x ＋3 x ＋2＝0 為一元二次式方程式

1. 一元二次方程式的定義：

(1) 一元二次方程式：

當一個方程式只有一個未知數，而此未知數的最高次數為 2 時，

我們把它叫做一元二次方程式。

例如：f( x )＝ x  ＋3 x ＋2 為一元二次式，(一元二次多項式) ²  f( x )＝ x  ＋3 x ＋2＝0 為一元二次式方程式。 ² 

【範例】 ： x  ＋2 x ＋1＝0，－3 ²  x  ＋11 x ＝6，2 ²  x  ＝5 x ，這些都是一元二次方程式。 ² 

【補充】 ： x  ＋2 x －3＝0………一元三次方程式， ³  x  ＋ 2  y  ＋2 x －²  y＋9＝0……二元二次方程式。

(2) 一元二次方程式的標準式： 

a x  ＋b x ＋c＝0，其中 a≠0。 ²  (3) 解(根)：

若 x ＝ x  代入一元二次方程式 a ₀  x  ＋b x ＋c＝0，滿足 ²  ax ₀ ² ＋ bx  ＋ c ＝0， ₀  則稱 x ＝ x  為此一元二次方程式的根。 ₀ 

【範例】 ：對於一元二次方程式 x ² －2 x －8＝0，

將 x ＝4 代入原方程式 得 4 ² －2×4－8＝0，故 x ＝4 為此方程式的根。

將 x ＝－2 代入原方程式(－2) ² －2×(－2)－8＝0，故 x ＝4 為此方程式的根。

在此 x ＝4 或 x ＝－2 都為此方程式  x  －2 x －8＝0 之解或根。 ²  (4) 一元二次方程式的次數與根的個數之關係：

一元一次多項式有一個根；一元二次多項式有兩個根；一元三次多項式有三個根；

一般而言，一元 n 次多項式會有 n 個根。也就是說，多項式的根的個數會與多項式 的次數相同。

【範例】 ： x ＋2＝0 為一元一次方程式，有一個解或稱有一個根。

【範例】 ：x ² －3 x ＋2＝0 為一元二次方程式，將其分解成兩個一次式的乘積，

( x －2)( x －1)＝0，則其解為 x ＝1 或 x ＝2，

∴  x ² －3 x ＋2＝0 有兩個解或稱有兩個根。

【範例】 ： x  －6 x ^{3  2} ＋11 x －6＝0 為一元三次方程式，將其分解成三個一次式的乘積，

( x －1)( x －2)( x －3)＝0，則其解為 x ＝1，2，3。

E80201 

(5) 解一元二次方程式的法則：

設法將一元二次式改寫為兩個一元一次式的乘積。

【範例】 ：如果將 x ² ＋ x －6＝0 改寫為( x －2)( x ＋3)＝0，

則( x －2)＝0 或( x ＋3)＝0 ， ∴  x ＝2 或  x ＝－3。

2. 一元二次方程式的解題步驟：

a. 移項：先把式中各項移到等號左邊，使等號右邊為 0，並且合併同類項 化成標準式： ax  ＋²  bx＋ c ＝0 ( a ＞0)。

b. 將多項式分解：等號左邊的二次式分解成兩個一次因式的乘積。

例如： a ( x － a )( x －b )＝0。

c. 再令兩個一次因式分別等於 0，即可解得 x ＝ a 及 x ＝b 。

【範例】 ：求出方程式  x ² ＋x＝6 的解。

解 ： ∴  x ² ＋x－6＝0

∴ （x－2）（x＋3）＝0 ，則  x－2＝0 或  x＋3＝0

∴  x＝2 或 －3。

【範例】 ：求出方程式 2x ² ＋5x＝3 x  － x －2 的解。 ²  解 ： ∴ 5 x  ＋4x＝3 ²  x  － x －2 ² 

Û 5 x  ＋4x－3 ²  x  ＋ x ＋2＝0 ²  Û 2 x  ＋5 x ＋2＝0 ² 

∴（x＋2）（2 x ＋1）＝0，則  x＋2＝0 或 2x＋1＝0。

∴  x＝－2 或 －  2  1 。

【範例】 ：求出方程式 15x ² －x－2＝0 的解。

解 ： ∴（5x－2）（3x＋1）＝0 ，則 5x－2＝0 或 3x＋1＝0

∴  x＝ 

5 

2  或 －  3  1 。

3.在上面的步驟中，可能發生的情況：

(1) 若 c ＝0，標準式 ax  ＋²  bx＋ c ＝0 改寫為 x ( ax ＋b)＝0： 

ax  ＋2  bx＝0 Þ  x ( ax ＋b)＝0

∴ 解為  x ＝0 或 x ＝－ 

a  b 。

【範例】 ：解方程式：2 x  －5 x ＝0。 ² 

解 ：2 x  －5 x ＝0 Þ  x （2 x －5）＝ 0 ² 

∴ 解為  x ＝0 或 x ＝  2  5 。

【範例】 ：解方程式： 4x ² ＋6 x ＝0。

解 ：4 x  ＋6 x ＝0 Þ 2 x （2 x ＋3）＝ 0 ² 

∴ 解為  x ＝0 或 x ＝－ 

2  3 。

【範例】 ：解方程式：－3x ² ＋6 x ＝0。

解 ：－3 x  ＋6 x ＝0 Þ －3 x （ x －2）＝0 ² 

∴ 解為  x ＝0 或 x ＝2。

【範例】 ：解方程式：5x ² ＋20 x ＝0。

解 ：5 x  ＋20 x ＝0 Þ 5 x （ x ＋4）＝0 ² 

∴ 解為  x ＝0 或 x ＝－4。

(2) 若b＝0，標準式 ax  ＋²  bx＋ c ＝0 改寫為 ax  ＋ c ＝0： ²  ax  ＋ c ＝0 Þ 2  ax  ＝ c Þ ²  x  ＝－ ² 

