高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高二(下)平時測驗 日期：95.04.03 班級 普二 班

範

圍 2-1 集合的元素個數 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)某班學生有 52 人參加數學測驗，試題 A，B，C 三大題，答對 A 有 37 人，答對 B 有 30 人，答對 C 有 25 人，答對 A，B 有 20 人，答對 A，C 有 16 人，答對 B，C 有 13 人，三題均答對者有 5 人，則(A)三題均答錯者有 4 人 (B)恰對一題者有 10 人 (C)至少對一題者有 48 人 (D)至少對兩題者有 38 人 (E)恰對 A 一題者有 6 人

【解答】(A)(C)(E)

【詳解】

設答對 A，B，C 題者所成集合分別為 A，B，C，則

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C) = 37 + 30 + 25 − 20 − 13 − 16 + 5 = 48（至少對一題）

⇒ n(A′ ∩ B′ ∩ C ′ ) = 52 − n(A ∪ B ∪ C) = 52 − 48 = 4（三題均答錯）

由圖知 n(A ∩ B′ ∩ C ′ ) + n(A′ ∩ B ∩ C ′ ) + n(A′ ∩ B′ ∩ C) = 6 + 2 + 1 = 9（恰對一題）

至少對二題者 = 15 + 11 + 8 + 5 = 39；恰對 A 一題者 = 6

2. (複選)設 A∈N 且 1 ≤ A ≤ 500，則下列何者正確？

(A)不為 5 的倍數之 A 值有 400 個 (B)為 2 或 3 的倍數之 A 值有 333 個 (C)為完全平方數或完全立方數之 A 值有 27 個

(D)不為 2，不為 3 且不為 5 的倍數之 A 值有 134 個 (E)與 28 互質之 A 值有 214 個

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A)對。500 − [ 5

500] = 500 − 100 = 400

(B)對。[

2 500] + [

3 500] − [

6

500] = 250 + 166 − 83 = 333 (C)對。S：平方數，S = {1²，2²，…，22²}，n( S ) = 22 C：立方數，C = {1³，2³，…，7³}，n( C ) = 7 S ∩ C ={1⁶，2⁶}，n( S ∩ C ) = 2

n( S ∪ C ) = n( S ) + n( C ) − n( S ∩ C ) = 22 + 7 − 2 = 27

(D)對。n(A2 ∪ A3 ∪ A5)= n(A2) + n(A3) + n(A5) − n(A6) − n(A15) − n(A10) + n(A30) = [

2 500] + [

3 500] + [

5 500] − [

6 500] − [

15 500] − [

10 500] + [

30 500]

= 250 + 166 + 100 − 83 − 33 − 50 + 16 = 366 所求 = 500 − 366 = 134

(E)對。28 = 2² × 7

n(A2 ∪ A7) = n (A2) + n (A7) − n (A14) = [ 2 500] + [

7 500] − [

14

500] = 250 + 71 − 35 = 286 所求 = 500 − 286 = 214

二、填充題(每題 10 分) 1. 小於 1000 的自然數中，

(1)不是 3 且不是 5 的倍數有 個。

(2)是 3 或 5 或 7 的倍數者有 個。

(3)是 3 或 5 但不為 7 的倍數者有 個。

【解答】(1) 533 (2) 542 (3) 400

【詳解】

(1)

= 999 − ([

' '

3 5 3 5

( ) 999 (

n A ∩A = −n A ∪A ) 3 999] + [

5 999] − [

15

999]) = 999 − 333 − 199 + 66 = 533 (2) n(A3 ∪ A5 ∪ A7)= n(A3) + n(A5) + n(A7) − n(A15) − n(A35) − n(A21) + n(A105) = [

3 999] + [

5 999] + [

7 999] − [

15 999] − [

35 999] − [

21 999] + [

105

999] = 542 (3) n((A3 ∪ A5 )−A7) = n(A3 ∪ A5 ) − n(A7 ∩ A5 ) − n(A7 ∩ A3 ) + n(A3 ∩ A5 ∩ A7) = [

