淘汰糖

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：國中組 作品名稱：淘汰糖

關 鍵 詞：必勝策略、歸納法

編 號：

摘要

研究過程由 17 人依表格逐一探討，發現獲勝者為第 17 位；因而我們開始探討人數的變 化對是否均有獲勝者，結果發現只有在符合人數為1、(2^𝑘+ 1)、(2^𝑘+ 2)其中𝑘 ≥ 0時方有 獲勝者，且初始奇數人時獲勝者為最末位，偶數人時獲勝者為第3 位。

而當遊戲傳遞無唯一獲勝者時，將初始人數作因數分解，使出屬人數 𝑛 = 2^𝑘× 𝑦 + 1或 𝑛 = 2^𝑘× 𝑦 + 2，此時 y 為剩餘人數，2y 為循環節，剩餘者依初始人數的奇、偶結論如下：

1. 初始人數奇數時，留下的剩餘者為第(2^𝑘+ 1)、(2^𝑘× 2 + 1)、……、(2^𝑘× 𝑦 + 1)位。

2. 初始人數偶數時，留下的剩餘者為第 3、(2^𝑘+ 3)、(2^𝑘× 2 + 3)、……、(2^𝑘× 𝑦 + 3) 位。

壹、 研究動機 貳、 研究目的

一、解決初始問題:17 個人圍成一圈、每人一顆糖，按 1、2、1、2、……依序傳遞糖果，糖 果歸零者出局時，最後得到所有糖果者(獲勝者)為第幾位。

二、討論改變人數:n 個人圍成一圈、每人一顆糖，按上述傳遞規則時，n 的值在什麼樣的條 件下才有獲勝者，獲勝者為何人。

三、討論獲勝者傳遞回合數:歸納在有獲勝者的條件下，傳遞回合數為何。

四、討論無獲勝者的情況:歸納在無獲勝者的條件下，如何產生循環、循環節及剩餘人數為 何、剩餘傳遞者的位置為何。

參、 研究設備及器材：方格紙、各種顏色的筆、紀錄簿 肆、 研究過程

一、當人數為17 人時，研究如下：

(一) 傳遞過程表，其中黑色網底代表傳遞者，即第 k 回代表第 k 人次傳遞者的傳遞結果。

回數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 第00 回 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第01 回 [0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第02 回 [0, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第03 回 [0, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第04 回 [0, 0, 2, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第05 回 [0, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第06 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第07 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第08 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第09 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第10 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

第11 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1]

第12 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 1, 1, 1]

第13 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1]

第14 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 1]

第15 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1]

第16 回 [0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 3]

第17 回 [0, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

第18 回 [0, 0, 1, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

第19 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

第20 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

第21 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

第22 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4, 0, 2, 0, 2]

第23 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 2]

第24 回 [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4]

第25 回 [0, 0, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3]

第26 回 [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3]

第27 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3]

第28 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3]

第29 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 3]

第30 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 3]

第31 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 3]

第32 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5]

第33 回 [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4]

第34 回 [0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4]

第35 回 [0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 4]

第36 回 [0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 6]

第37 回 [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5]

第38 回 [0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5]

第39 回 [0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5]

第40 回 [0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7]

第41 回 [0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6]

第42 回 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6]

第43 回 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 6]

第44 回 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 8]

第45 回 [0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 7]

第46 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 7]

第47 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7]

第48 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9]

第49 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8]

第50 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10]

第51 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9]

第52 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11]

第53 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10]

第54 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 12]

第55 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11]

第56 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13]

第57 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 12]

第58 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14]

第59 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13]

第60 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15]

第61 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14]

第62 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 16]

第63 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15]

第64 回 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 17]

(二) 由上表我們有以下發現：

1. 獲勝者為最末位-第 17 位。

2. 回數及人數的觀察整理如下:

(1) 第 16 回後，人數幾乎減半，由 17 人降為 8 人；

(2) 第 32 回後又減半，人數由 8 人降為 4 人；

(3) 第 48 回再減半，4 人降為 2 人；

(4) 直至第 64 回減半為 1 人。

3. 由上知道每 16 回合人數就會減半，於是我們決定繼續記錄不同人數的糖果變化表，並觀 察回數與人數減少關係。

二、為了瞭解不同人數的傳遞結果，我們著手進行了實驗(如實驗記錄，包含手寫及程式結 果)，後將結果分為資料整理、歸納與分析及綜合說明三部分來探討。

(一) 資料整理：

紀錄 n 個人的傳遞結果並標註獲勝者編號，無獲勝者時，標註獲勝者編號為 0。我 們首先發現遊戲必然出現兩種結果：一人獲勝或數人循環。當該局產生循環無法結束 時，紀錄第一循環結束時的回合數為結束回數，循環的回合數則以循環節表示。列表如 下：

