1 十字編織結構 ──

(1)

(2)

　　在《編織的藝數 1》中，我們介紹了許多生活中能發現到的編織結構，如排球和籐球等。而在這一刊中，我們將從上刊學到的編織基礎出發，介紹一些稍微進階的編織結構，並探討其中所使用到的數學性質，讓大家能感受編織藝術與數學互相交織而成的「藝數」！

教學目標與課程規劃一、教學目標

● 能夠理解編織所用到的數學原理。

● 透過自己動手操作，發現數學的有趣之處。

二、課程規劃

週次課程內容說　明

1 十字編織結構 ──

三條紙、四條紙編正立方體

1. 讓學生剪下圖板做個正立方體，並觀察織帶間的編織結構。

2. 用 3 張紙條編正立方體。

3. 用 4 張紙條編另一個正立方體。

2 十字編織結構 ──

三條紙編時空膠囊

請學生將紙張裁剪成模板的樣式 3 張，編個時空膠囊，可配合節慶寫些祝福的話，或是彩繪它。

3 十字編織結構 ──

三條紙編菱形十二面體

1. 請學生將紙張裁剪成模板的樣式 3 張，編成菱形十二面體。

2. 引導學生回答模板的邊長比例。

4 百變方塊

1. 介紹百變方塊。

2. 請學生自備 1：10 的紙條 12 張，建議以 4K 紙的短邊長當作紙條的長度。

3. 摺完 6 隻毛毛蟲應該差不多下課了，剩下的讓有興趣的學生先自行組裝。

5 百變方塊延續第 4 節課進行百變方塊的活動，讓學生組裝百變方塊，已完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

6 吉本魔方

1. 介紹吉本魔方與艾雪多面體，備好實體的模型供學生觀察。

2. 引導學生製作圖版（或是先印好給學生）。

3. 動作較快的學生請他先將摺痕都摺好，未完成的部分可讓有興趣的學生先自行組裝。

7 吉本魔方延續第 6 節課進行吉本魔方的活動，讓學生組裝吉本魔方，已完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

8 立面化三角編織 ──

四條紙編立面化正八面體

說明立面化三角的編織結構，再引導學生選取其中 8 個編成立面化正八面體。

數學ATM期刊-編織下.indd 2

數學ATM期刊-編織下.indd 2 2018/11/14 下午 03:22:392018/11/14 下午 03:22:39

(3)

9 菱形面的編織 ──

組合菱形十二面體進行菱形十二面體活動的第一部分，並簡介菱形十二面體。

10 菱形面的編織 ──

探索菱形十二面體

延續第 9 節課，探討菱形十二面體的邊、角與體積、表面積，

以及空間的填充。

11 菱形面的編織 ──

菱形十二面體

請學生觀察菱形十二面體與第 8 節課所編織的立面化正八面體，引導學生思考：調整立面化的高度，則菱形十二面體能視為立面化正八面體。接著進行菱形十二面體活動的第二部分。

12 籐球的編織 ── 籐球

簡介正二十面體與正十二面體，再請學生觀察籐球，表面上看起來是截半正二十面體的球面化，各織帶間彼此上下交錯。接著進行編織籐球的活動。

13 立面化三角編織 ──

六條紙編立面化正二十面體

延續第 8 節課，編織立面化正二十面體，課堂上若無法完成，

讓學生當加分題帶回家嘗試。

14 立面化三角編織 ──

六條紙編立面化正二十面體

延續第 13 節課，完成作品的同學在教師檢查無誤後，請其協助其他未完成的同學。

15 菱形面的編織 ──

菱形三十面體

簡介菱形三十面體，並引導學生思考：調整立面化的高度，則菱形三十面體也能視為一種立面化正二十面體。

進行菱形三十面體的活動，提問讓學生討論：

1. 如何將紙張 12 等分。

2. 如何摺出黃金矩形與黃金菱形。

16 菱形面的編織 ──

菱形三十面體製作紙條編織菱形三十面體。

17 星狀體的編織 ──

星形十二面體帶學生進行星形十二面體的活動。

18 成果發表成果發表可以是靜態的展示，也可以是簡報式的發表，從簡報中也可以驗收學生的學習狀況。

課程內容

　　本刊介紹立面化三角編織、菱形面的編織以及星狀體的編織。

(4)

