我們證得了 (C ∩ A

3.2. Set Operations 37

與當初假設 x∈ C ∩ A 相矛盾, 故得 x ̸∈ (C \ A). 我們證得了 (C ∩ A) ⊆ (C \ (C \ A)), 因此得證 (C\ (C \ A)) = (C ∩ A).

現考慮 C = X 為宇集的情況, 我們有 X\ A = A^c, 故 X\ (X \ A) = X \ A^c= (A^c)^c. 然而 X∩ A = A, 故得證 (A^c)^c= A.

(2): 由於 (A∩B) ⊆ A, 故由 Proposition 3.2.9 知 (C\A) ⊆ (C\(A∩B)). 同理由 (A∩B) ⊆ B 得 (C\ B) ⊆ (C \ (A ∩ B)). 故由 Corollary 3.2.4 (2) 得 (C \ A) ∪ (C \ B) ⊆ C \ (A ∩ B). 另一 方 面, 若 x∈ C \ (A ∩ B), 表示 x ∈ C 且 x ̸∈ A ∩ B. 此時若 x ̸∈ A, 則表示 x ∈ C \ A, 得 x∈ (C \ A) ∪ (C \ B). 而若 x ∈ A, 則必 x ̸∈ B, 否則 x ∈ B 會造成 x ∈ A 且 x ∈ B, 即 x ∈ A ∩ B 之矛盾. 故此時 x∈ C \ B, 也滿足 x ∈ (C \ A) ∪ (C \ B). 得證 C \ (A ∩ B) ⊆ (C \ A) ∪ (C \ B).

現考慮 C = X 的情況, 由 X\ A = A^c, X\ B = B^c 以及 X\ (A ∩ B) = (A ∩ B)^c 我們馬上得 知 (A∩ B)^c= (A^c∪ B^c).

(3): 利用 (2) 的結果我們有 (A^c∩B^c)^c= ((A^c)^c∪(B^c)^c),再利用 (1), 得 (A^c∩B^c)^c= (A∪B).

取 complement 並再次利用 (1) 得證 (A^c∩ B^c) = (A∪ B)^c. 現因

C\ (A ∪ B) = C ∩ (A ∪ B)^c= C∩ (A^c∩ B^c) and (C\ A) ∩ (C \ B) = (C ∩ A^c)∩ (C ∩ B^c), 由交集本身的結合律知 C∩ (A^c∩ B^c) = (C∩ A^c)∩ (C ∩ B^c), 故得證

C\ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B).

 Question 3.11. 試 利 用 Proposition 3.2.11 (2) 證 明 C\ A = C \ (C ∩ A). 依此並利用 Proposition 3.2.9 證明 (C∩ A) ⊆ (C ∩ B) 若且唯若 (C \ B) ⊆ (C \ A).

Question 3.12. C\(B\A) 會等於 (C \B)\A 嗎? 試證明 C \(B\A) = (C \B)∪(C ∩A) 以及 (C\ B) \ A = C \ (B ∪ A).

其實這些集合 operations 之間的關係與性質, 都可以直接各邊取一元素, 利用第一章介 紹邏輯的 connectives 的性質得到集合包含關係, 最後證得兩邊集合相等. 另一方面我們也 可套用這一章中所介紹各集合的 operations 的性質推導. 這兩種方法並無好壞之分, 雖然有 時直接套用集合 operations 的性質推導很快速, 但它並非萬能. 從上面幾個定理的證明, 大 家能看出, 當我們無法用集合性質推導時, 便會回歸到利用元素的原始定義推導. 在這裡我 們並不是鼓勵大家用背誦的方式記憶這麼多的性質, 而是希望大家能夠學習如何利用一些已 知的性質推導出新的定理. 最後我們再看一個例子.

Example 3.2.12. 假設 A, B,C 為集合且 B^c⊆ A, 我們要證明 ((C \ A) ∪ B) = B.

