題目：於深紫外光範圍之薄膜與液體折射率量測

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：於深紫外光範圍之薄膜與液體折射率量測

Measurements for the Index of Refraction of Thin Film and Liquid in DUV Range

系 所 別：電機工程學系碩士班光電組 學號姓名：M09101047 鄒志宏

指導教授：鄭 劭 家 博 士

中華民國 九十三 年 六 月

目 錄

中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ 英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅱ

誌謝辭．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅲ 目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅳ 圖目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅵ 表目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅷ 第一章 緒論．．．．．．．．．．．．．．． 1

第二章 基本原理．．．．．．．．．．．．． 5

2.1 薄膜內的干涉現象 ．．．．．．．．．．．． 5 2.2 由反射率曲線推導薄膜的光學常數 ．．．．． 11

2.3 稜鏡折射率推導 ．．．．．．．．．．．． 15

第三章 量測薄膜光學常數的實驗部分 及

結果分析．．．．．．．．．．．．． 19

3.1 光源功率不穩定時的解決方法 ．．．．．．． 19

3.2 實驗設備與儀器架設 ．．．．．．．．．．． 21

3.3 實驗數據結果分析 ．．．．．．．．．．．． 22

3.4 實驗數據結果驗證 ．．．．．．．．．．．． 25

第三章 量測液體折射率的實驗部分 及

結果分析．．．．．．．．．．．．． 27

4.1 驗證量測方式的可行性與設備位置架設 ．．．． 27 4.2 在測試樣品內光軸長度的數學逼近 ．．．．． 30 4.3 cell 評估與選取 ．．．．．．．．．．．． 33 4.4 誤差控制與入射光調整 ．．．．．．．．． 35 4.5 液體折射率量測 ．．．．．．．．．．．． 39

第五章 結論．．．．．．．．．．．．．．． 43

參考文獻．．．．．．．．．．．．．．．．． 44

圖 目 錄

圖 1-1 微影常用之光源與波長對應圖．．．．．．．．．．． 1 圖 1-2 液體加入微影製程的示意圖．．．．．．．．．．．． 3 圖 2-1 TM 偏振光．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 圖 2-2 TM 波由介電質 0 入射到介電質 1．．．．．．．．． 7 圖 2-3 TM 波斜向入射至薄膜．．．．．．．．．．．．．． 8 圖 2-4 TM 波斜向入射至吸收性薄膜．．．．．．．．．．． 9 圖 2-5 光於介面 a、b 經由多次來回反射與透射．．．．．． 10 圖 2-6 Fabry-Perot Etalon 反射頻譜示意圖．．．．．．．．． 11 圖 2-7 Snell’s law．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 圖 2-8 薄膜光學常數疊代流程圖．．．．．．．．．．．．． 14 圖 2-9 光入射到稜鏡的示意圖．．．．．．．．．．．．．． 16 圖 2-10 偏向角曲線示意圖．．．．．．．．．．．．．．．． 17 圖 3-1 量測入射光強度示意圖．．．．．．．．．．．．．． 19 圖 3-2 量測反射光強度示意圖．．．．．．．．．．．．．． 20 圖 3-3 真空室內量測反射率．．．．．．．．．．． 21 圖 3-4 反射光譜曲線圖．．．．．．．．．．．．．．．． 22 圖 3-5 各波長的折射率相對應點與近似曲線．．．．．．． 22 圖 3-6 各波長的折射角．．．．．．．．．．．．．．．．． 23

圖 3-7 吸收係數曲線．．．．．．．．．．．．．．．．．． 24 圖 3-8 消光係數曲線．．．．．．．．．．．．．．．．．． 24 圖 3-9 TE 波薄膜反射光譜．．．．．．．．．．．．．．．． 25 圖 3-10 TM 波之模擬反射光譜．．．．．．．．．．．．．． 26 圖 4-1 光入射至 prism 的示意圖．．．．．．．．．．．．． 28 圖 4-2 laser beam 掃描曲線(1) ．．．．．．．．．．．．．． 29 圖 4-3

D’

疊代流程圖．．．．．．．．．．．．．．．．．． 32 圖 4-4 入射光擴束後再經過狹縫．．．．．．．．．．．．． 37 圖 4-5 laser beam 掃描曲線(2) ．．．．．．．．．．．．．． 41

表 目 錄

表 4-1 cell 是否發生全反射的評估表．．．．．．．．．．． 33 表 4-2

L

之適用評估表．．．．．．．．．．．．．．．．． 33 表 4-3 誤差評估表(1) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 35 表 4-4

α

值逼近．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 36 表 4-5 誤差評估表(2) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 37 表 4-6

L

值數據表(1) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 39 表 4-7

L

值數據表(2) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 40 表 4-8

L

值數據表(3) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 41 表 4-9

L

值數據表(4) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 42

第一章 緒論

隨著積體電路邁向小體積、高密度的演變，在半導體製程中，微 影技術(Lithography)為重要的關鍵製程。微影技術在半導體製程上之 定義是指以光束經由光罩(mask)對晶圓上之光阻照射，使光阻產生化 學變化，經顯影之後將光罩上之圖案轉移至晶圓。光學微影技術可用 可見光(visible)、近紫外光(near ultraviolet，NUV)、中紫外光(mid UV，

MUV)、深紫外光(deep UV，DUV)、真空紫外光(vacuum UV，VUV)、

極紫外光(Extreme UV， EUV) 、X-ray 等光源對光阻進行照射。圖 1-1 為各種曝光光源的波長。

Hg-Arc G-line

436nm

Hg-Arc I-line

365nm

KrF

248nm

Light Source Wavelength

( nm ) Spectrogram

0.01 0.1 1 10 100 200 300 400

MUV NUV UVB UVA

ArF

193nm

F2

157nm Free electron laser

X-ray

SR X-ray Laser Induced X-ray

Soft X-ray

VUV

DVC

DUV Hard X-ray EUV

圖1-1 微影常用之光源與波長對應圖 (摘自[1])

