11.2 有穷自动机

11.2 有穷自动机

 确定型有穷自动机 (DFA)

 非确定型有穷自动机 (NFA)

 带



 -NFA)

确定型有穷自动机

定义 确定型有穷自动机 (DFA) 是一个有序 5 元组 M = Q,,,q₀,F , 其中

(1) 状态集合 Q: 非空有穷集合

(2) 输入字母表 : 非空有穷集合 (3) 状态转移函数 :QΣ→Q

(4) 初始状态 q₀Q (5) 终结状态集 FQ

控制器

a_n

… a_i

… a₂

a₁

DFA 接受的语言

把 _{扩张到 Q}^* _上  ^*:Q^*→Q, 递归定义如下

qQ, a _{和 w}^* ^*(q,)=q

^*(q,wa)= (^*(q,w),a)

定义  w^*_{, 如果} ^*(q₀,w)F, 则称 M 接受 w.

M 接受的字符串的全体称作 M 接受的语言 , 记

作

L(M), 即

DFA 接受的语言 ( 续 )

例 1 M= {q₀

, q

},{a},  ,q

,{q

}

 (q

, a)=q

,  (q

, a)=q



 



为偶数 为奇数

0 1

0 q , n

n , ) q

a , (q

δ ⁿ



 



为偶数 为奇数

1 0

1 q , n

n , ) q

a , (q

δ ⁿ

非确定型有穷自动机

定义 非确定型有穷自动机 (NFA) M = 〈 Q,,,q₀,F 〉 ,

其中 Q,, q₀, F 的定义与 DFA 的相同 , 而 : Q →P(Q)

实例

 ^→q₀ ^q₁ ^*q2 q3 *q₄ 0

1

{q₀ , q₃}  {q₂} {q₄} {q₄} {q₀ , q₁} {q₂} {q₂}  {q₄} 例 2 一台 NFA

NFA 接受的语言



p

a p





^*:Q^*→Q 递归定义如下 : qQ, a _{和 w}^* ^*(q,)={q}

^*(q,wa)=

定义  w^*_{, 如果} ^*(q₀ ,w)∩F≠, 则称 M 接受 w. M 接受的字符串的全体称作 M 接受的语言 , 记作 L(M), 即

L(M)={ wΣ^*| ^*(q₀ ,w)∩F≠ }

例 2 ( 续 )

L(G) = { x00y, x11y | x,y{0,1}^*} w δ^*(q₀ ,w)

1 10 101 1011 10110

{q₀, q₁} {q₀, q₃} {q₀, q₁} {q₀, q₁ , q₂} {q₀, q₂ , q₃}

DFA 与 NFA 的等价性

用 M=Q,, ,q₀,F   模拟 M=Q,,,q₀,F  Q=P(Q), q₀={q₀}

F={ AQ | A∩F≠}

AQ 和 aΣ,

^

 ^

定理 对每一个 NFA M 都存在 DFA M  使 得

L(M)=L(M )

模拟实例

NFA M DFA M

δ 0 1

→q₀ q₁

*q₂

{q₀, q₁} {q₀} {q₂}   

δ 0 1

→{q₀} {q₁}

*{q₂} {q₀,q₁}

*{q₀,q₂}

*{q₁,q₂}

*{q₀,q₁,q₂}

{q₀, q₁} {q₀} {q₂}    {q₀,q₁,q₂} {q₀} {q₀,q₁} {q₀} {q₂}  {q₀,q₁,q₂} {q₀}

模拟实例 ( 续 )

δ 0 1

→{q₀} {q₀,q₁}

*{q₀,q₁,q

{q₀, q₁} {q₀} {q₀,q₁,q₂} {q₀} {q₀,q₁,q₂} {q₀}

不可达状态 : 从初始状态出发永远不可能达到的状态 删去所有的不可达状态 , 不会改变 FA 接受的语言 . 如 M 中的 {q₁},{q₂},{q₀,q₂},{q₁,q₂} 和都是不可达状态 ,

删去这些状态得到 M

带  转移的非确定型有穷自动机

ε 转移 : 不读如何符号 , 自动转移状态 .