方法一: 我們用元素的方法處理. 首先已知 B⊆ ((C \ A) ∪ B), 故要證明等式成立只要證 明 ((C\ A) ∪ B) ⊆ B. 現假設 x ∈ ((C \ A) ∪ B), 我們要證明 x ∈ B. 然而 x ∈ ((C \ A) ∪ B) 表示 x∈ C \ A 或 x ∈ B. 如果 x ∈ B, 則證明結束, 所以我們僅要討論 x ∈ C \ A 的情形, 即 x ∈ C 且 x̸∈ A. 因為無法直接證明 x ∈ B, 所以我們可以考慮反證法, 即假設 x ̸∈ B 而得到矛盾. 現 若 x̸∈ B, 表示 x ∈ B^c, 故由 B^c⊆ A 的假設得 x ∈ A. 此與 x ̸∈ A 相矛盾, 故知 x ∈ B. 得證 ((C\ A) ∪ B) ⊆ B.

38 3. Set

方法二: 我們也可完全用前面證得的性質處理. 首先看到等式左右兩邊都有 B, 所以我 們可以利用 Proposition 3.2.5. 也就是說若能證明 (C\ A) ⊆ B, 則可得證 ((C \ A) ∪ B) = B.

如何證明 (C\ A) ⊆ B 呢? 我們應可看出這一定和 B^c⊆ A 有關. 由於 C \ A = C ∩ A^c, 所以我 們可以利用 Corollary 3.2.10 將 B^c⊆ A 換成 A^c⊆ (B^c)^c, 再利用 Proposition 3.2.11 (1) 得 A^c⊆ B. 此時我們應很清楚看出

(C\ A) = (C ∩ A^c)⊆ (C ∩ B) ⊆ B.

3.3. Indexed Family

在前一節中, 我們談的交集或聯集, 是將其視為兩個集合間的 operation. 不過當我們知 道交集和聯集有所謂的結合律後, 我們便可以談論多個集合的聯集與交集了. 這一節中, 我 們藉由適當的符號與定義的推廣, 將探討任意多個集合的聯集與交集問題. 大致上之前談的 兩個集合的交集與聯集的性質, 都可以推廣到更一般的情形. 不過處理無限多個集合的情況, 有些地方可能和有限的情況稍有不同, 要特別留意.

當 我 們 談 論 有 限 多 個 集 合 的 交 集 和 聯 集 時, 如 果 集 合 個 數 不 多, 例 如 5 個 集 合 A, B,C, D, E 的交集, 我們直接用 A∩ B ∩C ∩ D ∩ E 來表示. 這裡我們都可以不用括弧區 分到底哪兩個集合先交集後再和其他的集合做交集, 因為交集有結合律. 我們也不必擔 心交集的順序, 因為交集有交換性. 同樣的對於聯集也是如此. 當集合的個數太多時, 像 前面這樣一一列出就不切實際了. 遇到這種情形, 我們可以把要處理的集合一一編號, 例 如有 100 個集合, 我們就編成 A1, A₂, . . . , A₁₀₀ (當然了, 這些 Ai 是甚麼應說明清楚). 然 後這些集合的交集與聯集我們便像處理加法的 “summation” 符號, 將這些集合的交集與 聯集分別用

100∩

i=1

A_i,

100∪

i=1

A_i 來表示. 例如若 A_i= [i− 1,i] (即介於 i − 1 和 i 之間的實數), 則

100∩

i=1

Ai= /0,

100∪

i=1

Ai= [0, 100]. 如果有無窮多集合怎麼辦? 像前面的例子, 如果對所有的自然數 i∈ N, Ai 皆有定義, 我們可以考慮對所有的 A_i 的交集和聯集. 這時候我們一般可以學無窮 級數的方法, 將這些交集和聯集分別表示成

∩∞ i=1

A_i,

∪∞ i=1

A_i.當然了, 這樣的符號底下表示的是 i 從哪一個數開始, 上面表示的是到哪一個為止, 所以我們要考慮 A₅, A₆, A₇, A₈ 的交集和聯 集就可以分別用

∩8

i=5

Ai,

∪8

i=5

Ai 來表示. 因此一般若要談 i 從 m 到 n 的 A_i 之交集與聯集, 我們 便分別用

∩n

i=m

Ai,

∪n

i=m

Ai 來表示. 而要表達所有 i 大於等於 m 的 A_i 之交集與聯集, 我們便分 別用

∩∞ i=m

A_i,

∪∞ i=m

A_i 來表示. 這裡要注意, 很多同學會誤以為

∩∞ i=m

A_i,

∪∞ i=m

A_i 是

∩n

i=m

A_i,

∪n

i=m

A_i 當 n 趨近於∞ 的極限. 這個說法是有問題的, 因為我們從未定義過 “集合的極限”.

