一些特殊的拓樸性質

(1)

一些特殊的拓樸性質

一 , 一些特殊的拓樸性質, connectedness, compactness

Hausdorﬀ property. 些性質一的 topological space 的性質,

的拓樸的性質. 些性質的些

拓樸的特性.

3.1. Connectedness

Connected “ ” 的 , R 的,

的, 的 . 一的拓樸 , 的 ? 一

, 一 topological space connected, 的性質.

3.1.1. Connected Topological Spaces. “ ”, “ ”

. R 的 . R 0 一 ,

的, 一 R \ {0} 的, 0 . R \ {0}

的 open interval 的 , R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). 一的拓樸

一的, 的.

的 open set , . 的 .

Deﬁnition 3.1.1. X topological space, 的 open sets U, V U∩ V = ∅ X = U∪ V, X disconnected space. , (

的 open sets U, V X = U∪ V) X connected space.

X 的 , X 的 discrete topology, X 的

open, X 的一 nonempty proper subset S ( S , ∅, S ( X),

X S, S^c 的 open sets 的 ( X = S ∪ S^c), X

disconnected. X 的 indiscrete topology, X 一 nonempty open

set, X . X 的 open sets 的 , X

connected. , 一 topological space connected 的拓樸

49

(2)

的. 一 ,R 的, . R standard topology

的. 的, 的性, 的 .

一些 connected ( disconnected) topological space 的性質.

些性質的 , 一 , 的 .

, X disconnected, U, V 的 open sets U∩ V = ∅ and

X = U∪ V.

U^c = X\ U = (U ∪ V) \ U = V \ U = V \ (U ∩ V) = V.

U open, U^c closed, V closed. 一一

open closed , clopen. V X 的 clopen set ( U

clopen). X disconnected , X ∅ , X 的 clopen set.

, U( X 的 clopen set, V = U^c, V 的 open set U∩ V = ∅

X = U∪ V. 的性質.

Proposition 3.1.2. X topological space, X connected X X

∅ open closed 的 .

Question 3.1. topological space X disconnected W, Z 的 closed sets W∩ Z = ∅ X = W∪ Z.

一 boundary 拓樸一 S clopen S 的

boundary , Proposition 3.1.2, .

Corollary 3.1.3. X topological space, X connected

X 的 S , bd(S ), ∅.

“ ” connected, “ ” separated 的 . 拓樸 ,

S, T separated sets, S ∩ T = ∅ ( 的拓樸). R

的 (0, 1) [1, 2), , 1 一 , 一的.

(0, 1) (1, 2), 1 一 .

S, T 的, S T , S T 的 ,

S ∩ (T ∪ (bd(T))) = ∅. T∪ (bd(T)) = cl(T), 的 S ∩ (cl(T)) = ∅.

S ∩ (cl(T)) = ∅ T ∩ (cl(S )) = ∅. R 的 standard topology , S = (0, 1), T = [1, 2) , cl(T ) = [1, 2] S ∩ (cl(T)) = ∅. cl(S ) = [0, 1],

T∩ (cl(S )) , ∅. , T S S 的 , S, T

的 . 的 .

Deﬁnition 3.1.4. X topological space, S, T X 的 subsets. S∩ (cl(T)) = ∅ T∩ (cl(S )) = ∅, S, T separated sets.

一 , separated sets 拓樸的. Connected topological space

separated sets ? 的 , X connected X

的 separated sets 的 .

(3)

Proposition 3.1.5. X topological space, X connected X 的 separated sets S, T X = S ∪ T.

Proof. , X disconnected X 的 sepa-

rated sets S, T X = S ∪ T. X disconnected, Proposition 3.1.2 的

U, V clopen U∩ V = ∅ X = U∪ V. V closed,

V = cl(V), U∩ V = ∅ U∩ (cl(V)) = ∅, V∩ (cl(U)) = ∅.

的 U, V separated sets X = U∩ V.

, X 的 separated sets S, T X = S ∪ T. T ⊆ cl(T), S ∪ (cl(T)) = X, cl(T )^c ⊆ S . S ∩ (cl(T)) = ∅, S ⊆ cl(T)^c.

S = cl(T )^c X 的 open set. T X 的 open set. S, T , X

disconnected.

Proposition 3.1.5 topological space X S, T 的 ,

S, T separated sets S, T open sets. 拓樸

disconnected , X 的 的 open ,

separated.

