第三章 機率分配（考古題） 2006

3

第三章 機率分配（考古題）

2006 年 10 月 23 日 最後修改

3.1（95-淡江-國貿）

【解】

P(X₁,X₂) X₂ = 1 X₂ = 2 X₂ = 3 邊際機率

X₁ = 1 1/9 1/9 1/9 1/3

X₁ = 2 1/9 1/9 1/9 1/3

X₁ = 3 1/9 1/9 1/9 1/3

邊際機率 1/3 1/3 1/3 1

(a)

( )

1

( )

2

1 1 1

1 2 3 2

3 3 3

E X =E X = × + × + × =

(b)

X₁ X₂ Y=X₁+X₂ P(X₁,X₂) Y P(Y) Y*P(Y)

1 1 2 1/9 2 1/9 2/9

1 2 3 1/9 3 2/9 6/9

1 3 4 1/9 4 3/9 12/9

2 1 3 1/9 5 2/9 10/9

2 2 4 1/9 6 1/9 6/9

2 3 5 1/9 4

3 1 4 1/9

3 2 5 1/9

3 3 6 1/9

( )

⁴

E Y = (c)

(

1 2

) ( )

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 4 E X X = × + × + × + × + × + × + × + × + × × = 9

(

1 2

) (

1 2

) ( ) ( )

1 2 1 2

cov X X, =E X X −E X E X = − × =4 2 2 0 ⇒ X ,X 獨立

3.2（95-逢甲-保險）

【解】

(

^{2 1 1}

) ⁽

²

₍

¹

₎

¹

⁾

1

P X X Y

P X X Y

P X Y

≤ ∧ + ≤

≤ + ≤ =

+ ≤

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

0 0 0 0

1 2

0

1 2

0

1 2

1 1 1 1 1

2 2 2 3 2

1 3

1 ,

1 1

x x

x y x y

x

x

P X Y f x y dydx x y dydx

x x x dx

x dx

− −

= = = =

=

=

+ ≤ = = +

⎡ ⎤

= ⎣ − + − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣− + ⎦ = − × +

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 1

0 0 0 0

2 0

2 0 1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 3 8 2 4

5 48

2 1 1 ,

1 1

x x

x y x y

x

x

P X X Y f x y dydx x y dydx

x x x dx

x dx

− −

= = = =

=

=

≤ ∧ + ≤ = = +

⎡ ⎤

= ⎣ − + − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣− + ⎦ = − × × + ×

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

(

^{2 1 1}

) ⁽

²

₍

¹

₎

¹

⁾

^{5 48 5}

1 1 3 16

P X X Y

P X X Y

P X Y

≤ ∧ + ≤

≤ + ≤ = = =

+ ≤

3.3（95-淡江-財金）

【解】

( ) ( )

( ) ( )

cov , ,

var var x y x y

x y

ρ =

( )

²

( )

²

( ) ( )

var ax+by =a var x +b var y +2abcov x y,

( ) ( )

, cov , 0 , 0

x y獨立 ⇔ x y = ⇔ ρ x y =

( ) ( )

cov ax by, =abcov x y,

( ) ( ) ( )

cov x+y z, =cov x y, +cov y z,

(1) cov

( )

x y, =ρ

( )

x y, var

( )

x var

( )

y =0.5× 2× 3=1.2247 (2) ^{x z, 獨立 ⇒ cov}

( )

^{x z, =0}

(3) var

(

x+y

)

=var

( )

x +var

( )

y +2cov

( )

x y, = + + ×2 3 2 1.2247=7.4495 (4)

( ) ( ) ( ) ( )

2

var 0.8 var var 0.8 cov ,0.8

7.4495 0.8 6 0 11.2895

x+ +y z = x+y + z + x+y z

= + × + =

(5)

( ) ( ) ( ) ( )

cov x+ +y z x, +y =cov x+y x, +y +cov z x, +y =var x+y =7.4495

( ) ( )

(

¹3 ¹4

)

¹3 ¹4

^{( )}

12¹

^{( )}

cov x+ +y z , x+y = × cov x+ +y z x, +y = var x+y =0.6208

3.4（95-淡江-保險）

【解】

( ) ( )

