第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

1．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念

如 果 a

＝ N(a>0，a≠1)，那 么b 叫做以 a为 底N 的对 数，

记 ．

以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以无理数e＝

2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 . (2)对数的性质

① 没有对数；②log

1＝ ；③log

lgN lnN

零与负数 0 1

log_aN＝b(a>0，a≠1)

第二章 函数与基本初等函数

(3)对数的运算法则

① log

＝ ；③log

＝n·log

a≠1，M>0，N>0.)

(4)对数换底公式及几个对数恒等式．

①log

log_ma

(b>0，a>0 且 a≠1，m>0 且 m≠1)

②log

1 log

③log

log_aM＋log_aN log_aM－log_aN

第二章 函数与基本初等函数

2．对数函数y＝log

a>1

0<a<1

图象

第二章 函数与基本初等函数

a>1

0<a<1

性 质

(1)定义域： (1)定义域：

(2)值域： (2)值域：

(3)过点 ，即 (3)过点 ，即 (4)当x>1时， 当

0<x<1时，

(4)当x>1时， 当 0<x<1时，

(5)是(0，＋∞)上的 函数

(5)是(0，＋∞)上的 函数

(0，＋∞) (0，＋∞)

R R

(1,0) x＝1时，y＝0

(1,0) x＝1时，y＝0 y>0

y<0

y<0 y>0

减 增

第二章 函数与基本初等函数

3.指数函数y＝a

与对数函数y＝log

其图象关于直线y＝x对称．

第二章 函数与基本初等函数

1．(2009· 湖南)log

2的值为( ) A．－ 2 B. 2 C．－ 1

2 D. 1 2

2＝log

2 1

2 ＝ 1

2 log

2＝ 1 2 ， 易知 D 正确．

[答案] D

第二章 函数与基本初等函数

2．(2011·佛山一模)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，

f(x)＝log₂x.则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________．

[答案] (－1,0)∪(1，＋∞)

3．(2010·天津文数)设a＝log

4，b＝(log

3)

，c＝log

5，

则( )

A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c

[ 解析 ]

因为0＜log

3 ＜ 1 ， 所以 0 ＜ (log

3)

＜log

3 ， 又 log

3＜log

4＜1 log

5＞1，所以b＜a＜c.

[答案] D

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

(1)计算 1

2 lg 32

49 － 4

3 lg 8＋lg 245；

(2)若 lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求 log

b

之值．

[分析] 本题主要考查对数的基础知识以及恒等变

形的能力．

第二章 函数与基本初等函数

1

2 (lg32－lg49)－ 4

3 lg8 1

2 ＋ 1

2 lg245

＝ 1

2 (5lg2－2lg7)－ 4 3 · 3

2 lg2＋ 1

2 (2lg7＋lg5)

＝ 5

2 lg2－lg7－2lg2＋lg7＋ 1

2 lg5

＝ 1

2 lg2＋ 1

2 lg5

＝ 1

2 lg(2×5)

＝ 1

2 lg10＝ 1

2 .

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示]

解决含多个对数式的求值化简问题，关键 是熟练掌握对数的运算性质，不但要能正用、逆用这些公式，

还要会变式应用，创造条件去应用．

(2)∵lga＋lgb＝2lg(a－2b)

∴lgab＝lg(a－2b)

∴ab＝(a－2b)

，a

＋4b

－5ab＝0 (a－4b)(a－b)＝0 a＝4b 或 a＝b 又 a－2b>0 即 a>2b∴a＝4b

∴log

b

＝log

4b

b

＝1

第二章 函数与基本初等函数

[答案] A

(2010· 辽宁)设 2

＝5

＝m，且 1

a

＋ 1

b

＝2，则 m＝( ) A. 10 B．10

C．20 D．100

1

a

＋ 1

b

＝ 1

log

＋ 1

log

＝ log

2＋log

5＝log

10＝2，

∴m＝ 10，故选 A.

第二章 函数与基本初等函数

[分析]

由于两组数都不是同一个函数的函数值，难以用 一个函数单调性作出判断，应依据函数的性质，采用间接比较 的方法．

比较大小，并说明理由：

(1)0.3

，log

0.3,2

；

(2)log

9，log

25，log

5 5.

