國立台南二中 107 學年度第二學期高二數學科期末考試題

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國立台南二中 107 學年度第二學期高二數學科期末考試題 一、 多重選擇題: 30 分

說明:每題均有一個以上的正確答案，每題答對可得 6 分，只錯一個選項得 4 分，錯 2 個可得 2 分，未答及錯 3 個以上均不給分。

1. 設拋物線的焦點為 F ( 4 ,－2 )，準線為 L：y =3，則下列何者為真？

(A) 頂點坐標為 ( 4, ¹

2) (B) 正焦弦長為 10

(C) 對稱軸方程式為 x＝4 (D) 頂點與正焦弦兩端點所成三角形面積為²⁵ 2 (E) 此拋物線方程式可表為 ( y ¹

−2)²＝ − 10 ( x－4 )

2. 已知: (x−2)²+(y−2)² − (x−2)²+(y+8)² =8的圖形是雙曲線﹐選出正確的選項﹕

(A)兩焦點的距離為 6 (B)有一個頂點為(2, 1) (C)對稱於直線y = −3 (D)直線3x−4y=18為其中一漸近線 (E)  的共軛雙曲線為( 2)² ( 3)²

9 16 1

x

y

3. 關於方程式: ^{2 2} 1 1 3

x y

k + k =

+ − ，其中 k 為實數，請選出正確的選項:

(B) 若 ¹

k = −2，則的圖形為焦點在y軸上的橢圓

(C) 若 0 

k

k 

2

4. 下列哪些方程式的圖形和雙曲線 ^{2 2} 1 9 16

x − y = 有交點?

(A) 4x−3y=0 (B) 4x−3y=4 (C)

2 2

9 16 1

x y

− + = (D)(x+2)²+y²=9 (E)

2 2

( 7) 16 9 1 x− + y =

5. 下列敘述哪些選項是正確的﹖

(A)方程式 (x−1)²+(y−2)² = +|y 5 |所代表的圖形為拋物線 (B)方程式 x²+(y−1)² + x²+(y+5)² =6所代表的圖形為橢圓

(C)方程式| (x−5)²+ y² − (x+5)²+y² | 10= 所代表的圖形為兩相交直線 (D)方程式 4x² + y² − 16x + 10y + 41 = 0所代表的圖形為橢圓

(E)方程式 x² − 4y² + 2x + 8y − 2 = 0所代表的圖形為雙曲線﹒

二、填充題: 70 分 (圓錐曲線的方程式請化成標準式)

1. 設橢圓的一個頂點坐標為(2, 4)，焦點坐標為(0, 1)且短軸平行 x 軸，求橢圓方程式

2. 求過點( 1, 4)− 且與y² = −4x同軸且共焦點的拋物線方程式 。(2 解)

3. 設拋物線y =x²+ax+b的焦點為(3, ⁷) 4

− , 求數對( , )a b =

3

4. 已知雙曲線的中心在(2, 1)﹐正焦弦長為 4﹐焦點在直線

x =

5. 已知某一雙曲線的兩漸近線為3x+4y+ =5 0、3x−4y−11=0，且一焦點坐標為(1, 8)， 則此雙曲線方程式為 。

6. 設AB是拋物線的焦弦﹐F為焦點﹐V 為頂點。已知

AF =

BF =

7. 右圖為一橢圓，F1，F2為其焦點，P，Q 為橢圓上的兩點，PQ⊥

F F

且PQ＝12，

F F

8. 有一座隧道，其邊界設計成半橢圓形 ( 如附圖 )，底邊 AB 寬 20 公尺，路寬之中心線的高度為 8 公尺，則距離路寬中 心線 O 點 6 公尺處的高度為______公尺。

9. 如右圖﹐一工廠在以P﹐Q兩村為焦點的雙曲線上﹐A為雙曲線 的頂點﹐且P﹐Q兩村與A點的距離分別為 600 與 2640 公尺﹒

4

今工廠發生爆炸﹐若此時聲音每秒可傳 340 公尺﹐則聲響傳到兩 村的時間相差多少秒﹖

10. 設雙曲線 ^{2 2} 1 16 20

x

y

PF

求△F1

PF

11. 求與圓^C:

(

)

^{L x − =}

12. 求通過定點 O(0, 0)且與圓 C﹕x²+(y+4)² =64相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式 為____________﹒

13. 設拋物線1之頂點為(2, − 4)﹐準線為 y 軸﹔拋物線2之頂點為( − 5,1)﹐準線為 x 軸﹒設 點 A 與點 B 分別為1與2上之動點﹐且 A 在 y 軸上之垂足為點 P﹐B 在 x 軸上之垂足為 點 Q﹐則PA+AB+BQ之最小值為____________﹒

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國立台南二中 107 學年度第二學期高二數學科期末考答案卷 二年 班 座號: 姓名:

一、多重選擇題: 30 分

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二、 填充題: 70 分 (圓錐曲線的方程式請化成標準式)

6

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 7 14 21 28 34 40 46 50 54 58 62 66 70

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13

國立台南二中 107 學年度第二學期高二數學科期末考答案卷 二年 班 座號: 姓名:

一、多重選擇題: 30 分

1. 2. 3. 4. 5

ABCD BCE ABDE BDE AE

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二、 填充題: 70 分 (圓錐曲線的方程式請化成標準式)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 7 14 21 28 34 40 46 50 54 58 62 66 70

1 2 3

2 2

( 4) 4 13 1

x y −

+ = ²

2

8( 1) 8( 3)

y x

y x

= − −

= +

( 6, 7)−

4 5 6

2 2

( 2) ( 1) 6 9 1

x

y

− + = ( 1)² ( 2)²

64 36 1

x

y

− + = 2

7 8 9

6 6

6.4 =³² 5

6

10 11 12

20

y

x

12 16 1

x

y +

13 3 13