95 年學科能力測驗

(1)

數學

95 年學科能力測驗

班級：_________ ／座號：_________ ／姓名：_________

總分

第一部分﹕選擇題壹、單選題

說明﹕第1 至 5 題﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得 5 分﹐答錯不倒扣﹒

1. 設一元二次整係數方程式

ax

²  bx  c  0 有一根為 4  3i。若將此方程式的兩根與原點在複數平面上標出，

則此三點所圍成的三角形面積為 (1) 5　(2) 6　(3) 12　(4) 16　(5) 24

2. 在下圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的機率為

(1)20 1 　(2)

4 1 　(3)

4 3 　(4)

5 3 　(5)

5 4

3. 下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且OD 8。問：直角三角形 OAB 的高AB為何？

(1) 1　(2) 6

2

　(3) 7 1　(4) 3　(5) 2 4. 下列哪一個數值最接近

₂

？

(1) 3cos 44  sin 44　(2) 3cos 54  sin 54　(3) 3cos 64  sin 64　(4) 3cos 74  sin 74　(5) 3cos 84  sin 84

5. 在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌

A 的數量每兩個小時可以成長為

兩倍，細菌

B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾

小時後細菌

B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？

(1) 24 小時　(2) 48 小時　(3) 69 小時　(4) 96 小時　(5) 117 小時

二、多選題

說明﹕第1 至 6 題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得 5 分﹐答錯不倒

扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲2.5 分﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

1. 假設

a，b，c 是三個正整數。若 25 是 a，b 的最大公因數，且 3，4，14 都是 b，c 的公因數，則下列何者

正確？

(1) c 一定可以被 56 整除 (2) b  2100 (3)若 a  100，則 a  25 (4) a，b，c 三個數的最大公因數是 25 的 因數 (5) a，b，c 三個數的最小公倍數大於或等於 25  3  4  14

2. 考慮坐標平面上所有滿足 (x2)² y²  (x2)²(y4)²  10 的點( x，y )所成的圖形，下列敘述何者

(2)

正確？

(1)此圖形為一橢圓　(2)此圖形為一雙曲線　(3)此圖形的中心在(2， 2) (4)此圖形對稱於 x  2  0 (5)此圖形有一頂點(2，3)

3. ^假設實數

^a

1，a2，a3，a4是一個等差數列，且滿足0  a1  2 及 a3  4。若定義 bn  2^aⁿ ，則以下哪些選項是對的？

(1) b1，b2，b3，b4是一個等比數列　(2) b1  b2　(3) b2  4　(4) b4  32　(5) b2  b4  256

4. 學生練習計算三次多項式

f (x)除以一次多項式 g (x)的餘式。已知 f (x)的三次項係數為 3，一次項係數為

2。甲生在計算時把 f (x)的三次項係數錯看成 2（其它係數沒看錯），乙生在計算時把 f (x)的一次項係數 錯看成 2（其它係數沒看錯）。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問 g (x)可能等於以下哪些一次 式？

(1) x　(2) x  1　(3) x  2　(4) x  1　(5) x  2

5. ^{下圖是根據}100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）。該100 名婦女體重的平均數為 55 公斤，標準差為 12.5 公斤。曲線 N 代 表一常態分布，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數2 個標準差以上（即體重超過 80 公斤以上），則下列敘述哪些正確？

(1)曲線 N（常態分布）中，在 55 公斤以上所占的比例約為 50％ (2)曲線 N（常態分布）中，在 80 公斤 以上所占的比例約為2.5％ (3)該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤 (4)該樣本中，體重的第一四分位數大於45 公斤 (5)該樣本中，「體重過重」（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5％

6. 將正整數 18 分解成兩個正整數的乘積有 1  18，2  9，3  6 三種，又 3  6 是這三種分解中，兩數的差最小的，我們稱3  6 為 18 的最佳分解。當 p  q（p  q）是正整數 n 的最佳分解時，我們規定函數 F (n) 

q

p

，例如

F (18) 

6 3 

2

1 。下列有關函數

F (n)的敘述，何者正確？

(1) F (4)  1　(2) F (24)  8

3　(3) F (27)  3

1 　(4)若 n 是一個質數，則 F (n) 

n

1 (5)若 n 是一個完全平方

數，則

F (n)  1

第二部分﹕選填題

說明﹕第1-9 題﹐每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

1. ^{抽樣調查某地區}1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中(男，女)代表第一個小孩是男孩而第二

(3)

