射影法描寫運動

射影法描寫運動

虞言林

點的位置

我們先來討論這樣一個初等的幾何問題。 設想曠野中有一個有興趣的點 p, 一架偵察機探 得它的位置, 而後告訴一架別的飛機, 以便救援或清除該點。 那麼偵察機是怎樣來描寫 p 點的 位置呢?

用解析幾何的辦法去解決這個問題, 是大家熟悉的, 現在我們在此介紹一種不太熟悉的方 法—射影法. 至於這兩種方法的優劣比較, 那不是本文的事。

在地平面 π 上選定一個四點標型 σ = hA₁, A₂, A₃, A₀i, 四點標型是指: 四點 A1, A₂, A₃, A0 中任意三點不共線。 現在我們利用這個 σ, 建立 p 點的射影座標如下。

在機艙中 (R³中一個區域) 隨意選一個點 O, 和四個向量 A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀, 使得





A^∗i 平行於 −−→

OAⁱ, ∀ i = 0, 1, 2, 3, A^∗₁+ A^∗₂+ A^∗₃ = A^∗₀.

按上面方式定義出來的 hA^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀i 稱為是四點標型 σ 的一個提升, 簡記為 σ^∗。 上面的 A^∗i 稱為點 Aⁱ 關於 O 點的提升。 接下來對於要考慮的點 p, 我們選取它的一個關於 O 點的提 升 p^∗, 即要求 p^∗是R³ 中一個向量, 並且滿足

p^∗ 平行於 −→ Op.

於是從下式

p^∗ = y1A^∗₁+ y2A^∗₂+ y3A^∗₃ 求出 (y1, y2, y3), 而後有下列的定義

定義: 對於上面定義的三個數 (y1, y2, y3), 它們的聯合比 (y1 : y2 : y3) 稱為是點 p 關於 σ 的 射影座標。

11

證明定義的合理性: 定義射影座標的過程中, 點 O 和五個提升向量 p^∗, A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀ 的 選取有一定的任意性, 在文獻 [1]及其中的附錄 D 中證明了: 射影座標 (y1 : y2 : y3) 的定義 與點 O, 和五個向量的選取無關, 它只和 p 與 σ 有關。 我們就現在的特殊情形給予如下的直接 的證明。

首先當 O 點固定時, 我們來證明 (y1 : y2 : y3) 的定義與五個向量 p^∗, A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀ 的 選取無關。 如果另外又取 p^#, A^#₁, A^#₂, A^#₃ , A^#₀, 這時從它們分別平行於向量 p^∗, A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀, 以及等式

A^#₁ + A^#₂ + A^#₃ = A^#₀ , 我們立知: 存在兩個非零常數 ρ1, ρ2 使得

p^# = ρ1p^∗, A^#₁ = ρ2A^∗₁, A^#₂ = ρ2A^∗₂, A^#₃ = ρ2A^∗₃, A^#₀ = ρ2A^∗₀. 根據新提升下的等式

p^#= ey1A^#₁ + ey2A^#₂ + ey3A^#₃ 得

p^∗ = ey1

ρ2

ρ1

A^∗₁ + ey2

ρ2

ρ1

A^∗₂+ ey3

ρ2

ρ3

A^∗₁. 於是與 p^∗ = y1A^∗₁+ y2A^∗₂+ y3A^∗₃ 比較可得

y1 = ey1

ρ2

ρ1

, y2 = ey2

ρ2

ρ1

, y3 = ey3

ρ2

ρ1

, 從而

(y1 : y2 : y3) = (ey1 : ey2 : ey3).

下面我們將證明射影座標的定義與O的選取無關性, 為此先證一個關於重心座標的引理。

引理1: 設 π 是 R³ 中一張平面, A1, A2, A3 是 π 中處於一般位置的三個點 (即構成非退 化三角形), 於是對於任意 p ∈ π, 存在惟一 (λ1, λ2, λ3) 使得

(1) λ1+ λ2+ λ3 = 1, (2) 對於任意 O ∈ R³, 有 −→

Op= λ1

−−→OA1+ λ2

−−→OA2+ λ3

−−→OA3。 此外, 如果有一個 O ∈ R³ 使得 −→

Op= µ1

−−→OA1+ µ2

−−→OA2 + µ3

−−→OA3 成立, 那麼這裏的 (µ1, µ2, µ3) 就是上面的 (λ1, λ2, λ3)。

證明: 選定一個不過平面 π 的點 O。 顯然 −−→

OA₁, −−→

OA₂, −−→

OA₃ 線性無關, 於是存在惟一 (µ1, µ2, µ3) 使得

−→ Op= µ1

−−→OA1+ µ2

−−→OA2+ µ3

−−→OA3.