3 999] + [

5 999] − [

15 999] − [

35 999] − [

21 999] + [

105

999] = 400

2. 設A = {x ∈ N｜1 ≤ x ≤ 540 且x與 360 互質}，n(A) = 。

【解答】144

【詳解】

∵ 360 = 2³ × 3² × 5，1 ≤ x ≤ 540 且(x，360) = 1 在 1 到 540 的正整數中去掉 2 或 3 或 5 的倍數

n(A2 ∪ A3 ∪ A5) = n(A2) + n(A3) + n(A5) − n(A6) − n(A15) − n(A10) + n(A30)

⇒ n(A) = 540 − (270 + 180 + 108 − 90 − 54 − 36 + 18) = 144

3. 職棒四年季後冠軍爭霸戰，是由季內賽前兩名，作七戰四勝的比賽，爭年度總冠軍，現 已賽畢三場，兄弟象以 2：1 勝統一獅，則往後的比賽結果有 種以決定冠軍。

【解答】10

【詳解】利用樹狀圖

從象 2 獅 1 開始，往後比賽的情形共有 10 種

4. 7200 之正因數中為 5 的倍數但不為 9 的倍數者有 個。

【解答】24

【詳解】

7200 = 2⁵．3²．5²，d | 7200 且 5 | d，但 9 d

設d ，其中

則d共有 6 × 2 × 2 = 24 個 2^p 3^q 5

= × × ^r p=0,1, 2, 3, 4, 5 ; q=0,1 ; r=1, 2

5. 某班學生上次期中考成績：國、英、數不及格人數依序為 7、16、17，國英、國數、英 數兩科不及格人數依序為 5、3、8，三科皆不及格有 2 位，三科皆及格有 15 位。

(1)至少有一科不及格的人數為 。 (2)全班共有 位學生。

【解答】(1) 26 (2) 41

【詳解】

(1)設 A，B，C 三集合分別表示國、英、數不及格的人所成集合 設 U 表全班人所成集合

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) −n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 7 + 16 + 17 − 5 − 3 − 8 + 2 = 26

(2)n(U) = n( A ∪ B ∪ C ) + n( A′ ∩ B′ ∩ C ′ ) = 26 + 15 = 41

6. 由 1，2，3，4，5，…到 1357，共 1357 個正整數中，共出現 個 0。

【解答】365

【詳解】

(1)個位數 0 10，20，…，1350，共 135 個 (2)十位數 0 三位數

⇒

⇒ ⇒ 9 × 10 = 90

⇒四位數 ⇒ 4 × 10 = 40

∴ 共 90 + 40 = 130 個

(3)百位數 0 ⇒四位數 ⇒ 10 × 10 = 100

∴ 共有 135 + 130 + 100 = 365 個 0

7. 1 到 1000 中，3 或 5 的倍數有 個，不是 6 也不是 4 的倍數有 個。

【解答】(1) 467 (2) 667

【詳解】

(1)[ 3 1000] + [

5 1000] − [

15

1000] = 333 + 200 − 66 = 467（個）

(2) 1000 − [ 4 1000] − [

6 1000] + [

12

1000] = 1000 − 250 − 166 + 83 = 667（個）

8. 甲地與乙地之間共有六條道路，其中三條是雙向道，兩條 是甲地到乙地的單向道，一條是乙地到甲地的單向道。今

有一人從甲地騎車到乙地，請問有多少路徑供他選擇

；如果他從甲地騎車到乙地，再騎回甲地，那麼他有多少 方法？ 。

【解答】5；20

【詳解】

(1)甲到乙的路徑有 5 條 (2)甲到乙再回到甲的路徑

先由甲到乙有 5 條走法，再由乙到甲有 4 條走法，共 5 × 4 = 20 條路徑

9. 3600 有多少個正因數？ ，這些正因數中，又有多少個是 30 的倍數？ 。

【解答】45；16

【詳解】

3600 = 2⁴ × 3² × 5²，d | 3600 且 30 | d，設d=2^p× ×3^q 5^r，其中 p=1, 2, 3, 4 ; q=1, 2 ; r=1, 2 則d共有 4 × 2 × 2 = 16 個