a  c ，

如果－ a 

c ＞0，則解為 x ＝ ±  a  - 。 c

如果－ a 

c ＜0，則 x 為無實數解。

【範例】 ：解方程式：4 x  －9＝0。 ² 

解 ：4 x  －9＝0 Þ 4 ²  x  ＝9 Þ ²  x  ＝ ²  4  9 

∴  x ＝ ±  4  9 ＝ ± 

2  3 

【範例】 ：解方程式：9 x  －4＝0。 ² 

解 ：9 x  －4＝0 Þ 9 ²  x  ＝4 Þ ²  x  ＝ ²  9  4 

∴  x ＝ ±  9  4 ＝ ± 

3  2 

【範例】：解方程式：(2 x －3) ² －16＝0。

解 ：(2 x －3) ² －16＝0 Þ (2 x －3) ² ＝16 Þ 2 x －3＝ ± 4

∴ 當 2 x －3＝4 Þ 2 x ＝7 Þ  x ＝  2  7 

當 2 x －3＝－4 Þ 2 x ＝－1 Þ  x ＝－ 

2  1 

答： x ＝  2  7 或－ 

2  1

E80201 

【範例】：解方程式：(3 x －1) ² －25＝0。

解 ：(3 x －1) ² －25 Þ (3 x －1) ² ＝25 Þ 3 x －1＝ ± 5

∴ 當 3 x －1＝5 Þ 3 x ＝6 Þ  x ＝2 當 3 x －1＝－5 Þ 3 x ＝－4 Þ  x ＝－ 

3  4 

答： x ＝2 或－ 

3  4 

【範例】：解方程式： x  ＋4＝0。 ²  解 ：  x  ＋4＝0 Þ ²  x  ＝－4 ² 

∵ x  的值一定為正，∴此題無實數解。 ² 

(3) 若b≠0、 c ≠0，則 ax  ＋²  bx＋ c ＝0：

可以用以前學過的十字交乘法，先將方程式因式分解之後求解。

【範例】 ： x  ＋5²  x ＋6＝0 Þ ( x ＋2)( x ＋3)＝0 ， ∴  x ＝－2，－3。 

x  ＋2  x －6＝0 Þ ( x －2)( x ＋3)＝0 ， ∴  x ＝2，－3。 

x  －2  x －6＝0 Þ ( x ＋2)( x －3)＝0 ， ∴  x ＝－2，3。 

x  －52  x ＋6＝0 Þ ( x －2)( x －3)＝0 ， ∴  x ＝2，3。

【範例】 ：解方程式： x  ＋6 x ＋8＝0。 ²  解 ： 

x  ＋6 x ＋8＝0 Þ （ x ＋2）2  （ x ＋4）＝0

∴  x ＝－2 或－4。

【範例】 ：解方程式： x  －x－12＝0。 ²  解 ： 

x  －x－12＝0 Þ （x＋3）2  （x－4）＝0

∴  x＝－3 或 4。 

x  x 

+2 +4  2x  + 4x =  6x 

x  x 

+3 

－4  3x －4x =－x

【範例】 ：解方程式： x  ＋3x－10＝0。 ²  解 ： 

x  ＋3x－10＝0 Þ （x－2）2  （x＋5）＝0

∴  x＝2 或－5。