不過這些符號仍不夠我們的需求. 有時我們要探討的集合, 它們的個數是不能像整數一 樣一個一個數的. 例如實數, 就無法一個一個數. 所以若我們談的集合和實數有關, 如 (−r,r) 其中 r > 0, 這樣的區間, 要如何表達所有這樣的區間的交集與聯集呢? 於是乎, 我們引進 了 index set 的概念. 所謂 index set 就是你要用來 “編足碼” 的東西所成的集合. 例如前面

3.3. Indexed Family 39

A_i= [i− 1,i] 的例子, 我們考慮的 i 是所有的自然數 N, 所以此時 N 便是我們的 index set.

而若要探討 [−r,r] 的情形, 我們可以用正實數 R⁺ 為我們的 index set, 將要考慮的區間編 碼成 A_r= [−r,r]. 這樣將所有被編碼好的集合 Ar, r∈ R⁺ 收集在一起, 便是所謂的 indexed family 了. 所以一般來說, 我們要先說好 index set 為何. 接下來要說明要探討的集合如何用 index set 裡的元素編碼, 這樣才能形成一個 indexed family. 也就是說若 I 為 index set, 我 們必須說明 A_i 是甚麼, 這樣{Ai, i∈ I} 便會是一個 indexed family.

接下來, 我們便是要定義一個 indexed family 裡的集合其交集與聯集. 注意, 即使只有有 限個集合, 我們仍可將其視為 indexed family. 例如兩個集合 A, B, 我們仍可將其是為 index set 為 I ={1,2} 的 indexed family, 其中 A1= A, A2= B. 所以我們定義 index family 的交 集與聯集需與有限集合的交集與聯集一致. 當我們有兩個集合 A, B 時, 要求交集的元素必須 在每一個集合中; 而聯集裡的元素需在 A, B 某一個中. 所以我們有以下的定義.

Definition 3.3.1. 假設 I 為 index set, 而{Ai, i∈ I}, 為以 I 為 index set 的 indexed family.

定義此 indexed family 的 intersection 為

∩

i∈I

Ai={x : x ∈ Ai,∀i ∈ I}.

定義此 indexed family 的 union 為

∪

i∈I

Ai={x : x ∈ Ai,∃i ∈ I}.

利用此定義, 我們看以下的例子.

Example 3.3.2. 考慮 index set I 為大於 1 的整數. 對任意 i∈ I, 令 Ai={m/i : m ∈ Z}. 我

們要證明 ∩

i∈I

Ai=Z, ^∪

i∈I

Ai=Q.

首先, 任意 n∈ Z, 我們都可以寫成 n = ni/i. 由於 ni ∈ Z, 故得 n ∈ Ai,∀i ∈ I. 證得了 Z ⊆^∩

i∈I

Ai. 另一方面, 若 x∈^∩

i∈I

Ai,表示對任意 i∈ I 皆有 x ∈ Ai. 現由於 x∈ A2 以及 x∈ A3, 我們有 x = m/2 且 x = m^′/3, 其中 m, m^′∈ Z. 然而此即表示 3m = 2m^′, 故知 3m 必為偶數.

因而得知 m 為偶數 2n, 其中 n∈ Z. 代回得 x = m/2 = n ∈ Z. 得證^∩

i∈I

Ai⊆ Z, 故^∩

i∈I

Ai=Z.

現若 x∈ Q, 依有理數之定義, x 可寫成 m/n, 其中 m ∈ Z, n ∈ N. 現若 n = 1, 即 x = m ∈ Z.