上式兩端減去 (µ1+ µ2+ µ3)−→ Op 得 (1 − µ1− µ2− µ3)−→

Op= µ1(−−→

OA1−−→

Op) + µ2(−−→

OA2−−→

Op) + µ3(−−→

OA3−−→ Op), 或寫為

(1 − µ1− µ2− µ3)−→ Op= µ1

−−→pA1+ µ2

−−→pA2+ µ3

−−→pA3. 由於−−→

pA1,−−→

pA2,−−→

pA3平行於 π, 而−→

Op 不平行於 π, 故上式右端為零, 即有 (1−µ1−µ2−µ3) = 0, 它就是 µ1+ µ2+ µ3 = 1。

現在對於任意的Oe∈ R³, 下列的計算

−→ Ope =−→

Op−−→

O eO = µ1

−−→OA₁+ µ2

−−→OA₂+ µ3

−−→OA₃−−→

O eO

= µ1(−−→

OAe 1+−→

O eO) + µ2(−−→

OAe 2+−→

O eO) + µ3(−−→

OAe 3+−→

O eO) −−→

O eO

= µ1

−−→e OA1+ µ2

−−→e OA2+ µ3

−−→e OA3

表明此處的(µ₁, µ₂, µ₃) 就是引理中欲求的 (λ1, λ₂, λ₃), 並且引理中的最後一個斷言也成立, 故引理證畢。

引理中的 (λ1, λ2, λ3) 稱為 p 點關於 ∆(A1, A2, A3) 的重心座標。 上述的引理 1 其實表 明: 重心座標與 O 無關。 而我們要證明的是: 射影座標 (y1 : y2 : y3) 的定義與 O 的選取無 關。 設 O, eO 是 π 外的兩個點, 我們想從下列兩式

p^∗ = y1A^∗₁ + y2A^∗₂+ y3A^∗₃, p^# = ey1Ae^∗₁+ ey2Ae^∗₂+ ey3Ae^∗₃ 推出

y1 : y2 : y3 = ey1 : ey2 : ey3. 上面的 A^∗i, eA^∗i 是點 Aⁱ 分別關於 O 和 eO 的提升向量, 故可令

A^∗i = ǫⁱ−−→

OAⁱ, Ae^∗i = eǫⁱ−−→

OAe ⁱ, ∀ i = 1, 2, 3.

同理可令

−→

Op= ρp^∗, −→

Ope = ηp^#. 於是我們便有

−→

Op= ρp^∗ = ρy1A^∗₁+ ρy2A^∗₂+ ρy3A^∗₃ = ρy1ǫ1

−−→OA1+ ρy2ǫ2

−−→OA2+ ρy3ǫ3

−−→OA3.

利用引理 1, 將O換成任意的 eO, 就得

−→

Ope = ρy1ǫ1

−−→e

OA1+ ρy2ǫ2

−−→e

OA2+ ρy3ǫ3

−−→e OA3. 將它和等式

−→

Ope = ηp^#= ηey1eǫ¹−−→

OAe 1+ ηey2eǫ²−−→

OAe 2+ ηey3eǫ³−−→

OAe 3

比較, 便得

ρy1ǫ1 = ηey1eǫ¹, ρy2ǫ2 = ηey2eǫ², ρy3ǫ3 = ηey3eǫ³.

