上的正射影為

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：106.01.13 範

圍 3-3.4 內積.行列式班級二年____班姓座號名

一、填充題(每題 10 分)

1.若 G 為△ABC 的重心﹐且|GA



| 2

﹐|GB



| 2

﹐|GC



| 3

﹐則△ABC 面積為____________﹒

解答 ^{3 23} 4

解析 ∵ G 為△ABC 之重心﹐

∴ GA GB GC

   

   0

 |GA GB

  

 |² | GC|² _ ₂ ₂ ₂

|GA

    

| |GB| 2GA GB |GC|

 4 2 2  GA GB

 

 3

﹐ ∴ ³

GA GB

 

  2

﹐

△ABC  3△GAB ³ ¹ ^| ^{| |}² ^|² ⁽ ⁾² ³ ^{4 2} ⁹ ^{3 23} ^{3 23}

2 GA GB GA GB 2 4 2 4 4

 

   

       

﹒

2.△ABC 中﹐若AB AC

 

 ⁵

﹐BC CA

 

  1

﹐CB BA

 

  3

﹐試求 (1)|BA



|

____________﹔(2)△ABC 之面積  ____________﹒

解答 (1)2 2;(2) ²³ 2

解析 (1)AB BC CA

   

   0 _

( ) 0

AB AB BC CA   AB

     

 |AB

    

|²AB BC AB CA   0 _ ₂

|AB



|   3 5 0

﹐

∴ |AB



| 8 2 2

﹒ (2)AC AB BC CA

     

(   )AC 0

﹐ ∴ 5 1 |  AC



|²0 _

|AC



| 6

﹐

∴ △ABC ¹ | | |² |² ( )² ¹ 8 6 5² ²³

2 AB AC AB AC 2 2



   

      _﹒ 3.在坐標平面上 A(4,  1)﹐B(3,2)﹐C(7,5)﹐試求﹕

(1)(2AB

   

AC) (5 ABBC)

____________﹒

(2)△ABC 的面積為____________﹒（化成最簡分數）

(3)AB



在AC



上的正射影為____________﹒

(2)

解答 (1)5;(2)¹⁵

2 ;(3)(1,2)

解析 (1)(2AB AC

   

 ) (5 AB BC )

(2(  1,3)  (3,6))  (5(  1,3)  (4,3))  (  5,0)  (  1,18)  5﹒

(2)△ ¹ | | |² |² ( )² ¹ ( 10) ( 45)² ² [( 1,3) (3,6)]² ¹⁵

2 2 2

ABC AB

   

AC  AB AC      _﹒ (3)AB



_在

AC



上的正射影為

2

( ) 15(3,6) (1,2)

| | 45 AB AC

AK AC

AC



 

  

  

^﹒

4.設有二直線的參數式分別為 ₁: ⁷

4 x s

L y s

 

  

 ﹐s ﹐ ₂: ^{9 5} 1 5

x t

L y t

  

  

 ﹐t ﹐求下列問題：

若二直線 L1與 L2相交於點 P﹐則 P 點的坐標為____________﹒

解答 (14,6)

解析 ⁷ ^{9 5} ⁵ ⁷ ⁹

4 1 5 5 3

s t t s

    

 

      

 





   得 6s  12  s  2﹐

∴(x,y)  (7  2,4  2)  (14,6)﹒

5.設 x﹑y 為實數﹐且(x  1)²  4y²  2﹐若當(x,y)  (



,



)時﹐x 2y 有最大值 M﹐求數組(



,



,M )  ______﹒

解答 ^(2, ¹^,3)

2 解析柯西不等式

1 2

1 1

x y



[(x  1)  2y]²≤[(x  1)²  (2y)²][1²  (1)²]﹐

[(x  1)  2y]²≤2∙2﹐

2  x  2y  1  2﹐

1  x  2y  3﹐x  2y  3 最大，此時

1 2 1 1 1=

2

x t

x y

t t

y

  

       ﹐ 代入 x  2y  3

( , ) (2, 1) x y 2

   ，故( , , ) (2, ¹,3) M 2

    ﹒

6.若 2 3 2 3 4

a b b c d d

 