　　「立面化」（elevation）一詞最早出現在達文西的著作《神聖比例》（La Divina Proportione）一書，原意是指將多面體上每個面的中心點向外平移，使平移後的中心點 與原來多面體的面構成角錐體。此處沿用這個詞，意指將正多邊形變化為正角椎體。

由此，立面化多面體可以視為多個立面化正多邊形所組成。

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ғϤ᜞ל

ғέُᓅ

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圖 1　正多邊形的立面化

　　準備幾張紙條將它們摺成圖 2 偢的樣式，其中垂直紙條方向的摺痕是山線，傾斜 45°的摺痕是谷線，取其中 3 條依圖 2 倕的方式可拼成一個立面化的正三角形。再多加幾張紙條，得到的立面化正三角形就愈多，它們可以鋪滿整個平面，如圖 2 偅。

偢

倕偅

圖 2

主題一立面化三角編織結構

(5)

　　一如前述的操作方式，正因這些鋪滿整個平面的立面化正三角形編織結構是對稱的，適當地選取其中 8 個，可組合成立面化正八面體，請讀者照著圖 4 的步驟操作即可完成；選取其中 20 個，則可組合成立面化正二十面體。如果用更多立面化三角形，

則可以做出補充的兩種多面體。

圖 3　由 4 張 1：8 的紙條編成的立面化正八面體

將4條紙條裁好，並依摺線摺好。

1

將其中3張紙條做一個立面化三角形。

2

往旁邊編織出其他立面化三角形。

5

拉起其中一邊的紙條編出第三個。

4

最後處理完收尾的部分就完成了。

6 3

加入1張紙條往旁邊繼續編。

圖 4

多面體 a 多面體 b

؏᡽ ၄ш

快掃描看步驟！

(6)

活動一立面化正二十面體

將6張1：12的紙條裁好，

並摺出摺線。

1

選3張紙條的中間兩塊做出一個立面化三角形。

2

從旁邊加入1張紙條做出第二個立面化三角形。

3

再增加1張紙條做出第三個立面化三角形。

4

需做出五個立面化三角形圍成一圈。

5

加入最後一張紙條編織出第二層立面化三角形。

6

最後的紙條往旁邊編一圈完成第二層。

7

用其他剩餘的部分編織出第三層。

8

最後頭尾互相交疊收尾就完成了。

9

在上刊的最後我們有講到籐球的編織，而立面化正二十面體與籐球的編織步驟其實是十分相似的，因此如果有編織過籐球的經驗應該能夠更容易上手。請讀者裁切出如圖5的6張1：12的紙條，並依照摺痕摺好再參考下圖的步驟編織。

圖 5

(7)

菱形十二面體

　　我們再聚焦於圖 3 和圖 5 這兩種立面化的多面體紙條。我們刻意摺出很多等腰直角三角形，造就了立面化之後的多面體中，每個凸的頂點被三個等腰直角三角形面所共用，如果立面化的高度改變，則紙條上三角形的形狀就會跟著不同。菱形十二面體可以視為立面化正八面體，或者也可以視為立面化正六面體，如圖 6。假如我們試著改變圖 3 的紙條中三角形的角度，就可以編成菱形十二面體。

圖 6　菱形十二面體可以視為正八面體或正六面體的立面化

　　圖 7 表示由 4 張如此曲折的紙條可以編成菱形十二面體，這種紙條是適當地修改了圖 3 紙條中三角形的角度而得到的。以下介紹兩種製作菱形十二面體的方法。

圖 7

主題二菱形面的編織

(8)