將上述關於p的討論換成關於 A0 點的討論, 相應於上面的等式中的 yⁱ, eyⁱ 皆為 1。 新情況下的 (ρ, η), 無妨記為 (1

ǫ₀, 1 eǫ0

), 它們滿足

−−→OA0 = ρA^∗₀ = 1 ǫ0

A^∗₀, −−→

OAe 0 = ηA^#₀ = 1 eǫ0

A^#₀. 於是新情況下的等式是

1 ǫ0

ǫ1 = 1

eǫ0eǫ¹, 1 ǫ0

ǫ2 = 1

eǫ0eǫ², 1 ǫ0

ǫ3 = 1 eǫ0eǫ³, 換句話說, 我們有

ǫ0

eǫ⁰ = ǫ1

eǫ¹ = ǫ2

eǫ² = ǫ3

eǫ³. 現在我們回來看看關於 p 情形的等式。 從那裏可推出

y1

e y1

= ηeǫ¹ ρǫ1

= ηeǫ⁰ ρǫ0

, 同理有

y2

e

y₂ = ηeǫ⁰

ρǫ₀, y3

e

y₃ = ηeǫ⁰ ρǫ₀. 顯然從上面式子容易推出 y₁ : y2 : y3 = ey₁ : ey₂ : ey₃。證明完畢。

注(1): 上面介紹了一個從 σ 和 p 求出 (y1 : y2 : y3) 的演算法。 接著可以證明: 當 σ 固 定時, (y1 : y2 : y3) 與 p 彼此一一對應 (當然, 我們需要在 π 中增加一些新的點, 人們通常稱 之為無窮遠點, 這才能保證一一對應)。 有了一一對應, 我們可以引進等式記號

p= (y^σ 1 : y2 : y3), 或者 p= (σ, (y1: y2 : y3) ).

注(2): 當知道 σ 和 (y1 : y2 : y3) 之後, 如何來求 p 呢? 可以先取四點標型 σ 的一個提 升 hA^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀i, 由下式

−→

Oq = y1A^∗₁+ y2A^∗₂+ y3A^∗₃

確定 q, 於是 p 是直線 Oq 與平面 π 的交點。 這樣一來, 飛機之間可用射影座標傳遞點的位置 資訊, 確切講, 只要告知對方 σ 和 (y1 : y2 : y3), 對方便能根據注 (2) 自己求出 p。

仿射切線的射影描寫

設平面 π 中有一條曲線 p(t), 利用 π 中的仿射結構, 我們知道在 p(0) 處的仿射切線是 T(t) = p(0) + p^′(0)t.

上式是寫在平面 π 中的, 它的確切含意是: 在 π 中任意選定一點 Q 後, 把等式中前兩項看成 以 Q 為起點的向量之終點。 第三項是 π 中活動向量。

設 σ = hA1, A2, A3, A0i 是 π 中一個固定的四點標型, σ^∗ = hA^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀i 是四點 標型 σ 的一個標型提升, 當然滿足

A^∗₁ + A^∗₂+ A^∗₃ = A^∗₀. 於是 π 中的曲線 p(t) 可表為

−−−→Op(t) = y1(t)A^∗₁+ y2(t)A^∗₂+ y3(t)A^∗₃.

按照前面的理解, y1(t) : y2(t) : y3(t) 是曲線 p(t) 在 σ 下的射影座標, 記為 p(t) = (σ , y1(t) : y2(t) : y3(t)).

曲線 p(t) 在 π 中的仿射切線 T (t), 它放在 R³ 中有一個如下的表示

−−−→OT(t) =−−−−−−−−−−−→

O(p(0) + p^′(0)t) =−−−→

Op(0) + t · _dt^d

t=0

−−−→Op(t)

= (y1(0) + ty^′₁(0))A^∗₁+ (y2(0) + ty₂^′(0))A^∗₂+ (y3(0) + ty₃^′(0))A^∗₃, 這就得到點T (t)的射影表示 (注意此處−−−→

OT(t) 是 T (t) 的某一個提升)

T(t) = (σ, (y1(0) + ty^′₁(0)) : (y2(0) + ty₂^′(0)) : (y3(0) + ty₃^′(0))).

這裏的 T (t) 是一條帶著參數 t 的仿射切線, 射影空間中有一條相應的不帶參數的切線, 也許 人們更熟悉一些。 那是

l⁺ = {p = (σ, y1 : y2 : y3 ) | α1y1+ α2y2+ α3y3 = 0}, 其中

(α1, α2, α3) = (y1(0), y2(0), y3(0)) × (y^′₁(0), y^′₂(0), y^′₃(0)).