【範例】 ：解方程式：x ² －9x＋20＝0。

解 ： 

x ² －9x＋20＝0 Þ （x－4）（x－5）＝0

∴  x＝4 或 5。

【範例】 ：解方程式：2x ² ＋7x＋6＝0。

解 ：

2x ² ＋7x＋6＝0 Þ （2x＋3）（x＋2）＝0

∴  x＝ 

2 

- 3 或-2。

【範例】 ：解方程式：3x ² ＋5x－12＝0。

解 ：

3x ² ＋5x－12＝0 Þ （x＋3）（3x－4）＝0

∴  x＝－3 或  3  4 。  x  x 

－2  + 5  2x +  5x =  3x 

－

x 

x  －5 

－4x－5x ₌－9x 

－4 

2x 

x  +2 

3x + 4x = 7x  +3 

x 

3x  －4  9x－ 4x _{=  5}x 

+ 3

E80201 

【範例】 ：解方程式：5x ² －6x－8＝0。

解 ：

5x ² －6x－8＝0 Þ （x－2）（5x＋4）＝0

∴  x＝2 或－ 

5  4 。

【範例】 ：解方程式：6x ² －11x＋4＝0。

解 ：

6x ² －11x＋4＝0 Þ （2x－1）（3x－4）＝0

∴  x＝ 

2  1 或 

3  4 。  5x 

x  －2 

4x－10x_=－6x  + 4 

2x

3x  －4 

－3x

－

－1

【例題一】 【練習一】

解下列各方程式的解。

(1) 6x ² －4x＝0 (2) 9x ² ＝4x  (3)  x ² ＋4x＝0 

解：(1) 6x ² －4x＝0 Þ 2x(3x－2)＝0

∴  x＝0 或  3  2 

(2) 9x ² ＝4x Þ 9x ² －4x＝0 Þ  x(9x－4)＝0

∴  x＝0 或  9  4 

(3)  x ² ＋4x＝0 Þ  x(x＋4)＝0

∴  x＝0 或－4 

解下列各方程式的解。

(1) 16x ² －8x＝0 (2) 10x ² ＝－6x  (3) 2x ² ＋8x＝0 

解：(1) 16x ² －8x＝0 Þ 8x(2x－1)＝0

∴  x＝0 或  2  1 

(2) 10x ² ＝－6x Þ 10x ² ＋6x＝0 Þ 2x(5x＋3)＝0

∴  x＝0 或  5  - 3

(3) 2x ² ＋8x＝0 Þ 2x(x＋4)＝0

∴  x＝0 或－4 

【例題二】 【練習二】

解下列各方程式的解。

(1) 25x ² －4＝0 (2) 3x ² ＝27 (3)  x ² －9＝0 

解：(1) 25x ² －4＝0 Þ

( ) 

(

)(

) 

∴  5  - 2

= 

x  或 

5 

= 2 x 

(2) 3x ² ＝27 Þ 3x ² －27＝0

Þ  x ² －9＝0 Þ

(

)(

) 

∴  x = - 3 或  x = 3 (3)  x ² －9＝0Þ

(

)(

) 