人數 得勝者編號 結束回數 循環節 剩餘人數

1 1 0

2 2 1

3 3 2

4 3 4

5 5 8

6 3 10

7 0 12 6 3

8 0 14 6 3

9 9 24

10 3 26

11 0 20 10 5

12 0 22 10 5

13 0 30 6 3

14 0 32 6 3

15 0 28 14 7

16 0 30 14 7

17 17 64

18 3 66

19 0 36 18 9

20 0 38 18 9

21 0 50 10 5

22 0 52 10 5

23 0 44 22 11

24 0 46 22 11

25 0 78 6 3

26 0 80 6 3

27 0 52 26 13

28 0 54 26 13

29 0 70 14 7

30 0 72 14 7

31 0 60 30 15

32 0 62 30 15

33 33 160

34 3 162

35 0 68 34 17

36 0 70 34 17

37 0 90 18 9

38 0 92 18 9

39 0 76 38 19

40 0 78 38 19

41 0 130 10 5

42 0 132 10 5

43 0 84 42 21

44 0 86 42 21

45 0 110 22 11

46 0 112 22 11

47 0 92 46 23

48 0 94 46 23

49 0 198 6 3

50 0 200 6 3

(二) 分析與歸納 (每一輪的第 1 位傳遞者為首位，最後 1 位傳遞者為末位。) 1. 傳遞第一輪(n 回)後，依 n 的奇、偶，糖果數依序變成：

(1) 當 n 為奇數：第 3 人有 3 顆糖，每個第 5 以後的奇數位有 2 顆糖，其餘均出局。即依序 每人糖果數為0、0、3、0、2、0、2、……、0、2，僅剩(^𝑛−1

2 )人有糖果，下一輪首位為 原序第3 位，向下一位傳遞 2 顆糖。

舉例而言：共13 人時，在第一輪首位(即原序第 1 位)與第 2 位立刻被淘汰，往後的偶數 位也因獲得1 顆、傳遞 2 顆，總計失去原有 1 顆而被淘汰，如下表，獲得以+表示，失 去以-表示。

第一輪

編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 原有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 獲得 0 +1 +2+1 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 結果 0 0 3 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 由於原序第1、2 位立刻遭淘汰，故末位(第 13 位)傳遞的 1 顆糖落入原序 第3 位，即第二輪的首位手中。

由上表可得，扣除第1 位後，每兩位淘汰 1 名，故可得剩餘(^𝑛−1

2 )人

(2) 當 n 為偶數：第 3 人有 4 顆糖，每個第 5 以後的奇數位有 2 顆糖，其餘均出局。即依序 每人糖果數為0、0、4、0、2、0、2、……、0、2、0，僅剩(^𝑛

2− 1)人有糖果，下一輪 首位為原序第3 位向下一位傳遞 1 顆糖。

舉例而言：共14 人時，在第一輪首位與第 2 位立刻被淘汰，往後的偶數位也因獲得 1 顆、傳遞2 顆，總計失去原有 1 顆而被淘汰，如下表。

第一輪

編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 獲得 0 +1 +2+2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 結果 0 0 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

由於原序第1、2 位立刻遭淘汰，故末位(第 14 位)傳遞的 2 顆糖落 入原序第3 位，即第二輪的首位手中。

由上表可得，扣除第1 位後，每兩位淘汰 1 名，又剩餘的末位為單獨一人，也是編號偶 數被淘汰者，故可得剩餘(^𝑛−2

2 ) = (^𝑛

2− 1)人。

(3) 以上的結果在我們陸續實驗到 20 個人左右就發現了這項重大規則，大大減輕我們的負 擔，也給我們更大的信心，更讓我們猜測，往後的步驟是否能一步步以減半的方式化簡 問題。

2. 傳遞第二輪後，依照第 1.點的表格討論方式，將奇數剩餘人數(^𝑛−1

2 )與偶數剩餘人數 (^𝑛

2− 1)再區分為奇、偶數作探討，故本次以 25~28 人為例：

(1) 25 人為例

第二輪，原奇數人，第一輪後剩餘偶數人(25→12 人)。

編號 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 原有 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 獲得 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 傳遞 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 結果 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 說明 由於第一輪末位(第 25 位)傳遞 1 顆糖，所以第二輪的首位必須傳遞 2