10.將 10 個相同的球分給甲，乙，丙三人，每人至少 2 個，至多 4 個，有 種分 法，其中甲分得的球比乙多的方法有 種。

【解答】6；2

【詳解】

10 個相同的球，分給甲，乙，丙各 x，y，z 個且 2 ≤ x，y，z ≤ 4 則 x，y，z 之解，有下列情況

x 4 4 4 3 3 2 y 4 3 2 4 3 4 z 2 3 4 3 4 4

共有 6 種分法，其中甲比乙多的分法有 2 種

11.以紅、藍、黃、綠、橙、紫、黑七色塗下圖之A，B，C，D，E，F六部分，

每一部分僅以一色塗之，顏色可重複使用，相鄰部分必須不同色，則有 種塗法。

【解答】30240

【詳解】

C D E F A B

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

7⋅ 6⋅ 5⋅ 4⋅ 6⋅ 6⋅ =30240

12.如圖，用 4 種顏色著色，4 色都用，塗在下圖區域中，相鄰區域 顏色須相異，則有 種塗法。

【解答】72

【詳解】

依 A，B，C，D，E 的順序，分成兩類

cB，D 同色、塗法有 4 × 3 × 2 × 1 × 2 = 48 種 dB，D 異色、塗法有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 24 種 共有 48 + 24 = 72 種塗法

13.用一元硬幣 8 個，五元硬幣 1 個，十元硬幣 1 個，

(1)可付 種款項。(2)有 種付款方式。

【解答】(1) 23 (2) 35

【詳解】

(1) 大鈔換小鈔 ，有 1 元至 23 元，共 23 種款項

(2) = 35

8 5 1 10 1 23

⇒ + × + × = (8 1)(1 1)(1 1) 1+ + + −

14.某自助餐廳備有肉 4 種，魚 3 種，蔬菜 5 種，一位客人預計各點一種肉、魚和蔬菜，問 他有 種點菜的方式。

【解答】60

【詳解】4 × 3 × 5 = 60（種）

15.在一場宴會中，與會的 30 人彼此兩兩握手寒暄，如果大家都與自己除外的每一個人握 到一次手，則此次宴會中所有人共計握手了 次。

【解答】435

【詳解】

每個人與其他 29 人每人握手 1 次，共 30 人，但每次握手被重複算了兩次(張三與李四，

李四與張三為同一次)，

2 30

× 1

− 30 )

( = 435（次）

16.某地街道圖如右，則由A → E走捷徑有 種走法，A

→ C走捷徑有 種走法。

【解答】21 種；84 種

【詳解】

17.如下圖，以紅、黃、綠、藍、黑五色塗A，B，C，D四區，顏色可重複使用，每區塗一 色或不塗色，相鄰二區不同色，且最多一區不塗色。共有 種不同的塗法。

【解答】680

【詳解】

A B C D 方法

全塗 5 4 4 4 320

A 不塗色 1 5 4 4 80

B 不塗色 5 1 5 4 100

C 不塗色 5 4 1 5 100

D 不塗色 5 4 4 1 80

共 320 + 80 + 100 + 100 + 80 = 680

18.以 1000 元換成 500 元，100 元，50 元三種鈔票，其換法有 種，若其中 100 元券至少一張，其換法有 種。

【解答】18；15

【詳解】

設 1000 元券換成 500 元 x 張，100 元 y 張，50 元 z 張

則 500x + 100y + 50z = 1000，x，y，z 為非負整數 ⇒ 10x + 2y + z = 20

(1)c當 x = 0 ⇒ 2y + z = 20，其解為 共有 11 組解 d當 x = 1 ⇒ 2y + z = 10，其解為 共有 6 組解 e當 x = 2 ⇒ 2y + z = 0，有 1 組解(2，0，0)