 ﹐則行列式 4 3 3 2

4 3 3 2

a c a c

b d b d

 

  之值為____________﹒

解答 34 解析 2 3

4 2

2 3

a b b a b

c d d c d

   

 ﹐

4 3 3 2 7 3 2 7 17 17

a c a c a c a c a c a c a

b d b d b d b d b d b d b

    

   

     17a c 34

b d

    ﹒

7.設 a  0﹐且 b  0﹐求⁽ ⁾⁽^{1 4}⁾ 9

a b

b a

  之最小值為____________﹒

(3)

解答 ⁴⁹ 9 解析柯西不等式

3

2 1

a b

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 4 1

( ) [ ( ) ][( ) ( ) ] (2 ) [ ][ ]

3 3 3 9

b b b

a a a

a b

a b a b

          

⁴⁹ ( )(^{4 1})

9 9

a b

   ∴最小值⁴⁹ 9 ﹒

8.設 A (  1 , 2)﹐B (3 ,  2)﹐直線 L﹕2x  3y  4  0﹐若AB與直線 L 相交於 P 點﹐則AP：BP________﹒

解答 1：4

解析 AP：BPd A L( , )：d (B , L) ^{| 2 6 4 |} 13

  

 ：^{| 6 6 4 |} 4 13

   ：16  1：4﹒

9.求與 3x  4y  1  0 平行且相距 6 之直線方程式為____________﹒（有兩解）

解答 3x  4y  31  0 或 3x  4y  29  0 解析設平行直線 L﹕3x  4y  k  0

2 2

| 1|

3 4 6 k 

 |k  1|  30k  1   30，k  31， 29

∴ 所求﹕3x  4y  31  0 或 3x  4y  29  0﹒

10.平面上兩點 A (2 , 2)﹐B (10 ,  4)﹐求 (1)若線段AB的參數式為 ^{6 4}

1 3

x t

y t

  

   

 ﹐則 t 的範圍為____________﹔

(2)P (1 , 1)至AB



的距離為____________﹒

解答 (1)  1  t  1;(2)⁷ 5 解析 (1) : ^{2 6 4} 1

2 1 3

A t t

t

     

   

 ； : ^{10 6 4} 1

4 1 3

B t t

t

  

     

 ，線段ABt 的範圍為 1  t  1﹒

(2)AB



﹕消去 t 一般式 3x  4y  14  0﹐∴ | 3 4 14 | 7 ( , )

5 5

d P AB



   

﹒ 11.兩直線 3x  4y  1  0 與 5x  12y  3  0 所夾銳角的平分線方程式為____________﹒

解答 16x  28y  7  0

解析由圖形知銳夾角平分線在異號區﹐

∴ L﹕³ ⁴ ¹ ⁵ ¹² ³

5 13

x y   x y

(4)

 39x  52y  13   25x  60y  15  64x  112y  28  0  16x  28y  7  0﹒

12.設平面上三點 A (0 ,  2)﹑B (1 , 2)﹑C (1 , 0)﹐則 (1)AB



在AC



上的正射影為____________﹒(2)點 B 在AC



上的投影點坐標為____________﹒

解答 (1)^{( ,}^{9 18}⁾

5 5 ;(2)^{( , )}^{9 8} 5 5 解析 (1)AB



(1,4)

﹐AC



(1,2)

AB



在AC



上之正射影AH



為

2

9 9 18

( ) (1,2) ( , )

5 5 5

| | AB AC

AC AC

  

   

^﹒

A B

C H

(2)設H x y( , ),



AH (x0,y2) ( ,9 18) ⁹5 8 5 5

5 x

y

 

  

 

，∴ 投影點為( , )^{9 8} 5 5 ﹒

13.設 x﹑y 為實數﹐若 4x  3y  14﹐則

(1)4x²  9y²  4x  12y  5 的最小值為__________﹔(2)此時數對(x , y)  _________﹒

解答 (1)20;(2)^{( ,}⁵ ⁴⁾ 2 3

解析 (1)∵ 4x²  9y²  4x  12y  5  (2x  1)²  (3y  2)²﹐ 利用柯西不等式﹕

2 1 3 2

2 1

x y



(4x  2  3y  2)² ≤[(2x  1)²  (3y  2)²][2²  (  1)²]

