第十一回 三角函數(3)
公式與測量問題
高中基礎數學統整講義
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一、和角公式
1. 正弦與餘弦函數的和角公式正弦與餘弦函數的和角公式正弦與餘弦函數的和角公式正弦與餘弦函數的和角公式：：： ： (1)cos(α −β)=cosαcosβ +sinαsinβ (2)cos(α +β)=cosαcosβ −sinαsinβ (3)sin(α +β)=sinαcosβ +cosαsinβ (4)sin(α −β)=sinαcosβ −cosαsinβ
【例題 1】設 270° <α <360° ， 90° <β <180° ，試求
5 cosα =3，
13
sinβ =12，試求sin(α +β)、
)
cos(α +β 之值。[
65 56，
65 33]
解：
【類題 1】已知α為第二象限角且 2
sinα = 3，β為第三象限角且 3
cosβ = −4，求 cos(α−β)與
sin(α−β)之值。[ 5 7
4 − 6 ， 6 35 12
− − ]
解：
2. 正切函數的和角公式正切函數的和角公式正切函數的和角公式正切函數的和角公式：：：：
(1) α β
β β α
α 1 tan tan tan ) tan
tan( −
= + +
(2) α β
β β α
α 1 tan tan tan ) tan
tan( +
= −
−
(3)設α、β、γ 為三角形之三個內角，則 γ β α γ
β
α tan tan tan tan tan
tan + + = 【口訣口訣口訣口訣：：：：三角形三內角的三角形三內角的 三角形三內角的三角形三內角的 正切和正切和正切和正切和 等於等於等於 等於 正切積正切積正切積】 正切積
【例題 2】設A、B、C均為銳角，且tanA=2、tanB=4、tanC =13，試求tan(A+B+C)之值，
並求∠A+∠B+∠C。[1； 225° ] 解：
【類題 2】如下圖，ABCD、CDEF、EFGH 皆為正方形，若∠EBF =α,∠AGB=β，試求：
(1) tan(α+β)之值；[1] (2)α +β之值。[ 45° ] 解：
~3~
【例題 3】 ABC∆ 中，cosA=3 5, cosB=12 13，試求此三角形之邊長比AB BC CA: : 。[ 63 : 52 : 25 ] 解：
【類題 3a】坐標平面上 ABC∆ 三頂點為 (4, 0), (8, 3), (0, 2)A B C ，試求 A∠ 之正切值。[ 2− ] 解：
【類題 3b】設 ,x y 分別為一、四象限角，x+y=30° 且滿足 tanx+tany=2 3 3，試求 tan x 與 tan y
之值。[ 3,− 3 3] 解：
二、倍角與半角公式
1. 二倍角公式二倍角公式二倍角公式二倍角公式：：：：
(1) )
tan 1
tan ( 2
cos sin 2 2
sin 2
θ θ θ
θ
θ = = +
(2) )
tan 1
tan ( 1
sin 2 1 1 cos 2 sin cos
2
cos 2
2 2
2 2
2
θ θ θ
θ θ
θ
θ +
= −
−
=
−
=
−
=
(3) )
2 cos
2 sin ) tan 1 /(
) tan 1 (
) tan 1 /(
tan ( 2
tan 1
tan 2 2
tan 2 2
2
2 θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ =
+
−
= +
= − 2. 三倍角公式三倍角公式三倍角公式三倍角公式：：：：
(1)sin3θ =3sinθ −4sin3θ 【口訣口訣口訣：口訣：：珊珊：珊珊珊珊 珊珊 三上富士山三上富士山三上富士山】 三上富士山
(2)cos3θ =4cos3θ −3cosθ 【口訣口訣口訣口訣：：元三：：元三元三元三 等於等於等於等於 四元三四元三 四元三四元三 減減減 減 三元三元三元】 三元
3. 半角公式半角公式半角公式半角公式：：：：
(1) 2
cos 1 sinθ2 − θ
±
=
(2) 2
cos 1
cosθ2 + θ
±
=
(3) 1 cos sin 1 cos
tan ( )
2 1 cos 1 cos sin
θ θ θ θ
θ θ θ
− −
= ± = =
+ + (以上公式中之正負符號由角
2
θ 所在之象限決定)
4. 降次公式降次公式降次公式降次公式：：：：★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
(1) (1 cos2 ) 2
sin2θ =1 − θ
(2) (1 cos2 ) 2
cos2θ = 1 + θ
(3) θ θ sin2θ 2 cos 1 sin =
【例題 4】已知 3
cosα =5， 270° <α <360° ，試求 sin 2α 與 cos 2
α 的值。[ 24 25, 2 5 5− − ]
解：
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【類題 4】已知 270° <θ <360° 且 3
cosθ = ，試求 cos 25 θ，cos 2 θ 與 tan
2
θ 之值。[ 7
−25， 2 5
