各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項 者，該題以零分計算

107 年大學入學指定科目考試 數學乙 試題

第壹部分：選擇題(單選題、多選題及選填題共占 74 分) 一、單選題(占 18 分)

說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答 案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項 者，該題以零分計算。

1.已知實係數多項式 f (x)除以 x²－14x＋13 的餘式為 ax＋b，且 f (x)除以 x－1 的餘式為 4，

則 a＋b 的值為何？

(1)－1 (2) 0 (3) 1 (4) 4 (5) 13 解：設 f (x)＝(x²－14x＋13)Q₁(x)＋(ax＋b)

f (x)＝(x－1)Q₂(x)＋4

⇒ f (1)＝a＋b＝4 答：(4)

出處：

2.有一配置一輛運貨車之快遞公司，要將貨品運送至 A，B，C，D，E 五個不同地點。已知這五 個地點只有下列連絡道路，其所需時間如下表。例如：路線 A↔B 表示可以由 A 站到 B 站，也 可以由 B 站到 A 站，行車時間皆為 1 小時。

路線 A↔^{B A}↔^{C A}↔^{D B}↔^{E C}↔^{D C}↔^{E D}↔^E 行車時間 1 小時 1 小時 2 小時 5 小時 1 小時 1 小時 1 小時

今有配送任務必須從 A 站出發，最後停留在 E 站，每一站至少經過一次，且路線可以重複，試問至少要 花多少小時才能完成任務？

(1) 4 (2) 5 (3) 6 (4) 7 (5) 8

解：路線為 A↔^B↔^A↔^C↔^D↔E 需 1＋1＋1＋1＋1＋1＝5 小時 答：(2)

出處：排列組合

3.設 a＜b＜2 ，其中¹⁰ log ＝3。已知利用a log 、a log(2¹⁰)的值與內插法求得log 的近似值為b 3.0025，試問 b 的值最接近下列哪一個選項？(註：log2≈0.3010)

(1) 1002 (2) 1006 (3) 1010 (4) 1014 (5) 1018 解：loga＝log1000＝3

b

log ＝3.0025 )

2 (

log ¹⁰ ＝log1024＝3.010

⇒

−b

− 1024

1000 1024 ＝

0025 . 3 010 . 3

3 010 . 3

−

− ，

−b 1024

24 ＝ 3

4，∴b＝1006

答：(2)

出處：指數與對數函數

二、多選題(占 32 分)

說明：第 4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；

答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項 均未作答者，該題以零分計算。

4.已知數列 a_n 、 b_n 、 c_n 、 d_n 、 e_n 定義如下：

a ＝n (−1)ⁿ；b ＝_n a ＋_n a_n+1；c ＝_n

n











− 3

10 ；d ＝_n 3 1

c ；n e ＝_n cn

1 ；其中 n＝1，2，3，…

下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。

(1)

∑

=1 n

a (2)n

∑

=1 n

b (3)n

∑

=1 n

c (4)n

∑

=1 n

d (5)n

∑

=1 n

e n

解：(1)

∑

=1 n

an＝1－1＋1－1＋…，公比為－1，發散級數 (2)

∑

=1 n

bn＝

∑

=

− +

+

−

1

1) ) 1 ( ) 1 ((

n

n

n ＝0＋0＋……＝0，收斂

(3)

∑

=1 n

cn＝1＋ 









− 3

10 ＋

2

3 10









− ＋……，公比為 









− 3

10 ＜－1，發散級數

(4)

∑

=1 n

dn＝ 3 1

∑

=1 n

cn，發散級數 (5)

∑

=1 n

en＝1＋ 



 





− 10 3 ＋

2

10 3 



 





− ^{＋……，公比為－1＜ }

 





− 10

3 ＜1，收斂

答：(2)(5)

出處：數列與級數

5.設2 ＝3，^x 3 ＝4。試選出正確的選項。(註：^y log2≈0.3010，log3≈0.4771) (1) x＜2 (2) y＞

2

3 (3) x＜y (4) xy＝2 (5) x＋y＜2 2

解：(1)2^x＝3，⇒log2^x＝log3，∴x＝

2 log

3

log ≈1.585…＜2

(2)3^y＝4，⇒log3^y＝log4，∴y＝

3 log

4

log ≈1.261…＜

2 3 (3) x≈1.585…＞y≈1.261…

(4) x y＝

2 log

3 log ×

3 log

4 log ＝2

(5) x＋y≈1.585…＋1.261…≈2.846…＞2 2≈2.828…

答：(1)(4)