既然半導體積體電路元件朝向小體積、高密度演進，微影技術所 要求的線寬自然也越來越窄。一個光學系統所能達到的最小線寬是由 光的波長和系統的數值孔徑(Numerical Aperture)來決定。此線寬

R

可 表示為

1

λ NA

R = k

(1-1)

其中 是系統常數，

λ

是光的波長，NA 是數值孔徑。從 (1-1) 式 可知，我們可用較大的數值孔徑NA 來縮小線寬，但大尺寸的光學系 統通常售價較高且技術上有其限制；因此縮小線寬另外的方法即降低 曝光光源的波長。

k

1

本論文所欲量測的薄膜，為光阻之「阻體」。對於其曝光時所用 之波長，必須要有穿透的特性，才可以使光阻中的酵素，在位置比較 接近晶片表面的部分也可以被曝光光源所作用。但在此光阻阻體的吸 收特性量測上，又必須以旋轉塗佈(spinning-coating)後的光阻樣品來 進行量測，才能更接近實際的使用情形。因此，這樣的量測必須包含 兩大重點：一是要以在目前之曝光製程所感興趣的波長範圍（DUV range）來進行量測，而國家同步輻射中心所提供之光源是很適合的 一項資源；另一個重點是以此波長範圍進行薄膜量測工作。

薄膜光學特性的量測，一般以薄膜樣品的反射或吸收光譜量為其 實驗數據。但是實驗數據尚需要進行後續的分析，才可以得到薄膜的 折射率、吸收率等數值。在過去，有各種不同的分析方法被提出來進 行數據分析。其中較著名的即為 1976 年由 Manifacier 所提出的包絡 法[2]，1983 年 Swanepoel 將之推廣到考慮基板的雙面效應[3]。對於 使用反射光譜或穿透光譜之逆運算法，計算出唯一的一組折射率

n

、 消光係數

k

是不容易的，只能得到一個較合理的逼近值或近似值。在 本篇論文中，將入射光波大部分的偏振型態(TM 波)、斜向入射角(～

45 度)至覆有光阻的 wafer 上等實驗條件列入考慮之後，先由反射光 譜的波峰位置，計算出光阻在不同波長下的折射率

n

與所對應之折射 角θ，再進而推導出光阻的消光係數

k

與吸收係數

α

。

在現今半導體的微影製程中，縮小線寬另外可以藉由提高數值孔 徑NA 來達成。而 NA 的提高最直接的方式就是改善透鏡組，使光經

圖1-2 液體加入微影製程的示意圖 (摘自[4])

由空氣通過透鏡組時能得到較大的NA。若我們使光再通過另一介質 (液體)來改變光的偏折角，即可再將 NA 值提高。圖 1-2 為液體加入 微影製程的示意圖。另一方面，由於半導體製程中，經常需要用到水、

硫酸… 等液體，這些液體大多是用來輔助半導體製程，如果我們更 加了解這些液體的材料特性，對於半導體製程的改善將更有幫助。

對於液體的折射率，過去即有許多研究與量測方法被各研究單位 提出[5] [6] [7]，本篇論文將液體置於自行設計的容器中，光經過此容 器將造成光的偏折，經由計算其最小偏向角，進而推導出液體的折射 率。本實驗所設計之系統可量測的折射率範圍為1.3 ~ 1.8，折射率的 量測結果顯示其精確度可達小數點後第四位。

第二章 基本原理

電磁波入射至薄膜會因為多次反射造成干涉現象，使反射率隨著 波長的不同而改變。本章先對電磁波在薄膜內的干涉現象作一介紹，

並推導相關之數學方程式。對於由反射光譜計算折射率等光學常數的 流程，亦在本章作一說明。液體折射率的量測，本文所應用之原理為 光通過稜鏡之「最小偏向角」（minimum deviation angle）的現象，於 本章之後半段，對於光束在稜鏡中的折射、偏向的幾何關係，以圖形 與數學式敘述之。

2.1 薄膜內的干涉現象

電磁波在不同的介質有不同的物理現象，若我們對介質定義(光 學常數)，對於電磁波的改變才能有依據可循。

由電磁波方程式[8]可知，電磁波於介質（介電係數：

ε

_c ）可得 波數

K

²

= ω µε

² _c

= K N

₀^{2 2}；其中

K

₀

= 2π =

c

λ ω

^{為光波在真空中之}

波數；

c

^為光速；

= c

λ f

為光波在真空中之波長；

f = 2 ω

π

^為頻率。

令

N = n - i k

；

n

定義為折射率，

k

定義為消光係數。

由波因亭(Poynting)[9]方程式，可得電場

E

、磁場

H

與光強度

I

的數學關係式：

I = P = E H × ；P

為波因亭向量。電場與光強度

I

的關係為

2 4

0 0 0

1 2

kd - d

I = n Y E e = I e

π α

− λ

(2-1) 電 磁 波 的 強 度 ， 在 厚 度 為 d 的 介 質 中 以 指 數 關 係 衰 減 。 式 中

0 0

0

Y

ε

=

µ

為自由空間導納(admittance)； 為電磁波於自由空間的 電場強度。吸收係數

α

[10]定義為

E

0

4 π k

α ⁼ λ

^(2-2)

TM 波為電場平行於入射平面的偏振光（亦稱為 P-偏振光）。圖 2-1 為 TM 偏振光示意圖。在本實驗中所使用之光源，其電場的偏振

+

E

0

E

0⁻

1+

E

圖2-1 TM 偏振光

方向大部分為TM 偏振，因此本論文薄膜干涉的理論模型，也以 TM 偏振為電磁波偏振型態。

TM 波入射到不同的介質將造成電場大小與方向的改變，如圖 2-2 所示。因平行於介面電磁場具有連續性，反射波遵守反射定律，令

i r o

θ θ θ = =

_，可得

0

cos

0 0

cos

0 1

cos

E

⁺

θ + E

⁻

θ = E

⁺

θ

_{1 (2-3)}

0 0 1 0 0 0 0 1

H

⁺

+ H

⁻

= H

⁺

⇒ Y E

⁺

− Y E

⁻

= Y E

₁⁺ _(2-4)

