本章針對《算學正義》中編之內容作分析，首先 4.1 節是關於「異乘同除」 、

第 第

第 第 4 章 章 章 《 章 《 《算學正義 《 算學正義 算學正義》 算學正義 》 》 》中編之內容分析 中編之內容分析 中編之內容分析 中編之內容分析

本章針對《算學正義》中編之內容作分析，首先 4.1 節是關於「異乘同除」 、

「同乘異除」與「同乘同除」 ，都是藉由『四率之比例』來貫穿整個主題，與《數 理精蘊》下編卷三的內容關係密切。接者的 4.2 節談論差分問題，有「按分遆折 差分」 、 「按數加減差分」 、 「和數差分」 、 「較數差分」與「和較差分」五個部份，

與《數理精蘊》下編卷四至卷七相關。4.3 節是關於「盈朒」與「雙套盈朒」 ，也 就是《九章算術》所謂的「盈不足術」 。4.4 節「借徵」單元分為「借徵」與「疊 借」兩種，後者需要使用「盈朒」之法。4.5 節「方程」之意為：「方者，比也；

程者，課也。數之錯糅互雜者，比而課之而得，故曰方程也」 ，南秉吉未將此單 元訴諸『四率之比例』 ，造成與前述概念不連貫。4.6 節為本章所作的結論。

4.1「

「 「 「異乘同除 異乘同除 異乘同除」 異乘同除 」 」 」 、 、 、 、 「 「同乘異除 「 「 同乘異除 同乘異除」 同乘異除 」 」 」與 與 與「 與 「 「同乘同除 「 同乘同除 同乘同除」 同乘同除 」 」 」

《算學正義》分成三個單元的「異乘同除」 、 「同乘異除」與「同乘同除」 ， 其實就相當於中國古算書《九章算術》的「今有術」 ，而《數理精蘊》當然也有 納入這樣重要的數學概念，下編卷三的內容便是「比例」 。以下，筆者將以《算 學正義》與《數理精蘊》來進行對照。

首先， 《算學正義》說： 「異乘同除者，四率比例也。以原有之兩件相除，故 為同除；以今有之一件乘之，故為異乘。以原有之兩件為一率、二率，以今有之 一件為三率，而所求之一件為四率也，辨法實之法，以二率乘三率為實，一率為 法除之，得所求為四率。」

這在《數理精蘊》則叫做『正比例』 ，原文如下：

其法一名異乘同除

，以原有之兩件相除，故為同除，以今 有之一件乘之，故為異乘

，而今則質言之曰正比例，盖以原有 之兩件為一率、二率，以今有之一件為三率，而所求之一件則為四率也。

在此舉《算學正義》中編之「異乘同除」第一題： 「原有豆一百零八石，價 銀三十六兩，今有豆一百三十五石，問價幾何？」

依題意列式得

108：36＝135：

x= 108× =

，即價銀四十五兩。

其次， 《算學正義》又說： 「同乘異除者，以原有之兩件相乘，故為同乘；以 今有之一件除之，故為異除。以原有之兩件為二率、三率，以今有之一件為一率，

而所求之一件則為四率，盖相當比例之轉用也。」

這在《數理精蘊》則叫做『轉 比例』 ，原文如下：

1 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 1ab。

2 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷三，頁 3a。

3 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 1b。

4 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 5b、6a。

一名同乘異除

，以原有之兩件相乘，故為同乘，以 今有之一件除之，故為異除，而今則質言之曰轉比例，盖以原有之兩件為 二率、三率，以今有之一件為一率，而所求之一件則為四率也。

在此舉一個《算學正義》之例題來看， 「同乘異除」的第一題： 「原有布幔一 具，用布十六丈五尺，布闊二尺，今有布闊一尺五寸，如式作幔，該用若干？」

依題意列式得

1.5

：

＝

： x ，其中 x 為今所需布長（單位：丈），故

x= ×1.5 =

，即所 求為二十二丈。

《算學正義》尚有補充說明： 「今所求者不離原有之定積，故以今闊為一率，

轉成今闊與原長之比，同於原闊與今長之比也」 ，就是說上述的比例式為 今闊：原闊＝原長：今長，

可以轉化成另一種樣子

今闊：原長＝原闊：今長，

所謂的『定積』就是原闊與原長的乘積固定，因此這樣的互換是合理的。

接著， 《算學正義》還提到： 「同乘同除者，併乘併除也，其理不過合幾乘為 一乘，合幾除為一除，各按四率，參互錯綜，總不外於合幾四率為一四率比例也。」

6

這在《數理精蘊》則叫做『合率比例』 ，原文如下：

有合幾四率為一四率者，則名為同乘同除

，而今則質言 之曰合率比例，盖其理亦不過合幾乘為一乘，合幾除為一除，各按四率，

參互錯綜，豈能出於比例之外哉。

其實『同乘同除』或『合率比例』的意思都是一樣的，就是連比例的應用，

以《算學正義》中編「同乘同除」的第一題來看：

今有器中米不知其數，前人取半，中人三分取一，後人四分取一，餘米一 斗五升，問本米幾何？

由餘米一斗五升（即

斗）逆推回去，因為「後人四分取一」 ，表示剩下

的米（即

斗）是四分之三，所以，後人未取之前是

× =3

斗；繼續逆推回 去，因為「中人三分取一」 ，表示此時所剩下的米（

斗）是佔了三分之二，所 以，中人未取之前為

× =2

斗；又「前人取半」 ，即此時剩下的米（

斗）佔了

5 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷三，頁 3b。

6 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 9a。

7 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷三，頁 4ab。

二分之一，因此，全部就是

斗。

以符號來看或許更清楚！假設全部為 a 斗，前人取後剩下

斗，中人取後

剩下 c 斗，則

3 3 4

1: :1.5 1.5 1.5

4 4 3

2 2 3 4 3

1: : 1.5

3 3 2 3 2

1 1 2 4 3 2

1: : 1.5

2 2 1 3 2 1

c c

b c b c c a b a b b

= ⇒ = ÷ = ×

= ⇒ = ÷ = × = × ×

= ⇒ = ÷ = × = × × ×

試圖將上述的過程一次完成，則可將三個比例式合併為以下的比例式：

(1×2×3)

