「圓錐曲線雜談」教案分享

HPM 通訊第十五卷第七期第一版

 「圓錐曲線雜談」教案分享

 數學列車 1089 號啟程

 碩士論文摘要：

《松永良弼《方圓算經》內容分析》

《關孝和《括要算法》之內容分析》

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘 (台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

「圓錐曲線雜談」教案分享

蘇俊鴻

台師大數學研究所博士候選人/北一女中數學教師

一、前言

此份「圓錐曲線雜談」的教案，是 2008 年筆者參加思源科技教育基金會教案甄選活 動的得獎作品，承蒙許多數學教師的厚愛，嘗試將此份教案使用於課堂之中。同時，他 們也希望筆者能對教案的運用有更詳盡的說明。當時礙於限制，教案活動無法提供完整 的解說，這篇文章則是補足原本缺漏的部份，完整交代教案設計理念與教學時的建議事 項。不過，此教案內容是對應於 95 暫綱的規準，而 99 課綱大幅弱化圓錐曲線的內容後

（弱化是否恰當仍可討論），本份教案的部份內容，已經不在 99 課綱的規準中。但是，

作為補充教材來看，此份教案仍然相當適合。

在設計之初，筆者就鎖定討論主題為：

(1)圓錐截痕與圓錐定義的關係？(圓錐截痕的相關內容已經不在 99 課綱中) (2)「正焦弦」有什麼用？

鎖定這兩個議題，是它們都曾在教學過程中，長久困擾過筆者。此份教案的提出，是筆 者多年參與洪萬生教授倡導之數學史融入數學教學 (HPM) 活動，與團隊成員討論互動 所獲致之相關的材料與心得，加以設計、編排完成的成果。以下為此教案的內容、特色 及教學時的建議事項。

二、教案之內容、特色及教學時的建議事項

如上所述，本教案的內容分成兩個主題：一是圓錐截痕與圓錐定義的關連；另一是

HPM 通訊第十五卷第七期第二版

正焦弦的討論。這兩個主題沒有教學順序的連貫性，若考量到時間因素，老師可以同時 或是取其中任一部份進行教學，都是可行的方式。

首先，從圓錐截痕與圓錐定義之間的關係談起，此 一部份為投影片第 3 張到第 11 張的內容。為何這個問題 會是教學的「難點」呢？早先課本的編寫都是直接訴諸 圖形直觀，將圓錐截痕與橢圓、雙曲線及拋物線等圖形 關聯起來，引出圓錐曲線名稱的源頭。然而，接下來各 個圓錐曲線圖形的定義，卻與圓錐截痕沒有連結，造成 學生常會追問的情形。也許正是如此，99 課綱索性將此 段內容直接刪除。

事實上，我們是可以利用課本上的定義，來解釋圓錐截痕，進而知道圓錐截痕上圖 形的相關元素（如焦點、準線）的確切位置，讓學生更深刻地理解兩者之間的關連性。

這個問題的解決，得要歸功於十九世紀的數學家，同時也是軍人及工程師的 Dandelin (1794～1847) 所提出的巧妙想法，被通稱為 Dandelin 定理。以橢圓為例，如下圖所示，

Dandelin 在截平面與錐面之間，巧妙地塞入一個與它們相切的圓球，圓球與截平面的切 點設為 。同樣的方法，在截平面之下，再塞進另一個較大的圓球與錐面相切，且切截 平面於 點。則 與 恰為橢圓的焦點。如此一來，在截痕上任取一點 ，連接錐頂 與 的直線，若交兩球與圓錐相切的兩圓於 與 ，則

F

F

F

F

P

P P

P

1 2 1 2 1

PF PF PP PP P P₂(定值)