由(2-3)式、(2-4)式可得反射係數

ρ

_p 與透射係數

τ

_p

0 1

0 0

p

0 1

0

0 1

cos cos

cos cos

Y Y

E

Y Y

E

θ θ

1

ρ

θ θ

− +

−

≡ =

+

^(2-5)

0 0

1 p

0 0 1 1

2 cos

cos cos

Y E

E Y Y

τ θ

θ θ

0

+

≡

+

=

+

^(2-6)

0 1 θ0 θ₀

θ1 0 cos 0

E⁺ θ

0 cos 0

E⁻ θ

1 cos 1

E⁺ θ E0

Z

+

圖2-2 TM 波由介電質 0 入射到介電質 1

當反射面積為

A

時，將TM波的反射率

R

p定義為：

2

0 0 0 2

r r

p 2 p

i i

0 0 0

1 Re( ) cos

cos 2

cos 1 Re( ) cos 2

Y E R I A

I A Y E

θ θ ρ

θ θ

−

+

≡ = =

_(2-7)

當TM 波斜向入射至薄膜時，如圖 2-3 所示，可知第一次反射與第二 次反射有光程差，其等效光程差等於 E、C 兩點之間之光程差（OPD, optical path difference）。光經介面a 反射到 E 點之光路徑（optical path）

0

AE

0

AC sin N ⋅ = N ⋅ θ

₀

0

2 tan sin

0

2 tan sin

N d θ θ N d θ θ

= ⋅ = ⋅

光透過介面a，到達介面 b 再反射到 C 點之光路徑為

(AB BC) 2 AB 2

cos

N N N d

+ = = θ

N

N

s

N

0 ^E

θ

0

A

B

T

Thin Film

Substrate

θ

R

C

d a

Air

b

圖2-3 TM 波斜向入射至薄膜

OPD 2 1 tan sin 2 cos

Nd cos θ θ Nd θ

θ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⋅ ⎟ ⎠ =

^(2-8)

這表示斜向入射之光程差（OPD）比垂直入射之光程差短，也就是說 等效膜層厚度變薄了。於是膜層之等效相厚度

δ

為

2 π Nd cos

δ θ

= λ

_(2-9)

當膜層具有吸收時（

N = n - ik

），如圖2-4 所示，a 介面與 b 介面的 反射係數

ρ

_a、

ρ

_b，由(2-5)式可得

0 0

0 0

a

0 0

0 0

s s

s s

b

s s

s s

i co s co s co sθ co sθ

i

co s co s co s co s

i

co s co s co s co s i

co s co s co s co s

N N N n

N N N n

N N

N n k

N N

N n k

θ θ

ρ

k k

θ θ θ θ

θ θ θ

ρ θ

θ θ θ θ

− − −

= =

+ + −

− − −

= =

+ − +

ρ; R

ρ

a

ρ

b ^{Thin Film}

Air

= -i N n k

N

s

N

0

θ

0

θ

A

d a

b

τ; T

B Substrate

圖2-4 TM 波斜向入射至吸收性薄膜

光束於介面a、b 兩個介面之間，經由多次來回反射與透射，如圖 2-5 所示，光的總反射係數為

ρ

ρ

τ

ρ

τ N

0

N

s

a +

a

b

τ

b

τ

+ b

ρ

+ a

ρ

+

ρ

a⁻

ρ

b⁻

N

τ

a⁻

τ

b⁻

圖2-5 光於介面 a、b 經由多次來回反射與透射

i2 i4 2 i6

a a b a

e

^δ a b a b a

e

^δ a b

(

a b

)

a

e

ρ ρ =

⁺

+ τ ρ τ

^{+ + − −}

+ τ ρ ρ ρ τ

^{+ + − + − −}

+ τ ρ ρ ρ τ

^{+ + − + − − δ}

+⋅⋅⋅

i2 b a a

a i2

b a

1

+ + - - + - -

e

- e

δ δ

ρ τ τ

ρ ρ ρ

=

+

+

由於

ρ

_a⁻

= − ρ

_a⁺，

τ τ

_{a a}^{+ −}

= − 1 ρ

_a⁺²，帶入上式可得

i2

a b

i2 a b

e

1 e

δ δ

ρ ρ

ρ ρ ρ

−

−

= +

+

(2-10)

式中

ρ

a

= ρ

a⁺_，

ρ

_b

= ρ

_b⁺_，

2

cos π N d

δ θ

= λ

_{為膜層之等效相厚}

度。應用(2-7)式，可得到薄膜的 TM 波反射率

R

2 *

R = ρ = ⋅ ρ ρ

_(2-11)

2.2 由薄膜的反射光譜推導光學常數

由圖 2-5 知光束於薄膜介面 a、b 之間發生多次反射與透射，此 現象與Fabry-Perot Etalon[11]的行為一致。圖 2-6 為 Fabry-Perot Etalon 反射頻譜示意圖，頻譜中相鄰兩峰值的頻率差可表示為∆f，

∆ f

f

圖2-6 Fabry-Perot Etalon 反射頻譜示意圖 根據圖2-3 與 (2-8)式，頻率差 ∆f 為

∆

0

2 cos f c

nd θ

=

(2-12)

又

∆f

與對應之波長的關係為

0 0

1 2

∆ c c

f λ λ

⎛ ⎞

= ⎜ −

⎝ ⎠ ⎟

(2-13) 其中

λ

₁為譜線1 對應的波長，

λ

₂為譜線 2 對應的波長。由(2-12)式、

(2-13)式可得折射率

n

(λ)為

( )

1 2

1

1 1

2 c

n

d λ

os θ

λ λ

= ⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

(2-14)

