射影平面六講 — 第四講

射影平面六講 _— 第四講

王九逵

令 E⁰, E¹, I, X 為

P

中的直線 l 的相 異的四點。 如上一講的最後, 在 l 上建立射影 座標系 (E⁰, E¹, I) 並設 X 的射影座標向量 為 ζ = (ζ0, ζ1)。 我們稱實數 ζ1/ζ0 為四點 E⁰, E¹, I, X 的叉比 (cross ratio), 以符號

Rx

(E⁰, E¹, I, X) 表之。 換言之, 若選擇 E⁰, E¹, I, X 的齊次座標向量 ε⁰, ε¹, ι, ξ 及實 數 χ, 使

ι = ε⁰+ ε¹, ξ = ε⁰+ χε¹, 則該四點的叉比

_Rx

(E⁰, E¹, I, X) 可以定義 為實數 χ。

我們現在在 l 上取和 E0, E¹ 及 I 都相 異的四點 X¹, X², X³, X⁴。 假定

Rx

(E⁰, E¹, I, Xⁱ) = χⁱ, i = 1, 2, 3, 4.

我們想利用 χi 將

_Rx

(X¹, X², X³, X⁴) 表示 出來。 令

η¹ = ε⁰+ χ¹ε¹, η² = ε⁰+ χ²ε¹, ξ³ = ε⁰+ χ³ε¹, ξ⁴ = ε⁰+ χ⁴ε¹, 則 η¹, η², ξ³, ξ⁴ 是 X1, X², X³, X⁴ 的齊 次座標向量。 遂得到

ε¹= 1

χ¹− χ²(η¹− η²)

= 1

χ¹− χ²η¹ + 1 χ²− χ¹η², ε⁰= η¹− χ¹

χ¹− χ²η¹− χ¹ χ²− χ¹η²

= − χ²

χ¹− χ²η¹− χ¹ χ²− χ¹η², ξ³= − χ²

χ¹− χ²η¹− χ¹ χ²− χ¹η² + χ3

χ¹− χ²η¹+ χ3

χ²− χ¹η²

=χ³− χ²

χ¹− χ²η¹ +χ³− χ¹ χ²− χ¹η². 所以如果我們令

ξ¹ = χ³ − χ²

χ¹ − χ²η¹, ξ² = χ³− χ¹ χ²− χ¹η², 便會有 ξ3 = ξ¹+ ξ²。而此時

ξ⁴= ε⁰+ χ⁴ε¹

=

^

− χ²

χ³− χ²ξ¹− χ¹ χ³− χ¹ξ²

^

+χ⁴

^

1

χ³− χ²ξ¹+ 1 χ³− χ¹ξ²

^

=χ⁴− χ²

χ³− χ²ξ¹+χ⁴− χ¹ χ³− χ¹ξ². 於是我們得到了

Rx

(X¹, X², X³, X⁴) (1)

=χ⁴−χ¹ χ³−χ¹

.

χ⁴−χ²

χ³−χ²=χ³−χ² χ³−χ¹

.

χ⁴−χ² χ⁴−χ¹.

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數學傳播

²⁵

卷

⁴

期 民

⁹⁰

年

¹²

月

有了這個公式以後, 我們可以利用極限 把它推廣, 不再要求四點互異, 也不再要求四 點都和 E⁰, E¹, I 相異了。

令 A, B, C, D 為 x 軸上的四個實數。

再令 F 為 x 軸上的無限遠點。 則

Rx

(0, F, 1, A) = A,

_Rx

(0, F, 1, B) = B,

Rx

(0, F, 1, C) = C,

_Rx

(0, F, 1, D) = D.

因此

Rx

(A, B, C, D) = C − B C − A



D − B D − A

= BC/AC BD/AD.

這說明在實軸上叉比可以用有向距離表示。

定理: 設

_Rx

(X¹, X², X³, X⁴) = κ 。 則

Rx

(X1, X2, X3, X4) =

_Rx

(X2, X1, X4, X3)

=

_Rx

(X³, X⁴, X¹, X²)

=

_Rx

(X4, X3, X2, X1)

= κ,

Rx

(X¹, X², X⁴, X³) =

_Rx

(X², X¹, X³, X⁴)

=

_Rx

(X⁴, X³, X¹, X²)

=

_Rx

(X³, X⁴, X², X¹)

= 1 κ,

Rx

(X¹, X³, X², X⁴) =

_Rx

(X³, X¹, X⁴, X²)