− 5 ， 1
−2] 解：
【例題 5】求sin18°之值。[
4 1 5−
] 解：
【類題 5】求cos36°之值。[
4 1 5+
] 解：
【例題 6】如右圖﹐直角三角形 AEF 內接於矩形 ABCD 中﹐若AF = ﹐1 ∠EAF =20° ﹐∠BAE=40° ﹐ 90
∠FGA= ° ﹐則下列選項哪些正確？[(1)(2)(3)(4)]
(1)BE=cos 20 sin 40° ° (2)CE=sin 20 cos 40° ° (3)FG=sin 20 cos 40° ° +cos 20 sin 40° ° (4) 3
FG= 2 解：
【類題 6】已知 1 tan
3 2 2 1 tan
α α + = +
− ，求 sin 2α 的值。[2 2 3 ] 解：
【例題 7】如下圖，若θ 為一有向角，AB=5,BC=12, AB⊥BC，求 sin 2
θ 之值。[ 5 26 ]
解：
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【類題 7】如下圖﹐在△ABC中﹐AB= AC﹐CD⊥AB﹐BC =5﹐BD=3﹐求 cos ACD∠ 的值。
[24 25] 解：
【類題 8】求cos2θ+cos (602 ° −θ)+cos (602 ° +θ)之值。[3 2] 解：
【類題 9】設f x( )=4x3−3x+3﹐求 f x( )除以x−sin 40°之餘式。[3− 3 2] 解：
【類題 10】設△ABC 為一等腰直角三角形，∠BAC＝90°。若 P、Q 為斜邊 BC 的三等分點，則 tan∠PAQ＝ 。[3/4](化成最簡分數) 【93.學測】
解：
【類題 11】若0
4 θ π
< < ，試問以下哪些選項恆成立？[(1)(5)]
(1) sinθ<cosθ (2) tanθ<sinθ (3) cosθ <tanθ (4) sin 2θ <cos 2θ (5) tan 1tan
2 2
θ < θ 【94.學測】
解：
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【類題 12】右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 OD ＝8。問：直角三角形 OAB 的高 AB 為何？ (1) 1 (2) 6 － 2 (3) 7 －1 (4) 3 (5) 2 [(4)] 【95.學測】
解：
【類題 13】坐標平面上，以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A ( 1 , 0 )，B，C，且 AB ＝ BC 。
已知銳角三角形 OAB 的面積為 3
10 ，則△OAC 的面積為 。[12/25] 【97.學測】
解：
【類題 14】△ABC 為邊長為 5 的正三角形，P 點在三角形內部，若線段長度 PB ＝4 且 PC ＝3，
則 cos∠ABP＝ 。[0.92] 【98.指考甲】
解：
【類題 15】如右圖，直角三角形 ABD 中，∠A 為直角，C 為 AD 邊上的點。已知 BC ＝6，
AB＝5，∠ABD＝2∠ABC，則 BD ＝ 。[90/7](化成最簡分數) 【99.學測】
解：
【類題 16】已知△ABC 中， AB ＝2、 BC ＝3 且∠A＝2∠C，則 AC ＝ 。[5/2](化成最簡 分數) 【99.學測】
解：
【類題 17】在△ABC 中，已知 AB ＝5，cos∠ABC＝－3
5 ，且其外接圓半徑為 13
2 ，則 sin∠BAC
＝ 。[33/65]( 化成最簡分數 ) 【99.指考甲】
解：
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【類題 18】已知 sinθ＝－ 2
3 且 cosθ＞0，請問下列哪些選項是正確的？[(1)(2)]
(1) tanθ＜0 (2) tan2θ＞ 4
9 (3) sin2θ＞cos2θ (4) sin2θ＞0
(5) 標準位置角 θ 與 2θ 的終邊位在不同的象限 【100.學測】
解：
【類題 19】在坐標平面上，廣義角θ的頂點為原點 O，始邊為 x 軸的正向，且滿足 tanθ＝ 2 3 。 若θ的終邊上有一點 P，其 y 坐標為－4，則下列哪些選項一定正確？[(2)(4)]
(1)P 的 x 坐標是 6 (2) OP ＝2 13 (3) cosθ＝ 3
13 (4) sin 2θ＞0 (5) cos θ 2 ＜0 【101.學測】
解：
【類題 20】設 0 ≤θ＜2π，且方程式 x2－a＝0 之兩根恰為 sinθ與 cosθ。請選出正確的選項？
(1) tan＝1 (2) sin (θ＋ π
4 )＝0 (3) sin 2θ＝－1 (4) a＝ 1
2 (5)滿足題設的θ只有一個 [(2)(3)(4)] 【101.指考甲】
解：
【類題 21】△ABC 中，D 為 BC 邊上一點且 AD 平分∠BAC。已知 BD ＝5、 DC ＝7，且∠ABC
＝60°。(1) 試求 sin∠ACB 之值。[ 5 3
14 ] (2) 試求 sin∠BAC 之值。[ 4 3 7 ] (3) 試求 AB 邊之長。[15/2] 【101.指考甲】
解：
