x) + b = 0 的二根為 α

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：93.03.04 班級

範

圍 1-3 對數+Ans

座號

姓名一. 單選題(每題 10 分)

1. 若 a，b∈R 且(log2

x)

²+ a(log2

x) + b = 0 的二根為 α

，

β

，則 y²+ ay + b = 0 的兩根為 (A)

α

，

β

(B) 2^α，2^β (C) ^α )^β

2 (1 2)

(1 ，　 (D) log₂

α

，log₂

β

(E) log

2

1

α

，log

2 1

β

答案：(D)

解析：

∵ (log₂

x)

²+ a(log2

x) + b = 0 二根為 α

，

β

∴ (log₂

α

)²+ a(log2

α

) + b = 0 且(log2

β )

²+ a(log2

β ) + b = 0

∴ y²+ ay + b = 0 的二根為 log2

α

，log₂

β

2. 2x + 2log10(2 + 10^−x) − log10(

4

1+ 10^x+ 10^2x)可化簡為下列何種形式：

(A) 2．10^x (B) x．log₁₀ 4

1 (C) 2log₁₀2 (D) 1 (E) 2x + 10^2x 答案：(C)

解析：

2x + 2log10 (2 + 10^−x) − log10 ( 4

1+ 10^x+ 10^2x) = log1010^2x+ log10(2 + 10^−x)²− log10( 2

1+ 10^x)²

令 t = 10^x> 0，原式 = log10

2 2 2

2 ) (1

1) 2 (

t t t

+

+ = log10

2 2

2 ) (1

) 1 2 (

t t

+

+ = log10

2 2

2 ) (1

2) ( 1 4

t t

+

+ = log104= 2log102

二、複選題(每題 10 分)

1.設 A，B∈R，下列敘述何者正確？

(A) logA²= 2logA (B) logA²

B

²= logA²+ logB² (C) log ₂

2

B A = logA

²− logB² (D) logA = − log

A

1 (E) 0 < y ≠ 1，x > 0，logy

x = y x

log log 答案：(E)

解析：

(A) A < 0 時不對 (B)(C)(D)於 A = 0 時不對 2.下列式子哪些是正確的？

(A) log77 = 1 (B) log32 + log34 = log36 (C) log517 − log513 =

13 log

17 log

5

(D) log₂5．log₂7 = log₂35 (E) log₄9 = log ₂ 3 答案：(A)(E)

解析：

(A) 對數性質 (B) log₃2 + log34 = log38 ≠ log36

(2)

(C) log517 − log513 = log5

13 17 ，

13 log

17 log

5

5 = log1317 ∴ 二式不相等 (D) log₂35 = log₂(5．7) = log₂5 + log₂7 ≠ log₂5．log₂7

(E) log49 = log 322 ²= 2

2log23 = log23，log ₂ 3= log

2 1

2

3²

1

= 2 1 2 1

log23 = log23 ∴ 二式相等

3.下列等式，何者正確？

(A) log

3

12 = log3

2

1 (B) log

3

1 1 = log2 32 (C) log4

3

4 2= log32 (D) log32．log23 = 1 (E) log32．log

3 1 1 = 1 2 答案：(A)(B)(C)(D) 解析：

(A) log

3

12 = log 2 = − log3⁻1 ₃2，log₃

21 = − log₃2 (B) log

3

1 21 = log 2⁻¹= log₃2 (C) log

3⁻1

43

4 2= log

4 1

3

2⁴

1

= log₃2 (E) log

3

1 21 = log₃2 ≠ log₂3 4.設 a 是不等於 1 的正數，x 為實數，則下列何者必成立？

(A) log_ax²= 2log_ax (B) log_a(x + 1)²= 2log_a(x + 1) (C) log_a(x − 1)²= 2log_a(x − 1) (D) loga (x²+ 1)²= 2loga (x²+ 1) (E) loga (x²− 1)²= 2loga (x²− 1)。

答案：(D)

5.下列敘述，何者正確？

(A) a > 0，a ≠ 1，b^r> 0，則 loga b^r= rloga b (B)適當地選取 a，可使 log2 a = 1999 (C)適當地選取 a，可使 loga a = 3 (D)適當地選取 a，可使 loga1 = 5 (E)適當地選取 a，可使 3^a= 2

答案：(B)(E) 解析：

(A) logab^r= rloga|b| (B)當 a = 2¹⁹⁹⁹時，log2a = 1999 (C) logaa = 1，∀ a > 0，a ≠ 1 (D) loga1 = 0，∀ a > 0，a ≠ 1 (E)若 3^a= 2，則 a = log32

二、填充題(每題 10 分)