∴  x = - 3 或  x = 3

解下列各方程式的解。

(1) 4x ² －9＝0 (2)  x ² ＝16 (3) 2x ² －8＝0 

解：(1) 4x ² －9＝0 Þ  ( 2 x ) ² - 3 ² = 0  Þ

(

)(

) 

∴  2  - 3

= 

x  或 

2 

= 3 x 

(2)  x ² ＝16Þ  x ² －16＝0 Þ

(

)(

) 

∴  x = - 4 或  x = 4 (3) 2x ² －8＝0 Þ  x ² －4＝0

Þ

(

)(

) 

∴  x = - 2 或  x= 2

E80201 

【例題三】 【練習三】

解下列各方程式的解。

(1) 5 x(2x＋5)－4(2x＋5)＝0 (2) 3 x(x－3)－4(x－3)＝0 解：(1) 5 x(2x＋5)－4(2x＋5)＝0

Þ (2x＋5) (5x－4)＝0

∴  2  - 5

= 

x  或 

5 

= 4 x 

(2) 3 x(x－3)－4(x－3)＝0 Þ (x－3) (3x－4)＝0

∴  x = 3 或 

3 

= 4 x 

解下列各方程式的解。

(1) (x－5) ² ＝4(x－5) (2) (x＋1)＋4x(x＋1)＝0 解：(1) (x－5) ² ＝4(x－5)

Þ (x－5) ² －4(x－5)＝0 Þ (x－5) (x－5－4)＝0 Þ (x－5) (x－9)＝0

∴  x = 5 或  x = 9 (2) (x＋1)＋4x(x＋1)＝0

Þ (x＋1) (x＋1＋4x)＝0 Þ (x＋1) (5x＋1)＝0

∴  x = - 1 或 

5  - 1

=  x 

【例題四】 【練習四】

解下列各方程式的解。

(1)  x ² ＋3x－4＝0 (2)  2x ² －3x＝5 (3)  6x ² ＋7x－3＝0 (4)  12x ² －23x＝24 解：(1)  x ² ＋3x－4＝0

Þ (x－1) (x＋4)＝0

∴  x = 1 或  x = - 4 (2)    2x ² －3x＝5

Þ 2x ² －3x－5＝0 Þ (2x－5) (x＋1)＝0

∴  2 

= 5

x  或  x = - 1

(3) 6x ² ＋7x－3＝0Þ(3x－1) (2x＋3)＝0

∴  3 

= 1

x  或 

2  - 3

=  x  (4)  12x ² －23x＝24

Þ 12x ² －23x－24＝0 Þ (3x－8) (4x＋3)＝0

∴  3 

= 8

x  或 

4  - 3

=  x 

解下列各方程式的解。

(1) 3x ² ＋18x＋27＝0 (2)  2x ² －5x＝－2 (3)  15x ² －x－2＝0 (4)  3x ² －9x－14＝0 解：(1) 3x ² ＋18x＋27＝0