式 中

λ

在 本 篇 論 文 中 定 為 波 長

λ

₁ 與 波 長

λ

₂ 之 平 均 波 長 ：

1 2

2

λ λ

λ = ⁺

由(2-14)式，折射角θ與折射率

n

皆會隨波長而改變，其關係可 藉由Snell’s law 表示，如圖 2-7 所示

θ0

θ1

θ0

N

0

N

1

圖2-7 Snell’s law

0

sin

0 1

sin

N i θ = N i θ

₁ (2-15) 於是折射率

n

與折射角θ即可解得。

當光入射到薄膜時，由於入射介質的折射率為1 與入射角可由實 驗控制，因此只要知道薄膜的折射率

n

即可知折射角θ。但薄膜的折 射率

n

無參考數值，因此本論文採取的方法，先假設薄膜折射率2.5，

由Snell’s law 得折射角θ，再由 Fabry-Perot Etalon 頻譜及(2-14)式即 可得一相對應的折射率

n

，此折射率

n

與所假設之 2.5 尚有差距，

並非薄膜的折射率，本實驗的做法是再把此折射率

n

代入(2-15)之

，以得到相對應的折射角

N

1

θ

₁，再把此折射角取代(2-14)式中之折射 角θ，如此(2-14)即可再得一相對應的折射率

n

，重複上述動作，即 折射率

n

與折射角θ不斷地各自代入(2-14)、(2-15)式，可發現折射率

n

與折射角θ都不斷地逼近其數值，當其逼近值的誤差小於 即 停止上述疊代動作，此時之

n

值即為波長

λ

之折射率，圖2-8 為說明 上述疊代動作的流程圖。

10

⁻5

本篇論文所要量測的薄膜光學常數，除了上述的折射率外，還有 消光係數

k

與吸收係數

α

，它們定義於2.1 節。

由2.1 節可知

I = I

₀

e

^-αd ，式中的 d 是假設光垂直入射至厚度 為 d 之介質，如果光改為斜向入射，式中的 d 就要依照 2.1 節描述修 正，將 d 修正為 d

/

cosθ，因此將(2-1)式修正為

I I = e

₀ ^-αd/cosθ ，可 得

o

cos ln =

I - I

d θ α

⋅

(2-16) 將(2-16)式代入(2-2)式可得

= k α λ 4 π

(2-17)

薄膜光學常數疊代流程圖

i

= 1

n

θ

_i

= 45

^o , preset

n

₁

= 2.5

由 snell’s law

n

_i

i sin = ( ) sin ( ) θ

_i

n

_m

λ i θ λ

_m

可得

θ

₁ 16^o

由實驗值可得

∆f

，代入下式可得

n

(

λ

)

m

( )

m

1 2

1

1 1

2 c

n

d λ

o s θ

λ λ

= ⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

取 n_m( )

λ

與

θ λ

_m

( )

當

n

_m

( ) - λ n

_m-1

( ) λ ≤ 10

^-5

m

( )

θ λ

；m = 1,2,3,…

m

( ) n λ

由

m m i

cos ln = -

I

o

I d θ α

⋅

可得

α λ

_m

( )

由 m

=

^m

k α λ 4π

式

可得

k

_m

( ) λ

m

( ) θ λ

m

( ) α λ

NO YES

圖2-8 薄膜光學常數疊代流程圖

2.3 稜鏡折射率推導

由Snell’s law 可知，光由某一介質入射到另一介質，若此兩介質 的折射率不同，光在進到第二介質時將造成光的偏折，本實驗利用上 述定理，讓光由空氣入射到待測液體，由光的偏折量來計算液體的折 射率。由於液體具有流動性，必須有一容器(cuvette)(以下簡稱 cell) 來承放液體，以方便量測液體折射率，因而液體(待測物)的形狀完全 取決於 cell，意即光的入射角完全取決於 cell 對光的角度。液體的形 狀由cell 固定，因此可簡化分析將 cell 內的液體視為固體，將稜鏡假 設為cell 內的液體，讓光通過稜鏡以分析光的偏折量，進而推導出折 射率與偏折角的關係。

以下的數學推導是說明光入射到一稜鏡，即產生了兩次光偏折，

藉由光的偏向角來推算稜鏡的折射率。圖 2-9 即為光入射到一稜鏡的 示意圖。

圖2-9 光入射到稜鏡的示意圖 (摘自[12])

圖2-9 顯示一光源由左方射向稜鏡，經過兩次透射後由右方射 出。光打到第一面(B 點)與法線呈

θ

_i1 角，透射後與法線呈

θ

_t1角 (Snell’s law)，光再打到第二面(D 點)與法線呈

θ

_i2角，透射後與法線 呈

θ

_t2 角。由幾何關係可得

δ = ( θ θ

_i1

-

_t1

)+( θ θ

_t2

-

_i2

)

_，

δ

角即代 表光經過兩次透射後所呈現的偏向角。

α

為稜鏡的頂角，由幾何關係可得

t1 i2

= +

α θ θ

(2-18)

代入偏向角可得

i1 t2

δ = θ + θ − α

(2-19) 由Snell’s law 可得

( ) ( )

1 1

t2

sin n sin

i2

sin n sin(

t1

)

θ =

⁻

⋅ θ =

⁻

⋅ α − θ

1 2 2 12

i1 i1

sin

^{− ⎡}_⎢

(sin )( α n sin θ ) sin θ cos

^⎤_⎥

⎣ ⎦

= − − α

代入

δ

角可得

-1 2 2 12

i1 i1 i1

= sin [(sin )( -sin n ) sin cos ]

δ θ + α θ − θ α − α

由實驗得知，當

θ

_i1改變，

δ

角會有最小值

δ

_m (minimum deviation angle) , 示意於圖 2-10。

圖2-10 偏向角曲線示意圖 (摘自[12])