²

0 0

1

, ^y4 4 2 ^y 2

f y f x y dx x xdx x y

=

∫

=

∫

= = × =

3.5（95-淡江-保險）

【解】

x p(x) xp(x) p(x) xp(x) p(x) xp(x) p(x) xp(x) p(x) xp(x) x²p(x) 0 0.100 0 0.200 0 0.000 0 0.000 0 0.300 0 0 1 0.200 0.2 0.250 0.25 0.050 0.05 0.000 0 0.500 0.5 0.5 2 0.000 0 0.050 0.1 0.050 0.1 0.025 0.05 0.125 0.25 0.5 3 0.000 0 0.000 0 0.025 0.075 0.050 0.15 0.075 0.225 0.675

0.300 0.2 0.500 0.35 0.125 0.225 0.075 0.2 1.000 0.975 1.675 邊際機率 Y = 0 Y = 1 Y = 2 Y = 3

(a)

( )

0.2 2 0.3 3 0 0.35 7

0.5 10 1 0.225 9 0.125 5 2 0.2 8 0.075 3 3

when Y when Y E X Y

when Y when Y

⎧ = =

⎪⎪

⎪ = =

= ⎨⎪

⎪ = =

⎪⎪

⎪ = =

⎩ (b)

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 2}

var X =E X − ⎡⎣E X ⎤ =⎦ 1.675 0.975− =0.7244

3.6（95-淡江-保險）

【解】

機率密度函數^{f x}

( )

^=mx

(

^1−x

)

^在x= 位置左右對稱，因此 ¹₂ E X

( )

=Me= ¹₂

老老實實積分的話，過程如下：

( )

( ) ( )

¹

1 2 3

0 0

1 1 1

2 3 6

1

1 1 6

x

f x dx

mx x dx m x x m m

=

=

⇒ − = − = = ⇒ =

∫

∫

(a)

( ) ( )

¹₀6 ²

(

1

)

6 ¹₀

(

^{2 3}

)

6

(

¹3 ^{3 1}4 ⁴

)

₀^{1 1}2

x x

E X xf x dx x x dx x x dx x x

= =

=

∫

=

∫

− =

∫

− = − =

(b)

( ) (

^{2 3}

)

^{2 3 3 2}

0 0

1 1 1 1

2 6 2 3 ^e 3 2 2 4 6 1 0

e M

M

e e e e

f x dx= ⇒ x − x = M − M = ⇒ M − M + =

∫

( ) ^{( )}

3 2 2 1

4M_e 6M_e 1 2M_e 2M_e 1 2M_e 1 0 M_e 2

⇒ − + = + − − = ⇒ =

3.7（95-淡江-企管）

【解】

( )

^{x y 範圍： ,}

( )

0, 0 1 1

x y

令^{f x y}

( )

^{, 1}

=m，則

( ) ( )

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 1 1 1

, 1 1 1

2 1

2

x x

x y f x y dydx x y dydx x x dx

m m m

m

− −

= = = ⇒ = = = = − = × =

⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1)

( )

¹_{y 0}^x

( )

^{, 1}_{y 0}^{x2 2 1}

( )

f x =

∫

⁻₌ f x y dy=

∫

⁻₌ dy= −x

( )

_x¹ ₀^y

( )

^{, 1}_{x 0}^{y2 2 1}

( )

f y =

∫

⁻₌ f x y dx=

∫

⁻₌ dx= −y

( )

^{, 2}

( ) ( ) (

^{4 1}

)(

¹

)

^,

f x y = ≠ f x f y = −x −y ⇒ X Y 不獨立 (2)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

0 0

1 2 32

0

1 2 3 32

0

2 4 2 2 4

2 1 4 2 1 8 1

3

8 8 2 2 8 1

3 2 2 8 2 8 4

3 4 3 5 31

10

x

x y

x

x

E X Y x y dydx

x x x x dx

x x x x dx

−

= =

=

=

− + = − +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − − × − + − ⎥⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − + − − − ⎥⎦

= − + − − ×

=

∫ ∫

∫

∫

(3)

( )

¹ ₀²

(

¹

)

^{1 2 1}

3 3 E X =

∫

x₌ x −x dx= − =

( )

¹ ₀²

(

¹

)

^{1 2 1}

3 3 E Y =

∫

y₌ y −y dy= − =

( )

¹ ₀ ¹ ₀^{2 1} ₀

(

¹

)