我們可以將 x 寫成 x = 2m/2, 知此時 x∈ A2. 而若 n≥ 2, 表示 n ∈ I, 故此時 x ∈ An. 得證 Q ⊆^∪i∈IA_i. 另一方面, 若 x∈^∪i∈IA_i, 表示存在 n∈ I, 使得 x ∈ An. 故依定義得 x = m/n, 其 中 m∈ Z. 此即表示 x ∈ Q, 得證 ^∪

i∈I

Ai⊆ Q, 故 ^∪

i∈I

Ai=Q.

Question 3.13. 令 Ai 如 Example 3.3.2 所設. 利用當 m∈ Z 時, 若 p,q 為兩互質整數且 p 整除 mq, 則 p 整除 m 之事實, 證明若 p, q 為兩互質整數, 則 A_p∩ Aq=Z. 依此證明當 m∈ N, ^∩∞

i=m

A_i=Z.

40 3. Set

Question 3.14. 令 Ai 如 Example 3.3.2 所設, 證明當 m∈ N, ^∪∞

i=m

Ai=Q. 是否可找到兩正 整數 m < n 使得

∩n

i=m

A_i=Q?

現在我們探討一些有關兩集合的交集與聯集的性質, 是否可以推廣到更一般 indexed family 的情形. 首先 Proposition 3.2.3 是可以推廣的.

Proposition 3.3.3. 假設{Ai, i∈ I}, {Bi, i∈ I} 是以 I 為 index set 的兩組 indexed family.

若對於所有 i∈ I 皆有 Ai⊆ Bi, 則

∩

i∈I

Ai⊆^∩

i∈I

Bi and ^∪

i∈I

Ai⊆^∪

i∈I

Bi.

Proof. 設 x∈^∩

i∈I

Ai, 表示對所有 i∈ I, 皆有 x ∈ Ai, 故由 Ai⊆ Bi, 得 x∈ Bi. 因為這是對任意 的 i∈ I 皆成立, 故得 x ∈^∩

i∈I

B_i. 得證^∩

i∈I

A_i⊆^∩

i∈I

B_i. 現若 x∈^∪

i∈I

A_i, 表示存在 i∈ I 使得 x ∈ Ai, 故由 A_i⊆ Bi, 得 x∈ Bi. 此即表示 x∈^∪

i∈I

B_i, 得 證 ^∪

i∈I

A_i⊆^∪

i∈I

B_i. 

很容易知道, 若對於任意 i∈ I, 皆有 Ai= A, 則 ^∩

i∈I

A_i= A 且 ^∪

i∈I

A_i= A. 所以我們套用 Proposition 3.3.3 有以下 Corollary 3.2.4 的推廣.

Corollary 3.3.4. 假設 A, B 為 set 且 {Ai, i∈ I}, {Bi, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family.

(1) 若對於所有 i∈ I 皆有 A ⊆ Ai, 則 A⊆^∩

i∈I

A_i.

(2) 若對於所有 i∈ I 皆有 Bi⊆ B, 則 ^∪

i∈I

B_i⊆ B.

雖然前面幾個結果顯示一些關於有限多個集合的交集或聯集的性質可以推廣到無窮多 個集合的交集或聯集, 不過這並不是完全對的. 例如有可能有一些集合當你在它們中任意取 有限多個做交集時都不是空集合, 但是取無窮多個做交集時有可能會是空集合. 我們有以下 的例子.

Example 3.3.5. 我們要舉例說明有可能一個以自然數 N 為 index set 的 indexed family {Ai, i∈ I}, 滿足對所有 n ∈ N 皆有 ^∩n

i=1

Ai 不是空集合 (甚至會有無窮多個元素), 但

∩∞ i=1

Ai 是 空集合.

事實上對所有 i∈ N 考慮 Ai 為開區間 (i,∞). 此時 Ai 滿足 A_i̸= /0 且當 j ≥ i 時, Aj⊆ Ai. 因此得

∩n

i=1

Ai= An= (n,∞) ̸= /0. 但 ^∩∞

i=1

Ai= /0. 這是因為若 x∈^∩∞

i=1

Ai, 則因 x∈ R 必存在 n ∈ N 滿足 n > x. 我們得 x̸∈ An= (n,∞). 此與 x ∈^∩∞

i=1

Ai 相矛盾, 得證

∩∞ i=1

Ai= /0.