圖 2-10 顯示當稜鏡的折射率為 1.5、

α

角 60 度，入射角

θ

_i1 由 30 度調整到 90 度，

δ

角將有一最小值

δ

_m，此

δ

_m 角可由數學關係 式得

i1

d = 0 d

δ

θ

^，代回 (2-19)式可得

t2

i1 i1

d

d = 1+ = 0

d d

θ δ

θ θ

(2-20) 由兩次透射之Snell’s law 關係式，經過一次微分可得

i1 i1 t1 t1

t2 t2 i2 i2

co s d co s d

co s d co s d

n n

θ θ θ θ

θ θ θ

= ⋅

= ⋅ θ

(2-21) 由(2-18)式對

θ

_{t1作一次微分可得}

d θ

_t1

= -d θ

_i2 (2-22) 由(2-20)式、(2-21)式、(2-22)式可得 ^{i1 t1}

t2 i2

cos cos

cos cos

θ θ

θ ⁼ θ

將左右兩式平方

2 2

i1 i1

2 2 2

t2 t2

1-sin -sin

1-sin = -sin n

n

θ

2

θ

θ θ

因

n ≠ 1

，所以

θ

_i1

= θ

_{t2 ，}

θ

_t1

= θ

_i2，代回(2-18)式、(2-19)式可得

θ

_i1

= ( δ

_m

+ α ) / 2

；

θ

_t1

= α / 2

(2-23) 代回Snell’s law 可得

s i n [ (

m

+ ) / 2 ]

= s i n ( / 2 )

n δ α

α

(2-24) 由(2-24)式可知，最小值

δ

_m (minimum deviation angle) 與

α

角將決 定折射率

n

的數值。

第三章 量測薄膜光學常數的實驗部分 與 結果分析

為因應同步輻射光的光功率並非穩定，必須在設備架設與數學運 算上作調整，以得到反射率光譜。由反射率光譜與第二章數學推導可 進而分析出薄膜光學常數。將薄膜光學常數以電腦程式模擬反射率光 譜，如此驗證的工作於本章後半段說明。以下將詳細內容分為 4 小節 來陳述

3.1 光源功率不穩定時的解決方法

由第二章得知，要計算反射率必須先量測入射光強度與反射光強 度，如(2-7)式所示。但同步輻射光的光功率並非穩定，因此量測入射 光強度與反射光強度都須將功率不穩定之因素考慮進去，才可取得正 確數據。

石英片

I

i

I

c1

圖 3-1 量測入射光強度示意圖

圖 3-1 為量測入射光強度的示意圖，石英片對深紫外光(DUV)有 較高之穿透率，因此將它應用為分光片，將部分入射光功率引入下方 之 P.M.T.2.(PhotoMultiplier Tube)，此 P.M.T.之量測數值為 ，透射 光再由 P.M.T.1.量測，其數值為 ， 可視為入射光之背景值，得

I

c 1

I

i

I

_ic

i ic

c1

I I

= I

(3-1)

石英片 矽晶片

I

c2

I

₀

圖 3-2 量測反射光強度示意圖

圖 3-2 為量測反射光強度的示意圖，由石英片透射之光功率經矽 晶片反射，由 P.M.T.1.量測即為反射光強度，運用前述的方法，P.M.T.1.

的量測數值以下簡稱 ，P.M.T.2.的量測數值以下簡稱 ，因此反 射光訊號修正為

I

o

I

_{c 2}

o oc

c2

I I

= I

(3-2) 將(3-2)除以(3-1)可得反射率

o

o c c 2

i c i

c 1

I

I I

= =

I I

I

R

(3-3)

3.2 實驗設備與儀器架設

圖 3-3 真空室內量測反射率

圖 3-3 中間原柱狀金屬即為真空室，同步輻射光源由右邊射向中 間的真空室，由左邊的 P.M.T.接收，如圖 3-1 所示。因深紫外光( DUV ) 於自然空氣中將造成光功率被吸收，進而造成光強度的衰減與不穩 定，因此量測環境需要真空，使之與空氣隔絕。

3.3 實驗數據結果分析

圖 3-4 反射光譜曲線圖

本實驗量測 6 片不同厚度光阻的反射光譜，圖 3-4 為其中兩片與 矽晶片的反射光譜。曲線圖的波峰與波谷可以看出光於薄膜內有干涉 現象，由各峰值即可找出

Δf

，

如

(2-13)式所示。依據圖 2-8 薄膜光 學常數疊代流程圖，即可將光學常數

(n、 k、α)

算出。折射率

n

(λ) 與折射角

θ

(λ)顯示於圖 3-5、圖 3-6。

實驗值

圖 3-5 各波長的折射率相對應點與近似曲線

圖 3-5 的圓點群為

Δf

所對應的折射率，以最小方差法計算出一 條近似曲線，此近似曲線即為

n

(λ)，再將

n

(λ)代入 snell’s law 可得

θ

(λ) ，如圖 3-6 所示。

圖 3-6 各波長的折射角

將

θ

(λ)與實驗所得入射光強度

I ( )

_i

λ

與反射光強度

I ( )

₀

λ

代入 (2-16)式，可得吸收係數

α

(λ)之曲線，如圖 3-7 所示。再將

α

(λ) 代 入(2-17) 可得消光係數

k

(λ)之曲線，如圖 3-8 所示。

實驗值

圖 3-7 吸收係數曲線

圖 3-8 消光係數曲線

3.4 實驗數據結果驗證

由(2-11)式可知，藉由薄膜的光學常數(

n

,

k

)與基板的光學常數 (

n

,

k

)計算出薄膜的反射率

R

[13]。若能逼近或近似實驗取得的反射 率

R

，計算之光學常數(

n

,

k

,

α

) 就應該非常接近實際值。

由於缺乏電腦軟體的輔助，要將所有的光學常數全部代入(2-11) 式計算反射率

R

是不容易的，因此本實驗設計一套 TE 波與 TM 波的 薄膜反射率電腦程式，它以 MATLAB 6.5 程式所撰寫。將光學常數 (

n

,

k

,

d

,θ)分別代入 TE 波與 TM 波的薄膜反射率電腦程式，發現 TM 波的反射光譜較接近實驗量測的數值曲線，TE 波的反射光譜有明顯 的差異，因此本論文在分析的簡化上，都以 TM 波的反射光譜視為驗 證曲線。圖 3-9 為實驗取得之反射光譜(d=3056Å)與 TE 波之模擬反射 光譜。