： （

）＝

： a

這也就是所謂的「合幾四率為一四率比例」！

到此，三種比例已經介紹完畢，由以上文字可以看出《算學正義》與《數理

精蘊》在這個主題的相似度極高，而一樣的題目總共有四題，請參見附錄三。

《數理精蘊》除此之外還有「正比例帶分」 、 「轉比例帶分」兩部份，主要是

題目之中增加了分數，計算上變得稍微複雜一點。而《算學正義》雖然沒有將此 歸類出來，但是在題目裡仍有補充，例如： 「異乘同除」的第八題，南秉吉就稱 為『異乘同除帶分』 。題目如下：

今有官獵得鹿，賜圍兵，初圍三人中賜鹿五頭，次圍五人中賜鹿七頭，

次圍七人中賜鹿九頭，倂三圍賜鹿十五萬二千三百三十三頭少半頭，問圍 兵幾何？

不過，在「同乘異除」的各道題目裡，南秉吉就沒有特別指出這一類「帶分」

的情況。筆者認為既然都是同樣原理，無須再多提一次也無妨！

關於「比例」這個主題，雖然所佔篇幅不多，但是這個觀念卻是很重要的！

將會一直延續到《算學正義》中、下編內容。

4.2 各式差分

各式差分 各式差分 各式差分

由《數理精蘊》所言： 「盡人皆知線有線之比例，面有面之比例，體有體之

比例，殊不知差分、盈朒、方程、借衰、疊借之類，正皆比例之屬也。」

可知 在《算學正義》接下來的各個主題（差分、盈朒、借徵、方程）都與「比例」脫 不了關係。

8 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 4b。

9 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷三，頁 2b、3a。

《算學正義》之中將「差分」分成以下五類：按分遆折差分、按數加減差分、

和數差分、較數差分、和較差分。

第一類：按分遆折者，皆為連比例，以十分為總率，按一定之分加減者也，

如二八差分，即一得十分之二，一得十分之八；有三色者，以二與八與三十 二為衰數

。三七差分，即一得十分之三，一得 十分之七……遆折差分，即十分之中得其幾分為幾折；加倍差分，即以倍而 加；減半差分，即以半而減。

這部份有二個例題，第一題為「三七差分」 ，也就是按照「三比七」的比例，

其一得十分之七，另一則得十分之三；第二題為「遆折差分」 ，此題與《數理精 蘊》裡的問題是一樣的，題目如下：

今有熟稻七百七十九畝六分八氂，令三人以十分之六收割，問每人得幾何？

三人所得要按照

10 10 10× =

的比例來分配。

第二類：按數加減者，皆為相當比例，其法有四：一曰遆加遆減差分，一曰 超位加減差分，一曰互和折半差分，一曰首尾互準差分。然超位加減即遆加 遆減之一類，而首尾互準又為互和折半之變體也。

這部份的例題有十二道，前六題為「遆加遆減差分」類型，其實就是現在所

謂的「等差數列與級數」 ，以第一題為例：

今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆，問五人各得多少？

這類的問題在《九章算術》之中稱為「衰分術」 ，就是按照比例進行分配之 意。而這裡的「五等諸侯」是指公、侯、伯、子、男五種等級的身分，由五等之 中最低的「男」開始，往上每等加三顆，也就是現在的「公差」 。

為了方便起見，假設中間的「伯」分到的橘子為 x 顆，則往上的侯、公分別 為

、

顆，以下的子、男為

、

顆。總和為六十顆，故

(

+ + + + + − + − = ，則 3) (

6)

(

3) (

6) 60

，即伯十二顆橘子，

再去推算其他人的數量即可。而《算學正義》的方法亦同理，只不過是用比例的 面貌呈現：

5

：

＝

： x

原文是這樣子：法以五人為一率，橘子六十顆為二率，一人為三率，得四率

十二顆，即伯所分之數。自伯十二顆而上加三顆得十五顆，為侯所分之數；再加

10 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 13ab。

11 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 14b。

12 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 15ab。

13 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 15b。

三顆得十八顆，為公所分之數；自伯十二顆而下減三顆餘九顆，為子所分之數；

再減三顆餘六顆，為男所分之數。

這一題與《孫子算經》裡的題目一樣，

筆者將術文列出以便對照，如下：

術曰：先置人數別加三顆于下，次六顆，次九顆，次一十二顆，上十 五顆，副并之得四十五，以減六十顆，餘人數除之，得人三顆，各加不并 者，上得一十八為公分，次得一十五為侯分，次得一十二為伯分，次得九 為子分，下得六為男分。

《算學正義》與《孫子算經》對此題處理的方式稍有不同，前者是利用等差

中項的概念，先求出位在中間的「伯」所分到的橘子數，再去推算其他人；後者 是隨意假設得到最少橘子者所拿的顆數，其餘的人則是利用遞加三顆而推知，將 以上顆數合併發現與總數六十顆有所差距，把差距的數量再平分給每一人即可，

這樣的步驟其實是嘗試錯誤之後再做修正。

公元六世紀，南北朝和朝鮮半島之間在科學技術方面的交流得到更進一步的 發展，通過佛教陸續地把天文曆法和算學書傳入朝鮮半島， 《孫子算經》即是在 此時期出現在朝鮮。

上述這一個題目，筆者對照現有資料，並未發現此題被當時朝鮮的其他算書

（例如： 《東算抄》 、 《書計鎖錄》以及李尚爀的著作等等）所收錄，在《算學啟 蒙》 、 《楊輝算法》 、 《同文算指》等書之中也沒有，因此筆者『大膽』假設南秉吉 是研讀過《孫子算經》 ，並將此題收錄到《算學正義》之中，當然這樣的論點尚 待更仔細的求證。

回到《算學正義》之中，此部分的第七、八、九題為「超位加減差分」類型，

這是「遆加遆減差分」的其中一類，只是題目稍微複雜一些，沒有固定的公差，

但是仍然有一定的規則，以第七題為例：

今有官出庫金五十九斤一兩，賜王九人、公十二人、侯十五人、子十八人、

男二十一人，王得金各多公五兩，公得金各多侯四兩，侯得金各多子三兩，

子得金多男二兩，問王、公、侯、子、男各得金幾何？

總共的人數有 9+12+15+18+21=75 人，假設男所分到的金為

男相差的金合併起來為 2×18+5×15+9×12+14×9=345 兩，再和全數的金（五十九 斤一兩換成九百四十五兩）相減為 945－345=600 兩，此為七十五人要平分的金，