=

_Rx

(X², X⁴, X¹, X³)

=

_Rx

(X⁴, X², X³, X¹)

= κ κ − 1,

Rx

(X¹, X³, X⁴, X²) =

_Rx

(X³, X¹, X², X⁴)

=

_Rx

(X4, X2, X1, X3)

=

_Rx

(X², X⁴, X³, X¹)

= κ − 1 κ ,

Rx

(X¹, X⁴, X², X³) =

_Rx

(X⁴, X¹, X³, X²)

=

_Rx

(X2, X3, X1, X4)

=

_Rx

(X³, X², X⁴, X¹)

= 1 1 − κ,

Rx

(X¹, X⁴, X³, X²) =

_Rx

(X⁴, X¹, X², X³)

=

_Rx

(X³, X², X¹, X⁴)

=

_Rx

(X², X³, X⁴, X¹)

= 1 − κ.

這些結果都可以從 (1) 式推出。 關於 κ 和關於 1

κ 的公式都很直接。 如果我們有了關 於 1−κ 的公式, 則其餘的公式都可以從這些 公式推出來了。 所以我們只須證明關於 1 − κ 的公式。 其實關於 1 − κ 的公式中, 我們只須 證明

Rx

(X¹, X⁴, X³, X²) = 1 − κ 就可以了。 此式的證法如下:

Rx

(X¹, X⁴, X³, X²) + κ

= (χ²−χ¹)(χ³−χ⁴)

(χ³−χ¹)(χ²−χ⁴)+(χ⁴−χ¹)(χ³−χ²) (χ³−χ¹)(χ⁴−χ²)

= −χ²χ3+ χ1χ3 + χ2χ4− χ¹χ4

(χ³− χ¹)(χ⁴ − χ²) +χ³χ⁴− χ¹χ³ − χ²χ⁴+ χ¹χ²

(χ³ − χ¹)(χ⁴− χ²)

= χ³χ⁴+ χ¹χ²− χ²χ³+ χ¹χ⁴ (χ3− χ¹)(χ4− χ²) = 1 現在我們想把叉比的觀念對偶化。 設 e⁰, e¹ 和 i 為

P

中共點的三條直線, 並假 定它們兩兩相異。 選擇 e0, e¹, i 的齊次座 標向量 ε⁰, ε¹ and ι 使 ι = ε⁰ + ε¹。 令 l 為和這三條直線共點的另一條直線。 我們可

射影平面六講

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第四講

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以把它的齊次座標向量寫成 λ⁰ε⁰+ λ¹ε¹ 之

形。 則 e⁰, e¹, i, l 四線的 叉比 (cross ratio)

Rx

(e⁰, e¹, i, l) 的定義為 λ¹/λ⁰。 對共點的任 意四條直線的叉比, 我們也有一個類似公式 (1) 的公式。

對共點四直線的叉比, 當四線重新排列 時, 也有類似上定理的結果, 讀者不難自行寫 出。

定理: 設 X¹, X², X³, X⁴ 為共線的 四點, X 為線外的一點。 以 l1, l², l³ 和 l4

分別表示直線 XX¹, XX², XX³ 和 XX⁴。 則

Rx

(X¹, X², X³, X⁴) =

_Rx

(l¹, l², l³, l⁴). (2) 證明: 設χ =

_Rx

(X¹, X², X³, X⁴)。 選 擇 X¹, X², X³ 及 X⁴ 的齊次座標向量 ξ¹, ξ2, ξ3, ξ4, 使

ξ³ = ξ¹+ ξ², ξ⁴ = ξ¹+ χξ², (3)

令 X 的座標向量為 ξ。 則 ξ 和 (3) 式的外 積為

ξ × ξ³ = ξ × ξ¹+ ξ × ξ², ξ × ξ⁴ = ξ × ξ¹+ ξ × χξ². 但 ξ × ξⁱ 是 lⁱ 的線齊次座標向量。 故得 χ =

_Rx

(l¹, l², l³, l⁴)。

本定理的對偶定理便是它本身。

設 l¹ 和 l² 為二直線, O 為二線以外之 一點。 我們定義從 l¹ 到 l² 的對應如下: 對 l¹ 上的一點 X, 取連線 OX 和 l² 的交點和它 對應。 這對應叫從 l1 到 l2 的一個 透視 (對 應) (perspectivity), O 叫這透視的 透視中 心 (center of perspectivity)。

系: 叉比在透視對應下不變。

—本文作者為國立中央大學數學系退休教 授—