顆糖；同時此輪首位會接收末位傳遞的糖果。

(2) 26 人為例

第二輪，原偶數人，第一輪後仍剩餘偶數人(26→12 人)。

編號 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 原有 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 獲得 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 結果 5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 說明 由於第一輪末位(第 26 位)傳遞 2 顆糖，所以第二輪的首位必須傳遞 1

顆糖；同時此輪首位會接收末位傳遞的糖果。

(3) 27 人為例

第二輪，原奇數人，第一輪後剩餘仍為奇數人(27→13 人)。

編號 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 原有 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 獲得 +2 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 傳遞 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 結果 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 說明 由於第一輪末位(第 27 位)傳遞 1 顆糖，所以第二輪的首位必須傳遞 2 顆

糖；同時此輪首位會接收末位傳遞的糖果。

(4) 28 人為例

第二輪，原偶數人，第一輪後剩餘仍為奇數人(28→13 人)。

編號 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 原有 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 獲得 +1 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 +1 +2 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 結果 4 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 說明 由於第一輪末位(第 27 位)傳遞 1 顆糖，所以第二輪的首位必須傳遞 2 顆

糖；同時此輪首位會接收末位傳遞的糖果。

3. 整理以上結果傳遞第二輪後，依𝑛 ÷ 4的餘數，糖果數依序變成：

(1) 當𝑛 ÷ 4的餘數為 1：第 3 位有 2 顆糖，第(4𝑚 + 1)位有 3 顆糖，第(4𝑚 + 3)位有 1 顆 糖；依然為(^𝑛−1

2 )人有糖果，下一輪第 3 位向下一位傳遞 2 顆糖。

(2) 當𝑛 ÷ 4的餘數為 2：第 3 位有 5 顆糖，第(4𝑚 + 1)位有 1 顆糖，第(4𝑚 + 3)位有 3 顆 糖；依然為(^𝑛

2− 1)人有糖果，下一輪第 3 位向下一位傳遞 1 顆糖。

(3) 當𝑛 ÷ 4的餘數為 3：第 3 位有 3 顆糖，第(4𝑚 + 1)位有 3 顆糖，第(4𝑚 + 3)位有 1 顆

糖；依然為(^𝑛−1

2 )人有糖果，下一輪第 3 位向下一位傳遞 2 顆糖。

(4) 當𝑛 ÷ 4的餘數為 0：第 3 位有 4 顆糖，第(4𝑚 + 1)位有 1 顆糖，第(4𝑚 + 3)位有 3 顆 糖；依然為(^𝑛

2− 1)人有糖果，下一輪第 3 位向下一位傳遞 1 顆糖。

(5) 由以上四點得，第二輪的人數不變，此時我們困惑了，第二輪結束後雖然依然有規律可 循，但人數卻未減半，於是我們回顧解決17 人的問題時減半的情形，發現似乎再一輪才 有可能減半。此外藉由表格的使用，我們發現每輪的每人糖果變化量似乎是有跡可循 的，於是決定接下來開始以每輪的每人糖果數變化量作討論。

(三) 綜合說明

1. 當我們要繼續觀察第三輪的糖果數變化時，發現人數越多結果將會越複雜，所以我們轉 而研究每個人在一輪傳遞中的糖果數變化，發現可以分成以下幾種情形：

(1) 第一輪，依初始人數的奇、偶變化如下：

A. 奇數人時糖果數變化為－1，－1，＋2，－1，＋1，……，－1，＋1 B. 偶數人時糖果數變化為－1，－1，＋3，－1，＋1，……，＋1，－1 (2) 第二輪開始，依上一輪的人數奇偶及當輪的人數奇偶，討論變化如下：

A. 當輪人數為奇數時，依首位傳遞 1 顆、2 顆作以下討論：

a. 首位傳遞 1 顆給次位時（即上一輪末位傳遞 2 顆），當輪末位也傳遞1 顆予首位，

故首位無變化，次位得1 顆、傳遞 2 顆，由此得變化依序為 0，－1，＋1，……，

－1，＋1：

編號 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… a i-3 a i-2 ai-1 ai

獲得 +1 +1 +2 +1 +2 +1 …… +1 +2 +1 +2 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 …… -2 -1 -2 -1 變化 0 -1 +1 -1 +1 -1 …… -1 +1 -1 +1 說明 i 為奇數。

