其中 a

1

, a

₂

,· · · , a

n

是非零整數, 正則的充要條件是方程的某些係數 a

i

之和為 零”。

(3) Van der Waerden 定理

本定理是 1928 年荷蘭數學家 Van der Waerden 證明的一個結果, 但當時的證明很 繁, 之後一直有人給出新證明。 目前通常引用 的是 1974 年美國數學家 R. L. Graham 和 B. L. Rothchild

^[5]

的簡短證明, 即使這樣也 需要 4頁的篇幅, 因此在此不打算寫出它。

定理3: 對任意給定的正整數 l 和 k, 必 存在具有如下性質的數 W = W (l, k)。 對 [W ] 的任一 k- 染色, [W ] 中有各項同色的 l 項等差數列。

Van der Waerden 定理是 Ramsey 理 論的源頭之一, 它和前面兩個定理一樣, 定理 3僅僅肯定了數 W (l, k) 的存在性。 如果把這 種數的最小者仍記為 W (l, k), 稱為 Van der Waerden 數。 要確定這些數非常困難, 甚至 比確定 Ramsey 數 R(p, q) 還要難。 目前已 知 W (l, k) 僅表 2中的 5個值。

表2

k 2 3 4 l

3 9 27 76 4 35

5 178

其中 W (3, 2) = 9 的證明較易, 顯然我們不 會將 2

⁹

= 512 種情況來列舉。 只需要考慮 兩種情況 (a) 4,6 同色; (b) 4,5 同色, 4,6 異 色。 再加不太多的討論即可證明。 其詳細論證 留給讀者。 其餘四個值都是借助計算機得到 的。

因此, 我們同樣感興趣 W (l, k) 的上下 界。

關於其下界用概率方法, 不難得到:

W(l, 2) > 2

^l

2el − 1

l

但它與歷史上人們所得到的 W (l, 2) 的 上界有天壤之別, 以致它的增長速度必須

用 Ackerman 層次的一系列函數才能表示。

這個層次的第一層函數稱為“加倍函數”記為 A

₁

(n) = 2n, 第二層函數稱為“指數函數”

A

₂

(n) = 2

ⁿ

, 亦可由 A

₁

遞推來定義: 令 A

₂

(1) = A

1

(1) = 2, A

2

(n) = A

1

(A

2

(n − 1))(n > 1)。 類似地令 A

3

(1) = A

2

(1) = 2, A

3

(n) = A

2

(A

3

(n − 1))(n > 1), 因此它 可以寫成 2 的 n 層塔冪的形式:

A

₃

(n) = 2

²

^··

·2

(共 n 個 2)

故 A

₃

稱為塔冪函數, 其增長速度已經相當 快了, 事實上:

A

₃

(1) = 2, A

3

(2) = 4, A

3

(3) = 2

²

² = 16, A

3

(4) = 2

¹⁶

= 65536, A

3

(5) = 2

⁶⁵⁵³⁶

, . . .

A

₃

(5) 若把它寫成十進位數的話將近 2 萬位, 已經非常之大了。

一般地, 由 k 層函數 A

k

, 可以定義 k+1 層函數 A

k+1

: A

k+1

(1) = A

k

(1) = 2, A

_k+1

(n) = A

k

(A

k+1

(n − 1))(n > 1)。

上述的 A

₃

比起 A

₄

來又微不足道了, 例如 A

₄

(4) = A

₃

(A

₄

(3)) = 2 的 65536 層塔 冪, 它已大的難以置信。 R. L. Graham 和 J. H. Spencer 是這樣描述 A

4

(4)的: “即使 一個數大得必需用世界上所有書的全部篇幅 再加上所有計算機的全部存儲能力才能把它 容納進去, 這個數同 A

4

(4) 相比仍然小得微 不足道”。 Spencer 建議把 A

₄

稱為 W OW 函數。 但不管怎麼說, 對一個固定的正整數 m, A

m

(n) 作為 n 的函數還是限於第 m 層次, 其增長速度仍有所約束。 下面定義的函 數 A 將突破任何固定的層次。 定義 A(n) = A

_n

(n), 稱為 Ackerman 函數。

Van der Waerden 1927 年首次證明並 以他名字命名的這個定理以來, 之後的 60 年 間又找到了不少新的證明。 但對 W (l, 2) 的 上界估計均為 A(l)。 這上、 下界天壤之別直 到 1987 年以色列數學家 S. Shelah