14 同上。

15 參考《孫子算經》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河 南教育出版社，1993。

16 引自《孫子算經》卷中 9b、10a。

17 根據金虎俊，〈歷史上的中國天算在朝鮮半島的傳播〉，《中國科技史料》第 16 卷第 4 期，頁 5。

18 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 19a。

將這些寫入比例式為

75：600＝1：

求出

第十題為「互和折半差分」類型，題目如下：

今有銀二百四十兩，令趙錢孫李四人互和折半分之，但知趙多李十八兩，

問各該幾何？

這裡的「互和折半分之」是指錢孫兩人錢數的和為全數之半，所以由 4：240＝1：

，則四 人的錢數依序為

、

2 +d

、

2

−d

、

兩。公差可以由「趙多李十

八兩」推得，將

三等分得

即為公差。

第十一、十二為「首尾互準差分」類型。以第十二題為例：今有米三百六十

石，令甲乙丙丁戊五人遆減納之，定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數相等，問五 人各納幾何？

《算學正義》的解法：以一分為丁衰，二分為丙衰，併之得三分；以三分為

乙衰，四分為甲衰，併之得七分。相減餘四分。乃以前二人、後三人相減得一人 為一率，四分為二率，戊一人為三率，得四率四分，即戊一人之分數。

如果改以現代符號表示：令戊為 x ，則甲乙丙丁分別為 x

、 x

、 x

、

，前兩人之和為

，後三人為

，相差的部份很明顯就是戊需納之 數。

第三類：和數者，有總數，又有分數，以分數合，而與總數相比，九章總名 差分也。

「和數差分」這部份有七個例題，其中兩題是與《數理精蘊》裡的問題相同，

請參見附錄三， 《數理精蘊》將此單元稱為「和數比例」 ，可見又是強調『比例』

的概念貫穿整個「差分」的單元。 《數理精蘊》將以下兩類稱為「較數比例」 、 「和 較比例」 ，亦是基於同樣的道理。

以《算學正義》第一題為例來看看「和數差分」的方法：今有甲持錢二十，

乙持錢五十，丙持錢四十，丁持錢三十，戊持錢六十。凡五人合本治生得利二萬 五千六百三十五，欲以本錢多少分之，問各人得幾何？

19 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 21a。

20 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 23a。

21 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 24a。

22 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 24a。

五人分利要按照投資錢數

：

：

：

：

的比例，本錢總共有

＋

＋

＋

＋

＝

，所以甲得

200 4

× =

錢，乙得

200 4

× =

錢，其餘依此類推。這裡的答案並未約成最簡分數，或許是要讓分母統一吧！

第四類：較數者，因數之相較而成比例，九章謂之『匿價差分』 。其法以每 物與較數之比，即若共物與共較之比；或以共物之較與每一價之比，即若共 物與每一物之比也；又或有以實數相比者，又或有以各物分數相比者，總以 相差之較為比例也。

這部份的例題有十道，其中兩題是與《數理精蘊》裡的問題相同，請參見附

錄三。就以《算學正義》之「較數差分」第一題為例，說明這種類型的方法：

今有綾七尺、羅九尺，兩價相等。但知綾每尺比羅每尺價多三十六文，問 二色每尺價幾何？

因為「綾每尺比羅每尺價多三十六文」 ，所以七尺的綾比七尺的羅多二百五 十二文，即寫成比例式為

：

＝

：

。又因為「綾七尺、羅九尺，兩價相等」，

所以多的二百五十二文就是二尺的羅之價格，由比例式

：

＝

：

可知每 尺羅為

文，則綾每尺為

＋

＝

文。

此題在《算學啟蒙》卷中「求差分合門」 、 《楊輝算法》之《續古摘奇算法》

卷下「二率分身」以及《算法統宗》卷五也都有出現，其中前兩者的題目裡的『綾』

和『羅』是互換的，而《算法統宗》則是與這裡相同。故南秉吉是直接引用《數 理精蘊》或是其他書籍，目前筆者沒有掌握到直接證據，但是由此可見這一題目 流傳相當廣。

第五類：和較者，以和數為體，較數為用，九章一名『貴賤差分』 ，一名『貴 賤相和』 。蓋於總物中求其相差之較，或於每物中求其相差之較

； 或用互乘以齊其數，然後於互乘數中，求其相差之較作為比例，而得真數

貴賤相和法

。總以和數推出較數為比，此和較之所以名也。

這部份有十個例題，其中第三題是與《數理精蘊》裡的問題相同，請參見附

錄三。而第七題則是《孫子算經》的「千古名題」！題目為：今有婦人河上蕩盃，

津吏問曰： 「盃何以多？」 ，婦人答曰： 「家中有客，不知其數，但二人共飯、三 人共羹、四人共肉，凡用盃六十五」 ，問人幾何？

《孫子算經》的術文很短，筆者將其引述如下： 「術曰：置六十五桮，以十

23 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 31a。

24 同上。

25 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 37a。

26 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 43ab。

二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。」

而《算學正義》則為：

法以二人、三人、四人連乘得二十四人，仍以二人除之得飯十二盃，

又以三人除之得羹八盃，又以四人除之得肉六盃，三數併之得二十六盃為 一率，二十四人為二率，用盃六十五為三率，得四率即人數也。

若改以現代符號來解，假設有 x 人，則可依題意列式

12 8 6 26 65 24

65 65 65

2 3 4 24 24 26

x x x x x x x

+ + x ×

+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

，

可以看出比例

：

＝

： x 的關係，更能夠發現《孫子算經》所用的

、

的數據從何而來。

這一題在《楊輝算法》和《算法統宗》皆有一樣的題目出現，而在《東算抄》

裡則有類似題，不過數據不相同。筆者將在下文引述前兩者與《孫子算經》的題 目原文，也藉以和《算學正義》對照。

《孫子算經》卷下：

今有婦人河上蕩桮，津吏問曰： 「桮何以多？」 ，婦人曰： 「家有客。」津吏 曰： 「客幾何？」婦人曰： 「二人共飯、三人共羹、四人共肉，凡用桮六十 五，不知客幾何？」