輕易地，就能看出這個截痕正好符合課本所述橢圓的定義。同理，雙曲線的情形也如出 一轍，不妨讓學生嘗試看看，據筆者的經驗，多數學生都能看出結果。

不過，若要討論拋物線的情形，可就大費周章（見下面的投影片）！並且證明過程 相當繁複，若想要短時間引導學生領會，以筆者幾次的教學實施下來，發現效果並不理

HPM 通訊第十五卷第七期第三版

想，反而造成學習困難的印象。因此，建議老師若有時間考量的話，不妨以橢圓與雙曲 線為例，常能收到很好的效果。而拋物線則以課後作業，採學習單的方式逐步呈現為宜。

此外，投影片中雖然安排了動態展示的部份（Cabri 3D，需另外安裝軟體），不過，仍 以配合實物模型直接解說效果更佳。

接下來，對於正焦弦的討論，正是投影片第 12 張到第 17 張的內容，想要處理這個 常常被問的問題：

正焦弦除了拿公式來算算長度，它有什麼意義呢？

若要回答這個問題，我們得由希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius 約 262 B.C. ~ 190 B.C.）對圓錐曲線的命名說起：拋物線（parabola，指剛好相等）、橢圓（ellipse，指小 於），雙曲線（hyperbola，指大於）。源自畢達哥拉斯學派的傳統，阿波羅尼斯在平面與 圓錐的截痕中，由已知幾個線段的比例，找到一個線段長度。再利用圓錐截痕上一正方 形面積，與此線段長度為一邊的長方形面積作比較，以「相等」、「小於」或是「大於」

來命名各種截痕。若是利用阿波羅尼斯所熟知的幾何知識，整個討論將會過於繁雜，故 筆者輔以現代的符號，建立直角坐標系，很容易地可以說明這段「關鍵」的線段長度，

正是我們所熟知的正焦弦長，也是教案中所要傳達的重點。此外，在推導過程中，不難 發現這三個圓錐截痕以一種一致性的方程式形式來表示：

HPM 通訊第十五卷第七期第四版

2 p 2

y px x

 d

其中， 為正焦弦長，d為長軸長（拋物線將 視為無窮大）。如此一來，我們就能掌握 正焦弦長在圓錐曲線上所具有的幾何意義。更在現在符號的映照下，可以領會希臘人的 數學洞識。因此，正焦弦長對阿波羅尼斯來說，是定義圓錐截痕的關鍵。然而，對於採 用現行定義的我們來說，正焦弦長是否重要，顯然是不言而喻了。

p d

三、結論

對於筆者來說，這份教案是對於教學上曾經遇到的問題，提出一種可能的解決，並 且是來自數學史的啟發。因此，這份教案的另一個意義是，說明在講授專業技術知識的 數學教室中，數學史可以如何「融入」數學課程與教學活動中。同時，對於平常我們所 熟知的教學材料，如何受到數學史的「滲透」而更加地豐富。進而能體會數學史是數學 有機體不可分割的一部份，這對於數學的教與學將賦予更深刻的反思。

透過上述的分享，我希望主要內容已充份傳達，並能引起讀者使用此份教案的興 趣。更甚者，也能激發你對於數學史的嚮往。最後，筆者對思源科技教育基金會一直致 力於高中科學教學表示敬意，關於本文所使用的教案投影片可於 http://www.seed.org.tw 下載。

HPM 通訊第十五卷第七期第五版

數學列車 1089 號啟程

洪萬生

台灣師範大學數學系退休教授 書名：1089+All That = A Journey Into Mathematics

作者：David Acheson

出版社：Oxford University Press, Oxford 出版資料：v+178 pp, paperback

出版年：2012 年

ISBN 978-0-19-959002-5

關鍵詞：1089、數學小品、應用數學

一、前言

一本數學普及小品竟然運用一個「等式」充當書名，而且，其中還有一個十分特別 的數目 1089！事實上，本書是作者 David Acheson 從 1089 起程的一趟數學列車之旅。

1089 為何有趣？原來它相當魔幻！任選一個三位數，譬如說 752 好了。將它的百位 數與個位數對調，得 257，再將這兩個三位數相減（大減小），得 752-257=495。現在，

再將 495 的百位數與個位數對調，得 594。最後，將 495 與 594 相加：495+594=1089。

這是一個對於數學再怎麼無感的人都會好奇的問題，緊接著，或許我們就可以討論它的 所以然之故了。

一般而言，應用數學家書寫科普或進行數學通識教學，大都喜歡強調數學知識的有 用面向（utility）。本書作者 David Acheson 是一位應用數學家，目前是英國牛津大學耶 穌學院終身會士（Fellow emeritus），為什麼他將這個挑起讀者好奇心的數目 1089 當作 本書的引子呢？原來他在 10 歲時 － 10 歲果然重要，安德魯‧懷爾斯（Andrew Wiles）