菱形十二面體 1.紙摺

　　這裡介紹尼克．羅賓遜（Nick Robinson）的方法，如圖 8。每個部件由一張 A4 紙摺成，共需十二個部件。

將紙摺成四等分。

1

左下摺痕向上摺。

4

共摺出4道摺痕。

3

沿摺痕摺起。

5

翻到另一面。

7

另一邊摺法相同。

6

把兩邊的角摺入即完成。

8 2

其中一角摺至另一長邊中點。

圖 8

　　為什麼這樣摺就能摺出菱形十二面體的菱形面呢？由於菱形十二面體可以看成是六個小金字塔拼成的，小金字塔側面三角形的底：高＝ 2： 2 ，亦即在圖 9 右方的展 開圖中，只要摺痕 CD 的斜率為－ ¹

2 就行了，又因為 A4 紙的長寬比為 2 ：1 且對 摺後維持比例的性質可得 AB 的斜率為 2 ，而 CD 為其中垂線，斜率自然就是－ ¹

2 了，而這說明了展開圖中央的菱形確實為菱形十二面體的菱形面。

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%

&

'

圖 9

(9)

菱形十二面體 2.紙編

　　這裡介紹一種方法用 A4 紙裁出圖 7 中的紙條。

將A4紙的長邊對摺成八等分。

1

在短邊一半的位置做記號。

2

將兩點對摺得到菱形面。

4

3

在短邊四分之一的位置做記號。

收攏。

5

沿菱形面剪下、展開就完成了。

6

　　為什麼這樣摺能摺出菱形十二面體的菱形面呢？先引入一個簡單的性質：

將長方形紙兩對角的頂點 B、D 對摺，得到摺痕 EF，則四邊形 BFDE 是菱形，且兩 對角線的比恰為長方形的長寬比，即

^BD

EF

＝

^AD CD

。

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)

% &

'

$ (

)

% &

'

　　證明的部分留給讀者。請仔細觀察圖 9 的展開圖，菱形十二面體的兩條對角線長度比為 2 ：1，因此我們只須利用 A4 紙的比例性質摺出長寬比為 2 ：1 的長方形，

即可建構出菱形十二面體的菱形面。

؏᡽

(10)

先準備摺好的部件 12個。

1

將另一組部件裝在旁邊。

4

選其中3個部件互相嵌入。

2

將另一組部件裝在另一邊。

5

將3個部件裝好，共完成4組。

3

將最後一組部件裝上並收尾。

6

加入第四張紙條往旁邊編。

3

往旁邊編一圈完成第二層。

4

最後在頂端收尾就完成了。

5

選3張紙條互相交疊並固定。

2

先把紙條裁切好，並把摺線摺好。

1

菱形十二面體的製作方式很多，這邊就前述的摺紙以及編織兩種方式，來介紹其詳細的組裝流程。

活動二製作菱形十二面體

1.紙摺菱形十二面體

2. 紙編菱形十二面體

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(11)

菱形三十面體

　　同樣地，菱形三十面體可以視為立面化正二十面體，或者也可以視為立面化正十二面體，如圖 10。假如我們試著再改變圖 5 的紙條中三角形的角度，就可以編成菱形三十面體。

圖 10

　　圖 11 表示由 6 張如此曲折的紙條，可以編成菱形三十面體，這種紙條是適當地修改了圖 5 的紙條中三角形的角度而得。同樣的紙條 12 張，則可編成菱形六十面體，它和菱形三十面體可以填滿空間。

圖 11

菱形六十面體

၄ш

(12)

　　菱形三十面體（Rhombic triacontahedron）是一種半正多面體的對偶，其對偶多面體為截半二十面體。三十個面皆為全等的菱形，且其長短兩對角線長度的比值為黃金比



＝^{1 ＋} 5

2 。以下介紹用長方形紙裁出圖 11 中的紙條。

將紙條摺成12等分並收攏。

1

依2：1的比例斜切。（tan

α = 2）

2 α

取出菱形面。

3

截出相同的菱形。

4

裁切後展開就完成了。

5

(13)

　　為什麼這樣摺能摺出菱形三十面體的菱形面呢？由前述性質，只須說明這摺法是將一個長寬比為黃金比的長方形對角對摺得到的，從下圖中可以輕易證得

CA EF

＝

^AB

BC

＝^{1 ＋} 5

2 ＝



。

'