《楊輝算法》之《續古摘奇算法》卷下「分合入互換」 ：

婦人河上蕩杯，津吏問曰： 「杯何多？」婦答曰： 「家有客至，二人共飯、

二分之一，三人共羹、三分之一，四人共肉、四分之一，總用杯六十五隻，

不知幾客？」

《算法統宗》卷五：

今有客不知數，只云二人共飯、三人共羹、四人共肉，通共用碗六十五隻，

問客若干？

經由題目的文字敘述來看，筆者認為《算學正義》與《孫子算經》的相似度

較高，故很有可能是直接參考《孫子算經》 。無論如何，至少知道這一題不僅在 中國非常流行，到了朝鮮也是相當受到歡迎！而一部著作難免要有幾個名題來彰 顯內容的精采，對讀者才能增加吸引力和說服力，無怪乎南秉吉選擇了這樣的題 目放入《算學正義》之中。

整體而言， 《算學正義》 「差分」單元雖然與《數理精蘊》相同的題目數量不

少，但是南秉吉也極有可能採用其他書籍的問題，如： 《孫子算經》 。而其中的思 想概念，自然是與中國的《九章算術》 （包含劉徽注）息息相關。

27 引自《孫子算經》卷下，頁 5b。

28 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 43b。

4.3 盈朒

盈朒 盈朒 盈朒

南秉吉首先對於「盈朒」這個名詞進行解釋： 「盈，有餘也；朒，不足也。

因有餘、不足，以求適中，是為因較而得正數之法」 。

並且加以分類：

有一盈一朒者，以兩數相加為相較之率；

有兩盈或兩朒者，以兩數相減為相較之率；

有一盈一適足或一朒一適足者，無可加減，而或盈或朒之數，即其較也。

法在相較以得其差，互比以得其實也。

「盈朒」其實就是《九章算術》第七章的「盈不足術」 ，對於這樣古老傳承

下來的中算內容，在《數理精蘊》裡當然也有安排進去，而其前言與上述南秉吉 在《算學正義》所使用的文字十分相近，

可見，此一主題南秉吉又是以《數理 精蘊》為主要參考對象，而這部份《數理精蘊》與相同的題目共有四題（包含後 文所提到的「雙套盈朒」 ） 。

接下來，筆者將針對上述分類各舉一例來看， 「盈朒」的第二題是屬於第一

類「一盈一朒」 ，此題出自《孫子算經》卷下：今有三人共車，二車空；二人共 車，九人步。問人與車各幾何？

《孫子算經》的術文很短，引述如下：

術曰：置二人以三乘之得六，加步者九人，得車一十五，欲知人者，以二 乘車，加九人即得。

《算學正義》則為：

法以三人二人相減餘一人為一率，一車為二率，二車空即六人不足也，九 人步即九人有餘也，有餘不足相加得十五人為三率，得四率為十五，即為 車數也。以十五車乘三人得四十五人，減不足六人，餘三十九人，即為人 數。或以十五車乘二人，得三十人，加有餘九人，亦為人數也。

若以現代符號來解題，設有

車，則人數可以表示為 3(

2) 或者

，列

式得 3(

− = 2) 2

+ ⇒ 9

⇒ (3 2) −

= + ⇒ 9 6

，即有 15 車。在

29 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 45b。

30 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 45b、46a。

31 《數理精蘊》卷八「盈朒」，頁 2ab：「盈，有餘也；朒，不足也。設有餘不足以求適中，亦為 因較而得正數之法，此固比例法也。但比例以實數求實數，而贏朒則以虛數求實數，然虛數皆與 實數相較而生盈朒之差，則虛數亦實數也。比例以所有之三率，求所餘之一率；而盈朒則所有為 兩數，且兩數之中各藏一數，其實亦三率也。其間有一盈一朒者，則以兩數相加為相較之率；有 兩盈或兩朒者，則以兩數相減為相較之率；有一盈一適足或一朒一適足者，則無可加減，而或盈 或朒之數，即其較也。法不一致，惟在相較以得其差，理本一原，惟在互比以得其實。錯綜變幻，

其用不窮，所謂以實御虛，和較互見者，幾盡於此矣。」

32 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 48a。

33 引自《孫子算經》卷下，頁 5a。

34 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 48ab。

這樣的過程中，可以看到符合述文的比例 1：1＝15： x 之關係。此外，「有一盈 一朒者，以兩數相加為相較之率」這類型就是將 9＋6 作為其相較之率。

這一個題目，筆者對照現有資料，發現當時朝鮮的其他算書（例如： 《東算 抄》等）或是《算學啟蒙》 、 《楊輝算法》 、 《同文算指》等中算書，只有類似的題 目，數據並不相同，因此筆者先前在第 4.2 節假設的論點－－南秉吉是研讀過《孫 子算經》 ，並將此題收錄到《算學正義》之中，在此又得到一個佐證。

回到主題《算學正義》 ，此題尚附有兩種『又法』 ，

解題的方法亦不離「盈 朒」與比例的概念，故筆者在此省略。 《算學正義》在「盈朒」單元裡的題目有 四題，每一題都有『又法』 ，而「雙套盈朒」則共有六個例題，其中有四題包含 兩種解法。由此可發現南秉吉在此放入的題型大多是適合「一題多解」的，所以 筆者認為選擇上述《孫子算經》的題目，考量的因素應是基於能用不同的解法來 加以發揮。

《算學正義》之「盈朒」第三題為「兩盈或兩朒」的類型，此題為「兩盈」

的例題，至於「兩朒」的問題則同理可解。題目如下：

今有井不知深，將繩摺作六股入井汲水，餘繩四尺；將繩摺作四股入井汲 水，餘繩九尺，問井深、繩長各幾何？

筆者以下將引述術文（下方左） ，並且以現代解法（下方右）加以對照，請 注意筆者並非直接將術文『翻譯』成現代符號，而是略加上個人的『解讀』 。此 外，此題「又法」的部份一樣也被省略掉。

法以六股、四股相減得二股為一率，餘 繩四尺乘六股得二十四尺，餘繩九尺乘 四股得三十六尺，兩數相減餘十二尺為 二率，一股為三率，得四率六尺為井 深，加四尺，以六股乘之，得六丈，為 繩長也。

盖六股則盈二十四尺，四股則盈三十六 尺，是知二股之差為十二尺，而一股為 六尺也

。

設井深為 x 尺，則繩長可以表示成 6(

+ 或者 4( 9) 4)

+ ，故列式為 6(

+ = 4) 4(

+ 9)