^{2 1 2 1 1}

2 3 4 12

x

x y x

E XY =

∫ ∫

₌ ⁻₌ xydydx=

∫

₌ x −x dx= − + =

( ) ( ) ( ) ( )

^{1 1 1 1}

cov ,

12 3 3 36 X Y =E XY −E X E Y = − × = −

3.8（95-淡江-企管）

【解】

(1)

( )

₀ ^{1 2}

2

x x x

E Y X =x =

∫

y₌ ye dy⁻ = x e⁻ (2)

( ) ( )

( )

1

, 1,

x x x y y y

x y x y x y

x x

E X Y y xe dx xe e dx ye e e y

f x g e f g e

∞ − − ∞ ∞ − − − −

= = =

− −

= = = − − = + = +

′ ′

= = ⇒ = = −

∫ ∫

(3)

( )

0

( )

0 ^y

⁽

1

⁾ {

^{y y}

⁽

1

⁾ }

0 2

y y

E X =

∫

^∞₌ E X Y=y dy=

∫

^∞₌ e⁻ + y dy= −e⁻ −e⁻ +y ^∞ =

( )

₀

( )

₀ ^{2 2} ₀

2

1 1

2 2 1

1 , ,

2

x x x

x x x

x x

E Y E Y X x dx x e dx x e xe dx

f x g e f x g e

∞ ∞ − − ∞ −

= = =

− −

= = = = − + =

⎛ = ′= ⇒ ′= = − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( )

² 0 ² 0

(

²

) { (

²

) }

0

2 2 6 4 6

x y y

y x y y

E X x e dxdy y y e dy e y y

∞ ∞ − ∞ − − ∞

= = =

=

∫ ∫

=

∫

+ + = − + + =

( )

² 0 ² 0 ²

{ (

²

) }

0

2 2 2

x y y

y x y y

E Y y e dxdy y e dy e y y

∞ ∞ − ∞ − − ∞

= = =

=

∫ ∫

=

∫

= − + + =

( )

0 0

( ) { (

²

) }

0

1 3 3 3

x y y

y x y y

E XY xye dxdy y y e dy e y y

∞ ∞ − ∞ − − ∞

= = =

=

∫ ∫

=

∫

+ = − + + =

( )

²

^{( )}

^{2 6 22 2}

X E X E X

σ = − ⎡⎣ ⎤ =⎦ − =

( )

²

^{( )}

^{2 2 12 3}

Y E Y E Y

σ = − ⎡⎣ ⎤ =⎦ − =

( ) ( ) ( )

^{3 2 1 1}

XY E XY E X E Y

σ = − = − × =

1 1

2 3 6

XY X Y

ρ σ

=σ σ = =

3.9（94-雲科大-資管）

【解】

先求 k 值

( )

¹ ₀² ₂⁴

(

⁴

)

^{4 1 1}

f x dx= ⇒ kxdx+ k −x dx= k= ⇒ k=4

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

2 4

3 2 3

2 2 4

0 2

0 2

1 1

4 4 4 2

12 2 12

x x x

E X xf x dx x dx x x dx ⎛ ⎞

= = + − = +⎜ − ⎟ =

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( )

^{2 2}

^{( )}

0^{2 3} 2^{4 2}

^{( )}

^{4 2 3 4 4}

0 2

1 1

4 4

4 14

16 3 16 3

x x x

E X x f x dx x dx x x dx ⎛ ⎞

= = + − = +⎜ − ⎟ =

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 14}

^{( )}

^{2 2}

var 2

3 3

X =E X − ⎡⎣E X ⎤ =⎦ − =

3.10（94-雲科大-資管）

【解】

( ) ( )

₀ ^{3 2 23}

0

2 2

9 9

3 2 2

m m

m m

P X ≤m =P X ≥m ⇒

∫

xdx=

∫

xdx ⇒ x =x ⇒ m=

3.11（94-雲科大-資管）

【解】

( )

²

2 1

1

1 0 0 1 1 2

2 1

3

x

x x

E X =

∫ ∫

_{= =} x dx dx =

( )

²

2 1

1

2 0 0 2 1 2

2 2

3

x

x x

E X =

∫ ∫

_{= =} x dx dx =

( )

^{12 1}₂ 0 ₁²0 ^{12 1 2}

2 1

6

x

x x

E X =

∫ ∫

_{= =} x dx dx =

( )