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【類題 22】設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8。已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2，而到 BC
的距離為 7，則 AC ＝___________ 。[4 15 ]（化成最簡根式） 【102.學測】
解：
【類題 23】某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在 P 點，一分鐘後 其位置在 Q 點，且∠POQ＝90°。再過一分鐘後，該物位置在 R 點，且∠QOR＝30°。請以最 簡分數表示 tan2 (∠OPQ)＝ 。[3/4](化成最簡分數) 【91.指考甲】
解：
【類題 24】平面上有 A，B，C 三點。已知 B、C 之間的距離是 200 公尺，B、A 之間的距離是 1500 公尺，∠ACB 等於 60°。請問 A，C 之間距離的最佳近似值是哪一個選項？[2]
(1) 1500 公尺 (2) 1600 公尺 (3) 1700 公尺 (4) 1800 公尺 【92.指考甲】
解：
【類題 25】莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30°，到上 午 10：10 仰角變為 34°。請利用下表判斷到上午 10：30 時，熱氣球的仰角最接近下列哪一 個度數？[(3)]
(1) 39° (2) 40° (3) 41° (4) 42° (5) 43° 【102.學測】
解：
θ 30° 34° 39° 40° 41° 42° 43°
sinθ 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cosθ 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tanθ 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933
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【類題 26】如圖，老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13°。老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 B，再測得山頂點 P 的仰角為 15°。則山高約為_________公丈。[62]( 四捨五入 至個位數，tan 13°～～0.231，tan 15°～～0.268 ) 【104.學測】
解：
【類題 27】右圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉 向圓周運動，汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑，如圖中的 BC 即是。已知在低
速前進時，圖中 A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直，B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直。在圖中，
已知軸距 AB 為 2.85 公尺，方向盤轉到極限時，輪子方向偏了 28 度，試問此車的迴轉半徑 BC
為_________公尺。[6.1]( 小數點後第一位以下四捨五入，sin 28°～～0.4695，cos 28°～～0.8829 ) 【104.學測】
解：
【類題 28】試問共有幾個角度θ 滿足0° <θ <180°，且cos(3θ−60 ), cos3 , cos(3° θ θ+60 )° 依序成一等 差數列？[(3)]
(1)1個 (2)2個 (3)3個 (4)4個 (5)5個 【107.學測】
解：
【類題 29】在一座尖塔的正南方地面某點 A，測得塔頂的仰角為 14°；又在此尖塔正東方地面某 點 B，測得塔頂的仰角為 18°30'，且 A、B 兩點距離為 65 公尺。已知當在線段 AB 上移動時，
在 C 點測得塔頂的仰角為最大，則 C 點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？
(cot 14°～～4.01，cot 18°30'～～2.99)
(1) 27 公尺 (2) 29 公尺 (3) 31 公尺 (4) 33 公尺 (5) 35 公尺？[(3)] 【108.指考甲】
解：
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【類題 30】有 一 個 三 角 形 公 園 ， 其 三 頂 點 為O、 A、 B， 在 頂 點 O處 有 一 座150公 尺 高 的 觀 景 台 ， 某 人 站 在 觀 景 台 上 觀 測 地 面 上 另 兩 個 頂 點 A、B與 AB 的中點C ， 測 得 其 俯 角 分 別 為30°、60°、45°。 則 此 三 角 形 公 園 的 面 積 為 多 少 平 方 公 尺 。 (化 成 最 簡 根 式 )[7500 2] 【109.指考甲】
解：