⇒ 6

24

4

36 ⇒ (6 2) −

= 36 24 −

⇒ 2

12 ⇒

6 =6，即井深為 6 尺。

由上可以看到比例關係 (6－4)：(36－24)＝1：

此與術文相符合。

35 南秉吉，《算學正義》中編，頁 48b：又法用互乘，以二人乘朒六人得朒十二人，以三人乘盈 九人得盈二十七人，相加得三十九人為二率，二倍、三倍相減餘一倍為一率，一倍為三率，得四 率三十九，即人數也。頁 49a：又法以盈九人朒六人相加得十五人為一率，三人二人相減餘一人 為二率，盈九人為三率，得四率十分人之六，與二人相加得二人小餘六為每車應載之人數，以小 餘六除盈九人，得十五為車數。

36 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 49a。

以上可以呼應「有兩盈或兩朒者，以兩數相減為相較之率」 ，兩盈分別為「餘 繩四尺乘六股得二十四尺」與「餘繩九尺乘四股得三十六尺」 ，所以將兩數相減 (36－24) 即為相較之率。

《算學正義》之「盈朒」尚有「一盈一適足或一朒一適足」的類型，第四題 為「一盈一適足」的例題，至於「一朒一適足」的問題則同理可解。題目如下：

今按戶納糧，不知戶數與糧數。只云每戶三升盈六石，每戶二升五合適足。

問人戶及糧數各幾何？

筆者以下將引述術文（左方） ，並且以現代解法（右方）加以對照：

法以二升五合與三升相減，餘五合為一 率，盈六石變為六千合為二率，一戶為 三率，得四率一千二百為戶數，與每戶 二升五合相乘，得三十石為糧數也。

盖每戶多五合而總糧多六石，其為一千 二百戶，可知故五合與六石之比，同於 一與一千二百之比也。

設有 x 戶，則糧數可以表示成

30

30

⇒ (30－25) x ＝6000⇒ 5 x ＝6000

⇒ x ＝1200，即 1200 戶。

由上可以看到比例關係 (30－25)：6000＝1：

此與術文相符合。

這一題在《數理精蘊》之中也有，筆者附帶介紹《數理精蘊》所使用的簡記 法，請參考下方：

到此為止都是盈朒的單法，但是其實還有「雙套」！以下即為《算學正義》

對於「雙套盈朒」的解釋：雙套者，以幾人幾何而盈幾何、幾人幾何而朒幾何為 問，其首數已不同

，故必先用一互乘以齊之，而後可 以為比，欲求共數，則用兩互乘，是以謂之雙套，其比例相求之理與單法同也。

38

此處的文字敘述與《數理精蘊》也是相當雷同。

今有人分銀，不知人數與銀數。只云每四人分銀三兩，盈六兩；每六人分 銀九兩，朒三兩。問人數與銀數各若干？

37 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 50a。

38 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 51a。

三升 盈六石 二升五合適足

六０００

三０ 二五 ０五

一率

五

合

二率

六

千合

三率

一

戶四率

一

千二百戶

這一題有三個解法，第一種是先解出人數，第二種是先解出銀數，第三種則 是將前法中的「兩四率合為一四率」 。筆者省略第二種解法（理同第一種） ，而將 第一與第三種列出如下：

《算學正義》原文：

法以四人互乘九兩得三十六兩，以六 人互乘三兩得十八兩，相減餘十八兩 為一率，四人、六人互乘得二十四人 為二率，盈六兩、朒三兩相加得九兩 為三率，得四率十二為人數。

以四人為一率，三兩為二率，十二人 為三率，得四率九兩，加盈六兩得十 五兩為銀數也。

現代解法：

設人數為 x 人，依題意列式

3 9

6 3

4x+ =6x− 9 4 6 3

6 3 × − ×4 6 x

⇒ + =

×

9 18 12

24x x

⇒ = ⇒ =

，即十二人。

（由此可以看出

：

＝

： x 的比例）

４：３＝１２：９ ９＋６＝１５（兩）

《算學正義》原文：

又法以三十六兩與十八兩相減餘十八 兩為一率，三十六兩為二率，盈朒相加 得九兩為三率，得四率十八兩，減朒三 兩得十五兩為銀數也。

盖前法以十八兩為一率，二十四人為二 率，九兩為三率，得四率十二人。

又以二十四人為一率，三十六兩為二 率，十二人為三率，得四率十八兩，減 朒三兩為銀數。

今將兩四率合為一四率，故前四率中省 以二十四乘，後四率中省以二十四除 也。

現代解法：

１８：３６＝９：１８ １８－３＝１５（兩）

（以下為原因）

１８：２４＝９：１２

２４：３６＝１２：１８ １８－３＝１５（兩）

１８：２４ ＝９：１２

２４：３６＝ １２：１８ １８： ３６＝９： １８

「雙套盈朒」只不過是將「盈朒」更加以應用而已，其中最重要的精神還是

有關『四率之比例』的掌握！尤其是「雙套盈朒」的題目所提供之『又法』 ，將 兩四率合為一四率，充分發揮了比例的效用。

4.4 借徵

借徵 借徵 借徵

這單元因為需要用到「盈朒」的方法來進行解題計算，而且又緊扣著『四率

之比例』概念，所以承接於「盈朒」單元之後。在此有兩個主題，分別為「借徵」

與「疊借」 ，尤其以後者更需要使用「盈朒」之法：

借徵者，有總數而無分數，或有分數而無總數，或無總數、分數之實率，

而但有虛率，則借立一數徵其實數，故曰：借徵。

至若疊借，因設數隱伏一次借衰不能得其真數，則先借一數與原數相較，

再借一數與原數相較，然後據兩較之數比原數或多或少，乃作盈朒法算之。

39

在此主題之下共有九題，前四題為「借徵」 ，後五題為「疊借」 ，其中第二、

三、四、五題與《數理精蘊》裡的題目是相同的，請參見附錄三。此外， 《數理 精蘊》對於「借徵」與「疊借」這兩個名詞，是使用「借衰互徵」以及「疊借互 徵」來稱呼，兩者的意義是相同無異。

此單元不免要談到李尚爀的《借根方蒙求》，這是韓國數學史上第一本嘗試

用「借根方比例」來運算《數理精蘊》各卷內容的一本著作，以上提到出自《數 理精蘊》的四題也被李尚爀放入他的著作《借根方蒙求》之中，分別是在上卷「線 類」的第二十九、四十一、四十七、六十題。而且又被南秉吉『相中』放入《算 學正義》之中，可見這四題是多麼受到當時數學家的青睞！