個小孩是女生的家庭，餘類推。

家庭別家庭數

(男，男) 261

(男，女) 249

(女，男) 255

(女，女) 235

由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為　　　　　。（四捨五入至整數位）

2. ^{下圖為一正立方體，若}

M 在線段

AB上，_BM  2AM ，N 為線段BC之中點，則cos  MON 　　　

。（分數要化成最簡分數）

3. 給定平面上三點(  6， 2)，(2， 1)，(1，2)。若有第四點和此三點形成一菱形（四邊長皆相等），則第四點的坐標為　　　　　。

4. 如下圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：

若 DBC  30， ABD  45，CD 6，則線段AD　　　　　。

5. 新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢－買一送一」的活動。該鞋店共有八款鞋可供選擇，

其價格如下：

款式甲乙丙丁戊己庚辛

價格 670 670 700 700 700 800 800 800

規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋之一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有　　　　　種。

6. ^某地共有9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有　　　　　種。

7. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：

拼第95 個圖需用到　　　　　塊白色地磚。

8. ^在三角形

ABC 中，若 D 點在

BC邊上，且_AB 7，AC  13，BD 7，CD 8，則 AD　　　　　。 9.

A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)為坐標平面上的四個點。如果直線 y  m (x  7)  4 將四邊形

(4)

ABCD 分成面積相等的兩塊，那麼 m  　　　　　（化成最簡分數）。

(5)

答案

1. (3) 2. (5) 3. (4) 4. (4) 5. (5) 二、多選題

1. (2)(3)(4) 2. (1)(3)(4)(5) 3. (1)(2)(3)(4)(5) 4. (1)(3)(5) 5. (1)(2)(4)(5) 6. (1)(3)(4)(5) 第二部分﹕選填題

1. 105 : 100 2.

15

4 10 3. (9，3) 4. 72 5. 21 6. 576 7. 478 8. 7 9.

2 1

解析

1. ∵　實係數多項方程式的虛根共軛 ∴　ax²  bx  c  0 的兩根為 4 3 i

　所求三角形面積

2

1  4  6  12，故選(3)

2. 設選格子時分兩次選，任選兩格的方法數有 C¹⁶₁  C¹⁵1 種，兩格不在同行的方法數有

C

¹⁶₁  C

12

1 種

∴　機率

15 16

12 16



  5

4 種，故選(5)

3. ABOB．sin 15  (OC．cos 15 )．sin 15  (OD．cos 30 )．cos 15．sin 15

 8．

2 3

．

4 2

6 

．

4 2

6 

 ³

故選(4)

【註】也可用二倍角公式AB (^OD．cos 30 )．cos 15．sin 15 ^OD．cos 30．

2

1 sin 30

4. (1) 3cos 44  sin 44  2 sin (60  44 )  2 sin 104  2 sin 76

(2) 3cos 54  sin 54  2 sin (60  54 )  2 sin 114  2 sin 66

∴　值最接近

2

的為2 sin 46，故選(4)

5. 設一開始的數量為 N，經過 t 小時後達到題目要求的 10 倍

(6)

∴　N．33

t  10．( N．22

t )　　33

t  10．22 t

兩邊取對數得，

3

t

log 3  1  2

t

log 2 　t．(

3

1log 3  2

1 log 2)  1

∴　t

2 3010 . 0 3

4771 . 0

1

 　　t 117.2，故選(5)

二、多選題

1. (1)╳。∵　[4，14]  28　∴　c 一定可被 28 整除，但不保證可被 56 整除 (2)○。∵　[25，3，4，14]  2100　∴　b  2100

(3)○。∵　25 是 a 與 b 的最大公因數，且 3，4 皆為 b 的因數 ∴　3 a 且 2 a　　a  25 (4)○。∵　[a，b，c]為[a，b]的因數

(5)╳。∵　[25，3，4，14]  2100　∴　[a，b，c]  2100 故選(2)(3)(4)

2.

