1-5

(1)

1-5　三角測量

　　三角學的研究是以三角形的邊角關係為基礎﹐而三角函數在測量上的應用﹐則是研究三角學的主要目的之一。例如：測量山的高度﹑湖泊的寬度﹑地圖的丈量與繪製等。本節將利用三角形邊角關係中的重要性質﹐包括畢氏定理﹑正弦定理與餘弦定理等﹐來解決平面或立體的一些測量問題。

1　三角函數值的求法

A. 三角函數值表：透過三角函數值表或電腦 1 度＝60 分﹐1 分＝60 秒 ( 1°＝60'﹐1'＝60" ) 查 cos 20°40'0.9356

B. 利用電腦求三角函數值 sin 32°30'換算成 32.5°

隨堂練習　--- 利用書末的三角函數值表﹐試求下列各三角函數值：

(1) sin 17°40'。　　　(2) cos 56°20'。　　　(3) tan 66°50'。

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(2)

內插法﹐依比例求得近似值。

例題　1

--- 利用三角函數值表及內插法﹐試求下列三角函數值或角度：

(1) cos 17°45'。

(2) θ 為銳角且 tanθ＝0.1923﹐試求 θ 的近似值。

--- 解　(1) 查表得 cos 17°40' 0.9528﹐cos 17°50' 0.9520﹐

令 cos 17°45' －0.9528＝d﹐

由內插法可得＝﹐化簡得＝。

所以 d＝－0.0008‧＝－0.0004﹐故得 cos 17°45' 0.9528－0.0004＝0.9524。

(2) 查表得 0.1923 介於 tan 10°50' 0.1914 與 tan 11°00' 0.1944 之間﹐

由內插法可得＝﹐化簡得＝。

所以θ10°50'＋10'‧＝10°53'。

隨堂練習　--- (1) 已知 sin 44°20' 0.6988﹐sin 44°30' 0.7009﹐求 sin 44°23' 的近似值。

(2) 已知 cosθ＝0.71﹐利用三角函數值表﹐求銳角 θ 的近似值。

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(3)

平面測量與立體測量常用的名詞 (1) 鉛垂線是指物體與地心的連線。

(2) 水平線是指與鉛垂線垂直的直線。

(3) 視線是指觀測者眼睛與目標物的連線。

(4) 仰角是指仰視目標物時﹐視線與水平線的夾角。

(5) 俯角是指俯視目標物時﹐視線與水平線的夾角。

(6) 方位

例題　2

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小芬在離旗桿底部 B 點 10 公尺遠的 A 點處﹐測出 A﹐B 連線與 A 點到旗桿頂端 C 點連線的夾角為 49°﹐試求旗桿的高度。

--- 解　觀測點 A﹐旗桿底部 B 點與頂端 C 點的關係位置圖﹐如圖 57 所示。

設旗桿高度是 h 公尺﹐則 tan 49°＝＝﹐

查表得 tan 49°1.15﹐所以

h＝10 tan 49°10×1.15＝11.5﹐

故得旗桿的高度約 11.5 公尺。

隨堂練習　--- 阿亦在離鐵塔塔底 20 公尺的點 A 處﹐測出塔頂的仰角為 36°﹐試求鐵塔的高度。（已知 tan 36°0.7265）

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(4)

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小芬想測出一山的高度﹐她先在點 A 測出山頂的仰角是 30°﹐再朝山的方向前進 500 公尺到達點 B﹐測出山頂的仰角是 45°﹐試求此山的高度。

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解　如圖 58 所示﹐點 D 是山頂的位置﹐而點 C 是地面上在點 D 正下方的點﹐設山高 ¯¯＝h 公尺﹐則tan 30°＝﹐tan 45°＝。

因此 ¯¯＝＝＝ h﹐¯¯＝＝＝h﹐

但 ¯¯＝¯¯－¯¯＝500﹐得 h－h＝500﹐化簡得 h＝＝250（＋1）﹐

故山高是 250（＋1）（約 683）公尺。

隨堂練習　--- 站在墾丁大尖山的山頂 C﹐往同一方向測出海面上兩小船所在位置 A﹐B 的俯角分別是 60°

與 30°﹐如圖 59 所示﹐已知大尖山的海拔高度為 318 公尺﹐試求兩小船相隔的距離。

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例題　4

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城市 B 與 C 中間隔了一個湖泊﹐阿亦想測量 B 與 C 的距離﹐先測出兩城市 B 與 C 分別在城市 A 的正南方與東 30°北方向﹐再測得 B﹐A 兩城市的距離是 20 公里﹐C﹐A 兩城市的距離是 30 公里﹐試求 B﹐C 兩城市的距離。