也是在 10 歲時，邂逅費馬最後定理 － Acheson 從一本兒童普及刊物 I-SPY Annual（1956 年）讀到魔術師如何運用這個魔幻數目。也因此忽忽 40 年過去了，他總是念茲在茲第 一流數學定理或結果所真正製造的驚奇（wonder）！

二、內容簡介

這本小書總共有 16 章，目錄依序如下：

1 1089and All That

2 ‘In Love with Geometry’

3 But…that’s Absurd…

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4 The Trouble with Algebra 5 The Heavens in Motion 6 All Change!

7 On Being as Small as Possible 8 ‘Are We Nearly There?’

9 A Brief History of pi 10 Good Vibrations 11 Great Mistakes

12 What is the Secret of All Life?

13 e=2.718…

14 Chaos and Catastrophe

15 Not Quite the Indian Rope Trick 16 Real and Imaginary?

現在，我們依序簡介各章內容。在第 1 章中，作者從 1089 的驚奇（wonder）說起，

希望帶領讀者（不管多大多小）搭上數學快車，一同欣賞數學中的令人驚奇定理

（wonderful theorems）、美麗證明（beautiful proofs）以及偉大應用（great applications）。 第 2 章一開始的插曲，則是英國 17 世紀唯物機械論哲學家霍布士（Thomas Hobbes, 1588-1679）學習歐幾里得《幾何原本》的插曲。霍布士四十歲那一年才初識幾何原本所 呈現的數學知識之確定性，他的切入點是畢氏定理的證明 － 《幾何原本》第一冊第 47 命題。在研讀此一證明時，他發現他必須逆溯第一冊第 1 到第 46 的某些命題。這種確 定性（certainty）讓他「愛上幾何」（in love with geometry），終生不渝！除了畢氏定理 之外，本章也討論圓面積公式，特別是圓周率 及其展開式 － 萊布尼茲級數：

 /4=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…

類似這種令人驚奇的連結（connections），譬如 與奇數的關係，在數學中處處可見。還 有，作者還提及叫人討喜的拓樸學圖形，以及最重要的，舉例說明證明在數學中是如何 重要，尤其是我們將某些延拓（generalization）視為理所當然時：由於

圓周上 2 點之連線可將此圓分成 2 個區域；

圓周上 3 點之連線可將此圓分為 4 個區域；

圓周上 4 點之連線可將此圓分為 8 個區域；

圓周上 5 點之連線可將此圓分為 16 個區域；

依此類推（analogy），「圓周上 6 點之連線」當然「可將此圓分為 32 個區域」了！然而，

此一猜測卻是大錯特錯，¹因此，證明就變得不可或缺了。

1 在本書中，作者提供了正確答案 31，至於通式則是(1/24)(

n

n

n

n

HPM 通訊第十五卷第七期第七版

在第 3 章一開始，作者引述柯南‧道爾的《綠玉冠探案》（The Adventure of the Beryl Coronet）結語，讓福爾摩斯說明歸謬法的重要性。作者的第一個例子，是歐拉（Euler）

的克尼斯堡七橋問題。第二是有關質數是無窮多的證明。第三則是費馬最後定理。針對 最後這個例子，作者說明 n=3 的情況差一點成立：

729³+244³=401,947,273 738³=401,947,272.

第 4 章主題是（中學）代數。作者的引子有十九世紀早期法國小說家Stendhal，以 及 1953 年英國一個童話故事主角Molesworth的認知困擾。²針對後者，作者認為運用代 數方法證明 1089 何以魔幻，應該足以說明代數如何有用了。此外，作者還引進座標概 念，說明代數更是有助於解決幾何問題。

第 5 章主題是天體運動，作者首先引述美國媒體有關哈雷彗星在 1910 年接近地球 軌道時，社會大眾如何恐慌的新聞。然後，進一步說明克卜勒與牛頓的傑出貢獻。其中，