1. 設 loga x = 3，logb x = 4，logc x = 5，logd x = 6，則 logabcd x 之值為。 答案：19

20

解析：

logx a = 3

1，log_xb = 4

1，log_xc = 5

1，log_xd = 6 1

⇒ logx a + logx b + logx c + logx d = 31 +

1 +4 51 +

6

1 ⇒ logx abcd = 20

19 ⇒ logabcd x = 19 20

(3)

2. 設 a = log23，b = log35，c = log57，試將 log₂₁420 的值用 a，b，c 表示。

答案： a abc

abc ab a

+ + + + 2 解析：

∵ a = log23，ab = log23．log35 = log25，abc = log23．log35．log57 = log27

∴ log₂₁420 =

21 log

420 log

2

2 =

) 7 3 ( log

) 7 5 3 2 ( log

2 2 2

×

× =

7 log 3 log

7 log 5 log 3 log 2 log

2 2

2 2 2

+

+ +

+

= a abc abc ab a

+ + + + 2

3. 設 log₃{log

2

1[log₅(x + 3)]}有意義，則 x 的範圍是。 答案：− 2 < x < 2

解析：

log

2

1[log₅(x + 3)] > 0 = log

2

11，即 0 < log5(x + 3) < 1 ⇒ 1 < x + 3 < 5 ⇒ − 2 < x < 2 4.設 3^log³⁵+ 4^log⁴⁵= 2^log²^x，則 x = 。

答案：10 解析：

3^log³⁵+ 4^log⁴⁵= 2^log²^x ⇒ 5 + 5 = x ⇒ x = 10 5.化簡 log

32 81+ 3log

3 5+ log

9

1+ log768 之值為。答案：3

解析：

原式 = log 32

81+ log ( 3

5)³ + log 9

1+ log 768 = log(

32 81×

27 125×

9

1×768) = log 1000 = 3

6.方程式 log2 (x + 3) − 2

1log2 (x + 6) = 1 之解為。 答案：3

解析：

原式 ⇒ log2 (x + 3) − log2 (x + 6)²¹ = log22 ⇒ log2

2 1

) 6 (

3 +

+

x

= log22

⇒

2 1

) 6 (

3 +

+

x

= 2 ⇒ x + 3 = 2 (x + 6)²¹ ⇒ (x + 3)⁴ = 4 (x + 6) ⇒ x²

+ 2x − 15 = 0

⇒ (x − 3) (x + 5) = 0 ⇒ x = 3 或 x = − 5 又 x + 3 > 0 且 x + 6 > 0 ⇒ x = 3

7.若 log_x( − x²+ 2x + 3)有意義，試求 x 的範圍為。 答案：0 < x < 3 且 x ≠ 1

解析：

logx( − x²+ 2x + 3)有意義 ⇒

⎩⎨

⎧

>

+ +

−

≠

>

0 3 2

1 0

2

x

x x

x

且　

(4)

⇒ ⇒ ⇒ 　 ∴ 0 < x < 3 且 x ≠ 1

⎩⎨

⎧

<

−

≠

>

0 3 2

1 0

2

x

且　　

⎩⎨

⎧

<

+

−

≠

>

0 ) 1 )(

3 (

1 0

x x

x

且　　

⎩⎨

⎧

<

−

≠

> 且 3 1

1 0

x x x

8.化簡 _∑ ⁺

= 1023

4 2

log 1

k k

k = 。答案：8

解析：

∑ +

= 1023

4 2

log 1

k k

k =

= (log25 − log24) + (log26 − log25) + (log27 − log26) + … + (log21024 − log21023)

= log₂1024 − log₂4 = log₂2¹⁰− log₂2²= 10 − 2 = 8

∑ + −

= 1023

4[log2( 1) log2 ]

k

k k

9.設 log1.4 = a，log 3.5 = b，試以 a，b 表示 log28 = 。

答案： 2

3 3a− b+ 解析：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

− +

× =

=

2 log 7 log 2) log(7 5 . 3 log

1 7 log 2 log 10 )

7 log(2 4 . 1 log

b a

⇒ 解得

⎩⎨

⎧

=

−

+

= +

b a

2 log 7 log

1 2

log 7 log

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ +

=

+

−

=

) 1 2(

7 1 log

) 1 2(

2 1 log

b a

log 28 = log (2² × 7) = 2 log 2 + log 7= 2 × 2

1(a − b + 1) + 2

1(a + b + 1) = 2

1( 3a − b + 3) 10.若 2^x= y + 1，x = 2log2(y − 1)，則 x + y 之值為。

(1) x = 2log2(y − 1) = log2(y − 1)² ⇒ (y − 1)²= 2^x且 y − 1 > 0

(2)但 2^x= y + 1 ∴ (y − 1)²= y + 1 > 0 ∴ y = 3 或 y = 0（不合 ∵ y − 1 > 0）

(3)∴ 2^x= 4 ⇒ x = 2 ∴ x + y = 5 11.化簡求值：

(1) (log₂9 + log₄ 3

1)( log₃2 + log₉ 8

1) = 。 (2) (log 20)³ − (log 2)³ − log 20 log 8 = 。 (3) log 4 9．log 25 8．log 3 125 = 。答案：(1) −

