第六章 统计量与抽样分布

第六章 统计量与抽样分布



随机样本与统计量



分布 t 分布 F 分布



正态总体下的抽样分布





数理统计

原则和方法

。

 例如：若规定灯泡寿命低于 1000 小时者为次品，如何确 定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整 批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验

，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计研究的 问题。

2

6.1 随机样本与统计量



总体：研究对象的全体；



个体：总体中的成员；



总体的容量：总体中包含的个体数；



有限总体：容量有限的总体；



无限总体：容量无限的总体，通常将容量非

常大的总体也按无限总体处理。



例： 1 ）了解某校“大学生的月消费水 平” 。总体是该校大学生全体。这是一 个有限总体，每个大学生有许多指标，

我们关注的是学生“过去 6 个月平均每 月的花费”这一指标。

4



2 ）了解某城市的空气质量情况，调查 该城市的 PM2.5 值。这是一个无限总 体，描述空气质量有许多指标，而我们 仅关心 PM2.5 值。



3 ）研究某种药物在人体中的吸收情况。

这是一个有限总体，但数量非常巨大，

我们常把它看出无限总体。

6

为了采用数理统计方法进行分析，首先要收集 数据，数据收集方法一般有两种。

（ 1 ）通过调查、记录收集数据。如为了调查大学 生“过去 6 个月平均每月的花费” ，可以进行问卷调 查；要了解 PM2.5 值，需要在城市设立若干 PM2.5 监测站点，定时收集数据。

（ 2 ）通过实验收集数据。如为了了解药物吸收情 况，要征集若干志愿者，把他们分成若干组，观察 他们服药后不同时间点药物含量数据。

关于调查数据和实验数据的收集可以根据数

据本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的

课程讲授，这里不作详细介绍。



总体的某个指标 X, 对于不同的个 体来说有不同的取值 , 这些取值构 成一个分布 , 因此 X 可以看成一

个随机变量 . 有时候就把 X 称为

总体 . 假设 X 的分布函数为 F(x),

也称 F(x) 为总体 .



数理统计主要任务是从总体中抽取 一部分个体 , 根据这部分个体的数 据对总体分布给出推断 . 被抽取的 部分个体叫做总体的一个样本 .

8

随机样本：从总体中随机地取 n 个个体 , 称为 一个随机样本。

简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本

) 称为容量是 n 的简单随机样本。

1.

代表性 : 每个 X

与 X 同分布；

2.

独立性 :

是相互独立的随机变量。

[ 说明 ] ：后面提到的样本均指简单随机样本。

[ 注意 ] ：一个容量为 n 的样本

是指 n 个独立与总体分布相同的随机变量。

一旦对样本进行观察，得到实际数值

称为样本观察值（或样本值）。

两次观察，样本值可能是不同的。

1

, ,

x x  x

1

,

,

X X  X

10



如何取得的样本才称是简单随机样本 ?

对于有限总体 , 采用放回抽样就能得到简

单随机样本 .

但当总体容量很大的时候 , 放回抽样有时

候很不方便 , 因此在实际中当总体容量比较大时 , 通常将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随 机样本来处理 .

对于无限总体 , 一般采取不放回抽样 .

12

（ 88 ， 8

8 ） （ 88 ， 7

5 ） （ 88 ， 7

0 ） （ 88 ， 6 3 ）

（ 75 ， 8

8 ） （ 75 ， 7

5 ） （ 75 ， 7

0 ） （ 75 ， 6 3 ）

（ 70 ， 8

8 ） （ 70 ， 7

5 ） （ 70 ， 7

0 ） （ 70 ， 6 3 ）

（ 63 ， 8

8 ） （ 63 ， 7

5 ） （ 63 ， 7

0 ） （ 63 ， 6 3 ）

例 1.1 有 4 个学生参加《概率论与数理统计》

课程考试，成绩分别为 88,75,70,63.

现从中抽取容量为 2 的样本，列出

全部的样本 .

答：共有 16 个样本，分别为：

统计量：样本的不含任何未知参数的函数。

常用统计量：设（ X

）为取自总体 X 的简单随机样本。常用的统计量如下：

1

1. 1 ⁿ _i

i

X X

n _





样本均值

 

 

1

1

3. 1 1, 2,

1 ( ) 1, 2,

n k

k i

i

n k

k i

i

k A X k

n

k B X X k

n





 

  







 样样样样样样

样样样样样

2 2

1

2. 1 ( ) ,

1

n i i

S X X S

n _

 



1

2

2 2

, , , ,

( ) , ( ) ( ) [( ) ],

3 ( ) [( ) ]

n

k k

k k

k k

X X X

E X Var X E X E X

X S

A E X B E X

  

 



  

 样 样 样 样 样 样 样 样 样 样 样 样 

样 样 样 样 样 样 样 样 样 样

样 样 样 样 样 1样 样 样 样 2样 样 样 样 样 样 样 样 4样 样

样 样 样 样 样

[ 思考题 ] ：

答：不对。前者是随机变量，观察两次得到 的统计量的值可能不一样；

后者是数，可能已知也可能未知。

14

当总体数字特征未知时 ^{( 设各阶矩存}

在 )

16

例 1.2 接例 1.1 ，总体为 88 ， 75 ， 70 ， 63 ，显然，

总体均值为 74. 计算全部 16 个样本的样本均值 .