作者當然頗多仰賴於當時的數學文本，譬如牛頓的經典《原理》（Principia）。

第 6 章主題是變化率（rate of change），並藉以引出微積分。不過，它的重點擺在 微分法上。至於第 7 章則是運用微分法來處理自然界中的極值問題。在一般人所熟悉的 問題之外，作者也提及最小曲面與最速降線等問題及其求解。此外，他還介紹路線網路 問題（road network problem）：如何運用路線網路連結不同的城鎮，使得路線越短越好。

對於四個城鎮來說，最短的路線網路長度恰好等於1 3。至於此一路徑如何取得，則 可以運用肥皂泡膜來試驗。輔以實驗，這是本書作者闡揚數學真理的一個重要進路。

第 8 章主題是無窮級數（收斂與發散），並且利用它來定義曲線邊界的平面區域之 面積，以及像 2這樣的無理數。為何 2是無理數呢？顯然，這就需要證明了。除了這 個歸謬證明（reductio ad absurdum）之外，作者也引進了數學歸納法。

在第 9 章中，作者介紹了圓周率 的簡史。這個題材一向為科普書寫所歡迎。作者 先定義 ，然後，由於該定義與圓面積無涉，因此，吾人必須證明何以圓面積＝ r²。 作者所提供的證法，是將圓面積近似為

(1/2)‧(圓內接正 n 邊形的周長)‧(等腰三角形的高)

其中這個等腰三角形是由圓內接正 n 邊形分解而成，直觀而自然，值得肯定。當然由於 本章主題是 的簡史，所以，作者緊接著概述了 的近似值發展史，其中作者尤其指出 萊布尼茲級數與歐拉級數之意義，另外，他還介紹十八世紀法國數學家卜豐（Buffon）

如何從機率來看 。

第 10 章主題是樂音、弦振與正餘弦函數之關係。這是主要訴求實用的一章，作者

2 此一主角出自 Geoffrey Williams 與 Ronald Searle 合著的 Down with Skool!

HPM 通訊第十五卷第七期第八版

也提及他自己玩爵士吉他的經驗。到了第 11 章，作者又拉回數學有趣的面向。現在，他 的主題是「驟下結論」（jump to conclusion）難以避免的風險。他所舉出的第一個例子 有 Malfatti 問題，亦即：給定一個三角形內，做出 3 個不重疊的圓形，使得它們所佔的 面積最大。這是 1803 年 Malfatti 所提出並宣稱解決的問題，但是，直到 1967 年，才被 Michael Goldberg 指出其誤謬，並提供正確解答。數學家的這種「大膽假設」，歐拉絕 不缺席。作者提及他在證明費馬最後定理在 n=3 為真之後，即猜測三個四次方的和等於 一個四次方，四個五次方之和等於一個五次方等等，也都是不可能。沒想到到了 1966 年，Lander 和 Parkin 提出反例：27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵。對於歐拉的賢者之失，數學 社群不管是十八世紀或二十一世紀，一點都不介意，真是令人羨慕。有關驟下結論之例 子，作者還提出無窮級數求和問題，以及 1917 年由日本數學家 Kakeya 所提出的所謂

akeya 問題。

：所有生命的秘密是什麼？現在，有了微分方程，這個問題就有了最好的切入 了。

K

第 12 章主題是微分方程。作者以十八世紀的力學、十九世紀的電磁學、二十世紀 的量子力學，以及二十一世紀的生物學為例，說明微分方程及其求解的核心位置。作者 在本章一開始所運用的引子，是他在中學時代，生物老師所出的數年如一日的考題中的 第 23 題

點

第 13 章主題是歐拉數 e=2.718…。作者介紹此一主題的引子是複利的計算。此一計 算當然與下列極限式有關：(1+1/n)ⁿ→e。與 一樣，這個歐拉數在很多領域中一直現身，

不過，最著名的例子，莫過於變化率永遠等於自身的數量問題，這些都是自然界中所謂 的指數成長（exponential growth）問題。作者指出這個 e 不僅規範了疾病的傳染擴散，