∴ 換法有 11 + 6 + 1 = 18 種 (2)限制 100 元至少一張時（即 y ≥ 1）

c當 x = 0 時 ⇒ 2y + z = 20，其解有 10 組 d當 x = 1 時 ⇒ 2y + z = 10，其解有 5 組 ∴ 換法有 10 + 5 = 15 種

19.設一室有 5 個門，兄弟二人由不同門進入，不同門出來，則 (1)自己可以由相同門進出時，其方法有 種。

(2)自己不可以由相同門進出時，其方法有 種。

【解答】(1)400 (2)260

【詳解】

(1)兄先進入方法有 5 種，弟再進入方法有 4 種 進入方法共有(5 × 4 )種 兄出來時方法有 5 種，弟出來時方法有 4 種 出來方法共有(5 × 4 )種 進出方法共有(5 × 4 ) × (5 × 4 )= 400 種

(2)進入： 兄先進入方法有 5 種，弟再進入方法有 4 種 進入方法共有(5 × 4 )種 出來：

兄由弟進入時的門出來，其出來方法有 1 × 4 = 4 種 兄不經由弟進入時的門出來，其出來方法有 3 × 3 = 9 種 故進出方法有 20 × ( 4 +9 )= 260 種

⇒

⇒

⇒

21.在一園遊會上，共有 60 人參與猜謎，謎題兩題，答對第一題的有 28 人，答對第二題的 有 35 人，兩題都答錯的有 5 人，則兩題都答對的有幾人？________________；只答對 第一題的有幾人？______________

【解答】8；20

【詳解】

設 A 表答對第一題的人所成的集合，設 B 表答對第二題的人所成的集合，則

∵ n(A′ ∩ B′) = 5 ⇒ n(U) − n(A ∪ B) = 5

∴ 60 − [28 + 35 − n(A ∩ B)] = 5 ⇒ n(A ∩ B) = 8（人）

n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) = 28 − 8 = 20（人）

22.下圖中，在坐標平面上，由 A 沿著方格線走到 B，試問：

(1)不經過原點的捷徑有多少條？______________

(2)不經過第二象限的捷徑有多少條？_______________

【解答】(1) 132 (2) 186

【詳解】

23.如圖，A 走到 B，走捷徑的方法有幾種？__________

【解答】30

【詳解】

捷徑如圖

共有 30 種走法

24.湖中有 A，B，C 三條船，A 船可乘坐 3 人，B 船 2 人，C 船 1 人，有 3 男 2 女乘船遊湖，

但女生需有男生陪伴，則乘坐這些船的方法有多少種？_______________

【解答】27

【詳解】

依性別及人數的乘坐法可分成 4 類：

A B C 乘坐法

1 男 1 女 1 男 1 女 1 男 (3×2×1)×(2×1) = 12 1 男 2 女 2 男 0 (3×1)×1 = 3

1 男 2 女 1 男 1 男 (3×2×1)×1 = 6 2 男 1 女 1 男 1 女 0 (3×1)×(2×1) = 6

乘坐法為(男生坐法×女生坐法)⇒ 乘坐法有 12 + 3 + 6 + 6 = 27

25.有甲、乙兩人參加同一考試，甲做錯全部試題的 4

1，乙做錯 9 題，而兩人同時做錯的題 數為全部試題的

6

1 ，試問兩人同時做對的題數是多少？_____________

【解答】2 或 13 或 24 或 35

【詳解】

設全部題數為 x，則兩人做錯的總題數為 +9

=12

− 6 9 4 +

x x x

∴ 兩人均做對的題數為 −9

12

=11 9 12 +

− x x

x ( )

∵ (兩人同時做錯的題數) ≤ (乙做錯的題數) 6

x ≤ 9 ⇒ x ≤ 54，

又 −9 12

11x 為一正整數 ⇒ x 為 12 的倍數

∴ x = 12，24，36，48 ⇒ −9=2 12

11x ，13，24，35