^[12]

取得 了重大突破, 證明了:

W(l, 2) ≤ A

3

(2W (l − 1, 2)) < A

4

(l) 1988 年 W. T. Gowers

^[2]

進一步改進成為:

W(l, 2) ≤ N(l, δ) ≤ 2

²

^log|δ|2

2l+c

這裡 c 是常數, Gowers 以此項成果及 Ba- nach 空間中工作獲得 Fields 獎。 值得一提 的是 Gowers 第一次把 Ramsey 理論應用於 泛函分析的研究, 使習慣於把純數學應用於 組合論的研究者大吃一驚。 Van der Waer- den 定理斷言, 把正整數集 N 任意分拆成 有限部分後, 必有一部份含有任意給定項數 的等差數列, 但定理並未回答到底哪一部份 具有這性質。 E. Szemared

^[13]

1975 年證明 了如下結果:

“對任給的 δ > 0 和正整數 n, 存在 N = N(l, δ) , 使得 [N] 中每一測度不小於 εN 的子集均含有長度均為 l 的等差數列”。

顯然 Van de Waerden 定理是上述 結果的一個簡單推論。 在深入研究 Van der Waerden 定理方面, 1963 年 A. W. Hales 和 R. I. Jewitt

^[7]

證明了一個與 Van der Waerden 定理作為整數的結論不同的關於 組合結構的結論。 之後, 1971 年 R. L. Gra- ham 和 B. L. Rothschild

^[4]

引入了非常一 般的組合結構 — 參數集, 並對這種組合結 構證明了相應的 Ramsey 型定理, 這條定理

涵蓋了以前的許多經典定理作為其特例, 故 在某種程度上可以看作 Ramsey 理論的起 點。 值得再提一提的是, 在上述論文的啟示下 , 1972 年 R. L. Graham, K. Leeb 和 B.

L. Rothschild

^[3]

解決了 Rota 提出來的一 個猜想, 證明了如下結果:

有限域上向量空間的Ramsey 定理: 對 任意給定的有限域 F 以及數 l, r, k, 存在數 n 使得對 F 上的 n 維向量空間 F

ⁿ

的所有 r 維向量子空間作任意 k-染色後, F

ⁿ

中必 有 l 維向量子空間, 它的所有 r 維向量子空 間同色。

這個定理是 Ramsey 理論的近代發展 史上的一個重要成果, 三位作者因這項工作 榮獲美國 SIAM 頒發的 P´olya 獎。

最後, 我們還要介紹一個關於幾何中的 Ramsey 理論方面的結果, 以饋讀者。

(4) Erd¨os-Szekeres 定理

雖然 Ramsey 定理在 1930 年已公開發 表, 但這結果並未引起當時數學界的注意, 使

其廣為人知要歸功於 1935 年 P. Erd¨os 和 D. Szekeres 的論文

^[1]

, 但相對前面的定理而 言是一個比較“孤立”的結果。

定理4: 設正整數 m ≥ 3, 則存在正整 數 N , 使得平面上任意給定的無三點共線的 N 個點中, 必有 m 個點是凸 m 多邊形的頂 點, 上述數 N 的最小值記為 N(m)。

證明: m = 3 時, 定理顯然成立且 這時 N (3) = 3。 下面假定 m ≥ 4, 令 N = R

⁽⁴⁾

(m, 5) , 對平面上任意給定的無 三點共線的 N 個點, 可以把這 N 個點的所 有 4點子集分成兩類: 如果 4個點是凸四邊形 的 4 個頂點, 則此 4 點集歸入第一類, 其餘的 4 點集都歸入第二類。 根據 N = R