4

3 (2) 1 (3) 2 9

12.解 得 x =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

−

1 8 log 16 log

2 2 log 4 log

y x

y

x ，y = 。

答案：4；

2 1

(5)

13.二次方程式 2x²− 5x + 1 = 0 的二根為 loga，logb，則 loga

b + log

b

a 值為。

答案： 2

21 解析：

loga 與 logb 為 2x²− 5x + 1 = 0 之二根 ∴

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

2 log 1 log

2 log 5 log

b a

則 log_a

b + log

b

a = a b

loglog +

b a

log log =

b a

log log

) (log )

(log ² + ²

=

a b

b a b

a

log log

log log 2 ) log (log + ² −

=

2 1

2 2 1 2)

(5 ² − ×

= 2 21

14.若

α

，

β

為(logx)²− logx²− 6 = 0 之兩根，則 logα

β + log

β

α 之值為。

答案：−3

8 解析：

令 t = logx

得 t²− 2t − 6 = 0 之兩根為 log

α

，log

β

log

α + log β = 2，(log α

)(log

β ) = − 6

∴ logα

β + log

β

α =

⇒

β

α α

β

log log log

log + =

) )(log (log

) )(log (log 2 ) log

(log ²

β α

β α β

α

+ − =

3 8 6

) 6 ( 2

4 =−

−

×

−

15.x 的二次方程式(x + log2

a)

²= 16x 有兩個相異實根，則實數 a 的範圍為。 答案：0 < a < 16

解析：

(1)真數 a > 0

(2)(x + log2

a)

²= 16x 有兩個相異實根 x²+ 2(log2

a − 8)x + (log

2

a)

²= 0 有兩個相異實根

∴ D = (log2

a − 8)

²− (log2

a)

²> 0 ∴ − 16log2

a + 64 > 0

log2

a < 4 = log

216 ∴ a < 16

(3)由(1)(2)得 0 < a < 16

⇒

16.log3 6−3 3 − log9(2 − 3 ) = 。答案：2

1 解析：

原式 = log9(6 − 3 3 ) − log9(2 − 3 ) = log9

3 2

3 3 6

−

− = log 3 =32

2 1

17.解(log2

2 x)(log2

x

8) = 1，得 x = 。答案：4

解析：

(6)

原式 ⇒ (log2

x − 1)(3 − log

2

x) = 1

⇒ − (log2

x)

²+ 4．log2

x − 4 = 0

⇒ (log2

x − 2)

²= 0 ⇒ log2

x = 2 ⇒ x = 4

18.y = 3^x之圖形與直線 y = 4，y = 12 之交點分別為 A，B，則 AB 之斜率為。答案：8

解析：

A：

⇒ A(log₃4，4)，B： ⇒ B(log₃12，12)

∴ m

⎩⎨

⎧

=

= 4 3

y

^x

⎩⎨

⎧

=

= 12 3

y

^x

AB=

4 log 12 log

4 12

3

3 −

− =

3 log

8

3

= 8 19.試證：log102 不是有理數。

答案：見詳解證明：

假設 log102 為有理數 ⇒ log102 為正有理數令 log₁₀2 =

a

b，a，b∈

N 且 a，b 互質

⇒ ^a

b

10 = 2 ⇒ 10^b= 2^a

∵ b∈

N

⇒ 10^b的個位數恆為 0，a∈

N

⇒ 2^a的個位數恆不為 0

∴ 矛盾（即 10^b≠ 2^a） ∴ log₁₀2 不是有理數，得證

20.芮氏規模衡量地震的定義為 r = logI，其中 r 代表地震的強度（單位：級），而 I 代表所 釋放出的能量。試問一個 7.2 級地震釋放出的能量約等於 6.4 級地震釋放出的能量的多少倍？（計算至小數點後第 2 位，hint：log6.31 = 0.8）