圖 3-9 TE 波薄膜反射光譜

圖 3-10 TM 波之模擬反射光譜

圖 3-10 為實驗取得之反射光譜(d=3056Å)與 TM 波之模擬反射光 譜，模擬反射光譜略小於實驗數值，但峰值的波長位置兩者相近，即

n

(λ)與

d

已經接近實際值。程式模擬與實驗所得之反射光譜的差異，

可大致歸納為 3 個重點。

(Ⅰ) 折射率曲線的變化率太大 (Ⅱ) 消光係數太大

(Ⅲ) 光阻厚度太薄

此差異為未來再次實驗發展改進的重點 。

第四章 量測液體折射率的實驗部分 與 結果分析

由2.3 節可知，光通過稜鏡有「最小偏向角」（minimum deviation angle）的現象，本章將先以稜鏡配合實驗儀器與設備的架設，驗證 本實驗量測方式的可行性與設備位置架設符合實際需求。最小偏向角 的量取與測試樣品的幾何形狀息息相關，因此cell 的評估與選取將深 深影響到液體折射率的量測，本章將以數學推導說明。最後以實驗數 據來驗證本論文的量測方式與過程。以下將詳細內容分為5 小節來陳 述

4.1 驗證量測方式的可行性與設備位置架設

本實驗是為了量測在光源波長 193nm 的條件下，液體折射率的 數值 ; 但由於波長 193nm 的光源不是可見光，因此本實驗先以波長 633nm 的 HeNe laser 當作測試光源，並以 BK7 prism (Refractive Index 1.515 @ 633nm)作為系統測試的介質，當此系統架設的可靠度 達到一定的標準(量測折射率的精確度達到小數點後第 4 位) ，再以波 長193nm Excimer laser 作為光源，以量測液體折射率的數值。

由 2-3 節稜鏡的折射率數學推導得知，測試樣品的折射率必須由

測試樣品的α角與光路最小偏向角

δ

_m 計算出，由圖2-9 可知，

δ

_m 角 在測試樣品內部，幾乎不可能用儀器量測，因此在

δ

_m 角的量測上，

本論文是以數學三角函數推導求出。本實驗採用 BK7 prism(Refractive Index 1.515 @ 633nm)，它的α角為 45 度，如此由(2-24)即可推得光 路最小偏向角

δ

_m≒25.8681 度。

Da D_b

D D’

L1

L

δ

圖4-1 光入射至 prism 的示意圖

由圖4-1 可知，入射光經過兩次透射後往右方射出。光路最小偏 向角

δ

_m 為

_-1 (4-1)

m

= tan ( L

'

) δ D

本實驗將prism 置於旋轉平台上，如此來控制入射角與偏向角的 大小，當偏向角達到最小時，旋轉平台控制不再轉動以量取

L

。

L

數

值本實驗是以步進馬達精密算出，在步進馬達上置一連接數位電表的 光感測器(Photo Diode)，光感測器於步進馬達移動中即不斷接收光的 輸入，光強度與相對位置由電腦紀錄，而距離的判讀就由兩相對位置 數值相減得之。因 laser beam 並非理想的一個點，但距離的量測一定 要有兩個相對點，本實驗是以步進馬達移動掃描方式，即可得到如圖 4-2 所示 profile 曲線，而此 laser beam 的位置就取 profile 讀數最強的 位置。

圖4-2 laser beam 掃描曲線(1) 本實驗步進馬達的解析度調為10μm，可量得

L

= 246970μm，由(4-1)與

δ

_m≒25.8681 度，可算出

D

’≒509337μm 將 prism 由旋轉平台取下，以量尺直接量測

D

，得到的數值約 518.0 mm，數值接近且大於

D

’，符合圖 4-1 所示，即驗證本實驗量 測方式的可行性與設備位置架設符合實際需求。

4.2 在測試樣品內光軸長度的數學逼近

大部分的測試樣品因不知道折射率而無法馬上計算出最小偏向 角

δ

_m。本論文採取數學逼近法得到

D

’，進而由三角函數計算得到

δ

_m， 再以(2-24)式計算測試樣品的折射率。

D

’數學逼近法對於測試樣品的邊長與入射光的位置特別重要。本 實驗將入射光打在測試樣品上的位置(光點)定為旋轉平台軸心的位 置，如此測試樣品的邊長(

L

_∆)與光點的幾何距離即可掌控，如圖 4-1 所示，將測試樣品置於旋轉平台上以量得

L

，而數學逼近的第一步就 是先將

D

_j與

L

取反正切以得偏向角

δ

_j

1 j

j

tan ( L ) , j=1,2,3,...

δ =

⁻

D

， D₁= D (4-2) 由已知折射率的液體

n

^與

δ

j代入(2-24)，可得

α

j

將

α

j_與

δ

_j代入(2-23)，可得

θ

_i1，之後再代入(2-15)

i1 t1

1 sin i θ = sin n i θ

(4-3) 可得

θ

_t1

由三角函數

^sin

^a

⁺

^b

⁼ sin 180 - - 90 -

^{o ∆}

^/2 (

^{o i1}

)

D D L

α ^⎡ _⎣ α θ ^⎤ _⎦

(4-4) 可得D D_a+ _b

(

^a

⁺

^{o b i2}

) ^{= sin (}

^{i11 t1}

⁾

sin 90 -

D D L

θ θ

θ ⁻

^{(4-5) 可得 L1}

(

^b

)

1

o

m t2

sin sin 9 0 - D L

δ

⁼

θ

(4-6) 可得

D

_b

由(4-4)與(4-6)可得

D

_a，因此可得

'j

= -

j a

, j=1,2,3,...