b. 首位傳遞 2 顆給次位時（即上一輪末位傳遞 1 顆），當輪末位也傳遞2 顆予首位，

故首位無變化，次位得2 顆、傳遞 1 顆，由此得變化依序為 0，＋1，－1，……，

＋1，－1：

編號 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… a i-3 a i-2 ai-1 ai

獲得 +2 +2 +1 +2 +1 +2 …… +2 +1 +2 +1 傳遞 -2 -1 -2 -1 -2 -1 …… -1 -2 -1 -2 變化 0 +1 -1 +1 -1 +1 …… +1 -1 +1 -1 說明 i 為奇數。

B. 當輪人數為偶數時，依首位傳遞 1 顆、2 顆作以下討論：

a. 首位傳遞 1 顆給次位時（即上一輪末位傳遞 2 顆），當輪末位傳遞2 顆予首位，故 首位＋1，次位得 1 顆、傳遞 2 顆，由此得變化依序為＋1，－1，＋1，……，＋

1，－1；此情況下，當輪的第奇數位會逐輪增加糖果數，而偶數輪會逐輪減少糖果

數至0 淘汰為止；接著開始下一輪，依然從該輪人數奇、偶開始討論起每輪每人糖

果數變化。

編號 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… a i-3 a i-2 ai-1 ai

獲得 +2 +1 +2 +1 +2 +1 …… +2 +1 +2 +1 傳遞 -1 -2 -1 -2 -1 -2 …… -1 -2 -1 -2 變化 +1 -1 +1 -1 +1 -1 …… +1 -1 +1 -1 說明 i 為偶數。

b. 首位傳遞 2 顆給次位時（即上一輪末位傳遞 1 顆），當輪末位傳遞1 顆予首位，故 首位－1，次位得 2 顆、傳遞 1 顆，由此得變化依序為－1，＋1，－1，……，－

1，＋1；此情況有一例外，由於首位不斷逐輪－1，當首位僅剩 2 顆糖果時，因為

首位在末位傳遞時已因無糖果出局，故末位傳遞的1 顆糖果會給次位，即下一輪人

數將轉變為﹝0﹞，＋2，－1，＋1，－1，……，其中﹝0﹞表示首位歸 0 出局，且 在此輪中的其他奇數位也都會歸0。

編號 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… a i-3 a i-2 ai-1 ai

獲得 +1 +2 +1 +2 +1 +2 …… +1 +2 +1 +2 傳遞 -2 -1 -2 -1 -2 -1 …… -2 -1 -2 -1 變化 -1 +1 -1 +1 -1 +1 …… -1 +1 -1 +1 說明 i 為偶數。

例外情形：

編號 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… a i-3 a i-2 ai-1 ai

獲得 +0 +2+1 +1 +2 +1 +2 …… +1 +2 +1 +2 傳遞 -2 -1 -2 -1 -2 -1 …… -2 -1 -2 -1 變化 -2 +2 -1 +1 -1 +1 …… -1 +1 -1 +1 說明 i 為偶數且編號 a1 剩2 顆糖。

2. 歸納 n 人每人初始糖果 1 顆的傳遞人數變化：

(1) 第一輪後，第 1、2 位及其他偶數位均歸 0 出局，可得 C. 當 n 為奇數時，第二輪剩下(^𝑛−1

2 )人。

D. 當 n 為偶數時，第二輪剩下(^𝑛

2− 1)人。

(2) 第二輪開始，除首位外，每位均為 2 顆糖果，而且：

A. 當輪人數為奇數時，與下一輪因為正好正、負相消，故兩輪後即開始循環，此時可下 結論，遊戲無獲勝者，如下表。

當輪首位傳遞傳遞1 顆時

當輪變化量 0，-1，+1，-1，+1，……，-1，+1 下一輪變化量 0，+1，-1，+1，-1，……，+1，-1 變化量總和 0， 0， 0， 0， 0，……， 0， 0

B. 當輪人數為偶數，且首位傳遞 1 顆時，該輪的奇數位糖果數會不斷增加，而偶數位會 不斷減少至歸0 出局為止，故此時每輪會有(^𝑛

2− 1)或(^𝑛−1

2 )回，將偶數位的 2 顆糖傳 遞至奇數位，所以兩輪後人數將再度減半，而該輪的偶數位糖果數會一直以兩倍增 加。依此循環，依當輪人數的奇、偶可判斷人數將再減半或開始循環。