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示]

①函数的单调性揭示了自变量的大小与函 数值大小的相互转换关系；②当不能用一个函数的单调性作出 判断时，应通过引入第三个过渡量(如0,1等)搭桥，进而求解．

[解] (1)由指数函数单调性可知 2^0.3

>2

＝1；由对数函数 的单调性可知 log

0.3<log

1＝0；而 0.3

＝0.09∈(0,1)．

综上可知 log

0.3<0.3

<2

. (2)因为 log

5 5＝ 3

2 ，log

9>log

8＝ 3

2 ，log

25<log

27＝ 3

2 .

所以 log

9>log

5 5>log

25.

第二章 函数与基本初等函数

设a＝log

0.8，b＝log

0.9，c＝1.1

，则a、b、c的大小 顺序是( )

A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a

[ 解 析 ]

因 为 0<a ＝ log

0.8<log

0.7 ＝ 1 ， b ＝ log

0.9<log

1＝0，c＝1.1

>1.1

＝1，所以选C.

[答案] C

第二章 函数与基本初等函数

如下图所示，曲线 C

，C

，C

，C

都是对数函数 y＝log

的图象，已知 a 取 3， 4

3 ， 3

5 ， 1

10 四个值，则相应于 C

，C

，

，C

的 a 的值依次为( )

A. 3， 4

3 ， 3

5 ， 1

10 B. 3， 4

3 ， 1

10 ， 3 5 C. 4

3 ， 3， 3

5 ， 1

10 D. 4

， 3， 1

， 3

第二章 函数与基本初等函数

[解] 解法一：因为对数函数的底数越大，函数图象越远离 y

轴的正半轴，所以 C

，C

，C

，C

对应的 a 值依次由大到小，即

，C

，C

，C

的 a 值依次为 3， 4

3 ， 3

5 ， 1

10 ，故选 A.

解法二：作直线 y＝1，与 C

，C

，C

，C

交点的横坐标，即 为各对数底的值．

[点评与警示]

对数函数图象的分布规律为：位于第一象

限的部分，随着底数的由小到大，图象从左到右分布．

第二章 函数与基本初等函数

如右图，三个对数函数的图象，若a

＝b

＝

>1，则x

，x

，x

的大小关系是( )

A．x

>x

>x

B．x

>x

>x

C．x

>x

>x

D．x

>x

>x

[解析] 由图可知a>1>c>b>0，作曲线c₁

：y＝a

，c

：y＝b

，

：y＝c

，并作y＝2，与曲线交点坐标A(x

2)，B(x

2)，C(x

2)，

知x

>x

>x

，故选A.

[答案] A

第二章 函数与基本初等函数

(2010·全国Ⅰ，7)已知函数f(x)＝|lgx|.若a≠b，且f(a)＝

f(b)，则a＋b的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

[解析] f(x)＝|lgx|的图象如图所示，由题不妨设 0＜a＜

1，b＞1，

∴|lg a|＝－lg a，|lg b|＝lg b，

∴－lg a＝lg b，

即 1

＝b，a＋b＝a＋ 1

＞2(∵a≠b)．

第二章 函数与基本初等函数

设0<a<1，函数f(x)＝log

(a

－2a

－2)，则使f(x)<0的x取值 范围是( )

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，log

3) D．(log

3，＋∞)

∴由f(x)<0可得：a

－2a

－2>1，即(a

－3)(a

＋1)>0.

∴a

>3，∴x<log

3，故选C.

第二章 函数与基本初等函数

对于函数 f(x)＝log

x－b

(a>0，a≠1，b>0)．

(1)讨论 f(x)的奇偶性；

(2)讨论 f(x)的单调性；

(3)求此函数的值域．

[分析]