从中看到，用样本均值估计总体均值，可能估计过 高，可能估计过低。

所有样本均值的平均值恰好是总体均值。 ( 无偏 性 )

样本

编号 样本 样本

均值 样本

编号 样本 样本

均值 样本

编号 样本 样本 均值 1 (88,88

) 88 7 (75,70) 72.5 13 (63,88

) 75.5 2 (88,75

) 81.5 8 (75,63) 69 14 (63,75

) 69

3 (88,70

) 79 9 (70,88) 79 15 (63,70

) 66.5 4 (88,63

) 75.5 10 (70,75) 72.5 16 (63,63

) 63

5 (75,88 )

81.5 11 (70,70) 70 16 个样本均值的平 均为 74

6 (75,75

) 75 12 (70,63) 66.5

 

2 2 2 n



分布记为



6.2 ^

分布 t 分布 F 分布



( 一 ) 分布

定义：设随机变量 相互独立 ,

1

,

, ,

X X



  



Xi  N i   n ^则称

2 2

1

= (1)

n i i





服从自由度为 n 的

其中，自由度指 (1) 式右端包含的独立变量

个数 .

18

 

   

 

2

2

2

1

1 0

1 , 0,

2 2 2

0, 0, .

n

y

x

n

y e y

f y n

y x e dx^





 

  

   

  

    

 



 



分布的概率密度函数为：

其中,

x ( )

f x

0

10 n  1

n 

4 n 

2_{分布的概率密度函数}

n0样样样样样样x()fx



分布的性质

2

1 2 2

1 2 1 2

~ ( ), 1, 2, ,

~ ( );

i i

Y n i Y Y

Y Y n n







 

2. 设 且 相互独立，则有

2

~ ( ),

n E (

) n Var , (

) 2 ; n

     

1. 设 则有



——

分布可加性

 

2

1 2

2

1 1

~ , 1, 2, , ,

~ .

i i m

m m

i i

i i

Y n i m Y Y Y

Y n





 



 

 

 

 

 

样样样样样样 样样样样样样

 

   

   

2

2

2 2 2

,0 1, ,

n fn dy

n

y n

n







 

  

  

 



分布的上 分

对给定的概率 称满足条件 的点

上 分位数 的值可查

位数 分布表

20

在 Excel 表单的任一单元格输入

“ =CHISQ.INV.RT (0.1,25)”

；

点击 '' 确定 " 即在单元格中出现 ''34.382".

2

0.1

(25).

例 2.1 利用 Excel 

求

22

1,2, ,

i i

Y X  i n



   

样样(1)样样样

1, , ,2 _{n i}

 

Y Y  Y Y N i   n

样 样 样 样 样 样 样 样

 

2 2 2

1 1

( )

n n

i i

i i

X  Y n







     

于是

2 1 2

1 2

(2) ~ (0, 2 ), ~ (0,1)

2 X X

X X N  N



 

2 3 4 5

3 4 5

2 ~ (0,6 ), 2 ~ (0, 1) 6

X X X

X X X N  N



 

 

3 4 5

1 2

2 2

3 4 5 2

1 2

2 2

2

2 6

(2 )

( )

~ (2)

2 6

X X X

X X

X X X

X X

 

  

 



 

 

与相互独立，

故 2

2

1 , 2

1 , 6

2.

a b

k











24

( 二 ) t 分布

 

t n

分布概率密度函数

26

     

 

, 0 1, ,

t n f t n dt t n

t n t t

 

  

 

 



对给定的 称满足条件 的点

为 分布的上 分位数。 分布的上 分位数可查 分布表

1 ( ) ( )

t _ n  t n_

在 Excel 表单的任一单元格输入

“=T.INV (1–0.05, 25)”

或 “ =T.INV.2T

；

点击“确定” 即在单元格中出现 “ 1.708”.

28

0.05

(25).

例 2.3 利用 Excel t

求

1

1 2 2 1

~ ( , ), ~ ( , ).

