射影平面六講 — 第五講
王九逵
從
P
到本身的一一對應, 若能把共線的 點對應成共線的點, 這對應便叫作 射影變換 (projectivity 或 collineation)。 在一個射影 變換之下, 共點的線顯然也對應成共點的線。所以射影變換的對偶觀念便是它本身。
首先我們討論一個代數的引理和兩個作 圖題, 以備後用。 代數的引理是:
引理: 實數體
R
上的自同構 (automor- phism) 只有恆等對應 (identity mapping)。證明: 令 ϕ 為實數體
R
上的自同構。因 ϕ(1) = 1, 而且 ϕ 保持四則算術運算的 結果, 所以若 x 為一有理數, 則 ϕ(x) = x。
若 x 為正數, 則有 y ∈
R
使 x = y2。 於是 ϕ(x) = ϕ(y)2 仍然是一個正數。 所以 ϕ 保持實數的大小次序。設 S ⊂
R
為一有上界的集合, s 是 S 的上確界 (supremum), 則 ϕ(s) 必定也是 集合 ϕ(S) 的上確界。 但是每一個實數 x 都 是小於它的所有有理數所形成的集合的上確 界。 所以 ϕ(x) = x 每個實數 x 都成立。要講的兩個作圖題如下:
設 E0, E1, I, X 及 Y 為
P
中一直線l 上的五點。 設
ξ=
Rx
(E0, E1, I, X), η=Rx
(E0, E1, I, Y).我們的目標是利用直尺作出兩個點 Z 和 W 使
Rx
(E0, E1, I, Z) = ξ + η,Rx
(E0, E1, I, W) = ξη.這裡所說的直尺和歐氏幾何中的直尺略有不 同, 是指能畫出射影空間中的直線的工具。
A B
E0 X Y Z l
圖一 C A
E0 X I W Y l
圖二
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數學傳播26
卷1
期 民91
年3
月先考慮 E0, E1, I 的齊次座標分別為 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 和 (1, 1, 0) 的情形。 在 l 以外選一點 A。 畫 △AE0X。 畫直線 AB 平 行於 l 及直線 Y B 平行於 E0A。 設兩線的 交點為 B。 畫 BZ 平行於 AX 交 l 於 Z, Z 便是所求的點。(請參看圖一)。 再者, 過 Y 做 AI 的平行線, 交直線 E0A 於 C。 W 便 是過 C 平行於 AX 的直線和 l 的交點。(請 參看圖二)。 這兩項作圖的證明只用初等幾何, 故略之。
E2
A B
E0 X Y Z l E1 圖三
E2
A C
E0 X I W Y l E1
圖四
對一般情形, 我們把以上想成
P
的射影 座標系 (E0, E1, E2, U) 下的作圖。 把通過某 點 P 作平行於某直線 m 的作法改成連接 P 和 m 與 E1E2 的交點。 這樣便可以只用直 尺作出 Z 和 W 了。(請參看圖三和圖四)。 這 作法成功的證明和我們給的 Pappus 定理的 證明類似。有了這些準備以後, 我們可以證明射影 變換的一個重要的性質了, 便是它們保持叉 比:
定理 1: 設 π 為
P
上的射影變換, E0, E1, I, X 為P
中共線的四點。 則有Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(X))=
Rx
(E0, E1, I, X).證明: 設 E0, E1, I 及 X 所在的直線為 l。 不失一般性, 我們假定 E0, E1和 I 兩兩相 異。 在 l 上建立射影座標系 (E0, E1, I)。 對 任意實數 x 定義 P (x) 為 l 上以 (1, x) 為射 影座標的點。 於是有
Rx
(E0, E1, I, P(x)) = x。 經過射影對應 π, π(E0), π(E1), π(I) 和 π(P (x)) 四點仍共線。 定義函數ϕ(x) =
Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(P (x))).顯然 ϕ(1) = 1。 上文的圖三便是從 P (x) 和 P(y) 畫出 P (x + y) 的作圖。 因在作圖的過 程中只用到直尺, 所以經過 π 的對應,
Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(P (x + y)))=
Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(P (x))) +Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(P (y))), 即ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y).
