Ch 3.2

Ch 3.2 條件機率與獨立事件 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：條件機率

緣由：一事件發生的機率常因另一事件的發生與否而有所改變，此為條件機率條件機率條件機率條件機率概念

1.定義：設 A，B 為樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率稱為條件機率條件機率條件機率條件機率 記作 P(BA)＝ ( )

( ) n A B

n A

I ＝ ( ) ( ) P A B

P A

I ，意即 A∩B 在事件 A 中所占的比例，如右圖

註 1： ( ) ( ) n A B

n A

I 解讀成「在樣本空間 A(原先的子集合)中，事件 A∩B 發生的機率」

也就是說，在已知事件 A 發生的條件下，可以解讀成樣本空間由原先的 S 限縮到 A 註 2：P(BA)讀作『在 A 發生的情況下，B 發生的機率』

註 3：P(BA)與 P(AB)的意義不同 2.條件機率的性質：

(1) P(BA)＝ ( ) ( ) n A B

n A I ＝

) (

) (

) (

) (

S n

A n

S n

B A n ∩

＝ ( ) ( ) P A B

P A I

(2) 0 ≤ P(BA) ≤ 1

(3) P(B'A)＝1－P(BA) (4) P(B∪CA)＝P(BA)＋P(CA)－P(B∩CA)

◎直觀的條件機率

例 1.1：從一副 52 張的撲克牌中選出 1 張，每張牌被取出的機率相等，在已知選出的花色是紅心的條件下，試求這張牌 為紅心 A 的機率為何？

Ex1.1：一副撲克牌共有 52 張，從中隨機抽取 1 張。在抽到花色為紅心條件下，試求抽到點數為 6 的機率是多少？

◎條件機率

例 1.2：投擲一枚均勻的硬幣兩次，觀察正反面出現的情形，已知至少出現一次正面，試求兩次都是正面的機率為何？

Ex1.2：投擲一枚均勻的硬幣兩次，已知第一次出現正面，試求兩次都是正面的機率為何？

S

A B

A∩B

例 1.3：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，設每顆球被選取的機會均等，一次取一球，取後不放回，連取兩次。試求在第一次 取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的機率為何？

Ex1.3：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，設每顆球被選取的機會均等，一次取一球，取後不放回，連取兩次。試求在第一次 取到紅球的條件下，第二次取到白球的機率為何？

例 1.4：假設全班有5

7 的同學已經通過全民英檢中級，有4

7 的同學已經通過多益英語測驗的成績在 550 分以上，而有3 7 的 同學通過全民英檢中級且多益英語測驗的成績在 550 分以上。現在從班上同學中任選一人，已經知道每個人被選 取到的機會均等，試問：

(1)若這位同學已經通過全民英檢中級，則他也通過多益英語測驗成績在 550 分以上的機率為何？

(2)若這位同學的多益英語測驗在 550 分以上，則他也通過全民英檢中級的機率為何？

Ex1.4：調查某校高一學生擁有手機以及平板電腦的情形，當中擁有手機又擁有平板電腦的比例占全部學生的 60 %，沒有 手機但擁有平板電腦的比例占 5 %，沒有手機也沒有平板電腦的比例占 15 %。若在擁有手機的學生中任意挑選一 人，試問此人同時也擁有平板電腦的機率為何？

例 1.5：班上有男生 18 人，女生 20 人，男生中帶手機的有 13 人，女生中帶手機的有 18 人。試回答下列問題：

(1)今自班上任選一人，若已知此人是男生，則他帶手機的機率為何？

(2)今自班上任選一人，若已知此人帶手機，則他是男生的機率為何？

Ex1.5：某跨國企業在臺灣的分公司，合計有男員工 120 人，女員工 45 人。男員工中是外國籍的有 35 人，女員工中是外 國籍的有 20 人。試回答下列問題：

(1)今自公司任選一人，若已知此人是男員工，則他是外國籍的機率為何？

(2)今自公司任選一人，若已知此人具外國籍，則他是男員工的機率為何？

重點 2：獨立事件

前言：條件機率是一事件的發生與否，可能改變另一事件發生的機率，但是也有 A 發生了也不影響 B 發生的機率，

稱 A，B 兩事件為獨立獨立獨立，亦即 P(B)＝P(B獨立 A)

1.定義：若兩事件 A，B 滿足 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則稱 A，B 為獨立事件獨立事件獨立事件， 獨立事件 若兩事件 A，B 不是獨立事件，則稱 A，B 為相依相依相依事件相依事件事件 事件

註 1：A，B 為獨立事件，即「A 發生了也不影響 B 發生的機率」，⇒ P(B)＝P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P ∩

註 2：獨立事件獨立事件獨立事件獨立事件是指兩事件互不干擾，而兩事件還是可能同時發生；

互斥事件 互斥事件

互斥事件互斥事件是指一個事件發生，另一個事件就不會發生，即 A∩B＝φ 2.判斷獨立事件注意事項：

(1)判斷兩事件彼此之間是否獨立，無法依經驗來猜測，必須根據定義根據定義根據定義根據定義來檢驗 (2)若 A、B 為非空事件且為互斥事件，則 A、B 必不是獨立事件

(3)任一事件和空事件空事件空事件空事件必為獨立事件，即 P(A∩∅)＝P(∅)＝0＝P(A)P(∅) (4)任一事件和全事件全事件全事件全事件必為獨立事件，即 P(A∩S)＝P(A)＝P(A)⋅1＝P(A)P(S) 3.性質：

(1)已知 A，B 為獨立事件，則 P(A)＝P(AB)，P(B)＝P(BA)