( &

$ ) %

　　另外附帶說明，如何將一張紙摺 12 等分？筆者的方法是先將它 3 等分，再將每等分都 4 等分。但如何將一張紙摺 3 等分？以下提供兩個方法：

方法 1：

如下圖所示，在方形的紙上取出一邊的中點 B，摺出 AB 與對角線 CD，通過兩摺痕的 交點作平行線，可將紙張 3 等分。理由是左右兩個三角形是 2：1 的相似形，所以他們 的高 h2：h1也是 2：1。如果紙張是長方形也適用，更進一步可推至 n ＋ 1 等分。

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K

དΙདȂԃݎ དୈю้ϷޟၗȂ ѡ᜞၎ڥඁ้Ϸᘈȉ

(14)

方法 2：

這方法看似笨拙，卻是最好用的。

任取三分之一附近的一點D。

1

D

D和對摺得到D。

2

D D

3

D

4

D

5

D

重複上面的步驟，很快地誤差就會小至肉眼無法辨識。我們把操作過程寫成算式如下：

a₂＝¹₂ (1 ＋ a1), a3＝¹₂ a₂, a4＝¹₂ (1 ＋ a3), a5＝¹₂ a₄, …

如果只寫出偶數項，則上式可改寫為

a₂＝¹₂ (1 ＋ a1), a₄＝¹₂ (1 ＋¹₂ a₂), a₆＝¹₂ (1 ＋¹₂ a₄), …

因此得到下列的遞迴式（n = 2, 3, …）

a_2n＝¹₂＋¹₄ a_{2n － 2}⇒ a_2n－²₃＝¹₄ (a_{2n － 2}－²₃ ),

故知數列＜ a2n＞收斂至 ²₃ , 而奇數項收斂至 ¹₃。

؏᡽

(15)

驟的圖片供讀者們參考。

編織菱形三十面體

1

準備好裁切完的6張紙條，並將摺線摺好。

2

選3張紙條的中間兩塊互相交疊並用夾子固定。

3

從旁邊加入1張紙條並固定。

4

再加入1張紙條編織出五角星的形狀。

5

完成第一層的五角星並用夾子固定。

6

最後一張紙條交錯環繞編織出第二層，收尾步驟同立面化正二十面體。

(16)

　　焦點再回到立面化正二十面體，我們可以增加立面化的高度，使正二十面體變成星狀體（即大星形十二面體），或者使正二十面體變成小星形十二面體。6 張圖 12 偢的紙條可以編成大星形十二面體，也可以編成小星形十二面體，如圖 12 倕偅。

偢

倕　偅

圖 12

亞歷山大之星

၄ш

主題三星狀體的編織

(17)

先將紙條裁切好並將摺痕都摺好。

1

加入第三張紙條編出第一個星芒。

3

加入第四張紙條往旁邊編出第二個星芒。

4

加入第五張紙條往旁邊編出第三個星芒。

5

加入最後一張紙條編織出第二層。

7

完成頂端的收尾步驟。

8

選其中2張紙條的中間互相交疊成立體。

2

把第一層的5個星芒編好。

6

完成。

9

編織星形十二面體

編織的方式不同。請讀者裁切好紙條後依照底下的步驟操作，就能體會其中的不同之處。

1.大星形十二面體

(18)

先將紙條裁切好並將摺痕摺好。

1

加入第五張紙條編出第一個星芒。

3

在旁邊加入最後一張紙條編出第二個星芒。

5

往旁邊編出其他星芒。

6

編一圈完成第二層。

7

完成頂端的收尾步驟就完成了。

9

選其中4張紙條的中間互相交疊成立體。

2

將四周的紙條上下交疊整理好。

4

繼續往上編出第三層。

8 2.小星形十二面體

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(19)