答案：6.31 倍解析：

設 logI1 = 7.2，logI2 = 6.4 ⇒ log

2 1

I I = 7.2 − 6.4 = 0.8，由查表知 log6.31 = 0.8

∴

2 1

I I = 6.31，則 7.2 級地震釋放出的能量是 6.4 級的 6.31 倍

21.若 x∈

R，求方程式

_x

x

3 3 3

log log 4 log

4 3

8 4

−

= − 之解。

∵ ，令 = t（t > 0）

則原式 t =

x^log³⁴ =4^log³x x^log³⁴

t t

− +

− 3

8 ⇒ 3t − t²= − 8 + t ⇒ t²− 2t − 8 = 0

⇒ (t − 4)(t + 2) = 0 ⇒ t = 4 或 − 2（不合） ∴ = 4

兩邊取 log3得(log34)(log3

x) = (log

34) ∴ log3

x = 1 ∴ x = 3（驗算，合）

4 log₃

x

22.設 a，b，

α

，

β

都是異於 1 的正數，已知 loga

α + log

b

β = 2

且 logα

a + log

β

b = − 1，求(log

a

α

)²+ (logb

β )

²之值。

(7)

(1)∵ logα

a + log

β

b = − 1 ∴

1 log

1 + =−

β

α _b

a

⇒ 1

) )(log (log

log

log + =−

β α

α β

b a

a

b ∴ (loga

α )(log

b

β ) = − 2

(2)∴ (loga

α

)²+ (logb

β )

² = (loga

α + log

b

β )

²− 2(loga

α ) (log

b

β ) = 2

²− 2( − 2) = 8 23.若 x，y 均為大於 1 的實數且 2logx

y − 2log

y

x + 3 = 0，試求：x

²− 4y²+ 1 的最小值。

答案：− 3 解析：

2log_x

y − 2log

y

x + 3 = 0 ⇒ 2log

x

y −

xy log

2 + 3 = 0 ⇒ 2(logx

y)

²+ 3logx

y − 2 = 0

⇒ (2logx

y − 1)(log

x

y + 2) = 0 ⇒ log

x

y =

2

1或 logx

y = − 2

∵ x > 1，y > 1 ∴ log_x

y > 0，故 log

_x

y =

2

1，即 y = x 又 x²− 4y²+ 1 = x²− 4x + 1 = (x − 2)²− 3，x > 1

∴ 當 x = 2 時，有最小值 − 3

24.若 a，b，c 為異於 1 的正數，log_a

b + log

b

c + log

c

a =

2 1，且 log_b

a + log

c

b + log

a

c = −

2

5，試求下列之值：

(1) (log_a

b)(log

_b

c)(log

_c

a)。

(2) (log_a

b)

²+ (logb

c)

²+ (logc

a)

²。 (3) (log_b

a)

³+ (logc

b)

³+ (loga

c)

³。答案：(1) 1 (2)

4

21 (3) − 8 71 解析：

令 loga

b = α

，logb

c = β

，logc

a = γ

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧ 2

= 1 + +β γ

α ……c

2 5 1 1

1 + + =−

γ β

α

^……d

(1)所求 =

αβγ

= 1

log log log log log

log =

c a b c a

b

．．

(2)由d得

αβ + βγ + γα = −

2 5

所求 =

α

²+

β

²+

γ

²= (

α + β + γ )

²− 2(

αβ + βγ + γα

) = ( 2

1)²− 2( − 2 5) =

4 1+ 5 =

4 21

(3)所求 = ³ ³ 1)³ ( 1) ( 1)

(

α

⁺

β

⁺

γ

⁼

α β γ α β γ αβ βγ γα αβγ

) 3 1 1 1 1 1 )( 1

1 1

(1 + + ₂ + ₂ + ₂ − − − +

= 1 1 1 )] 3

( 3 1) 1 )[(1 1 1

(1 + + + + ² − + + +

γα βγ αβ γ

β α γ β α

= ) 3

2 3 4 )(25 2 ( 5 3 ]

3 2) )[( 5 2

(−5 − ²− + + + = − − +

αβγ γ β

．

α

=

8 3 71 8

95+ =−

−

x) + b = 0 的二根為 α

x)

x) + b = 0 的二根為 α

β

α

β

α

β

α

β

x)

x) + b = 0 二根為 α

β

α

α

β )

β ) + b = 0

α

β

t t t

t t

t t

B

B A = logA

x = y x

x

x

x

x

+ 2x − 15 = 0

x

x x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x x x

k k

b a

b a

b + log

a 值為 。

b a

b a

b + log

a = a b

b a

b a

b a

a b

b a b

a

α

β

β + log

α 之值為 。

α

β

α + log β = 2，(log α

β ) = − 6

β + log

α =

β

α α

β

β α

β α β

α

a)

a)

a − 8)x + (log

a)

a − 8)

a)

a + 64 > 0

a < 4 = log

a 值為。

α 之值為。