不過在不同著作之中，處理的手法或多或少都有所差異。針對以上四題，李

尚爀使用「借根方」的方法，而《數理精蘊》與《算學正義》則是利用「借徵」，

以下筆者著重於「借徵」之法，對於「借根方」則先略過，等第

章談「天元術」

之際，將再進行說明。

以《算學正義》之「借徵」第一題為例，介紹此種方法：

今有羊一羣，以其半數內賣去三分之一，又四分之一，尚餘三百隻，問原 數幾何？

法以三分母、四分母相乘，得 十二為總分，折半得六分，內 減三分一之二分與四分一之一 分半，餘二分半為一率，三百 隻為二率，十二分為三率，得 四率一千四百四十隻為原數 也。

假設羊原有

隻（為了讓這個數字乘以

、

還是整數） ，則賣掉後剩下的有

1 1

6 6 6 2.5

3 4

− × − × =

隻。

（若一開始取 24 會使得連這裡都是整數）

但是題目說剩下三百隻，因此這裡有比例關係 2.5：300＝12：1440，故原有一千四百四十隻。

39 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 58b－59a。

40 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 59ab。

這一題是《數理精蘊》的「借衰互徵」第十三題的類似題，只不過差別在《數 理精蘊》的數據是「餘一千隻」，而李尚爀的《借根方蒙求》也有收入《數理精 蘊》的這一題，放在上卷「線類」的第四十三題。

若以現代符號來寫，也是能夠看出比例關係，

不過這裡的重點在於「借立 一數」 ，然後透過比例關係求出原數。接著的「疊借」則是利用兩次的「借立一 數」與原數相較，然後得到「盈朒」的二個式子，再藉由上一單元的方法來解決。

筆者以《算學正義》之「借徵」第五題為例來看：

今有甲乙丙三人，共銀二百一十兩，甲與丙四分之一，丁與甲二分之一，

丙與丁三分之一，則每人均得銀七十兩，問各人原銀若干？

依題意先列出以下式子：

甲＋丙＋丁＝210... ①

4

甲＋

2

丁＝

②

3

丙＋

4

甲＝

③

2^丁＋

1

3丙＝70... ④

配合原文，以現代符號對照於右：

法先借十兩為甲銀數，減四分之一，二兩 五錢，餘七兩五錢，與七十兩相減，餘六 十二兩五錢，為丁銀二分之一，加一倍得 一百二十五兩為丁銀數。

併甲丁銀數得一百三十五兩，減總銀二百 一十兩，餘七十五兩為丙銀數。

又丙銀數內減三分之一，二十五兩，餘五 十兩，加甲銀數四分之一，二兩五錢，共 得五十二兩五錢，與七十兩相較，則少十 七兩五錢。

先假設甲銀數為

兩，代入 ② 式可 知丁為

兩。

將上述甲、丁銀數代入 ① 式，得到 丙的銀數為

兩。

再將甲、丙銀數代入 ③ 式，發現比

70

兩少了

兩。

41 假設羊原有x隻，則依題意列式

1 1 1 1 1 2

− 3 2   

   − 4 2   

   = 300

1 1

6 6 6 300 12

3 4

x x x

⇒ − × − × = ×

⇒ 2.5

= 300 12 ×

這裡可以看出 2.5：300＝12：x，當然可以推出x

= 1440

42 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 62a。

再借二十八兩為甲銀數，減四分之一，七 兩，餘二十一兩，與七十兩相減，餘四十 九兩，為丁銀二分之一，加一倍得九十八 兩為丁銀數。

併甲丁銀數得一百二十六兩，減總銀二百 一十兩，餘八十四兩為丙銀數。

又丙銀數內減三分之一，二十八兩，餘五 十六兩，加甲銀數四分之一，七兩，共得 六十三兩，與七十兩相較，則少七兩。

乃以借十兩，則少十七兩五錢；借二十八 兩，則少七兩。依盈朒法算之，以兩少數 相減餘十兩五錢為一率；以先借十兩互乘 少七兩，得七十兩，以再借二十八兩互乘 少十七兩五錢，得四百九十兩，相減餘四 百二十兩為二率；一人為三率；得四率四 十兩，即甲銀數。