結語

　　筆者開設這門課已經三年，而這門課的準備期竟長達十幾二十年，本篇所呈現的內容只是其中一部分。拜網路科技之賜，近年來在網路上和許多同好先進切磋琢磨，

內容迅速地充實了許多，筆者不一一具名，但感激在心裡。在此也分享這幾年在教學現場看到的幾個現象：

杕這門課最該克服的問題是老師，數學老師習慣了過去從成長歷程中吸收知識的模式，也很自然地把這模式套用在學生身上，但是這模式只讓擅長於代數計算的人得到成就（分數高），卻忽略了具有其他面向專長的學生，而這些學生其實更值得老師去啟發與栽培。以往數學老師受限於課綱的約束，只能教些升學考試的技能，不妨趁著多元選修課程的推動，試著改變自己的教學模式，讓數學課也能生動有趣。

杌課程開設之初，學生並不習慣自己動手做，只習慣被動地聆聽，顯然長年來老師們在課堂上沒有把學習的主動權交給學生。所幸上過幾次課之後，多數的學生都能主動地操作，從操作中體會蘊含其中的數學概念。

杈動手實作的課程，教師的負擔比起一般課程繁重許多，除了自行開發教材以外，教師在課前需自行準備材料，課程進行中又疲於應付學生的臨場狀況，教學現場上教師的人力嚴重不足，十分需要其他教師的協助。每週一節課的時間是不足的，應以連續兩節課為宜。

杝或許有老師會問：這門課怎麼評量？筆者的標準很簡單，只要學生能理解其中的數學原理，學會欣賞數學的美，那就達成教學目標了。誰說數學一定要考試，一定要學生算出正確答案才算分呢？

參考資料

杕菱形十二面體紙條的裁法。李政憲老師。

杌菱形三十面體紙條的裁法。常文武老師。

杈多面體 a 製作步驟：https://youtu.be/Kx_qKmm5QEA 杝多面體 b 製作步驟：https://youtu.be/0YZMEg_bw0I 杍菱形六十面體製作步驟：https://youtu.be/L9waLKHh8fY

杚亞歷山大之星製作步驟：http://www.chwa.com.tw/his/QRcode/mat_star.pdf

(20)

科技領域科技領域

數學領域數學領域

自然領域自然領域社會領域

社會領域

多元選修多元選修

探究與實作探究與實作

綜合活動領域綜合活動領域

參考高中特色課程列表，適性選校

學習歷程

引領學生發掘志趣，

選擇有利成果上傳引

選

投入課程，

深化學習投

深

適性揚才終身學習適性揚才終身學習性揚才終學習性揚才終學習學習適性揚才終身學習

秉持自發、互動、共好的理念，透過與生活情境的結合，學生能夠理解所學，進而整合和運用所學，解決問題、推陳出新，成為與時俱進的終身學習者！

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ATM生物期刊.indd 12

ATM生物期刊.indd 12 2018/11/23 上午 09:16:492018/11/23 上午 09:16:49

1 十字編織結構 ──

1 十字編織結構 ──

三條紙、四條紙編正立方體

1. 讓學生剪下圖板做個正立方體，並觀察織帶間的編織結構。

2. 用 3 張紙條編正立方體。

3. 用 4 張紙條編另一個正立方體。

2 十字編織結構 ──

三條紙編時空膠囊

請學生將紙張裁剪成模板的樣式 3 張，編個時空膠囊，可配合 節慶寫些祝福的話，或是彩繪它。

3 十字編織結構 ──

三條紙編菱形十二面體

1. 請學生將紙張裁剪成模板的樣式 3 張，編成菱形十二面體。

2. 引導學生回答模板的邊長比例。

4 百變方塊

1. 介紹百變方塊。

2. 請學生自備 1：10 的紙條 12 張，建議以 4K 紙的短邊長當作 紙條的長度。

3. 摺完 6 隻毛毛蟲應該差不多下課了，剩下的讓有興趣的學生 先自行組裝。

5 百變方塊 延續第 4 節課進行百變方塊的活動，讓學生組裝百變方塊，已 完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

6 吉本魔方

1. 介紹吉本魔方與艾雪多面體，備好實體的模型供學生觀察。

2. 引導學生製作圖版（或是先印好給學生）。

3. 動作較快的學生請他先將摺痕都摺好，未完成的部分可讓有 興趣的學生先自行組裝。

7 吉本魔方 延續第 6 節課進行吉本魔方的活動，讓學生組裝吉本魔方，已 完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