出處：指數與對數函數

6.某經銷商對甲、乙兩款血壓計作品管檢驗，發現從甲款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過 3mmHg (毫米汞柱)及超過 6mmHg 的機率分別為 0.32 及 0.1。從乙款每一批中抽出一個血壓計，

其誤差超過 3mmHg 及超過 6mmHg 的機率分別為 0.16 及 0.05。在甲、乙兩款的檢驗是獨立事 件的情況下，試選出正確的選項。

(1)從甲款中抽出一個血壓計，其誤差超過 3mmHg 但不超過 6mmHg 的機率大於 0.2

(2)若從待檢驗的甲款血壓計中連續抽兩次，每次抽一個血壓計檢驗後放回，假設這兩次的檢驗 是獨立事件，其誤差依次為不超過 3mmHg 及超過 6mmHg 的機率為 0.136

(3)從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，其誤差都不超過 3mmHg 的機率大於 0.7

(4)從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，至少有一個誤差不超過 3mmHg 的機率大於 0.84 (5)從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，兩者誤差的平均超過 3mmHg 的機率小於 0.32×0.16 解：設 P(A＝甲超過 3mmHg)＝0.32，P(B＝甲超過 6mmHg)＝0.1

P(C＝乙超過 3mmHg)＝0.16，P(D＝乙超過 6mmHg)＝0.05 (1) P(A∩ B′)＝0.32×(1－0.1)＝0.288＞0.2

(2) P(A′∩B)＋P(A∩B)＝0.68×0.1＋0.32×0.1＝0.1 (3) P(A′∩ C′)＝0.68×0.84＝0.5712＜0.7

(4)1－P(A∩ C)＝1－0.32×0.16＝1－0.0512＝0.9488＞0.84

(5) P(A∩ B′)＋P(C∩ D′)＝0.32×0.9＋0.16×0.95＝0.16×(1.8＋0.95)＝2.75×0.16＞0.32×0.16 答：(1)(4)

出處：機率

7.保險公司把投保竊盜險的住宅分為 A、B 兩級，其所占比率分別為 60%、40%。過去一年 A、B 兩級住宅遭竊的比率分別為 15%、5%。據此，公司推估未來一年 A、B 兩級住宅被竊的 機率分別為 0.15、0.05。今 A 級住宅中的 20%經過改善，重新推估這些改善過的住宅未來一年 被竊的機率會降為 0.03；而其他住宅被竊機率不變。根據以上資料，試選出正確的選項。

(1)全體投保的住宅中，過去一年遭竊的比率為 12%

(2)過去一年遭竊的投保住宅中，A 級所占的比率超過 90%

(3)推估未來一年，改善過的 A 級住宅的被竊機率為原來的 5 1

(4)經改善後，推估未來一年被竊機率，全體投保的A 級住宅會小於全體投保的 B 級住宅 (5)經改善後，推估未來一年全體投保的住宅被竊機率小於 0.11

解：(1)遭竊的比率＝60%×15%＋40%×5%＝11%

(2) A 級住宅的被竊機率占

% 11

% 15

% 60 ×

＝11 9 ＜0.9

(3) A 級住宅中的 20%經過改善被竊機率為 0.03，為原來的 15 . 0

03 . 0 ＝

5 1

(4) A 級住宅被竊機率＝40%×15%＋20%×0.03＝6.6%；B 級住宅被竊機率＝40%×5%＝2%

∴投保的 A 級住宅 6.6%＞投保的 B 級住宅 2%

(5) 6.6%＋2%＝8.6%＝0.086＜0.11 答：(3)(5)

出處：機率

三、選填題(占 24 分)

說明：第 A 至 C 題為選填題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(8－16)。

每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.地方上張安與李平兩位角逐鄉長，結果張安得票率 55%，李平得票率 45%，由張安勝選。

民調機構預測，如果下任鄉長仍由張安與李平兩人競選，選民相同且每一張票都是有效票，

則本屆支持張安的選民將有 25%倒向支持李平，而本屆支持李平的選民將有 10%倒向支持 張安。若描述上述現象的轉移矩陣為 A，則行列式 det A 的絕對值為 (請化為最簡分數) 解：根據題意，列表如下

張安 李平 張安 75% 10%

李平 25% 90%

設轉移矩陣為 A＝ 









9 . 0 25 . 0

1 . 0 75 .