D D D

(4-7)

然而本論文在數學逼近的第一步是先將 D 與 L 取反正切以得偏

向角

δ

_{j，之後將偏向角}

δ

_j代入(2-24)式，但(2-24)式的偏向角應以最 小偏向角

δ

_m代入而非偏向角

δ

_j，因此本論文的修正方法是將(4-7)所 得的

D

^'j(j=1)代入(4-2)取代

D

_j ，經過運算(4-7)將會再得到一新的

'j

D

(j=2)，反覆上述動作將使

D

^'j逼近於某一定值，而此一定值即是

D

^'

實際數值。但由(4-2)到(4-7)的數學循環運算不可能使 成為定值，

本論文的做法為當

'j

D

' ' 4

j

-

j-1

10

D D ≤

⁻

µ m

，即將

D

^'j值視為實際

D

^'值。

圖

4-3

為

D

^'疊代流程圖。

D’疊代流程圖

'1

D

(

D

^'1

= D

)與 實驗值

L

1

j '

j

tan ( L ) , j=1,2,3,...

δ =

⁻

D

j j

j

sin[( + )/2]

= sin( /2)

n δ α

α

^，得

α

^j

i1 j

= (

j

+

j

)/2

θ δ α

i1j t1j

1 sin i θ = n i sin θ

_{， 得}

θ

_t1

D

^'_j

- D

_j-1^'

= ∆ D

^'

' 4

∆ D ≤ 1 0

⁻

NO

YES

'j

D

與 實驗值

L

取

D

^'j

已知 L_∆/2 ，

由三角函數運算得

D

^'j

圖4-3

D’

疊代流程圖

4.3 cell 評估與選取

由2-3 節可知，α 角由液體的形狀所控制，即為 cell 形狀控制，

然而(2-24)方程式成立的條件是在入射光必須要有兩次透射，因而液 體的折射率

n

、

α

角與入射角將決定此條件是否成立。一般液體於室 溫下的折射率大多都在一定範圍，表4-1 即為當液體折射率為

n

= 1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8 時， cell 的α角製作為 30、45、60、

90 度之下，將造成之最小偏向角的數值，同時也可評估避免全反射 發生之範圍。表4-2 說明當

D

= 500.0 mm 時，最小偏向角數值所對 應的

L

值 (本實驗設備步進馬達的最大行進距離

L

約 26 cm)。

表4-1 cell 是否發生全反射的評估表

表4-2

L

之適用評估表

由表4-2 可看出，在

D

不改變的原則下，只有當α為30 度時，

L

值才能全部小於步進馬達的最大行程。如此可以因應未來量測液體

折射率由1.3 至 1.8 的可能範圍。

本實驗將cell 的容量取 1~2 c.c.為容量大小範圍，cell 的一個角若 取90 度會使製作較容易，因此將 cell 的 3 個內角設計成 30、60、90 度，圍成cell 的 3 面切割成 1+ 0.1 ╳ 1.8 ╳ 0.1 (cm)

3+ 0.1 ╳ 1.8 ╳ 0.1 (cm) 2+ 0.1 ╳ 1.8 ╳ 0.1 (cm) 可作成容量約 1.6 c.c. 的容器 (實驗液體取 1 c.c.) 。

cell 材料的選取也非常重要，因本實驗是為了量測在光源波長 193nm 的條件下，液體折射率的數值，所以 cell 材料必須要對光源 波長 193nm 有較少的光吸收，並且對光要有高穿透率，如此才不致 影響液體折射率的量測，石英(quartz)即滿足此條件。

4.4 誤差控制與入射光調整

cell 依照 4.3 節的設計製作後，必須作驗證的工作，以確定製作 好的 cell 是否與設計一致，尤其是

α

角的驗證工作，它直接影響到 液體折射率數值的精確度。以4.1 節的 BK7 prism 為例，

α

= 45 度、

n

^{= 1.515、}

δ

m≒25.8681 度，若在

δ

_m 不變的情形下，表4-3 即說明

α

角的誤差將造成液體折射率的變動，當

α

角變動0.008 度，折射率 的精確度即只能達到小數點後第4 位。

表4-3 誤差評估表(1)

為了

α

角的量測，本論文以數學逼近法將

α

角逼近，運用的方 法就是 4.2 節的數學逼近法。先將已知折射率的液體 water[14]倒入 cell 中以量得

L

，經過運算取出

D

^'j，此時的

α

_{j也將因疊代運算而趨}

於定值，本論文即將

α

j_{值視為實際}

_α

_值。

表 4-4 為

L

= 95000μm、water (Refractive Index 1.33211 @ 633nm、 )、

L

^解析度為10μm 的條件下，做了 6 次數學疊代運 算，得到

α

≒30.291 度。

20 C

o

表4-4

α

值逼近

很顯然，與設計相差 0.291 度，起因於兩石英片相黏是以 U.V.

膠，膠水本身就有厚度，另一因素為石英片切割不平整，導致兩石英 片相黏不齊。由於前兩項因素，要使構成α角的兩個面都垂直於同一 平面，製作上非常不容易，這將造成入射光與第二折射光高度不同，

光感測器的位置將因應量測不同液體而作調整。

D

與

L

都是藉由光 感測器所量測，若調整光感測器的位置，將進而影響到折射率的精確 度。表 4-5 即說明

L

的誤差將造成液體折射率的變動，當

L

變動 60µm，折射率的精確度即只能達到小數點後第 4 位。

表4-5 誤差評估表(2)

本實驗為了量測折射率的精確度達到小數點後第4 位的目的，光 感測器的位置絕對不能在步進馬達上調整，但這將造成折射光打不到 光感測器的可能性，因此本實驗的修正做法是將入射光擴束再通過一 狹縫，如圖4-4 所示，如此擴束後的光束經過狹縫將產生繞射效應

圖4-4 入射光擴束後再經過狹縫

[15]，此效應的零階光強度遠比其它階數的光強度還要強，因此這種 改善做法不會影響到量測折射率的精確度，並使折射光束形成一細條 狀而非光點，當不同折射率的液體倒入cell 時，此細條狀光束還是會 因cell 的兩個面不垂直於同一平面而打在不同區域，若這些區域有共 同交集，讓步進馬達上的光感測器能在此一共同交集上移動，如此光 感測器的位置就不用在步進馬達上作調整。

4.5 液體折射率量測

量測數值的穩定性(可靠度)也是本實驗的量測重點，精確度的提 升可由前4 節的數學逼近與設備改良達到，至於量測數值的穩定性就 要 由 多 次 量 測 數 值 的 差 異 性 來 分 析 。 表 4-6 的 數 據 為 量 測 water(Refractive Index 1.515 @ 633nm、 ) ，