3. 將上述說明如下圖：

由上圖發現，第二輪起必須一直分半後為偶數人至剩一人只方有獲勝者，故第 k 次 減半推回至第二次減半必須人數為2^𝑘−1人，再推回第一輪則依奇、偶數乘以2 以後再 +1、+2，故當初始人數為2^𝑘+ 1或2^𝑘+ 2人時，遊戲有獲勝者。

4. 獲勝者的說明：

(1) 起始奇數人時，第二輪剩下2^𝑘−1人，且首位需傳遞2 顆糖，依據每輪增減規律，接

起始 奇數人

第一輪結束 剩偶數人

第二次減半 剩偶數人

第三次減半 剩偶數人

...

依此類推 第三次減半

剩奇數人 遊戲結束 第二次減半

剩奇數人 遊戲結束 第一輪結束

剩奇數人 遊戲結束

[(n-1)/2]

(高斯值)

其餘輪數遇偶數則除以2

遇奇數則遊戲結束(為1時有獲勝者)

起始 偶數人

第一輪結束 剩偶數人

第二次減半 剩偶數人

第三次減半 剩偶數人

...

依此類推 第三次減半

剩奇數人 遊戲結束 第二次減半

剩奇數人 遊戲結束 第一輪結束

剩奇數人 遊戲結束

下來每一次減半的第奇數位均會被淘汰，而無論如何，第2^𝑘−1位均為第偶數位，直 至減半剩最後1 位。

(2) 起始偶數人時，第二輪剩下2^𝑘−1人，且首位需傳遞1 顆糖，依據每輪增減規律，接

下來每一次減半的第偶數位均會被淘汰，而無論如何，初始第3 位均為第奇數位

(每一輪的首位)，直至減半剩最後 1 位。

三、有獲勝者(減半次數 k)的情況下，與輪數、回合數的計算討論。

(一)人數為(2^𝑘+ 1)奇數人時：

1. 第一次減半：在第一輪完成前一回即減半，回合數為初始人數 𝑛 − 1 = 2^𝑘回。

2. 第二次減半：須將第二輪的第奇數位全傳遞給第偶數位；又第二輪的初始除首位外 均剩2 顆糖，故要經歷 2 輪，代表回合數為第二輪初始人數(^𝑛−1

2 = ^2𝑘

2 = 2^𝑘−1人)的兩 倍，可得(2 輪× 2^𝑘−1人)，也就是(𝑛 − 1)或(2 × 2^𝑘−1= 2^𝑘)回。

3. 第三次減半：須將第四輪的第奇數位全傳遞給第偶數位；又第四輪的初始除首位外 均剩4 顆糖，故要經歷 4 輪，代表回合數為第四輪初始人數(^𝑛−1

2² = ^2𝑘

2² = 2^𝑘−2人)的兩 倍，可得(4 輪× 2^𝑘−2人)，也就是(𝑛 − 1)或(4 × 2^𝑘−2= 2^𝑘)回。

4. 依此類推，第 j 次減半須經歷2^𝑗−1輪，而該輪人數為

𝑛−1 2^𝑗−1 = ^2𝑘

2^𝑗−1 = 2^{𝑘−𝑗+1}人，

可得(2^𝑗−1輪× 2^{𝑘−𝑗+1}人)，也就是2^𝑘或(𝑛 − 1)回。

既然每次減半均須2^𝑘回，則完成遊戲(k 次減半)需要𝑘 × 2^𝑘回。

(二)人數為(2^𝑘+ 2)偶數人時：

1. 第一次減半：必須第一輪全部完成才能減半，回合數為初始人數 𝑛 = 2^𝑘+ 2回。

2. 同上(一)減半模式，唯偶數人是將每輪的第偶數位全傳遞給第奇數位，故每一次減 半亦須2^𝑘回，則完成遊戲(k 次減半)需要𝑘 × 2^𝑘+ 2回。

四、無獲勝者時，循環與剩餘者的討論。

(一) 當減半後剩餘人數為奇數時，遊戲會結束，因此一開始即將初始人數區分奇、偶來-1、

-2 再作一直減半的因數分解就能找到循環回合及循環人數，即：當𝑛 − 1(奇數人)或𝑛 − 2 (偶數人)= 2^𝑘× 𝑦時，此遊戲只剩下 y 人，且 y 為奇數，兩輪 2y 即為循環節。