 (4x  3y  4)²≤[(2x  1)²  (3y  2)²]  5﹐

 ( (14  4)²≤[(2x  1)²  (3y  2)²]  5

∴ 20≤(2x  1)²  (3y  2)² ﹐∴ 4x²  9y²  4x  12y  5 最小值為 20﹒

(2)此時² ^{1 3} ²

2 1

x y

   t

  ² ¹

2

x t ﹐ ²

3

y t ﹐代入又 4x  3y  14﹐

(5)

∴ t  2﹐即 ^{( , ) ( ,}⁵ ⁴⁾ 2 3 x y   ﹒ 14.若方程組 ( 4) 2 2 2

3 (2 1) 1

a x y a

x a y a

   

     

 不是恰有一組解﹐則 a 之值為____________﹒

解答 5 2或 2

解析即無解或無線多組=0 4 2 2

0 2 9 10 0 (2 5)( 2) 0 2 2 1

a a a a a

a

 

        

  ﹐∴ 5

a 或 2﹒2 15.若方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 之解為 x  1﹐y  2﹐則 ¹ ¹ ¹

2 2 2

2 5 3 0

b x a y c b x a y c

  

   

 之解(x,y)  ____________﹒

解答 3 ( 3, )

  5 解析 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 解為(1,2)

1

1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

5 5 2

( ) ( )

2 5 3 3 3 3 3

2 5 3 5 2 5 2

( ) ( )

3 3

a y b x c a y b x c

b x a y c

b x a y c b

a y b x c

a y x c

       

 

  

  

     

        



 



∴ 5 3y 1

  ﹐ 2

2 3

3x x

     ﹐ 3

y  ﹒5 16.聯立方程式 2 5

3 4 x y kx x y ky

 

  

 中﹐

(1)k  6 時之解(x , y)  ____________﹒

(2)若除了 x  0﹐y  0 外還有其他解時﹐k  ____________﹒

(3)若有 x  0﹐y  0 之解時﹐k  ____________﹒

解答 (1)(0 , 0);(2)7 或  1;(3)7

解析 (1)k  6﹐原式  4 5 0

3 2 0

x y x y

 

  

 ﹐其解(x , y)  (0 , 0)﹒

(2)原式  (2 ) 5 0 3 (4 ) 0

k x y

x k y

  

   

 ，除了 x  0﹐y  0 外還有其他解即無限多組解

2 5 2

0 (2 )(4 ) 15 0 6 7 0 ( 7)( 1)=0 3 4

k k k k k k k

k

               



即 k  7 或 k   1﹒

(3)k  7 代入得 5 5 0

3 3 0

x y x y

 

  

 有 x  0﹐y  0 之解﹒

17.求下列各行列式的值 (1)31 58

63 117  ____________﹒(2)2001 1999

1997 2002  ____________﹒

解答 (1)  27;(2)13999

解析 (1)31 58 31 58

( 2) 31 58 27

63 117    1 1     ﹒

(6)

(2) 2001 1999 2001 1999 2 1999

( 1) 6 1999 ( 7) 13999

1997 2002 4 3 7 3

( 1)

        

 

 

﹒

18.若 2 6

3 x ay bx y

  

   

 有無限多組解﹐求

2 1 a b 

 ____________﹒

解答 0

解析 2 6 1 3 a b

 

   a   2﹐b  1  2 1 2 1 2 1 0

a b 

 

  ﹒

19.令 a b c d

  ﹐若 2 5 15

2 3 56

a a b d c

c c d b a

  

 ﹐求  ____________﹒

解答 4 解析

2 2 ( 2)

a a b a b

c c d c d

 

  

 

 

5 15 3

5 5 3 15

3 3

d c d c d c

b a  b a   b a       15  56    4﹒

20.設 a b 3

c d  ﹐且 x y 4

c d  ﹐求 4 3 4 3

5 5

a x b y

c d

 

 ____________﹒

解答 120

解析原式  4 4 3 3

4 5 3 5 20 3 15 4 120

5 5 5 5

a b x y a b x y

c d  c d    c d   c d      ﹒ 21.求由向量



u (2, 5)