再假設甲銀數為

兩，代入 ② 式可 知丁為

兩。

將上述甲、丁銀數代入 ① 式，得到 丙的銀數為

兩。

再將甲、丙銀數代入 ③ 式，發現比

70

兩少了

兩。

由上述得知：若甲為

兩，則代入

③ 式比

兩少了

兩；若甲為

兩，則代入 ③ 式比

兩少了

兩。

接著就利用「兩朒」的方法來計算，

(17.5

－

：

－

＝

：甲

⇒ 甲＝

（兩） ，剩下的丙、丁也就 不難算出了。

筆者在此以示意圖補充上述「兩朒」的計算方法：

10 28 甲

7

 1 7 .5







而《數理精蘊》在最後一步驟稍有不同，其所列出的比例式為

(17.5

－

：

－

＝

：

，

因此所求甲的銀數為

＋

＝

兩，配合上方示意圖，仍然可以看出比例關係 是如何寫出來的。

這一節的問題用現在的方程式來解雖然是可行，但是在尚未發展出未知數之

前，從「盈朒」 （盈不足術）到「借徵」與「疊借」 ，這些環繞著『四率之比例』

由所繪示意圖可以看出相似三角形，

利用邊長成比例便寫出

10 28

17.5 = 7 甲－ 甲－

17.5 17.5 28=7 7 10

⇒ 甲－ × 甲－ × (17.5 7) =17.5 28 7 10

⇒ － 甲 × － × 也就是上述的比例關係

(17.5

－

：

－

＝

：甲

概念的方法，已經算是『高階』的作法了！

《算學正義》之「借徵」部分還有一題值得探討，就是第八題： 「今有瓜二、

梨四共價四十文，又梨二、榴七共價四十文，榴四、桃七共價三十文，瓜一、桃 八共價二十四文，問各價若干？」

這一題在《算法統宗》卷十一裡也有出現，

原文如下：

今有瓜二箇、梨四箇，共價四分；梨二箇、桃七箇，共價四分；桃四箇、

榴七箇，共價三分；瓜一箇、榴八箇，共價二分四厘。問各該價若干？

《算法統宗》有

卷，共

問，是明末以後影響最大、以珠算盤為計算

工具的數學著作，作者為明代程大位（

－

） 。程大位，字汝思，號賓渠，

徽州休寧（今安徽省黃山市屯溪區）人。

根據金虎俊的說法，

日本侵略朝鮮之事，在豐臣秀吉死後乃平，而程大位

的《算法統宗》於斯役經由朝鮮輸入日本。也就是說在

年前後，中國的珠 算資料和《算法統宗》已經傳入李朝。

雖然《算法統宗》已經傳入朝鮮，但是，流傳情況卻不如《楊輝算法》或《算

學啟蒙》 ，筆者猜測最主要的原因，應是當時朝鮮人對於珠算的『鄙視』！商人 在中國明代時期的地位雖然已經漸漸提昇，但是在朝鮮卻還是不見改善，因此兩 班以及中人階級都不願意和『地位低下』的商人一樣使用珠算，而堅持籌算的主 張，如此造成筆者想在南秉吉的《算學正義》找尋關於《算法統宗》的蛛絲馬跡，

真是困難重重！

上述這一個題目在文字上有些許差異，但是，總算看到《算學正義》和《算

法統宗》牽扯上一點關係，即使不確定南秉吉是否研讀過《算法統宗》？但是，

筆者在其他當時流傳的算學著作並未發現一樣的題目（頂多只是類似題型） ，所 以，筆者猜測南秉吉有可能透過其他途徑看過《算法統宗》的題目，這一論述保 留到第

節再談。

針對《算學正義》與《算法統宗》對於此題的解法來看，兩者的處理方法並 不一樣，前者是用「借徵」之法，後者則用「方程」進行計算。 《算學正義》是 將「方程」放在下一主題。

4.5 方程

方程 方程 方程

首先對於「方程」這名詞做解釋： 「方者，比也；程者，課也。數之錯糅互 雜者，比而課之而得，故曰方程也。」接著，指出其要訣：

43 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 70a。

44 參考金虎俊，〈歷史上的中國天算在朝鮮半島的傳播〉，《中國科技史料》第 16 卷第 4 期，頁 6。

要在互乘以齊其首數，使首數皆同，減盡，而於一法一實，以得一數。雖 三色、四色，以至多色，不過累乘累減，歸於一法一實也。

由此發現南秉吉竟然沒有將「方程」歸結到『四率之比例』的作法，使得比 例的概念在此單元無法繼續連貫下去，但或許是他認為「此術之傍通諸法，與疊 借同功，而尤為簡妙也」 ，

所以才會把「方程」編排於此吧！

「方程」的第一、四、八、九題與《數理精蘊》裡的題目是相同的，而其中 的第一題、第四題又分別和李尚爀《借根方蒙求》上卷「線類」的第七十二題、

第七十三題是一樣的，因為李尚爀企圖以「借根方比例」來運算《數理精蘊》的 內容，所以也將這二題收入其中，題目如下：

「方程」第一題：

設如馬四匹、牛六頭，共價銀四十八兩；馬三匹、牛五頭，共價銀三十八 兩。問馬、牛各價幾何？

答曰：馬一匹價六兩，牛一頭價四兩。

「方程」第四題：

設如硯七方比筆三枝價多四百八十文，又硯三方比筆九枝價少一百八十 文，問硯、筆價錢各若干？

答曰：硯價九十文，筆價五十文。

以上述第一題為例，筆者以現代符號來解題，並配合《算學正義》之中的術 文進行說明：

設馬價

兩，則依題意可列出二元一次方程組

4 6 48

3 5 38

x y

x y

+ =

 + =



接下來解聯立方程式的過程，與現在的加減消去法同理，不過筆者揣摩《算

學正義》術文所提及的形式應如下：

左 右 馬 ４ ３ 牛 ６ ５ 價 ４８ ３８

法以馬四匹、牛六頭、共價四十八兩列於左，

馬三匹、牛五頭、共價三十八兩列於右。

45 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 77b。

46 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 78a。

47 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 78a。

48 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 80a。

左 右 馬 １２ １２ 牛 １８ ２０ 價１４４ １５２

乃以左上馬四匹遍乘右行，又以右上馬三匹 遍乘左行。

左 右 馬 ０ ０ 牛 ０ ２ 價 ０ ８

以兩行相較，則馬相等減盡，牛右行餘二頭，

價銀右行餘八兩。

８÷２＝４ 爰以餘銀為實，餘牛為法，除之得牛價。

４×５＝２０

（３８－２０）÷３＝６

以牛五頭乘之得二十兩，減於共價三十八 兩，餘十八兩，以馬三匹除之，得馬價也。

這一題在《數理精蘊》裡的記法則為：

《算學正義》此處的例題，第一至七題都是屬於「二色方程」 ，只牽涉到二

個未知數的，至於第八至十題是「三色方程」 ，即牽涉到三個未知數，第十一題 則為「五色方程」 ，最後的十二題是「七色方程」 。相對地，在《數理精蘊》之中 的方程最多只有到「四色」而已。

接下來，筆者將針對「三色方程」的第八題、 「五色方程」的第十一題來看，

未知數最多的第十二題「七色方程」 ，則因為《算學正義》所言： 「此雖七色，而 因中間斷續，借三色、二色之法，知其首尾，而中間亦見」 ，可知其道理是相通 的，而題目數具又設計得當，難度並不高，故在此省略。