用同樣的方法我們也可以得到 ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y).
換言之, ϕ 是
R
上的自同構。 從引理知 ϕ(x) = x; 即Rx
(π(E0), π(E1), π(I), π(P (x)))=
Rx
(E0, E1, I, P(x)).射影平面六講
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第五講31
下定理及其證明聯繫射影痤標系和射影 變換兩個觀念:
定理2: 在
P
中取兩個含四點的集合 {D0, D1, D2, U} 和 {E0, E1, E2, I}.假定在每個集合內都沒有三點共線。 則有且 僅有一個
P
的射影變換 π 使π(Di) = Ei, i= 0, 1, 2,
π(U) = I. (1)
證明: π 可以用下法定義: 建立射影座 標系
(D0, D1, D2, U) 和 (E0, E1, E2, I).
設 X ∈
P
, (ξ0, ξ1, ξ2) 為 X 關於射影座標 系 (D0, D1, D2, U) 的射影座標。 令 π(X) 為關於座標系 (E0, E1, E2, I) 以 (ξ0, ξ1, ξ2) 為射影座標的點。 這樣定義的 π 顯然是 滿足 (1) 式的射影變換。以下證明這射影變換的唯一性。 設 ψ 為 另一滿足 (1) 式的射影變換。 設 D1D2 和 D0U 二直線的交點為 F0, D2D0和 D1U 的 交點為 F1, D0D1 和 D2U 的交點為 F2。 則 π(F0) = ψ(F0), π(F1) = ψ(F1), π(F2) = ψ(F2)。 由定理 1, 若 X 為直線 D1D2 上的 一點, 則
Rx
(E1, E2, π(F0), π(X))=
Rx
(E1, E2, ψ(F0), ψ(X)).D0
F1 F2 U
D1 F0 G0 D2
X
G2 G1
圖五
所以 π(X) = ψ(X)。 同理 π(X) = ψ(X) 對直線 D2D0 及直線 D0D1 上的任一點 X 均成立。
現設 X 為
P
不在三直線 D1D2, D2D0 和 D0D1 上的一點。 令 G0 為 D0X 和 D1D2 二直線的交點。 則 π(G0) = ψ(G0)。同理 若 G1 和 G2 分別為二直線 D1X, D2D0 的交點及二直線 D2X, D0D1 的交 點, 則亦有 π(G1) = ψ(G1) 和 π(G2) = ψ(G2)。 茲因 π(X) 為連接 Ei 和 π(Gi) 的直線及連接 Ei 和ψ(Gi) 的直線的交點, i = 1, 2, 3, 而且這交點是唯一的, 所以我 們得到了 π(X) = ψ(X).
設 π 為
P
上的射影變換, (D0, D1, D2, U) 為P
的齊次座標系, E0, E1, E2, I 為 D0, D1, D2, U 在對應 π 下的像, ε0, ε1, ε2, ι 為 E0, E1, E2, I 的齊次座標向量, 其 中 ι = ε0 + ε1 + ε2. 設 X ∈P
, 向量 ξ = (ξ0, ξ1, ξ2) 為 X 的齊次座標向量, E 為以 ε0, ε1 和 ε2 為列座標的方陣, 則ξE= ξ0ε0+ ξ1ε1+ ξ2ε2, (2) 為像點 π(X) 的齊次座標向量。
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年3
月Alias 和 alibi 是法律上在偵查犯罪時 常用的兩個拉丁字。 前者可以直譯為 「別名」, 指當事人的化名。 後者可以直譯為 「別地」, 指當事人在案發時所出現的另一現場, 即所 謂 「不在場證明」。 這兩個名詞常被幾何學家 借用。 例如一點的射影座標為它的 alias, 在
射影變換下它的像是它的 alibi。 上面的討論 說明二者的理論其實是互補的。
—本文作者為國立中央大學數學系退休教 授—