^{22 1}₂ 0 ₁²0 ^{22 1 2}

2 1

2

x

x x

E X =

∫ ∫

_{= =} x dx dx =

( )

²

2 1

1

1 2 0 0 1 2 1 2

2 1

4

x

x x

E X X =

∫ ∫

_{= =} x x dx dx =

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

1 2 1 2

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 2 4 3 3 1 1 1 1 2 2 6 3 3 2 3 3

1 2 E X X E X E X

E X E X E X E X

ρ= ⁻ = ^{− ×} =

− × − ×

− ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦

3.12（94-雲科大-資管）

【解】

( )

⁵

( )

⁴

0 0 1 0 1 1 12

4 12

y x y

k k

k x y dxdy y dy k

∞ ∞ − ∞ −

= = + + = = + = = ⇒ =

∫ ∫ ∫

3.13（94-雲科大-資管）

【解】

( )

( )

( )

2 2 2 2

2

3 3

1

1 1 2 3

0 0 3 6

2 1 3

3 1

b a b a b a

k b a k kdx

kxdx k b a a a b

k b kx dx

b a

⎧ ⎧ =

⎧ = ⎪ − = ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ = ⇒ ⎪ − = ⇒ ⎪ = − ⇒ + =

⎨ ⎨ ⎨

⎪ = ⎪ ⎪ =

⎪ ⎪ − = ⎪

⎩ ⎪⎩ ⎪⎩

∫

∫

∫

3.14（94-雲科大-資管）

【解】

常態分配：μ=2500、σ =75、左尾、α =0.05、求臨界值。

查表 z= −1.645，x^* = +μ zσ =2500 1.645 75− × =2376.63

3.15（94-雲科大-資管）

【解】

常態分配：μ=70、σ = 、雙尾、臨界值為 62、72、求機率。 4

轉換臨界值： 62 70

4 2

z −

= = − 、 72 70

4 0.5 zu −

= =

(

^{2 0.5}

)

^0.6687

P − ≤ ≤z = 9 0.6687 6.0183

n= × =

3.16（94-雲科大-資管）

【解】

常態分配：μ= × = 、2 3 6 σ = 0.2²× =3 0.3464、雙尾、臨界值為 5.7、6.3、求機率。

轉換臨界值： 5.7 6

0.3464 0.87

z = − = − 、 6.3 6 0.3464 0.87 zu = − =

(

^{0.87 0.87}

)

^0.6157

P − ≤ ≤z =

3.17（94-雲科大-財金）

【解】

X 為卜瓦松分配：λ=0.5、

( ) ( )

^{0.5 0.5}

! !

xe xe

P X x x

λ ⁻λ ⁻

= =

(

⁰

)

^{0.5 0.6065}

!

xe

P x e

x λ ⁻λ ₋

= = = =

3.18（94-雲科大-財金）

【解】

( )

¹ ₀ ¹ ₀

( )

⁷ ,

( ) ( )

⁷

12 12

y x

E X =

∫ ∫

_{= =} x x+y dxdy= E Y =E X =

( )

^{2 1} 0 ¹ 0 ²

^{( )} ( ) ( )

^{2 2}

5 5

12, 12

y x

E X =

∫ ∫

_{= =} x x+y dxdy= E Y =E X =

( )

¹ ₀ ¹ ₀

( )

¹

y x 3

E XY =

∫ ∫

_{= =} xy x+y dxdy= (a)

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 5 7 7 11}

var X =E X − ⎡⎣E X ⎤ =⎦ 12−12 12× =144

(b)

( ) ( ) ( ) ( )

^{1 7 7 1}

cov ,

3 12 12 144 X Y =E XY −E X E Y = − × = −

1 144 1

11 144 11 144 11

XY X Y

ρ σ σ σ

= = − = −

3.19（94-逢甲-經濟）

【解】

( ) ( ) ( ) ( )

²

cov X +Y Y, =cov X Y, +cov Y Y, = +0 var Y =σ

3.20（94-逢甲-保險）

【解】

令保費為 x 元

( )

$10,000 0.1%× +$1,000 6%× = × −x 1 0.1%−6% ⇒ x=$74.55

3.21（94-逢甲-工工）

【解】

(a)