《算學正義》之「方程」第八題：

今有三種樂器，琴一張，瑟三張，箏三張，共價銀九十兩。又琴一張，

瑟二張，箏五張，共價銀八十八兩。又琴三張，瑟八張，箏五張，共價銀 二百二十兩。問琴瑟箏每張各價銀各幾何？

以現代符號來解題：設琴一張

兩，瑟一張

兩，箏一張

兩，則依題意可

列出三元一次方程組

49 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 83b。

馬 牛 銀

四 六 四八

三 五 三八

一二 二０ 一五二

一二 一八 一四四

００ ０二 ００八

3 3 90

2 5 88

3 8 5 220

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



接下來解聯立方程式的過程，配合《算學正義》之中的術文進行說明：

︵ 步 驟 一

︶

左 右 琴 １ １ 瑟 ３ ２ 箏 ３ ５ 價 ９０ ８８

法以琴一、瑟三、箏三、共銀九十兩列於 左，琴一、瑟二、箏五、共銀八十八兩列 於右。

︵ 步 驟 二

︶

左 右 琴 ０ ０ 瑟 １ ０ 箏 －２ ０ 價 －２ ０

因首位皆為一，故省互乘，即以左行為主 相較，則琴相等減盡，瑟餘一仍為正，箏 反減餘二，變正為負，餘銀二兩仍為負，

即瑟一比箏二價多二兩也。寄左。

︵ 步 驟 三

︶

左 右 琴 １ ３ 瑟 ２ ８ 箏 ５ ５ 價 ８８ ２２０

此以琴一、瑟二、箏五、共銀八十八兩列 於左，琴三、瑟八、箏五、共銀二百二十 兩列於右。

︵ 步 驟 四

︶

左 右 琴 ３ ３ 瑟 ６ ８ 箏 １５ ５ 價２６４ ２２０

乃以右上琴三遍乘左行，又以左上琴一遍 乘右行。

︵ 步 驟 五

︶

左 右 琴 ０ ０ 瑟 －２ ０ 箏 １０ ０ 價－４４ ０

以左行為主相較，則琴相等減盡，瑟反減 餘二，變正為負，箏餘十，仍為正，餘銀 四十四兩仍為負，即瑟二比箏十價少四十 四兩也。

︵ 步 驟 六

︶

左 右 瑟 １ ２ 箏 －２ －１０ 價 －２ ４４

遂變其號，與寄左作二色方程算之。瑟一

為正，箏二、銀二兩為負，列於左；瑟二

為正，箏十為負，銀四十四兩為正，列於

右。

︵ 步 驟 七

︶

左 右 瑟 ２ ２ 箏 －４ －１０ 價 －４ ４４

乃以右上瑟二遍乘左行，又以左上瑟一遍 乘右行。

︵ 步 驟 八

︶

左 右 瑟 ０ ０ 箏 ０ ６ 價 ０ ４８

以兩行相較，則瑟相等減盡，箏右行餘 六，銀異名相加得四十八兩，爰以銀為 實，箏為法除之，得箏一張價。 （接著就 很容易可以推得琴瑟之價，故省略）

在此，南秉吉並沒有一次同時處理整個三元一次方程組，而是先將三個方程 式簡化成為兩個方程式（經過兩次的處理） ，接著就與先前的「二色方程」同理。

當時對於方程式的處理不似現在這麼明確，即使如此，在不使用等號與等量

公理（或移項法則）的時候，仍然有一套規則可以依循，使得過程中數字的正負 就更具意義， 《算學正義》對此的說法是：

正負者，彼此也。彼此即法實之謂也，實數之中有與法同類者

幾何與銀幾何當一物幾何之價云，則雖同是此物，而與彼銀同類也

，故不得不立正負之名。

而步驟五到六則牽涉到南秉吉所說的「正負之名可以互易」 ，其意為： 「一行

之內正負全變，則與不變同，故首數異名者，悉改一邊之正負，歸於首數同名，

然後減盡，若或變或不變，則錯算也」 。其實也就是一個方程式的首數若為負，

讓其調整為正的作法，就是讓每一項的係數都變號即可，而且調整前後的兩式仍 是相同的意義，並未因此改變其本質。

這一題在《數理精蘊》裡的記法則為：

琴 瑟 箏 銀 一 三 三 九０ 一 二 五 八八

０ 一

二

０二

琴 瑟 箏 銀 一 二 五 八八 三 八 五 二二０ 三 六 一五 二六四 三 八 五 二二０ ０ 二

一０

０四四

瑟 箏 銀 一

二

二

二

一０

四四

二

四

四

二

一０

四四

０ ０六 四八

50 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 77b。

《算學正義》在此題末尾提到此為「和較交變法」 ，這是同於《數理精蘊》

的分類，方程可以分為五大類：（一）和數類（二）較數類（三）和較兼用類（四）

和較交變類（五）附法。其中的差別在於：

和數者，不用正負之號；

較數者，則用正負之號；

和較兼用者，和仍不用正負之號，而較則用之；

和較交變者，則隨其法而辨別之，以定其號焉；

或有非方程之本法，而可以方程算者，則又別為設問以附其後。

回頭看《算學正義》其餘的題目， 「方程」裡的第三、四、五、八、九、十

題，南秉吉都有將其分類：第三題是屬於「和數法」 ，第四題是屬於「較數法」，

第五、九題是屬於「和較兼用法」 ，第八、十題則是屬於「和較交變法」 。值得注 意的是第九題：

設如有田二千六百五十畝。令三等農夫分耕。上等四十人，中等五十人，

下等七十人。上等比中等每人多七畝，中等比下等每人多五畝。問上中下 三等每人各耕幾何？

南秉吉將此題歸於「和較兼用法」 ，但是，在《數理精蘊》則是放在「附法」

的部份，因為「此法本和數比例，以方程算之亦可」，

這本來是將「方程」與 比例關聯起來的最佳例題，更能夠由此肯定比例概念貫穿了《算學正義》中編，

可惜，南秉吉並未強調這一點。因此，相較於中國的《九章算術》 （包含劉徽注） ， 將方程理論視為比例理論的應用與發展， 《算學正義》在這方面的處理上就顯得 薄弱。

附帶談到第十題：

假如有米四石二斗，以馬一、騾二、驢三載之，皆不能上坡；若馬借騾一、

騾借驢一、驢借馬一，各能上坡。問：馬、騾、驢力各幾何？

這與《算法統宗》卷十一的題目是雷同的：

今有馬一匹、騾二匹、驢三匹，皆載四石二斗，至坡皆不能上；馬借騾一 匹、騾借驢一匹、驢借馬一匹，方過其坡。問三等力各若干？

《算法統宗》這一題是改寫自《九章算術》卷八「方程」的題目，

但是，

《九章算術》原來的題目是以『武馬』 、 『中馬』 、 『下馬』為主角，連南秉吉另一

51 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷十，頁 3a。

52 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 85a。

53 引自清‧康熙御製，《數理精蘊》，下編卷十，頁 64a。

54 引自南秉吉，《算學正義》中編，頁 86b。

55 根據梅榮照、李兆華主編，《算法統宗校釋》，頁 735，安徽：安徽教育出版社，1990 年。