針對不穩定（instability）系統，譬如一滴奶掉下一碗奶表面時所造的擾動現 可以找到 e 的蹤跡。最後，作者在本章

象，我們也 中，也給出了 e 的無窮級數展開式：

=1+1+1/2+1/(2‧3)+1/(2‧3‧4)+…。

dulum）運動有關，歷史上可以追溯到 1738 年的丹尼爾‧伯努利（Daniel ernoulli）。

第 16

書中，將虛數與

於是，他引述歐拉在 1748

e

第 14 章主題是應用數學領域中最夯的「混沌與劇變」，作者應用簡單的實驗（含皂 膜實驗，以及網頁上的計算機模擬 animation），提供了相當簡要的說明。第 15 章主題 也是應用數學，作者在此介紹了他自己的研究成果，那是與多樞紐（pivot）的複單擺

（multiple pen B

章主題是「實或虛」？作者在本章也是本書的最後結語，是說明何以歐拉公 式

e

e

x

i

x

年如何證明上述等式，展演了數學知識的這三個本質面向。

HPM 通訊第十五卷第七期第九版

三、評論

本書作者專長是應用數學，也是一位爵士吉他樂迷，本書第 10 章內容，應該是他 應邀為數學團體如The Mathematical Association演講的現身說法。³如果我們徵之於他從 十八世紀的研究成果中，找到多樞紐複單擺的相關問題之事實，即可發現他非常熟稔數 學史，尤其是微分方程的歷史發展。這種博雅的興趣，讓他廣泛涉獵數學史，也因而豐 富了本書的敘事。

事實上，他在適當脈絡插入數學史實，不僅用以潤滑數學知識的鋪陳，也有助於開 啟新的單元或話題。譬如，作為第 4 章的結語，他讓笛卡兒現身說法，以便引出第 5 章 有關圓錐曲線（或二次曲線）如何在天體運動的說明上，發揮令人意想不到的效果。至 於第 5 章有關克卜勒與牛頓的行星運動之定律，則當然最好讓十七世紀的當事人自行解 說了。還有，他讓邦貝利（R. Bombelli）而非卡丹諾（G. Cardano）來「引進」虛數，

足見他對相關史實，擁有了相當體貼細緻的素養。

這種在歷史脈絡中介紹數學，並不只是敘說與人有關的故事而已。譬如，作者雖然 指出 的萊布尼茲級數展開式之重要性，然而，他也未曾忘記強調如果吾人按此級數來 計算 的近似值到 3.14 –- 兩千多年前阿基米德即已達到的近似值，那麼，所需要計算 的項數就遠遠地超過三百個。這種時刻不忘「實用」的進路，的確凸顯了數學知識的價 值與意義。

最後，本書所涵蓋數學內容主要是分析學為主，再加上一點點必要是微分方程。這 顯然是作者基於他自己的應用數學背景所做的選擇。由於分析學或微分方程對於一般讀 者有相當程度的隔閡或陌生，因此，作者的選材與呈現就顯得十分要緊。整體來看，作 者在處理這些題材時，筆觸極輕，但又不失實質內容，尤其，他更是將他自己有關多樞 紐複單擺的最前沿研究結果，深入淺出地介紹給讀者。由此可見，他的普及書寫具有相 當的功力。

另一方面，就敘事來說，本書作者在每章開始，總是設法挑起讀者的閱讀動機。這 種策略像極了數學教師上課時所運用的「引起動機」。此外，他也相當擅用比喻，譬如，

他將數學歸納法之證明步驟比喻為連著一節節車廂的火車，於是，第一節啟動後，可以 拉動第二節，第二節啟動後，可以拉動第三節等等。顯然，此一敘事頗為形象與生動，

也可以說明歸納假設（inductive hypothesis）之意義。不過，此一說法忽略了數學歸納 法所證明的命題都涉及的無窮概念。

有關本書之訂正也請注意如下：p. 27 有關安德魯‧懷爾斯（Andrew Wiles）之成功 證明費馬最後定理之正確年份，應該是 1994 年而非 1993 年！事實上，懷爾斯在 1993 年 6 月返回劍橋發表研究成果時，他的證明中有一個當時無法彌補的重大邏輯瑕疵，一

3 這個英國數學教育協會的美國版本是 The Mathematical Association of America (MAA)，他們的積極活動 參與者包括了數學家、數學教授、數學教育家與中學教師。