(1)○。令 P ( x，y )，A (2，0)，B (2， 4) 原式：PAPB 10 AB

　　P 點所成圖形為以 A，B 為焦點，長軸長為 10 且長軸平行 y 軸的橢圓 (2)╳。同(1)

(3)○。中心為 A，B 中點　　中心為(2， 2) (4)○。對稱軸為 x  2  0 與 y  2 0

(5)○。∵　a  5　∴　橢圓頂點為(2， 2  5)  (2，3)與(2， 7) 故選(1)(3)(4)(5)

3. 設<an>的公差為 d (1)○。

n n

b b

_₁



n n

a a

2

^¹ _{ 2}a_n_1a_n  2^d

(2)○。∵　0  a1  2　∴　0  4  2d  2

　　1  d  2　∴　公比：2  2^d  4　　b1  b2

(3)○。∵　a2  a3  d　∴　2  a2  3　　4  2^a²  8　∴　4  b2  8 (4)○。∵　a4  a3  d　∴　5  a4  6　　32  2^a⁴  64　∴　32  b4  64 (5)○。b2  b4  b32  (2⁴)²  256

故選(1)(2)(3)(4)(5)

4. 設 g (x)  x  a，且 f (x)  3x³  bx²  2x  d

甲生：餘式 2a³  ba²  2a  d，乙生：餘式 3a³  ba²  2a  d

(7)

　2a³  ba²  2a  d  3a³  ba²  2a  d

∴　a³  4a  0，a (a²  4)  0，a (a  2)(a  2)  0

∴　a  0，2， 2，故選(1)(3)(5) 5. 參閱圖(一)

(1)○。∵　左右對稱　∴　55 公斤以上約占 50％

(2)○ ∵　。 80  55  2．12.5　 ∴　 80 公斤以上約占¹⁰⁰₂^⁹⁵％  2.5％

參閱圖(二)

(3)╳。大於 55 公斤的占 24％  12％  6％  5％  47 　 ∴　％中位數小於 55 公斤 (4)○ ∵　。 45公斤以上占 33％  24％  12％  6％  5％  80％

∴　第一四分位數大於 45 公斤 (5)○。80 公斤以上的比例大於 5％

故選(1)(2)(4)(5)

6. (1)○。4 的最佳分解為 2  2　　F (4)  2 2  1

(2)╳。24 的最佳分解為 4  6　　F (24)  6 4 

3 2

(3)○。27 的最佳分解為 3  9　　F (27)  9 3

3 1

(4)○。質數 n 的最佳分解為 1  n　　F (n) 

n

1

(5)○。完全平方數 n 的最佳分解為 n ⁿ　　F (n) 

n n

 1 故選(1)(3)(4)(5)

第二部分﹕選填題

1. 男生：女生  ( 2  261  249  255)：(249  255  2  235)  1026：974 105：100 2. 取一空間直角坐標系：O (0，0，0)，A (0，0，1)，B (0，1，1)

　M (0，

3

1 ，1)，N ( 2

1 ，1，1)

(8)

∴　cos  MON 

4 9 9 10

3 1 0 1







₃ ⁸ ₁₀

 15

4 10

3.

設菱形四點為

A (  6， 2)，B (2， 1)，C (1，2)，D

由圖可知，四頂點順序為

ABDC

∵　BC中點與AD中點重合 ∴　B (2， 1)  C (1，2)  A (  6， 2)  D ( x，y )

∴　D 點坐標為(2， 1)  (1，2)  (  6， 2)  (9，3) 4. ∵　△ABD 與△BCD 的外接圓重合，由正弦定理得，

 45 sin

AD



_sin ^CD ₃₀ _

　AD^CD．



 30 sin

45

sin  6．

2 1 2 2

 6

2

 ⁷²

5. ∵　兩雙鞋的價格必須相異

∴　以帶走鞋中價格最高者來討論時，另一雙須從較低價的鞋選取

　所求 (最高價為 800 元)  (最高價為 700 元)  C1³ C1⁵ C1³ C1²  15  6  21（種）

6. _體育台

² ^!

_{新聞與綜藝台的順序}

² ^!

_新聞台

³ ^!

_綜藝台

⁴ ^!

 2  2  6  24  576 種 7. 設 an表第

n 個圖所需的白色地磚個數

　a1  8，a2  13  a1  5，a3  18  a2  5  a1  2  5，…

∴　< an 為一等差數列 ∴　a95  8  94  5  478

8.

設AD x，將餘弦定理分別代入△ABD 與△ABC 中得cos  B 

⁷ ₂

²

^ _ ⁷ ₇

²

^ _ ₇ ^x

² 

⁷ ₂

²

^ _ ¹⁵ ₇

²

_ ^ ₁₅ ¹³

²

　 7 98

x

²

 15

105 7 　x²  49 　x  7

9.

如圖，若直線將

ABCD 分成等面積的兩塊

(9)

則直線必通過四邊形的中心(

2 10 0

， 2 6 0

)  (5，3)

　3  m．(5  7)  4

∴　m  2 1

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