(二) 討論循環節的位置：

1. 當初始人數為奇數時，第二輪以後每次減半被淘汰的位置為每輪初始的第奇數位，又總 共減半了k 次，所以留下的剩餘者為第(2^𝑘+ 1)、(2^𝑘× 2 + 1)、……、(2^𝑘× 𝑦 + 1)位。

2. 當初始人數為偶數時，第二輪以後每次減半被淘汰的位置為每輪初始的第偶數位，又總 共減半了k 次，所以留下的剩餘者為第 3、(2^𝑘+ 3)、(2^𝑘× 2 + 3)、……、(2^𝑘× 𝑦 + 3) 位。

伍、研究結果

一、當17 個人圍成一圈時：獲勝者為第 17 位，遊戲總共進行了 64 回合。

二、當n 個人圍成一圈時：

(一) 𝑛 = 1時，傳遞結束，此人獲得所有糖果。

(二) 𝑛 = (2^𝑘+ 1)、(2^𝑘+ 2)時有獲勝者，其中𝑘 ≥ 0且為整數。

三、將獲勝者人數n 作以下討論：

(一) 人數𝑛 = (2^𝑘+ 1)：傳遞(𝑘 × 2^𝑘)次後，第(2^𝑘+ 1)人獲得所有糖果。

(二) 人數𝑛 = (2^𝑘+ 2): 傳遞(𝑘 × 2^𝑘+ 2)次後，第 3 人獲得所有糖果。

(三) 上兩點所敘述的k 其實就是傳遞過程中人數減半的次數，對研究目的四相當有幫助。

四、當n 不為上述二、的情形時，將產生循環，結論如下：

(一) 剩餘人數為奇數人時，糖果傳遞開始產生循環，遊戲結束。

(二) 將初始人數作因數分解，使𝑛 = 2^𝑘× 𝑦 + 1或𝑛 = 2^𝑘× 𝑦 + 2，此時 y 為剩餘人數，2y 為循環節。

(三) 剩餘人數依初始人數的奇、偶結論如下

1. 當初始人數為奇數時，留下的剩餘者為第(2^𝑘+ 1)、(2^𝑘× 2 + 1)、……、(2^𝑘× 𝑦 + 1) 位。

2. 當初始人數為偶數時，留下的剩餘者為第 3、(2^𝑘+ 3)、(2^𝑘× 2 + 3)、……、

(2^𝑘× 𝑦 + 3)位。

陸、討論

一、為什麼這個遊戲不會出現拿取糖果不夠數量的狀況，用反證法：

(一)假設會出現拿取糖果不夠數量的狀況，所以必定出現連續三個玩家c1、c2與c3身上糖 果分為d1顆、1 顆與 d2顆的狀況，其中d1與d2為正整數。

(二)因為糖果只能拿1 顆或 2 顆，並輪流發生，此時 c2玩家要將2 顆糖果交給 c3玩家時才 會出現糖果不夠數量的狀況。

(三)這個狀況下的前一步則是c1玩家要交給c2玩家1 顆糖，也就是 c2玩家身上的1 顆糖來 自於c1玩家，而且c2玩家原本擁有0 顆糖。

(四)而根據規則，擁有0 顆糖的玩家必須馬上離開遊戲，也就是並不會有這一步發生。故也 不會出現拿取糖果不夠數量的狀況。

二、對於本作品可以發展的題材，我們有以下的看法：

(一) 當初始糖果依然每人一顆，但每個人依序傳遞 1、2、3、1、2、3、……顆糖果時的結 果發展，在此我們大膽猜測，在人數𝑛 = (3^𝑘+ 1)、(3^𝑘+ 2)、(3^𝑘+ 3)時將會有獲勝 者，至於傳遞次數還要稍作研究。

(二) 由上點推測，在依序傳遞 1、2、3、……、j 顆糖果時，人數會在𝑛 = (𝑗^𝑘+ 1)、(𝑗^𝑘+ 2)、(𝑗^𝑘+ 3)、……、(𝑗^𝑘+ 𝑗)時會有獲勝者，然而一樣尚待求證，期許我們未來能將研 究完整呈現。

柒、文獻探討

一、游森鵬，森棚教官數學題－糖果分享 - 臺灣網路科教館 (ntsec.edu.tw)•取自 https://www.ntsec.edu.tw/LiveSupply-

Content.aspx?a=6829&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=1&lsid=16226