HPM 通訊第十五卷第七期第一○版

直到 1994 年，他才成功地彌補了此一漏洞。至於正式的論文，則是發表在 1995 年的《數 學年鑑》（Annals of Mathematics）上。再有，懷爾斯也因為此一傑出貢獻，而榮獲 1998 年國際數學家聯盟所頒贈的特別獎。那是因為當時他已年過四十歲，按慣例無法獲得費 爾茲獎（Fields Medal）了。

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《HPM 通訊》駐校連絡員

日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅（東京大學）

德國：張復凱（Mainz 大學）

基隆市：許文璋（南榮國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎（麗山高中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、李建勳（海山國中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川、林典蔚（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、劉雅茵（台中二中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、

賴信志、陳姿研（台中女中）、莊佳維（成功國中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）陳建蒼（潮州高中） 黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

HPM 通訊第十五卷第七期第一一版

碩士論文摘要

《松永良弼《方圓算經》內容分析》摘要

王燕華

台灣師範大學數學系碩士班

《方圓算經》於 1739 年成書。當時日本社會在德川幕府封建統治下，呈現統一和 平的風貌，產業、教育、文藝等十分繁盛，日本學術界稱此時期為「文藝復興」。當時 各種藝道不僅讓上層社會接受，也為下層庶民所分享，如茶道、花道、劍道、武道等。

其中和算被視為「算道」，以藝道的形式生存與發展，因而數學流派林立，名家輩出。

當時和算還有一些獨特的現象，例如家元—免許制、遺題繼承、算額等。在關孝和與建 部賢弘等江戶初期和算家的開拓下，和算改變江戶初期實用算術的風格，學術性、藝道 性日益增強，而呈現脫離中國數學知識體系而獨步發展之態勢。江戶初期和算家的數學 成果奠定了整個江戶時代和算的基礎。

松永良弼 (Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744) 是關流第二代宗統傳人，對和算與 關流貢獻良多。筆者在貼近當時的社會歷史脈絡下，詮釋和算史實，全面深入分析《方 圓算經》。《方圓算經》共五卷，卷首闡述抒發數學哲理與啟發，松永接著以抽象的陰率、

陽率、應率、唱率與太陰率等率，融入其後四卷的無窮級數公式，包含圓周長、弧背、

矢、弦、弧田積、角中徑、距面斜弦、平中徑、角面、距面矢、利用太陰率推導方垛積 等三十個公式。概括之，《方圓算經》談論圓、正多邊形以及兩者所形成的數學內容。

分析《方圓算經》的內容，發現松永承襲先人的數學成果並拓廣、突破與創新。本 書可以說是松永最突出的作品。在這本書中，松永充分展現他的數學思想，精益求精的 計算能力，以及不斷提升「算道」的風格。

畢業時間：2012 年 6 月

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碩士論文摘要

《關孝和《括要算法》之內容分析》摘要

劉雅茵

台灣師範大學數學系碩士班

《括要算法》的成書時間發生在江戶時期，此時社會生產力提升與經濟的繁榮，使 得町人文化成為江戶文化的主流，知識、藝能開始滲透到民間，人民逐漸重視文化生活，

因此也產生了遺題繼承、如同藝道般的算道、寺廟中的算額等特殊的日本數學文化，這 促使當時許多和算家投入各方面的數學研究，進而促使和算由實用數學走向高等的數學 研究。

關孝和是關流的始祖，著作繁多，而《括要算法》是關孝和的弟子荒木村英與孫弟 子大高由昌在關孝和去世之後，將其數學遺稿加以整理並出版，其中記載著關孝和幾項 重要研究成果。本論文將從政治背景、經濟發展、教育與數學，來描繪《括要算法》的 歷史文化背景的輪廓，其次針對作者關孝和的生平、數學學習、著作與數學成就作概要 性的論述，並且在前述這些脈絡下，對《括要算法》的元卷、亨卷、利卷與貞卷的四卷 進內容行分析，其單元包含：累裁招差法、垛積術、剪管術、角術、圓周率、弧長近似 公式、球體積公式等，內容十分豐富。最後，探討在歷史背景影響下，《括要算法》各 卷內容與中國傳統數學之關係，以及關孝和的延拓與發展，與本書的結構。

畢業時間： 2010 年 6 月