﹐



v (3,2)

所張出的平行四邊形面積為____________﹒

解答 19

解析面積 2 5

| | 19

3 2

   ﹒

22.平面上三點 A (1 ,  1)﹐B (2 , 1)﹐C (  1 , 2)﹐若 AP r AB s AC

  

 

且  1  r  1﹐  1  s  2 求 P 點所在區域之面積為____________﹒

解答 42 解析

(1,2) AB



﹐AC



 ( 2,3)

(7)

△ABC 面積為1 1 2 7

| |

2 3

2 2



所成區域面積為(3  2)  2  △ABC 面積  7

12 42

 2 ﹒ 23.設 a b 3

d e  ﹐ 2 2 5

c b

f e  ﹐ 7

3 3 a d

c f  ﹐求 2 3

2 3

ax by c dx ey f

 

  

 的解為____________﹒

解答 5 7 ( , )

2 6

解析依題意 a b 3

d e  ﹐ 5

2 c b

f e  ﹐ 7

3 a c

d f  ﹐

則

3 2 3 2 5

2 3 2

2 2

x

c b c b

f e f e

x a b a b

d e d e

 

     

 ﹐

3 3 7

3 3 3 7

2 2 3 6

2 2

y

a c a c

d f d f

y a b a b

d e d e

     

 ﹒

∴ 5 7

( , ) ( , ) x y  2 6 ﹒ 24.若二元一次聯立方程式

6 2 1 4 x y ax by

   



  



與

4 1 4

3 4 26

x y ax by

  



  



為同義聯立方程式﹐且恰有一解﹐求數對(a , b) 

____________﹒

解答 (3 , 4)

解析由二聯立方程式中選 6 2

1 4 1 4 x y

x y

   



  









  2  ﹕14

x   x  2 代入7 1 y  ﹐ 2

代入 4

3 4 26

ax by ax by

 

  

 

2 1 4

2 6 2 26

a b

  



  



 a  3﹐b  4﹐∴ (a , b)  (3 , 4)﹒

25.若 a 為一常數﹐且二元一次聯立方程式

( 2 2) 4

3 2

a x ay a

ax y a

    



 

 恰有一組解﹐則可得其解(x , y)  __________

（以常數 a 表示）﹒

解答 ( 4 2 a a



 , ( 5) 2 a a

a

 

 ) 解析

2 2 2 2

2 4 3 ( 2)( 2)

3 2

a a

a a a a

a

          ﹐

(8)

4 2

2 8 ( 4)( 2)

x 2

a a

a a a a

a

          ﹐

2 2 4 3 2

2 3 12 ( 5)( 2)

y 3

a a

a a a a a a a

a a

 

         ﹐

當 a  2 或 a   2 時﹐恰有一解(x , y)  (^x,^y)

  ( 4 2 a a



 , ( 5) 2 a a

a

 

 )﹒

26.設聯立方程式 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 恰有一組解為 x  2﹐y   3﹐則聯立方程式 ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

(2 3 ) 2 0

a b x b y c a b x b y c

   

    

 之解

為____________﹒

解答 (  2 , 0)

解析 ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

(2 3 ) 2 0

a b x b y c a b x b y c

   

    



 a1(2x)  b₁(y  3x)   2c₁  a1(  x)  b₁( 3 2 y x

 )  c₁﹐

 x  2  x   2﹐ 3 2 3 y x  

  y  0﹐

∴ (x , y)  (  2 , 0)﹒

27.求 1 2 3 5 2 1 3 2 3 3 3 3 3 5 3 2

   

    ____________﹒

解答 0

解析原式 1 2 3 5 2 1

3 3 0 0

2 1 3 1 5 2

   

   

    ﹒

28.設一次聯立方程式 2 (5 ) 3

(5 ) 2 9

x k y k

k x y k

   

    

 有無限多組解﹐求實數 k 的值____________﹒

解答 3

解析 2 5 3 ( 3)( 7) 0 ( 3)( 13) 0

5 2 9

k k

  



 

      

   ∴k  3﹒