按奇偶函数定义判断其奇偶性，判断单调性应 先分析真数表示的函数 u(x)＝

x－b

，注意不能超过函数的定

义域，求函数的值域注意真数的影响．

第二章 函数与基本初等函数

[解] (1)由x＋b

x－b

>0⇔(x－b)(x＋b)>0 及 b>0 得定义域(－

∞，－b)∪(b，＋∞)．

由 f(x)＋f(－x)＝log

[(

x－b

)(

x＋b

)]＝log

1＝0，可知此函

数为奇函数．

第二章 函数与基本初等函数

(2)由于 u(x)＝

x－b

＝1＋ 2b

x－b

在(－∞，－b)和(b，＋∞) 上是减函数，所以当 0<a<1 时，

f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)是增函数；

当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．

(3)∵b>0.∴真数 u(x)＝1＋ 2b

x－b

≠1，故 f(x)≠0，从而原

函数的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示] (1)要判断函数的单调性，必须首先确定其

定义域，特别是对数函数，切记真数大于零，以免产生错解；

(2)注意分类讨论与灵活运用复合函数的单调性．

第二章 函数与基本初等函数

对于函数 f(x)＝log

(1)求函数 f(x)的奇偶性；

(2)求函数 f(x)的单调性；

(3)求此函数的值域．

第二章 函数与基本初等函数

[解] (1)由x＋1

x－1

＞0⇔(x＋1)(x－1)＞0 定义域为(－∞，

－1)∪(1，＋∞)

由 f(x)＋f(－x)＝log

x－1

＋log

－x＋1

－x－1

＝log

x－1

·

x＋1

＝log

1＝0

∴f(x)为奇函数

第二章 函数与基本初等函数 (2)由于 u(x)＝

x－1

＝1＋ 2

在(－∞，－1)和(1，＋∞)为减函数，所以当 2＞1 时

x－1

在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数 (3)∵u(x)＝1＋ 2

x－1

≠1 故 f(x)≠0

从而原函数的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

第二章 函数与基本初等函数

对于函数 f(x)＝log

2

(x

－2ax＋3)，解答下列问题：

(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；

(2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围；

(3)若函数 f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数 a 的取值 范围；

(4)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数

第二章 函数与基本初等函数

[分析] (1)将问题转化为求不等式的解集为全体实数时的

参数的取值问题；(2)将问题转化为使函数u＝x

－2ax＋3的值域 为R

时的参数取值问题；(3)将问题转化为求使u＝x

－2ax＋

3>0对x∈[－1，＋∞)上恒成立的参数取值；(4)命题等价于x

－

2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3}．

第二章 函数与基本初等函数

[解] 设 u＝g(x)＝x²

－2ax＋3＝(x－a)

＋3－a

(1)∵u>0 对 x∈R 恒成立，∴u

＝3－a

>0

∴－ 3<a< 3

∴实数 a 的取值范围是(－ 3， 3)．

(2)∵f(x)值域为 R∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞)

∴

－12≥0 即 a≥ 3或 a≤－ 3.

∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．

第二章 函数与基本初等函数

(3)由 f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知 u＝x

－2ax＋3>0 对 x∈[－1，＋∞)上恒成立．

∵g(x)的对称轴为 x＝a

∴当 a<－1 时 g(－1)>0 即



a<－1

2a＋4>0 解得－2<a<－1

当 a≥－1 时 Δ<0，即－ 3<a< 3

∴－1≤a< 3

故所求 a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1， 3)即(－2，

3)．

第二章 函数与基本初等函数

(4)命题等价于x

－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3}

∴x

－2ax＋3＝0的两根为1和3，

∴2a＝1＋3即a＝2

[点评与警示] 对数函数的值域为R时，其真数必须取遍所

有的正数．

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

2．对数函数的单调性受到底数a大小变化的影响，因此解 题时常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

1．对于对数运算，要注意避免出现下列的错误 (1)log

log

(2)log

(x±y)＝log

(3)log

y

＝ log

log

等等．

第二章 函数与基本初等函数

3．形如y＝log

(1)定义域是函数u＝f(x)定义域与不等式f(x)＞0的解集的交 集M；

(2)求值域时，先确定函数u＝f(x)(x∈M)的值域，然后以u的 值域作为函数y＝log

log

4．对数值的大小比较的方法．

(1)化同底后利用函数的单调性；

(2)作差或作商法；

(3)利用中间量(0或1)；

第二章 函数与基本初等函数

5．“当底数与真数同时大于1或底数与真数同时大于0而

小于1时，对数值是正数，否则对数值小于0”．这一结论对解

选择题，填空题很有帮助，能大大提高解题的效率．

第二章 函数与基本初等函数