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 0

1

0 1

0 1 2 2

0 1 2

1 2 3

0 1 2

1 1

2 4

1 1 1 1

2 2 4 2

1 1 1 1

2 2 2 4

1 1 1

2 2 2

, 0 1

, 1 2

3 1 3 , 2 3

3 1

X

X X

X

xdx X X

xdx dx X X

F X f x dx

xdx dx x dx X X

xdx dx x dx

⎧ = < ≤

⎪⎪ + = − + < ≤

= = ⎨⎪

+ + + − = − − < ≤

⎪⎪

⎪ + + + − =

⎩

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

^其他

(b)

( )

^{1 2 3 2}

(

^{2 2}

)

^{3 3}

0 1 2

3 3 2

1 3 1 2 1 3 2 3

2 2 2 6 4 4 6 2

x x

E X =

∫

x dx+

∫

x dx+

∫

x − dx= + − + − − − =

3.22（94-逢甲-工工）

【解】

(a)

( ) ( )

^{1 2}

( ) ( )

0

1 1 1 1 1 1

1

x x

k k k k k k

k

∞

=

⎡ ⎤

− = − ⎣ + + + ⎦= − × − =

∑

1 2 1

1 k k 1

+ + + = k

− 的條件為 k< 1

(b)

( ) ^{( ) ( )} ( ) ( )

^{1 2}

0

1 1 1 1

1

t x t x x t t

t x

E e e k k k ke ke k

ke

∞

=

⎡ ⎤ −

=

∑

− = − ⎢⎣ + + + ⎥⎦= −

3.23（94-淡江-產經）

【解】

(a)

( ) ( )

0, 1

1 6, 1 2 1 2, 2 3

1, 3

X

X F X f x X

X X

−∞

⎧ <

⎪ < <

= = ⎨⎪⎪ < <

⎪ >

⎩

∑

注意，X =1, 2,3的位置^{F X 沒有定義。}

( )

(b)

( ) ( )

^{1 1}₆ ^{2 2}₆ ^{3 3}₆ ¹⁴₆ ⁷₃

E X =

∫

xf x dx= × + × + × = = (c)

( )

^{2 2}

^{( )}

1^{2 1}6 2^{2 2}6 3^{2 3}6 ³⁶6 6 E X =

∫

x f x dx= × + × + × = =

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 2}

( )

⁷3 ^{2 275}9

var X =E X − ⎡⎣E X ⎤ =⎦ 6 − =

3.24（94-淡江-國貿）

【解】

(a)

( ) (

^!

) (

¹

)

^,

( )

^{, var}

( ) (

¹

)

! !

x n x

P x n p p E X np X np p

x n x

= − − = = −

− (b)

( )

^{1 12}

^{( )}

²

2

x

f x e

σμ

σ π

− −

=

(c)

條件：p→0, n→ ∞, np= λ

( ) ( ) ( )

( )

( ) 2 1

1

! 1 2

! ! 1 1 2

np p

x np x n x

P x n p p e

x n x np p π

−

−

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

= − ≅

− −

(d)

( )

150 0.6 90, 1 150 0.6 0.4 6

np np p

μ= = × = σ = − = × × =

( ) ( )

( )

82 101 82 0.5 101 0.5 81.5 90 101.5 90

1.42 1.92

6 6

P X P x

P z P z

≤ ≤ − ≤ ≤ +

− −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ≤ ≤ ⎟⎠= − ≤ ≤

3.25（94-淡江-財金）

【解】

(a)

( )

¹ _{0 0}

( )

^{8 1} ₀^{4 2 2 4}

5

x

x y x

E X =

∫ ∫

_{= =} x xy dydx=

∫

₌ x x dx= (b)

( )

^{2 1} 0 0 ²

^{( )}

¹ 0 ^{3 2}

4 2

8 4

6 3

x

x y x

E X =

∫ ∫

_{= =} x xy dydx=

∫

₌ x x dx= =

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 2 4 2 2}

var X =E X − ⎡⎣E X ⎤ = −⎦ 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠5 =75

3.26（94-淡江-保險）

【解】

(1)

{

^{, , , ,}

}

S= + −+ − − + − − −+ … (2)

( )

¹

2

x

f x ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

1

1 2

2

x

x

E X x

∞

=

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

(

1,3,5,

)

^{1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 2 1 2 2}

2 2 2 2 2 4 2 4 1 1 4 3

P X = … = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟ + = + × + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + = − =

3.27（94-政大-財管）

【解】

(A)機率分配的部分，不要用超幾何分配，用二項分配作，而且以卜瓦松來近似。

140

λ=365，

(

0

)

¹⁴⁰³⁶⁵ 0.6813

!

xe

P x e

x λ ⁻λ ⁻

= = = =

(B)六個階段的幾何分配，其成功機率 p 分別為6 5 1 , , ,

6 6 … 6 ，全部次數加總即答案。

( )

^{1 1 1 1 1 1} 14.7 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

E x = + + + + + =

(C)平均數減少 1

10，中位數不變，眾數的變化較複雜。

3.28（94-政大-財管）

【解】

(a)

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2

1 2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

np n p

np np np n p n p p np p

+ −

+ = + = =

− − −

(

^Y2−np2

)

^{2 =}

(

^{n Y− −1 n}

(

^1−p1

) )

^{2= − +}

⁽

^{Y1 np1}

^{) (}

^{2 = Y1−np1}

⁾

²

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 1 1

Y np Y np Y np Y np Y np

np np np np np p

− − − − −

⇒ + = + =

− (b)

本題需在x> 、0 y> 的範圍限制下，0 f_{X Y},

( )

x y 才是聯合機率密度函數。 ,

( )

^{(3 ) 3}

0 3

x

x y

X

f x xe dy e x

∞ − + −

=

∫

=

( )

^,

^{( )} _{( )}

3 ^{(3 ) 2}

, 3

3

x y

X Y x y

x X

f x y xe

f y X x x e

f x e x

− +

−

= = = − =

( )

₀^a

( )

₀^{a3 2 x y 3 1}

(

^{a x}

)

P Y<a X =x =

∫

f y X =x dy=

∫

x e⁻ dy= x −e⁻

(

^{2 3}

)

^{3 3 1}

(

^{2 3}

) (

^{9 1 6}

)

P Y X e^{− ×} e⁻

⇒ < = = × − = −

3.29（94-政大-風管）

【解】

指數分配的機率密度函數如下：

fY

( )

y =λe^−λy, y>^0,λ> ⁰ 則

^{P Y}

(

^≥T

)

⁼

_∫

_T^{∞λe−λydy=e−λT, P Y}

(

^{≥ =t}

)

^e−λt

^{P Y}

(

^{≥ +t T且Y≥T}

)

^{=P Y}

(

^{≥ +t T}

)

^{=e−λ(t T+ )}

因此

^{P Y}

(

^{t T Y T}

)

^{P Y}

⁽

^t

₍

^T

₎

^{Y T}

⁾

^{e (t T}_T ^{) e t P Y}

(

^t

)

P Y T e

λ λ

λ

− +

−

−

≥ + ≥

≥ + ≥ = = = = ≥

≥ 且

3.30（94-政大-風管）

【解】

(a)

4 0

4 1 1

4

k dx k k

x = = ⇒ =

∫

4

1 1

4 4

2 2

0 0

0

1 2

1 4

k dx k x dx k x k x

⎛ − ⎞

⎜ = = = ⎟

⎜ ⎟

⎝

∫ ∫

⎠

(b)

( )

0^{14 12 14} 0

1 1 1

4 2 4

1 4

P X dx x

x

< =

∫

= =

( )

₁^{4 12 4}

1

1 1

2 2

1 1

P X 4 dx x

x

> =

∫

= =

3.31（94-政大-風管）

【解】

(a)

( )

₀ ^{2 2} ₀ ² ₀ ²

0

2 ^{x x x x}

E X x xe ^β dx xe ^β e ^β dx e ^β dx μ= =

∫

^∞ β ⁻ = − ^{− ∞}+

∫

^{∞ −} =

∫

^{∞ −}

2 2

, 2 ^x 1, ^x

f =x g′= βxe^−β ⇒ f′= g= −e^−β 其中，

令 ^{2 2}

0 0

x y

I =

∫

^∞e^−β dx=

∫

^∞e^−β dy^{，則 2} 0 0 ^{2 2} 0 0 ^{( 2 2)} x y

x y

I =

∫ ∫

^{∞ ∞}e^−β e^−β dxdy=

∫ ∫

^{∞ ∞}e^{−β +} dxdy sin , cos sin cos

cos sin ,

x y

r r

x y

x r y r J r dxdy J drd rdrd

r r

θ θ

θ θ θθ θθ θ θ

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= = ^則 = = − = − = =

令

( ^{2 2}) ^{12 2 2}

( )