Þx ² ＋6x＋9＝0 Þ (x＋3) (x＋3)＝0

∴  x = - 3 或  x = - 3 (重根)  (2)    2x ² －5x＝－2

Þ 2x ² －5x＋2＝0 Þ (x－2) (2x－1)＝0

∴  x = 2 或 

2 

= 1 x  (3)    15x ² －x－2＝0

Þ (3x＋1) (5x－2)＝0

∴  3  - 1

= 

x  或 

5 

= 2 x  (4)  3x ² －19x－14＝0

Þ (x－7)(3x＋2)＝0 

∴  x = 7 或 

3  - 2

=  x

【例題五】 【練習五】

解下列各方程式：

(1) 3 x ² －4x－1＝-9 x－3。

(2)（x＋5）（x＋3）＝8。

(3) 1

2 x ² ＋ 7

6 x－1＝0。

解：(1) 3 x ² －4x－1＝-9 x－3 Þ 3x ² ＋5x＋2＝0 Þ (x＋1) (3x＋2)＝0

∴  x = - 1 或 

3  - 2

=  x  (2)（x＋5）（x＋3）＝8

Þ  x ² ＋8x＋15－8＝0 Þ  x ² ＋8x＋7＝0 Þ (x＋1) (x＋7)＝0

∴  x = - 1 或  x = - 7 (3) 1

2 x ² ＋ 7

6 x－1＝0 Þ 3x ² ＋7x－6＝0 Þ (x＋3) (3x－2)＝0

∴  x = - 3 或 

3 

= 2 x 

解下列各方程式：

(1) 2x ² ＝5x。

(2)（x－3）（x－4）＝20。

(3)  x ² ＋ 1 2 x＝ 

3 

1 (1－ 1 2 x)。

解：(1) 2x ² ＝5xÞ 2x ² －5x＝0 Þ  x (2x－5)＝0

∴  x = 0 或 

2 

= 5 x  (2)（x－3）（x－4）＝20 Þ  x ² －7x＋12－20＝0

Þ  x ² －7x－8＝0 Þ (x＋1) (x－8)＝0

∴  x = - 1 或  x = 8 (3)  x ² ＋ 1

2 x＝ 

3 

1 (1－ 1 2 x) Þ 6x ² ＋3x＝2－x Þ 6x ² ＋4x－2＝0 Þ 3x ² ＋2x－1＝0 Þ (x＋1) (3x－1)＝0

∴  x = - 1 或 

3 

= 1 x 

【例題六】 【練習六】

解下列各一元二次方程式：

(1) (12x－5) ² －(11x－4) ² ＝0 。 (2) (x－1) ² ＋x ² ＋(x＋1) ² ＝110。

(3) 7(x-1) ² +10(x-1)( x+4)-8(x+4) ² ＝0。

解：

(1) (12x－5) ² －(11x－4) ² ＝0

Þ [(12x-5)+(11x-4)][(12x-5)-(11x-4)]＝0 Þ (23x-9)(x-1)＝0 ∴ 

23 

=  9

x  或  x = 1 (2) (x－1) ² ＋x ² ＋(x＋1) ² ＝110

Þ  x ² －2x＋1＋x ² ＋x ² ＋2x＋1＝110 Þ 3x ² ＋2＝110 Þ 3x ² ＝108

Þ  x ² －36＝0 Þ (x＋6) (x－6)＝0

∴  x = - 6 或  x = 6

(3) 7(x-1) ² +10(x-1)( x+4)-8(x+4) ² ＝0 Þ [(x-1)+2(x+4)][7(x-1)-4(x+4)]＝0 Þ (3x+7)(3x-23)＝0

解下列各一元二次方程式：

(1) (7x－3) ² －(5x－9) ² ＝0 。 (2)  x ² －(x－2) ² ＝(x－4) ² 。

(3) 5(x+2) ² -7( x+2)(x-3)-6(x-3) ² ＝0 。 解：

(1) (7x－3) ² －(5x－9) ² ＝0

Þ [(7x－3)+(5x－9)][(7x－3)-(5x－9)]＝0 Þ (12x-12)(2x+6)＝0 ∴ x = 1 或  x = - 3 (2)  x ² －(x－2) ² ＝(x－4) ²

Þ  x ² －x ² ＋4x－4＝x ² －8x＋16 Þ  x ² －12x＋20＝0

Þ (x－2) (x－10)＝0

∴  x = 2 或  x = 10

(3) 5(x+2) ² -7( x+2)(x-3)-6(x-3) ² ＝0 Þ [(x+2)-2(x-3)][5(x+2)+3(x-3)]＝0 Þ (-x+8)(8x+1)＝0

∴  x = 8 或  1 -

=  x

E80201

【例題七】 【練習七】

解下列各一元二次方程式：

(1) (2x ² －x) ² ＋4(x－2x ² )＋3＝0 。 (2) (x ² ＋3x－3)(x ² ＋3x－5)－35＝0 。 (3) (2x ² ＋3x) ² －8(2x ² ＋3x)－9＝0 。 解：(1) (2x ² －x) ² ＋4(x－2x ² )＋3＝0

Þ (2x ² －x) ² －4(2x ² －x)＋3＝0 Þ (2x ² －x－1)(2x ² －x－3)＝0 Þ (x－1)(2x+1)(x＋1)(2x－3)＝0