(2)設已知 A，B 為獨立事件，則：(1)A′，B 也是獨立事件 (2) A，B′也是獨立事件 (3) A′，B′也是獨立事件 (3)已知 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則：(1) P(A′∩B)＝P(A′)P(B)，(2) P(A∩B′)＝P(A)P(B′)，(3) P(A′∩B′)＝P(A′)P(B′)

◎條件機率之獨立概念

例 2.1：投擲一顆公正骰子一次，若 A 表示擲出奇數點的事件，B 表示擲出 1 點或 2 點的事件，C 表示擲出偶數點的事件，

D 表示擲出 1 點或 3 點的事件，試問：

(1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？ (3) A 與 D 是否為獨立事件？

Ex2.1：投擲一顆公正骰子一次，若 A 表示擲出奇數點的事件，B 表示擲出 2 點或 3 點或 4 點的事件，試問 A 與 B 是否為 獨立事件？

◎互斥與獨立事件

例 2.2：在某段時間內根據紀錄知道甲地下雨的機率是 0.3，乙地下雨的機率是 0.4，假設在這段時間內，兩地是否下雨互 不影響，試計算在這段時間內：

(1)甲，乙兩地都下雨的機率為何？ (2)至少有一個地方下雨的機率為何？

Ex2.2：甲，乙兩臺機器生產某一種零件，根據過去紀錄知道甲機器的合格率為 0.9，乙機器的合格率為 0.85，已知兩臺機 器的作業過程互不影響，今從它們生產的零件中各取一件，則：

(1)兩個零件都合格的機率為何？ (2)至少有一個零件合格的機率為何？

例 2.3：已知兩事件 A，B 為獨立事件，且 P(A)＝

2

1，P(A∪B)＝

3

2，試求下列各機率：

(1) P(B) (2) P(A'∩B) (3) P(A'∩B')

Ex2.3：若兩事件 A，B 為獨立事件，且 P(A)＝

3

1，P(B)＝

5

2，試求：(1) P(A′∩B) (2) P(A′∩B′)

例 2.4：若甲，乙兩種種子根據過去栽種經驗，知道其發芽率分別為 0.9 與 0.75，今從這兩種種子中各取一顆，假設各種 子是否發芽相互獨立，試求：

(1)恰有一顆種子能發芽的機率為何？

(2)兩顆種子都沒有發芽的機率為何？

(3)至少有一顆種子發芽的機率為何？

Ex2.4：甲，乙兩人獨立射擊，根據過去紀錄知道兩人的命中率分別為 0.6 與 0.5，且各人命中與否為獨立事件。

若兩人各射擊 1 次，試求：(1)兩人都沒命中的機率 (2)靶面恰中 1 發的機率

重點 3：三事件獨立

定義：若三事件 A，B 與 C 滿足：

(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)，即 A，B 為獨立事件 (2)P(B∩C)＝P(B)P(C)，即 B，C 為獨立事件 (3)P(A∩C)＝P(A)P(C)，即 A，C 為獨立事件 (4)P(A∩B∩C)＝P(A) P(B)P(C)

則稱三事件 A，B，C 彼此為獨立事件

註：由以上的定義可知，當三事件兩兩彼此獨立時，此時滿足以上定義的前 3 點，但是第 4 點不一定會成立

◎三事件獨立

例 3.1：籤筒中有編號為 1 到 12 號的籤各一支，今自筒中抽出一籤。令事件 A 表示抽到號碼為 1，2，7，8 號的事件；

事件 B 表示抽到號碼為 1，2，3，4，5，6 號的事件；事件 C 表示抽到號碼為 1，2，3，10，11，12 號的事件。

試問：

(1) A，B 事件是否為獨立事件？

(2)B，C 事件是否為獨立事件？

(3)A，C 事件是否為獨立事件？

(4) A，B，C 三事件是否為獨立事件？

Ex3.1：袋中有編號為 1 到 8 號的球各一顆，今自袋中任取一球。設：事件 A 為取到的球號為 1，2，3，4 的事件；

事件 B 為取到的球號為 2，4，6，8 的事件；事件 C 為取到的球號為 1，2，5，6 的事件。

試問 A，B，C 三事件是否為獨立事件？

例 3.2：若 A，B，C 為獨立事件，且 P(A)＝1

3，P(B)＝2

5，P(C)＝1

2，試求 P(A′∩B′∩C′)

Ex3.2：若 A，B，C 為獨立事件，且 P(A)＝

5

4，P(B)＝

4

3，P(C)＝

3

2，試求 P(A∪B∪C)

例 3.3：甲，乙，丙三人投籃球，根據過去紀錄知道三人的命中率分別為 0.4，0.5，0.6，且每個人命中與否為獨立事件。

若三人各投籃 1 次，試求：(1)三個人都命中的機率為何？ (2)至少有一人命中的機率為何？

Ex3.3：甲，乙，丙三人獨立射擊，根據過去紀錄知道三人的命中率分別為 0.5，0.6，0.7，且每個人命中與否為獨立事件。

若三人各射擊 1 次，試求：(1)三個人都沒有命中的機率為何？ (2)恰有兩人命中的機率為何？

◎樹狀圖

例 3.4：溫布頓男子網球賽採五戰三勝制(即先勝三局者獲勝晉級)，根據過去紀錄知甲選手與乙選手實力有段差距，甲選 手與乙選手獲勝的機率比為 4：1，但比賽前兩局甲選手因失誤過多，導致兩局皆敗。假設經過短暫休息後，甲選 手恢復原來水準，之後也沒有其他特殊狀況發生，請問比賽最後結果誰獲得晉級的可能性較大？

Ex3.4：甲，乙兩人比賽桌球採三戰兩勝制，即先拿到兩勝的人贏得比賽。根據以往對戰經驗，每場比賽甲勝乙的機率是 0.6，並假設每場比賽結果互不影響，試求甲贏得比賽的機率為何？