^{12 2}

2

0 0 0 0 0 0 0

1

2 4

x y r r r

I e ^β dxdy ^πe ^β rd drθ re ^{β π}dθ dr π re ^β dr π β

− +

∞ ∞ ∞ − ∞ − ∞ −

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

∫

=

1

4 4 2

I π μ π π

β β β

⇒ = ⇒ = =

(b)

( )

² 0 ^{2 2} 0

0 2

1 1 1

2

, 2

x u u

E X x xe dx ue du e

u x du xdx β β

β β β

β β

∞ − ∞ − − ∞

= = = − =

= =

∫ ∫

其中，

( ) ^{( )}

^{2 2}

2 2 1 1 1 1

2 4 1 4

E X E X π π π

σ β β β β β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎡⎣ ⎤ =⎦ −⎝⎜⎜ ⎟⎠⎟ = − = ⎝⎜ − ⎟⎠

3.32（94-政大-企管）

【解】

X 為卜瓦松分配：λ=0.5（人/1 分鐘），

( )

!

xe

P X x

λ ⁻λ

=

(a)

卜瓦松分配：λ=0.5（人/1 分鐘）

(

2

)

1

(

0

) (

1

)

1 ^{0.50 0.5 0 0.51 0.5} 0.0902

0! 1!

e e

P x P x P x

− × −

≥ = − = − = = − − =

(b)

卜瓦松分配：λ=0.5 3 1.5× = （人/3 分鐘）

(

²

) (

⁰

) (

¹

) (

²

)

^{1.5 1.5 1.5 1.52 1.5 0.8088}

2

P x P x P x P x e e e

− − −

≤ = = + = + = = + + =

(c)

卜瓦松分配：λ=0.5 5× =2.5（人/5 分鐘）

(

³

)

^{2.53 2.5 0.2138}

3!

P x e

= = − =

3.33（94-台大-商學）

【解】

X 為常態分配：μ=40,000、σ =5,000 30,000 40,000

5,000 2

z≥ − = −

(

^30,000

)

^{30, 000 40, 000 2 0.9772}

5, 000

P X ≥ =P z⎛⎜ ≥ − = − =⎞⎟

⎝ ⎠ （查表）

也可從^P

(

^{− ≤ ≤2 z 2}

)

^{=0.95來計算。}

3.34（94-台大-商學）

【解】

X 為二項分配： n 、 p 、

( ) (

^!

) (

¹

)

^{, 0,1, 2, ,}

! !

x n x

P X n p p x n

x n x

= − − =

− …

(A)真，n≥ ⇒ 至少有1 x=0,x= 1 (B)偽， p 需為常數

(C)偽，實驗間需獨立 (D)偽

3.35（94-台大-商學）

【解】

(D)

3.36（94-台大-商學）

【解】

( ) ( )

cov ,

1 cov , _{X Y} 0

X Y

X Y X Y

ρ σ σ

= σ σ = ⇒ = > ， 選(A)

3.37（94-台大-商學）

【解】

X 為二項分配：n= 、4 p=0.5、^{P X}

( )

^{=C pxn x}

(

^1−p

)

^{n x− = x! 4}

(

^4!−x

) ( )

^{! 0.5 4}

(

⁴

)

^{0.54 0.0625}

P x= = =

3.38（93-雲科大-資管）

【解】

( ) ( )

( )

²

( )

²

^{( )} ( ) ^{( )}

²

4 4 10 6

4 8 16 116 52

E X E X E X

E X E X E X E X

⎧ + = + = ⎧ =

⎪ ⇒ ⎪

⎨ ⎡ + ⎤= + + = ⎨ =

⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎩

⎩

( )

²

^{( )}

^{2 52 62 4}

X E X E X

σ = − ⎡⎣ ⎤ =⎦ − =

或

(

⁴

)

²

(

⁴

)

^{2 116 102 4}

X E X E X

σ = ^⎡⎣ + ^⎤⎦− ⎡⎣ + ⎤ =⎦ − =

（平移不會影響隨機變數的變異數、標準差。）

3.39（93-雲科大-資管）

【解】

2 1 3

1

2 2 2

k k k

dy y k

y

∞ = − ∞ = ⇒ =

∫

−

3.40（93-雲科大-資管）

【解】

X 為二項分配：np= 、6 ^np

(

^1−p

)

^{=3.6 ⇒ p=0.4,n=15}

(

⁴

)

^{15! 0.4 0.64 11 0.1268}

4!11!