顯然T (t) ∈ l⁺。 在這裏我們總假定(α1, α2, α3)不全為零, 不然的話, 曲線 p(t) 在 p(0) 處退 化, 這是一個求切線的平凡情形。

定理: 在 l⁺ 上定義三個點













Q₀ = (σ, (y1(0) : y2(0) : y3(0)) ), Q∞= (σ, (y₁^′(0) : y^′₂(0) : y^′₃(0)) ),

Q1 = (σ, (y1(0) + y₁^′(0) : y2(0) + y₂^′(0) : y3(0) + y₃^′(0)) ), 則對於任意的 t, Q0, Q^∞, Q1, T(t) 四點共線, 並且參數切線有如下運算式

T(t) = (hQ0, Q^∞, Q1i, 1 : t ).

換句話說, 共線四點 Q0, Q∞, Q1, T(t) 的叉比 (又稱交比) 是 t 。 簡單寫來是 [Q0, Q∞, Q1, T(t)] = t.

在證明定理之前, 我們先證明文獻 [1]中的一個引理。

引理2: 設給定一個四點標型 σ = hA1, A₂, A₃, A₀i, 並且它帶有一個提升 σ^∗ = hA^∗₁, A^∗₂, A^∗₃, A^∗₀i, 又給定一條不包含 A0 的射影直線 l⁺,

l⁺ = { (σ, y1 : y2 : y3 ) | α1y1+ α2y2+ α3y3 = 0}.

令

Pⁱ = A0Aⁱ∩ l⁺, ∀ i = 1, 2, 3.

則有常數 λ1, λ2, λ3 和 Pⁱ 的提升Pi^∗, 使得下式成立

P₁^∗ = A^∗₁+ λ1A^∗₀, P₂^∗ = A^∗₂+ λ2A^∗₀, P₃^∗ = A^∗₃+ λ3A^∗₀.

此時接著有 





















Pi^∗, λⁱ 是惟一確定的, P₁^∗+ P₂^∗+ P₃^∗ = 0, 1 + λ1+ λ2+ λ3 = 0, (λ1, λ2, λ3)k(α1, α2, α3).

證明: 對於固定的i, 因為 A0, Aⁱ, Pⁱ 共線, 故 −−→

OA0,−−→

OAⁱ,−−→

OPⁱ 線性相關, 於是有 µ1

−−→OA0+ µ2

−−→OAⁱ+ µ3

−−→OPⁱ = 0.

其中 µ3, µ2 皆不為零, 不然的話, 它導至 A0, Aⁱ 兩點重合, 或者 A0, Pⁱ 兩點重合。 容易取 µ2

使得 µ₂−−→

OAi = A^∗i, 令 Pi^∗ = −µ3

−−→OPi, 那麼欲求的 λ1, λ₂, λ₃ 便存在了。至於 λ₁, λ₂, λ₃ 的 惟一性可在上面的論述中易見。 利用

Pi^∗ = A^∗i + λⁱA^∗₀ = A^∗i + λⁱ(A^∗₁+ A^∗₂+ A^∗₃), 我們有

(P₁^∗, P₂^∗, P₃^∗) = (A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃)







1 + λ1 λ2 λ3

λ1 1 + λ2 λ3

λ1 λ2 1 + λ3





.

注意到 (P₁^∗, P₂^∗, P₃^∗) 共面, (A^∗₁, A^∗₂, A^∗₃) 線性無關, 故可得

det







1 + λ1 λ2 λ3

λ1 1 + λ2 λ3

λ1 λ2 1 + λ3





 = 0.

經計算, 上述行列式的等式就是

1 + λ1+ λ2+ λ3 = 0.

另外, 利用上面的等式, 易有

P₁^∗+ P₂^∗+ P₃^∗ = X3

i=1

(A^∗i + λⁱA^∗₀) = X3

i=1

A^∗i + X3

i=1

λiA^∗₀ = X3

i=1

A^∗i − A^∗₀ = 0.

注意到l⁺在σ下的方程是α1y1+ α2y2+ α3y3 = 0, 由 Pi^∗ = A^∗i + λⁱ(A^∗₁ + A^∗₂+ A^∗₃), 便可 知 P₁ = (σ, (1 + λ1) : λ1 : λ1 )。 P1 在直線 l⁺ 上, 這就表示

α1(1 + λ1) + α2λ1+ α3λ1 = 0.