∴  x = 1 、 

2  - 1

= 

x  、  x = - 1 或  2 

= 3 x  (2) (x ² ＋3x－3)(x ² ＋3x－5)－35＝0

Þ (x ² ＋3x) ² －8(x ² ＋3x)＋15－35＝0 Þ (x ² ＋3x) ² －8(x ² ＋3x)－20＝0 Þ (x ² ＋3x－10)(x ² ＋3x＋2)＝0 Þ (x－2)(x+5)(x＋1)(x＋2)＝0

∴  x = 2 、  x = - 5 、  x = - 1 或 x = - 2 (3) (2x ² ＋3x) ² －8(2x ² ＋3x)－9＝0

Þ (2x ² ＋3x－9)(2x ² ＋3x＋1)＝0 Þ (2x－3)(x+3)(x＋1)(2x＋1)＝0

∴  2 

= 3

x  、  x = - 3 、  x = 1 或 

2  - 1

=  x 

解下列各一元二次方程式：

(1) (x＋2) ² －3（x＋2）＋2＝0 。 (2) (2x ² －3x) ² －8（2x ² －3x）－9＝0 (3) (x ² ＋5x) ² －2(x ² ＋5x)－24＝0 。 解：(1) (x＋2) ² －3（x＋2）＋2＝0

Þ (x＋2－1)(x＋2－2)＝0 Þ (x＋1) ×  x＝0

∴  x = - 1 或 x = 0

(2) (2x ² －3x) ² －8（2x ² －3x）－9＝0 Þ (2x ² －3x＋1)(2x ² －3x－9)＝0 Þ (x－1)(2x－1)(x－3)(2x＋3)＝0

∴  x = 1 、  2 

= 1

x  、  x = 3 或  2  - 3

=  x  (3) (x ² ＋5x) ² －2(x ² ＋5x)－24＝0

Þ (x ² ＋5x－6)(x ² ＋5x＋4)＝0 Þ (x－1)(x＋6)(x＋1)(x＋4)＝0

∴  x = 1 、  x = - 6 、  x = - 1 或 x = - 4

【例題八】 【練習八】

(1) 解｜x｜ ² ＋｜x｜－6＝0  (2) (x－2) ² －3｜x－2｜－10＝0  解：(1) 解｜x｜ ² ＋｜x｜－6＝0

Þ (｜x｜－2)(｜x｜＋3)＝0 Þ ｜x｜＝2 或｜x｜＝－3(不合) 

∴  x＝2 或－2 

(2) (x－2) ² －3｜x－2｜－10＝0 Þ｜x－2｜ ² －3｜x－2｜－10＝0 Þ (｜x－2｜－5)(｜x－2｜＋2)＝0 Þ｜x－2｜＝5 或｜x－2｜＝­2(不合) 

∴  x－2＝5 或－5  ∴  x＝7 或－3 

(1) 解 x ² ＋｜x｜－12＝0 

(2) 2(2x＋1) ² －4｜2x＋1｜－48＝0  解：(1) 解｜x｜ ² ＋｜x｜－12＝0

Þ (｜x｜－3)(｜x｜＋4)＝0 Þ ｜x｜＝3 或｜x｜＝－4(不合) 

∴  x＝3 或－3 

(2) 2(2x＋1) ² －4｜2x＋1｜－48＝0 Þ｜2x＋1｜ ² －2｜2x＋1｜－24＝0 Þ (｜2x＋1｜－6)(｜2x＋1｜＋4)＝0 Þ｜2x＋1｜＝6 或｜2x＋1｜＝­4(不合) 