P X = = =

3.41（93-雲科大-資管）

【解】

令T =X₁+X₂+X₃+X₄，其中X 為出現第一種獎品的次數，₁ X i_i, =2,3, 4為出現第 1

i− 種獎品後到出現第i 種獎品出現的次數。則X 、₁ X 、₂ X 、₃ X 分別為成功機率₄ ⁴₄、³₄、

2

4、¹₄的幾何分配。因此

( )

1

( )

2

( )

3

( )

4

1 2 3 4

1 1 4 1 4 1 4

1, , ,

3 2 1

E X E X E X E X

p p p p

= = = = = = = =

故

( ) ( )

1

( )

2

( )

3

( )

4

4 4 4 4 4 3 2 1 8.33 E T =E X +E X +E X +E X = + + + =

3.42（93-雲科大-資管）

【解】

X 為卜瓦松分配： 225 150 1.5

λ= = 、

( ) ( )

^{1.5 1.5}

, 0,1, 2,

! !

xe xe

P X x

x x

λ ⁻λ ⁻

= = = …

(

¹

) (

⁰

) (

¹

)

^{1.5 1.5 1.5 0.5578}

P X ≤ =P X = +P X = =e⁻ + e⁻ =

3.43（93-雲科大-資管）

【解】

( )

0

( )

0¹

1 1

2

x x

E Y =

∫

^∞ −e^−λ λe^−λ dx=

∫

udu= 其中，^{u= −1 e−λx, du=λe−λx, u∈}

( )

^0,1

( ) (

² 0

)

² 0^{1 2}

1 1

3

x x

E Y =

∫

^∞ −e^−λ λe^−λ dx=

∫

u du=

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 1 1 2 1}

var 0.0833

3 2 12

Y =E X − ⎡⎣E X ⎤ = −⎦ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =

3.44（93-雲科大-資管）

【解】

( ) (

¹

)

^2,

( ) (

^{2 1}

)

^3,

( ) (

^{6 1}

)

⁴

m t = −t ⁻ m t′ = −t ⁻ m t′′ = −t ⁻

( ) (

⁰

)

^2,

( )

²

⁽

⁰

⁾

⁶

E X =m t′ = = E X =m t′′ = =

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 2}

var X =E X − ⎡⎣E X ⎤ = −⎦ 6 2 =2

3.45（93-雲科大-財金）

【解】

( )

₀^{1 x}

( )

, ₀^{1 x}6 1

( )

3 1

( )

²

f x =

∫

⁻ f x y dy=

∫

⁻ − −x y dy= −x

( ) ^{( )} _{( )} ^{( )}

( )

( )

( )

2 2

, 6 1 2 1

3 1 1

f x y x y x y

f y x

f x x x

− − − −

= = =

− −

3.46（93-雲科大-財金）

【解】

(a)

( )

^{0 1}_{2 0} ¹₂

( )

⁰

( )

0

1 1 1 1

1 1 0

2 2 2 2

y y y y

E Y y e dy y e dy y e y e

∞ − − ∞

−∞ −∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = −⎜ − ⎟ +⎜ + ⎟ = − + =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

( )

( ) ( )

2 0 21 21

2 0 2

0

2 2

0

1 1

2 2 2 2 1 1 2

2 2

y y

y y

E Y y e dy y e dy

y y e y y e

∞ −

−∞

∞

−

−∞

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ − + ⎟ −⎜ + + ⎟ = + =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( )

²

^{( )}

²

var Y =E Y − ⎡⎣E Y ⎤ =⎦ 2 (b)

( )

₀^{1 3 4 1}

0

3 1

6 (1 ) 2

2 2

E Y =

∫

y y −y dy=⎛⎜⎝ y − y ⎞⎟⎠ =

( )

² 0^{1 2 4 5 1} 0

3 6 3

6 (1 )

2 5 10

E Y = y y −y dy=⎛⎜ y − y ⎞⎟ =

⎝ ⎠

∫

( ) ( )

²

^{( )}

^{2 3 1 2 1}

var Y =E Y − ⎡⎣E Y ⎤ =⎦ 10−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠2 =20

3.47（93-雲科大-財金）