上式導出

α₁ = −(α1 + α2+ α3)λ1.

對 P2, P3 作類似討論, 得出結論後綜合得知 (λ1, λ2, λ3)k(α1, α2, α3)。 至此易見引理成立。

引理3: 記號同前, 若令

g = y₂(0) − y1(0) y^′₂(0) − y^′₁(0) y3(0) − y1(0) y^′₃(0) − y^′₁(0)

!

則

−−−→OT(t) = X3

i=1

(yⁱ(0) + tyi^′(0))A^∗i = (P₂^∗, P₃^∗)g 1 t

! .

證明: 由於

(λ1, λ₂, λ₃)k(α1, α₂, α₃) = (y1(0), y2(0), y3(0)) × (y₁^′(0), y₂^′(0), y₃^′(0)), 故

X3 i=1

λiyi(0) = 0,

X3 i=1

λiyi^′(0) = 0.

從而再利用 P₁^∗+ P₂^∗+ P₃^∗= 0 便有下列等式

−−−→OT(t) =P3

i=1(yⁱ(0) + tyi^′(0))A^∗i =P3

i=1(yⁱ(0) + tyi^′(0))(Pi^∗− λⁱA^∗₀)

=P3

i=1(yⁱ(0) + tyi^′(0))Pi^∗

= y2(0) − y1(0)) + t(y^′₂(0) − y₁^′(0)
P₂^∗ + y3(0) − y1(0)) + t(y₃^′(0) − y₁^′(0)

P₃^∗

= (P₂^∗, P₃^∗)g 1 t

! . 引理證畢。

前面定理的證明: 令

(Q^∗₀, Q^∗∞) = (P₂^∗, P₃^∗)g, Q^∗₁ = Q^∗₀+ Q^∗∞,

我們可以知道 Q^∗₀, Q^∗∞, Q^∗₁ 是切線 l⁺ 上三個點的提升, 記這三點為 Q₀, Q∞, Q₁。 注意到 hQ^∗₀, Q^∗∞, Q^∗₁i 是三點標型 hQ0, Q∞, Q1i 的提升, 從而利用引理 3 推得的下列等式

Q^∗₀ = (Q^∗₀, Q^∗∞) 1 0

!

= (P₂^∗, P₃^∗)g 1 0

!

= X3

i=1

yi(0)A^∗i

可知

Q0 = (σ, (y1(0) : y2(0) : y3(0)) ).

類似地, 可以證明引理中所說的 Q∞, Q₁ 的運算式。 利用引理 3 有

−−−→OT(t) = (Q^∗₂, Q^∗₃) 1 t

! ,

從而

T(t) = (hQ0, Q∞, Q1i, 1 : t ).

又從

Q^∗₁ = Q^∗₀+ Q^∗∞, −−−→

OT(t) = Q^∗₀+ tQ^∗∞,

並按照 [3]第九行的公式, 知道 Q0, Q∞, Q1, T(t) 四點的叉比是 t 。 定理證畢。

致謝: 2005 年 11 月至 2006 年 1 月期間, 應鄭日新所長的邀請, 我在臺北中央研究院數學 研究所做為期三個月的訪問。 受到了熱情接待, 體驗到了良好的研究氣氛, 因而安頓下來, 便想 到了“切向量的射影描寫”。 這是一個小小的想法, 現投稿 「數學傳播」, 以之對中央研究院數學 所的好客表示由衷的感謝。 另外, 審稿人指出王九逵先生的文章, 訂正了 [1]中關於交比的定義, 那個定義與傳統叉比的定義不合。 在此也表示感謝。

參考文獻

1. 虞言林, 楊松林, 解析幾何, 普通高等教育“十五”國家級規劃教材, 科學出版社, 2005。

2. 王九逵, 射影平面六講—-第三講, 數學傳播, 第 25 卷 (第 3 期), 52-54。

3. 王九逵, 射影平面六講—-第四講, 數學傳播, 第 25 卷 (第 4 期), 43-45。

—本文作者任教於中國蘇州大學數學系—