F F n n F ^ F n n 性质：则

( 三 ) F 分布

30

 1, 2

F n n 分布概率密度函数

 ; ,1 2

f x n n

 

 

   

 

1, 2 1 2

1 2 1 2

1 2

, 0 1,

; ,

, ,

,

F n n f x n n dx

F n n F n n

F n n F







 







 



对于给定的称满足条件

的点为分布的上分位数.

的值可查分布表.

1 1 ( , ) [ ( , )]1 2 2 1

F_ n n  F n n_ ^

在 Excel 表单的任一单元格输入

“=F.INV.RT (0.1, 9, 10)”

或 “ =F.INV (1–

0.1, 9, 10)”

；

点击“确定” 即在单元格中出现 “ 2.347”.

32

0.1

(9,10).

例 2.4 利用 Excel F

求

6.3 正态总体下的抽样分布

34

2

1 2

2

2 1

2

2 1

2

, , , ( , )

( )

1

( )

2

n

n

i i

n

i i

X X X N

X S

X X

X

 



















样样样样样样样样 

样样样样样样样样样样样样样样样样 样样样样样样样样

样样样样样样样样样

样样样样样样样样样

[ 思考题 ] ：

2

( 1) n

( ) n

  

答：(1)，(2) .

~ ( 1).

X t n

S n



 

36

2 2

= ~ ( 1).

( 1)

( 1) X

X n t n

n S S n

n



 





 

 

注意到

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

(1)

~ ( 1, 1);

F n n S S

 



^

^{ }

则

定理 6.3.4 设样本 和 分别来自 总体 和 且相互独立，样本均值分 别为 样本方差分别为



 





 



N

 

  , ,

X Y S S₁², ₂²,

  ^

^

2 2

1 2

1 2

(2)

~ (0,1);

N n n

 

 

  



2 2 2 2

1 1 1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

( 1) ( 1)

~ ( 1, 1);

( 1) ( 1)

S n S n S

F n n

n n

S



 



 

  

 

注意到

38

  ^{ } _{ }

   

2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2

(3) ,

~ 2 .

1 1

1 1

, .

2

w

w w w

X Y t n n

S n n

n S n S

S S S

n n

  

 

 

  

 



  

 

  当时

其中,

 

     

1 2

1 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2

1 1

~ 2 .

1 1

( + )

( 2)

X Y

n n t n n

n S n S

n n

 



 

  

  

 

 

 

 

2

1 2

2

2 2

3.1

, , ,

( ), ( ), ( );

(2) , ( )

n

X

X X X

X S

E X Var X E S

X N Var S

 

 





样样样样样样样样样样样样样

样样样样样样样样样 样样样样样样样样样样样

样: (1) 样样样.

1 1

1 1

( ) ( ⁿ _i) ⁿ ( )_i ,

i i

E X E X E X

n n 

 







解：(1)

2

1 2 1

1 1

( ) ( ⁿ _i) ⁿ ( )_i ,

i i

Var X Var X Var X

n n n



 







2 2 2 2

1 1

1 1

( ) ( ( ) ) ( ( ))

1 1

n n

i i

i i

E S E X X E X nX

n _ n _

   







2 2

1

1 ( ( ) ( ))

1

n i i

E X nE X

n _

 





2 2 2 2 2

1

1 ( ( ) ( )) .

1

n

i

n

 



 



    





40

2 2

( 1)

2( 1) n S

Var n



  

    

 

2 2 4

( ) .

Var S 1

n



 







( 1)

(2) , , n S ~ ( 1),

X N

  



  

  ^{ }

 

2

1 4

1 9

2 2

1 2

1

4 2 2

1 2

3.2 , , ,

, ,

, ,

~ ( ), ,

(2) ( _i ) 4

i

X N X X

Y Y X

X S Y S

a X Y t k a k S

X S

 













 样样样样样

样样样样样样样样样样样样样样

样样样样样样样样样样样样样样 样(1)样样样样样样样

样样样样样样样

42

2 2

(1) ~ ( , ), ~ ( , ),

4 9

X N

 

 

 样样样样样样样

2 1

2

1

3 6 13

6 ~ (3)

3 13

13

S X Y

t X Y t

  S

  

由分布定义，

2 2 2

1 2 1

3S ~ (3),

X Y S

  ^

又且与相互独立，

13

6

~ (0, ), ~ (0,1

36 13

X Y N  X Y N



  （）  ）

6 13 , 3.

a 13 k

  

4 2

2 2 2 2

2 2

1

4 2 2

1 2

1 8

(2) ( ) ~ (4), ~ (8),

( )

i i

i i

X S

X S

  

 















且与独立，

4 2 4

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 ( ) 8 ( ) 4 ~ (4,8).

4 _i ⁱ 8 _i ⁱ

F

X









  

 

由分布定义知，

44