L

^{解析度為10μm，}

6 次實驗所得到的

L

值有 4 次數值相同。

20 C

o

表4-6

L

值數據表(1)

本論文分別將6 次實驗的

L

代入4.2 節的數學逼近循環運算，即 可得折射率

n

。

n

= 1.33209±0.00002，與標準值誤差為 0.00002，準 確率至小數點後第5 位，符合這次實驗所要求的精確度。

本實驗再以另一液體Toluene 來量測，若量測數值的精確度與穩 定性都能達到標準，即可以4.1 節所提，將入射光源改為波長 193nm Excimer laser。

表 4-7 的 數 據 為 量 測 Toluene(1.4955@589nm 、 1.4911@656nm)[10]，

L

解析度為10μm。

表4-7

L

值數據表(2)

分別將實驗的

L

值代入 4.2 節的數學逼近循環運算，可得 Toluene 折射率為

n

= 1.49383±0.00001 ，因參考值並無波長 633nm 對應的 折射率數值，因此無法得到準確率，但穩定性無慮。

將入射光源改為波長193nm Excimer laser，它是一種脈衝光源，

不同於波長 633nm HeNe laser 穩定輸出光源，因此本實驗因應這種 光源作儀器的調整。於穩定輸出光源，步進馬達移動頻率將不影響光 感測器的接收譜線，即會如圖4-2 所示的連續性；但 Excimer laser 是 脈衝光源，若步進馬達移動的頻率超過脈衝光發射的頻率，光感測器 接收的譜線就無法形成連續，最大值的位置就很難找出，因此本實驗 修正的做法是提高脈衝光發射的頻率及光感測器並聯一個電容後再 連上數位電錶，如此的做法是拉近兩種頻率數值與延緩光感測器上電

壓值的變動性，數位電錶接收的譜線即如圖4-5 所示的連續性，如此 即可找出電壓最大值所對應的位置。

圖4-5 laser beam 掃描曲線(2)

表 4-8 的 數 據 為 量 測 water(1.43664 ± 0.00002@193nm 、 )[NIST] ，

L

^解析度為 10μm， 6 次實驗所得到的

L

^值有 3 次數值相同。

21.5 C

o

表4-8

L

值數據表(3)

分別將實驗的

L

值代入4.2 節的數學逼近循環運算，量測得 water 折射率為

n

= 1.43747±0.00002 ，與標準值誤差為 0.00083，準確率 至小數點後第4 位。

再量測另一液體 0.15% PossnMe4，表 4-9 的數據中， 6 次實驗 所得到的

L

值有2 次數值相同。

表4-9

L

值數據表(4)

分別將實驗的

L

值代入4.2 節的數學逼近疊代運算，量測得 0.15% PossnMe4 折射率為 n = 1.43778±0.00003 。

第五章 結論

在量測薄膜的光學常數部分，本實驗利用同步輻射光源，以實驗

量得反射光譜，藉由薄膜內的干涉現象與 Snell’s law，利用本文所提 之疊代流程，可以簡易地求出接近實際材料之折射率

n

、吸收係數

α

與消光係數

k

。在波長範圍 180～240 nm 中，這些光學常數對於光阻 或薄膜材料具有參考價值。程式模擬與實驗所得之反射光譜的差異，

可大致歸納為 3 個重點。

(Ⅰ) 折射率曲線的變化率太大 (Ⅱ) 消光係數太大

(Ⅲ) 光阻厚度太薄

此差異為未來再次實驗發展改進的重點 。

在量測液體的折射率部分，將液體置於自行設計的容器中，藉由 光的偏折推導出液體的折射率。本論文的液體折射率量測精確度可達 小數點後第 4 位。

參考文獻

1. 童啟弘，”離子輔助熱蒸鍍紫外光學薄膜之研究”，國立中央大學 光電科學研究所碩士論文，2002。

2. J. C. Manifacier , J. Gasiot and J. P. Fillard, “A Simple Method for the Determination of the Optical Constannts n,k and the Thickness of a Weakly Absorbing Thin Film”, J. Phy. E. : Sci. Inst. 9, 1002-1004.

3. R. Swanepoel, ”Determination of the thickness and Optical Constants of Amorphous Silicon”, J. Phy. E. : Sci. Inst. 16, 1214-1222.

4. W. Conley, C. Taylor, G. Willson, ”New Fluids for 193nm Immersion Lithography”, www.sematech.com .

5. M. R. Shenoy, Sukhdev Roy, and K. Thyagarajan, “Simple prism coupling technique to measure the refractive index of liquid and its variation with temperature”, 1989.

6. J. M. St-Arnaud, J. Ge, J. Orbriot, and T. K. Bose, “An accurate method for refractive index measurements of liquids using two Michelson laser interferometers”, 1991.

7. Ph. Marteau, G. Montixi, J. Obriot, T. K. Bose and J. M. St. Arnaud,

“An accurate method for refractive index measurements of liquids : Application of the Kramers-Kronig relation in the liquid phase”, 1990.

8. David K. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”,Second Edition, Chapter 8. ,Addison-Wesley Publishing Company, 1989.

9. David K. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”,Second Edition, Chapter 8. ,Addison-Wesley Publishing Company, 1989.

10. 李正中，薄膜光學與鍍膜技術，第三版，第二章，藝軒圖書出版 社，2002。

11. Kelin J. Kuhn, “Laser Engineering”, Chapter 3. , Prentic Hall, 1998.

12. Eugene Hecht, Optics –4^th ed. Chapter 5. , Addison Wesley , 2002.

13. Edward D. Palik, Handbook of Optical Constants of Solids, Orlando Academic Press , 1985.

14. David R. Line , Handbook of Chemistry and Physics, 82^nd Edition, CRC, 2001-2002.

15. Eugene Hecht, Optics –4^th ed. Chapter 10. , Addison Wesley , 2002.