⁽⁴⁾

(m, 5) 的 Ramsey 數定義, 在這 N 點中一或者 有 m 個點它們的任一 4 點子集都屬於第一 類; 或者有 5 個點, 它們的任一 4 點集都屬於 第二類。 但我們注意到如果平面上的5個點中 沒有三個點共線時, 其5點的凸輪廓共有三種 情形如圖 2。

圖2

圖中陰影部分所示的 abcd 就是一個凸四邊 形。 故有 5 個點, 它們的任一 4 點集都屬於第 二類這種情況不可能發生, 所以我們只要再 證明下述結論(∗∗)成立即可。

“設平面上 m 個點中無 3 點共線, 而且 其中任意 4 點都是凸四邊形的頂點, 則這 m 個點一定是凸 m 邊形的頂點。” (∗∗) 現在對 m ≥ 4 用歸納法來證明(∗∗), m = 4 時結論顯然成立, 設 m > 4, 首先 不難證明這 m 點中一定有三點 A, B, C 使 得其餘 m − 3 個點都位於

∠

ABC 區域的內 部。 且注意在 △ABC 中一定沒有所給出的 點, 考察除 A 之外的 m − 1 個點, 根據歸 納假設, 它們構成某個凸 m − 1 邊形的頂點, 且易知邊 BC 一定是這個凸 m − 1 邊形的 一條邊。 現把 BC 邊換成 AB, AC 兩邊後 所得到的是一個凸 m 邊形。 故(∗∗)成立, 證 畢。

和 Ramsey 數一樣, 要想確定數 N(m) 也異常困難, 除了平凡的值 N(3) = 3, 和上 面所證明的 N (4) = 5 外, 還有 N(5) = 9。

這就是我們目前知道的 N (m) 值。

在 1935 年的經典論文中, 並未利用 Ramsey 數來證明, 事實上在當時, 定理 4 的 發現是再一次的發現了 Ramsey 定理。

(5) 結束語

Ramsey 理論經 F. P. Ramsey, P.

Erd¨os, R. L. Graham 以及其他許多數學 家的工作奠定了它的基礎。 本短文僅僅粗略 地介紹經典的 Ramsey 理論部分, 即使這樣 像歐氏空間中的 Ramsey 理論, Ramsey 集

等內容亦未涉及。 有志進一步了解和研究的 讀者可參閱 [4], [11], [10], [9], 隨著時間 的推移, 它們分別記錄那個年代的豐碩成果 和多姿多彩的面貌。 Ramsey 理論在 90 年 代有很大發展, 取得了豐富的成果。 近幾年 來國際上幾項重要的數學獎項像 1997 年的 Fulkerson 獎得主 J. H. Kim, 1998 年的 Fields 獎得主 W. T. Gowers, 1999 年的 Wolf 獎得主 L. Lov´asz 均與他們在 Ram- sey 理論有關方面的傑出成就相關。 由此對 此理論發展可見一斑。 儘管如此, 人們還只是 剛剛開始探索 Ramsey 理論的意義以及其 影響。 從這個理論可以看到, 數學的基本結構 有相當大一部分是由極大的數和集合組成的, 這些數與集合大得難以表示, 更不用說理解 了。 Ramsey 理論向人們展示它廣闊的前景。

新的東西等待著我們去探索, 千里之行, 始於 足下, 我們剛剛邁開成功的第一步, 前面的路 還很遙遠。 年輕的大學生們, 勇敢地去闖吧!

參考文獻

1. Erd¨os, P. and D. Szekeres, A combi- natorial problem in geometry, Compos.

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2. Gowers, W. T., A new proof of sze- mer´edi’s theorem for arithmetic pro- gressions of length four, Geom. Funct.

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3. Graham, R. L., K. Leeb and B. L.

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4. Graham, R. L. and B. L. Rothschild,

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5. Graham, R. L. and B. L. Rothschild, A short proof of van der Waerden’s the- orem on arithmetic progressions, Proc.

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10. Neˇsetˇril, J. and V. R¨ odl, (Eds) Math- ematics of Ramsey Theory, 1990, Springer-Verlay.

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本文作者任教於南京大學數學系

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