-NFA: :Q(_∪{ })→P(Q)

定理 对每一个 -NFA M 都存在 DFA M  使得 L(M)=L(M)

DFA, NFA 和  -NFA 接受同一个语言类

用 DFA 模拟  -NFA

设 -NFA M=Q,,,q₀,F , qQ

q 的 _{闭包 E(q)}: 从 q 出发 , 经过 _{转移能够到达的} 所

有状态 , 递归定义如下 (1) E(q) 包含 q;

(2) 如果 pE(q), 则 (p, )E(q).

例 3  -NFA M 0 1 

→q₀ q₁

{q₁}  {q₂}  {q₂} 

q E(q)

q₀ q₁

{q₀,q₂} {q₁}

用 DFA 模拟  -NFA( 续 )

模拟的方法与用 DFA 模拟不带 的 NFA 的方法基本相同 , 只是要用 E(q) 代替 q.

用 DFA M=Q,, ,q₀,F   模拟 -NFA M=Q,,,q₀,F  Q=P(Q), q₀=E(q₀)

F ={AQ | A∩F≠}

AQ 和 aΣ,



q

a p t

q E p

t p t

E r

a A











( , )  { ( ) | , ( ),  ( , )}

 _使

构造 DFA M 时不需要对不可达状态进行计算 , 做法如下 : 从 q

0= E(q₀) 开始 , 对每一个 a _计算 的值 , 然后对每一个新出

模拟实例——例 3( 续 )

 0 1 

→q₀ q₁

*q₂

{q₁}  {q₂}  {q₂}    {q₀}

  0 1

→*{q₀,q₂} {q₁}



{q₁}   {q₀,q₂}  

-NFA M DFA M



ε ε

11.3 有穷自动机和正则文法 的等价性

 用

 -NFA

 用右线性文法模拟 DFA

有穷自动机和正则文法的等价性

定理 设 G 是右线性文法 , 则存在 -NFA M 使得

L(M)=L(G); 设 M 是 DFA, 则存在右线性文法 G 使

得 L(G)= L(M).

定理 下述命题是等价的 : (1) L 是正则语言 ;

(2) 语言 L 能由右线性文法生成 ;

(3) 语言 L 能由左线性文法生成 ;

(4) 语言 L 能被 DFA 接受 ; (5) 语言 L 能被 NFA 接受 ;

用  -NFA 模拟右线性文法

设右线性文法 G=V,T,S,P 

-NFA M=Q,,, q₀ , F  构造如下 : Q=V∪{q^f }, q₀={S}, F={q_f },

={ T ^*-{ } | 存在 A→BP 或 A→P }

AV 和_∪{},

若 A→BP, 则 (A, ) 中含有 B;

若 A→_{P, 则} (A, ) 中含有 q^f;

_∪{}, (q_f ,)= 

模拟实例

L(G)=L(M)={ (11)^m0ⁿ | m1, n0} G=V,T,S,P 

V={A,S}

T={0,1}

P: S→11S S→11A A→0A

A→

-NFA M=Q,,, S, {q_f}  Q ={A, S, q_f}

Σ ={11, 0}

 11 0 

→S A

*q_f

{S,A}    {A} {q_f}   

用右线性文法模拟 DFA

设 DFA M=Q,,,q₀,F 

右线性文法 G=V,T,S,P  构造如下 : V=Q, T=Σ, S=q₀

qQ 和 aΣ,

若 (q,a)=p, 则有产生式 q→ap 若 qF, 则有产生式 q→

模拟实例

 0 1

→q₀ q₁

*q₂

q₁ q₀ q₂ q₁ q₀ q₂

DFA M G =V,T,S,P

V={q₀,q₁,q₂}, T={0,1}, S= q₀ P: q₀→0q1 q₀→1q₀

q₁→0q2 q₁→1q₁ q₂→0q₀ q₂→1q₂ q₂→

L(M)=L(G), 它们是所有含 3k+

2 (k0) 个 0 的 0,1 串组成的集