拓樸的性質, . Y = {0, 1}, discrete topology.

f : X → Y continuous, U = f⁻¹({0}) V = f⁻¹({1}) X 的 open set,

X = U∪ V U∩ V = ∅. f onto, U, V ,

X disconnected. , X disconnected, 的 open sets U, V

X = U∪ V. g : X→ Y, g(x) =

{ 0, if x ∈ U;

1, if x ∈ V. X = U∪ V U∩ V = ∅, g well-deﬁned function. Y, {0}, {1}, ∅ Y 的 open sets, g⁻¹(Y) = X, g⁻¹({0}) = U, g⁻¹({1}) = V, g⁻¹(∅) = ∅ X 的 open sets, g : X → Y

continuous. X disconnected f : X→ {0, 1} 的

. 的 .

Proposition 3.1.6. X topological space Y ={0, 1} discrete topology.

X connected f : X→ Y onto.

Proposition 3.1.6 X connected, f : X → {0, 1}

onto; X disconnected, f : X → {0, 1} onto. ,

一的 .

Corollary 3.1.7. X, Y topological space X connected, Y disconnected.

f : X→ Y onto.

Proof. . f : X → Y onto. Z ={0, 1} discrete

topological space, Proposition 3.1.6 onto 的 g : Y → Z.

g◦ f : X → Z. f, g continuous, g◦ f continuous. f, g onto,

(4)

g◦ f onto. g◦ f : X → Z continuous onto. Proposition

3.1.6 , .

Question 3.2. X, Y topological space X connected, Y disconnected.

h : Y → X 的 ?

, Proposition 3.1.6 特 {0, 1} 一 discrete topolog-

ical space ? , disconnected topological spaces , 的 ,

的 . Corollary 3.1.7 的 disconnected 的一

的 disconnected 的 . {0, 1} discrete topological space 一特 , discrete. discrete topological space, 的性質.

Lemma 3.1.8. X discrete topological space Y ={0, 1} discrete topology.

X 的 , f : X → Y onto.

Proof. a∈ X, X , X\ {a} . f : X → Y

f (x) =

{ 0, if x = a;

1, if x , a. f onto X discrete, f continuous,

.

Question 3.3. Lemma 3.1.8 , 一的 discrete topological space disconnected?

一 f : X → Y, f 的 f (X) 一 ( f (x) = b, ∀ x ∈ X), f 一 constant function.

Proposition 3.1.9. X topological space. X connected 的 discrete topological space Y, f : X → Y constant function.

Proof. X connected topological space. Y discrete topological space.

f : X → Y constant function. Y^′ = f (X) Y 的

subspace topology, Y^′ discrete topological space, g : X → Y^′

g(x) = f (x), ∀ x ∈ X continuous ( Question 1.10). f constant, Y^′ , discrete topological space Z ={0, 1}, Lemma 3.1.8 h : Y^′ → Z onto. h◦ g : X → Z continuous onto.

Proposition 3.1.6 , f constant function.

, X disconnected topological space, Lemma 3.1.6 Y discrete topological space {0, 1}, f : X → Y continuous onto, f constant

function.

Question 3.4. X connected topological space Y discrete topological space.

( Lemma 3.1.8) f : X→ Y constant function.

(5)

一性質 , 性質 homeomorphism ,

一 topological space X 一性質 , X homeomorphic 的

topological space Y, 性質? 性質 , 性質一 “拓樸性

質”. 的 , connected 的性質一拓樸性質.

Question 3.5. X, Y topological spaces X, Y homeomorphic. , X connected Y connected.

Excecise 3.1. topological space X disconnected X 的 S S S^c separated.

Excecise 3.2. R 的 standard topology. I1 = [0, ∞), I2 = (−∞, 0), J1 = [√

2, ∞), J2 = (−∞, √ 2).

(1) S₁=Q ∩ I1, S₂ =Q ∩ I2. S₁, S2 seperated.

(2) T₁=Q ∩ J1, T₂=Q ∩ J2. T₁, T2 seperated.

Excecise 3.3. Q 的 topology R 的 standard topology 的 subspace topology. X connected topological space. f : X→ Q continuous function,

f constant function. ( Q discrete, Proposition 3.1.9)

———————————– 24 November, 2017