∴  2x＋1＝6 或­6  ∴  x＝ 

2  5 或 

2  - 7

【例題九】 【練習九】

(1) 求以 3，5 為二根之一元二次方程式 。 (2) 設 x ² ＋px＋q＝0 之二根為 3，－2，

求 p、q 之值。

解：(1) ∵ 3＋5＝8， 3×5＝15

∴ 一元二次方程式為 x ² －8x＋15 

＝0 

(2) ∵ －p＝3＋(－2)＝1， 

q＝3×(－2)＝－6

∴  p＝－1，  q＝－6 

(1) 求以－3，－5 為二根之一元二次方程式。

(2) 設 x ² ＋bx＋c＝0 之二根為－3，5，

求以 b、c 為二根為之一元二次方程式。

解：(1) ∵ (－3)＋(－5)＝－8，

(－3)×(－5) ＝15

∴ 一元二次方程式為 x ² ＋8x＋15＝0  (2) ∵ －b＝(－3)＋5＝2， 

c＝(－3)×5＝－15

∴  b＝－2，  c＝－15 

【例題十】 【練習十】

設 1 為 x ² ＋ax＋2＝0 之一根，且 a、b 是  x ² ＋5x＋c＝0 之兩根，求 3a＋2b＋c 之值。

解：將 x＝1 代入 x ² ＋ax＋2＝0  則 1＋a＋2＝0  ∴  a＝－3  又 －3＋b＝－5， －3×b＝c 

∴  b＝－2，－3×(－2)＝c＝6 

∴  3a＋2b＋c＝－9－4＋6＝－7 

設 2 為 x ² －4x＋p＝0 之一根，且 p 為  q x ² ＋(p－2) x＋2p＝0 之一根，

求(1)  p、q 之值。 

(2)  以 p、q 為二根為之一元二次方程式。

解：(1)  將 x＝2 代入 x ² －4x＋p＝0  則 4－8＋p＝0  ∴  p＝4  又將 x＝4，p＝4 

代入 q x ² ＋(p－2) x＋2p＝0 

∴  16q＋8＋8＝0，  q＝－1 

∴  b＝－2，－3×(－2)＝c＝6 

∴  3a＋2b＋c＝－9－4＋6＝－7  (2)  ∵  4＋(－1)＝3，  4×(－1)＝－4 

∴ 一元二次方程式為 x ² －3x－4＝0

E80201

【例題十一】 【練習十一】

甲、乙兩生同解一個 x ² 項係數是 1 的二次 方程式，甲將一次項 x 的係數看錯，解得兩 根為 2 與 7，乙將常數項看錯，解得兩根為 1、-10，若此外無其他的錯誤，求正確的方 程式及兩根。

解： ∵ 2＋7＝9， 2×7＝14

∴ 一元二次方程式為 x ² －9x＋14＝0  又∵ 1＋(－10)＝－9，1×(－10)＝－10

∴ 一元二次方程式為 x ² ＋9x－10＝0 

∵ 甲將一次項 x 的係數看錯，

乙將常數項看錯

∴ 正確的方程式為 x ² ＋9x＋14＝0 

∴  x＝－2 或－7，即兩根為－2、－7 

甲、乙兩生同解一個 x ² 項係數是 1 的二次方 程式，甲將一次項 x 的係數看錯，解得兩根 為 3 與-6，乙將常數項看錯，解得兩根為 3、

4，若此外無其他的錯誤，求正確的方程式及 兩根。

解： ∵ 3＋(－6)＝－3， 3×(－6)＝－18

∴ 一元二次方程式為 x ² ＋3x－18＝0  又∵3＋4＝7，3×4＝12

∴ 一元二次方程式為 x ² －7x＋12＝0 

∵ 甲將一次項 x 的係數看錯，

乙將常數項看錯

∴ 正確的方程式為 x ² －7x－18＝0 

∴  x＝－2 或 9，即兩根為－2、9 

【例題十二】 【練習十二】

設 x、y 均不為零，且 2 x ² －xy－3y ² ＝0，

求 x：y 的比值。

解： ∵ 2 x ² －xy－3y ² ＝0 Þ ( x＋y)( 2x－3y)＝0

∴  x＝－y 或 x＝  y  2  3 

∴  x：y 的比值＝－1 或  2  3 

設 x、y 均不為零，且 4x ² －8xy－5y ² ＝0，

求 x：y 的比值。

解： ∵ 4x ² －8xy－5y ² ＝0 Þ (2x－y)( 2x－5y)＝0

∴  x＝  y  2 

1  或 x＝  y  2  5 

∴  x：y 的比值＝ 

2  1 或 

2  5