--- 解　A﹐B﹐C 三城市所在位置如圖 60 所示﹐由餘弦定理得

¯¯²＝¯¯²＋¯¯²－2‧¯¯‧¯¯‧cos 120°

＝20²＋30²－2‧20‧30‧－

＝400＋900＋600＝1900﹐

所以 ¯¯＝10﹐故 B﹐C 兩城市的距離是 10（約 43.6）公里。

隨堂練習　--- A 船在燈塔之西 15°南﹐B 船在燈塔之南 15°西﹐若 A 船﹑B 船與燈塔的距離分別為 30 公里

﹑40 公里﹐試求 A﹐B 兩船的距離。

(5)

例題　5

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阿亦於山麓一點 A 測得山頂仰角 45°﹐由此處沿 15°的斜坡往上走 200 公尺到達一點 B﹐再 測得山頂之仰角為 60°﹐試求山高。

--- 解　如圖 61 所示﹐點 P 是山頂的位置﹐而 Q 點是地面上在點 P 正下方的點﹐從 B 點向 ¯

¯﹐¯¯ 作垂線﹐垂足分別為點 C﹐R。

在△ABP 中﹐∠APB＝∠APQ－∠BPR＝45°－30°＝15°﹐

∠ABP＝360°－75°－90°－60°＝135°。

由正弦定理得＝﹐即＝﹐

所以 ¯¯＝sin 135°‧＝‧＝＝＝200（＋1）。

在△APQ 中﹐sin 45°＝﹐

所以 ¯¯＝¯¯‧sin 45°＝200（＋1）‧＝100（＋）﹐故得山高為 100（＋）

(6)

如圖 62 所示﹐小芬欲測 A 與 B 兩點的距離﹐得到資料如下：

¯¯＝2 公里﹐且∠CAB＝60°﹐∠CBA＝45°﹐試求 ¯¯ 的距離。

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在立體測量中﹐通常我們可以把條件彙整到某一個平面來做處理

例題　6

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一塔高 150 公尺﹐在塔的東 60°南和東 30°北各有一觀測站 A 和 B﹐測出塔頂的仰角分別為 45°和 60°﹐試求觀測站 A 和 B 之間的距離。

--- 解　點 C 是塔的頂點﹐而點 D 是地面上在點 C 正下方的點﹐如圖 63 所示。

在直角三角形 ACD 中﹐tan 45°＝＝1﹐所以 ¯¯＝150。

在直角三角形 BCD 中﹐tan 60°＝＝﹐所以 ¯¯＝＝50。

在△ABD 中﹐∠ADB＝60°＋30°＝90°﹐ 所以△ABD 為直角三角形﹐如圖 64 所示。

由畢氏定理得¯¯²＝¯¯²＋¯¯²＝150²＋（50）²＝30000﹐ 故得 ¯¯＝100（約 173）公尺。

(7)

自塔正東方一點 A﹐測得塔頂之仰角為 45°﹐在 A 點正南方之一點 B 測得塔頂之仰角為 30°﹐若 A 點和 B 點之距離為 20 公尺﹐試求塔高。

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習題　1-5

一﹑基本題

1. 利用三角函數值表及內插法﹐試求下列各三角函數值的近似值：

(1) sin 38°40'。

(2) cos 63°33'。

2. 利用三角函數值表及內插法﹐試求下列銳角 θ 的近似值：

(1) tanθ＝2.6746。

(2) sinθ＝0.7141。

3. 如下圖所示﹐欲測量 ¯¯ 長﹐已知 ¯¯＝3 公里﹐且∠A＝75°﹐ B＝60°﹐試求 ¯¯ 的距離。∠

(8)

發現該野牛恰好在其正北方（野牛還在睡覺！）﹐試求該野牛此時離他多遠？

5. 為測量出湖岸上點 P 與其對岸另一點 Q 的距離﹐測量人員在離點 P 為 100 公尺的點 R﹐ 分別測出∠PRQ＝∠RPQ＝60°﹐求 P﹐Q 兩點的距離。

二﹑進階題

6. 屏東縣三地門鄉有一座地摩兒山﹐其高 758 公尺﹐在山頂看到正西方地面上有一家便利商店﹐觀看的俯角為 45°；若在山頂以俯角 30°往正南方地面上觀看﹐恰好是山地文化園區的入口處﹐試求此家便利商店與山地文化園區入口相距多遠？

7. A﹐B 兩城市之間有一座山阻隔﹐我們計畫在海拔高度為 0 的 A﹐B 兩城市與山頂 C 之間 架設空中纜車﹐已知山頂 C 的高度為 1000 公尺﹐若由山頂 C 觀看城市 A 的俯角為 30°﹐ 由山頂 C 觀看城市 B 的俯角為 45°﹐試求空中纜車由城市 A 經山頂 C 到達城市 B 所走的 距離。

三﹑挑戰題

8. 阿亦划著獨木舟向正東方航行﹐在北 15°西發現關公廟﹐在北 30°東發現靈隱寺﹐阿亦繼續划了 300 公尺後﹐再測得關公廟在北 45°西的方向上﹐靈隱寺則在正北方﹐試求關公廟與靈隱寺的距離。