0 ，det A 的絕對值＝

4 3×

10 9 －

4 1×

10 1 ＝

40 26＝

20 13

答：20 13 出處：矩陣

B.在坐標平面上的∆ABC 中，D 為 AB 的中點，且點 E 在射線 →

AC 上，滿足 AE ＝3AC。 若向量內積

v

AC⋅

v

AD ＝15，則向量內積

v

AB⋅

v

AE ＝ 。 解：

v

AC⋅

v

AD＝

v

AC

v

ADcos A＝15

v

AB⋅

v

AE＝

v

AB

v

AEcos A＝＝2

v

AD3

v

ACcos A＝6

v

AC

v

ADcos A＝90 答：90

出處：平面向量

C.有 100 元、200 元、300 元、400 元的紅包袋各一個，由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 個紅包袋，

抽取後不放回。若每個紅包袋被抽取的機會都相等，則甲、乙、丙三人紅包金額總和的期望值 為 元。

解：根據題意，甲、乙、丙取到紅包袋的機率皆為 4 1

期望值＝(100＋200＋300＋400)(

4 1＋

4 1＋

4 1)＝

4

3000＝750

答：750 出處：機率

─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─

○⁸ ○⁹

○¹⁰○¹¹

○¹²○¹³

○¹⁴○¹⁵○¹⁶

第貳部份：非選擇題(占 26 分)

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號(一、二)與子 題號((1)、(2)、……)同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必 使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、已知實係數二次多項式函數 y＝f (x)滿足 f (3)＝f (－7)。試回答下列問題。

(1)寫出 y＝f (x)圖形的對稱軸方程式。(3 分)

(2)若 f (x)＝a(x－k)²＋b，且 y＝f (x)的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或 負，並請說明理由。(4 分)

(3)若方程式 f (x)＝0 有相異實根，試證兩根之積小於 4。(6 分) 解：(1)對稱軸方程式 x＝

2 3 7+

− ＝－2

(2)由(1)得知f (x)＝a(x＋2)²＋b＝ax²＋4ax＋(4a＋b) 圖形與 x 軸交於相異兩點的條件為判別式 D＞0

D＝(4a)²－4(a)(4a＋b)＝16a²－16a²－4ab＝－4ab＞0，∴ab＜0 (3) f (x)＝0 有相異實根，且兩根之積＝

a b a+

4 ＝4＋

a

b＜4 (∵ab＜0，∴

a b＜0) 出處：多項式函數

二、某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 100 萬元，此次進口上限 20 台，售出一 台淨利潤 11 萬元；乙廠牌汽車每台成本 120 萬元，此次進口上限 30 台，售出一台淨利潤 12 萬元。今車商準備 4400 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。

試回答下列問題。

(1)寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。(4 分)

(2)在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。(3 分)

(3)試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多 少？(6 分)

解：(1)根據題意，列表如下：

成本 進口 利潤 設 甲廠牌 100 萬 20 台 11 萬 x 台 乙廠牌 120 萬 30 台 12 萬 y 台

限制 ≤4400 萬 最大

設甲廠牌進口 x 台，乙廠牌進口 y 台











≤ +

≤

≤

≤

≤

4400 120

100 30 0

20 0

0 ,

y x

y x y

x 為正整數或

，⇒











≤ +

≤

≤

≤

≤

220 6

5

30 0

20 0

0 ,

y x

y x y

x 為正整數或

目標函數 f (x，y)＝11x＋12y 的最大值

(2)

(3)利用頂點法

頂點 (0，0) (20，0) (20，20) (8，30) (0，30) f (x，y) 0 220 460 448 360 當 x＝20，y＝20 時，f (x，y)有最大值

即當甲廠牌進口 20 台，乙廠牌進口 20 台時，有最大利潤 460 萬元 出處：直線與圓

y＝30 x＝20

44 20

30

x y

5x＋6y＝220

0

(20, 20) (8, 30)

可行解 區域

• •

•

•

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