8 立面化三角編織 ──

四條紙編立面化正八面體

說明立面化三角的編織結構，再引導學生選取其中 8 個編成立 面化正八面體。

9 菱形面的編織 ──

組合菱形十二面體 進行菱形十二面體活動的第一部分，並簡介菱形十二面體。

10 菱形面的編織 ──

探索菱形十二面體

延續第 9 節課，探討菱形十二面體的邊、角與體積、表面積，

以及空間的填充。

11 菱形面的編織 ──

菱形十二面體

請學生觀察菱形十二面體與第 8 節課所編織的立面化正八面 體，引導學生思考：調整立面化的高度，則菱形十二面體能視 為立面化正八面體。接著進行菱形十二面體活動的第二部分。

12 籐球的編織 ── 籐球

簡介正二十面體與正十二面體，再請學生觀察籐球，表面上看 起來是截半正二十面體的球面化，各織帶間彼此上下交錯。接 著進行編織籐球的活動。

13 立面化三角編織 ──

六條紙編立面化正二十面體

延續第 8 節課，編織立面化正二十面體，課堂上若無法完成，

讓學生當加分題帶回家嘗試。

14 立面化三角編織 ──

六條紙編立面化正二十面體

延續第 13 節課，完成作品的同學在教師檢查無誤後，請其協 助其他未完成的同學。

15 菱形面的編織 ──

菱形三十面體

簡介菱形三十面體，並引導學生思考：調整立面化的高度，則 菱形三十面體也能視為一種立面化正二十面體。

進行菱形三十面體的活動，提問讓學生討論：

1. 如何將紙張 12 等分。

2. 如何摺出黃金矩形與黃金菱形。

16 菱形面的編織 ──

菱形三十面體 製作紙條編織菱形三十面體。

17 星狀體的編織 ──

星形十二面體 帶學生進行星形十二面體的活動。

18 成果發表 成果發表可以是靜態的展示，也可以是簡報式的發表，從簡報 中也可以驗收學生的學習狀況。

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1

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5

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請學生將紙張裁剪成模板的樣式 3 張，編個時空膠囊，可配合節慶寫些祝福的話，或是彩繪它。

2. 請學生自備 1：10 的紙條 12 張，建議以 4K 紙的短邊長當作紙條的長度。

3. 摺完 6 隻毛毛蟲應該差不多下課了，剩下的讓有興趣的學生先自行組裝。

5 百變方塊延續第 4 節課進行百變方塊的活動，讓學生組裝百變方塊，已完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

3. 動作較快的學生請他先將摺痕都摺好，未完成的部分可讓有興趣的學生先自行組裝。

7 吉本魔方延續第 6 節課進行吉本魔方的活動，讓學生組裝吉本魔方，已完成作品的同學可協助其他未完成的同學。

說明立面化三角的編織結構，再引導學生選取其中 8 個編成立面化正八面體。

組合菱形十二面體進行菱形十二面體活動的第一部分，並簡介菱形十二面體。

請學生觀察菱形十二面體與第 8 節課所編織的立面化正八面體，引導學生思考：調整立面化的高度，則菱形十二面體能視為立面化正八面體。接著進行菱形十二面體活動的第二部分。

簡介正二十面體與正十二面體，再請學生觀察籐球，表面上看起來是截半正二十面體的球面化，各織帶間彼此上下交錯。接著進行編織籐球的活動。

延續第 13 節課，完成作品的同學在教師檢查無誤後，請其協助其他未完成的同學。

簡介菱形三十面體，並引導學生思考：調整立面化的高度，則菱形三十面體也能視為一種立面化正二十面體。

菱形三十面體製作紙條編織菱形三十面體。

星形十二面體帶學生進行星形十二面體的活動。

18 成果發表成果發表可以是靜態的展示，也可以是簡報式的發表，從簡報中也可以驗收學生的學習狀況。

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